精品解析：2025年河北省秦皇岛市青龙满族自治县中考一模数学试题

2025年河北省初中学业水平第一次摸底检测 数学试卷 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与的结果相等的是 （ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面内作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 3. 下列各数满足不等式的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 电影《大圣归来》中，齐天大圣的一个筋斗云是108000里，108000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，借助量角器，可以计算度数为 （ ） A. B. C. D. 6. 分解因式：，则的值为 （ ） A. 7 B. C. 25 D. 7. 关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 两根之和为0 D. 两根之积为5 8. 《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何?译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次．问太仓到上林的距离是 （ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 9. 学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（ ） A 嘉嘉能，淇淇不能 B. 淇淇能，嘉嘉不能 C. 他俩都能 D. 他俩都不能 10. 一副三角板如图所示摆放，，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板，当点E再次落到边上时，点D走过的长度为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，点D为斜边上一点（点D不与点A，B重合），作，交边于点E，则下列结论错误是 （ ） A. B. 存在3个值使是等腰三角形 C. 当时， D. 12. 已知直线过点，二次函数的图象和直线交于点C，D（C在D的左侧），若，则满足条件的a的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4个小题、每小题3分，其中16题第（1）小题2分、第（2）小题1分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 如图．数轴上点A、B分别表示，点C在线段AB上，且点C表示无理数，则点C表示的数可以是_______（写出一个满足条件的数即可）． 14. a，b均为正整数，且满足．则的值为________． 15. 如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是________． 16. 如图，边长为6的正六边形内接于圆O，点P为劣弧的中点，连接，． （1）的度数为________； （2）连接交于点，则_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“”，“＋5”，“”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： ． （1）开始数字为，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果； （2）开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为，求m的值． 18. 整式、、、如表所示． 整式 整式 （1）将整式进行因式分解； （2）化简整式，当，时，求和值． 19. 为了解学生对春节传统习俗了解程度，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置四个选项：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不太了解．将调查结果整理后绘制了如图所示不完整的统计图． （1）求此次调查一共抽取了多少名学生； （2）请补全条形统计图中B选项的人数，求出扇形统计图中“C．基本了解”所对应的圆心角度数，并借助三角尺或量角器补全扇形统计图； （3）学校挑出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两名同学去参加教育局组织的春节传统习俗知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 20. 如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 21. 如图，已知一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数； （2）若点在该函数图象上，连接，求的面积； （3）若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 22. 如图，某公园内有一个垂直于地面的信号塔，小高同学位于点C的位置观测信号塔，眼睛距地面高度为米，，测得塔顶B的仰角为，小高向着信号塔的方向前进到点E处，此时小高距信号塔的水平距离为27米，测得塔顶B的仰角为﹒ （1）求小高前进的距离；（取，结果保留整数） （2）此时，小高发现，前方5米的地面上有一个气球正在缓缓升起，假设气球升起的方向是垂直向上的，3秒后，气球恰好挡住小高的视线无法看到塔顶B的位置，求气球升起的平均速度． 23. 掷实心球是中学体育常见的一项运动，图1是嘉嘉同学体育课上投掷实心球，实心球运动路线为抛物线，行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点米处． （1）求抛物线的解析式； （2）求这次投掷中嘉嘉的成绩是多少米； （3）如图3，下课后嘉嘉将这次投掷的路线画在纸上，并试图通过调整出手角度，使成绩提高2米．他绘制了调整后的抛物线的图象，抛物线和与y轴交点相同，对称轴相同． ①请你帮助嘉嘉求出调整出手角度后，实心球的最大高度； ②直接写出调整前后，实心球飞行水平距离是多少米时实心球的高度相等； ③直接写出抛物线和之间的最大竖直距离． 24. 如图1，，点，分别为，上的点，且，连接，将沿直线折叠，得到．设． （1）的值为_____时，为直角三角形； （2）如图，当时． 利用尺规作图找出的外心；（保留作图痕迹，不写过程） 连接，，，求的长及四边形的面积． （3）试说明：无论如何改变的值，点始终在的平分线上； （4）如图，设的外心为，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平第一次摸底检测 数学试卷 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与的结果相等的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据加法交换律和添括号法则，进行判断即可． 【详解】解：； 故选B． 2. 如图，在平面内作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的定义，可直接得结论． 【详解】解：在同一平面内，与已知直线平行的直线有无数条， 所以作已知直线m的平行线，可作无数条． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的定义．掌握平行线的定义是解决本题的关键． 3. 下列各数满足不等式的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，求出不等式组的解集，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴满足不等式的是3； 故选：C． 4. 电影《大圣归来》中，齐天大圣的一个筋斗云是108000里，108000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：C． 5. 如图，借助量角器，可以计算的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了量角器、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．如图（见解析），设这个量角器所在的圆为，与交于点，根据量角器可得，再根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，设这个量角器所在的圆为，与交于点， 由量角器得：， 则由圆周角定理得：， 故选：A． 6. 分解因式：，则的值为 （ ） A. 7 B. C. 25 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据平方差公式将等式右边展开，进而求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选D． 7. 关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 两根之和为0 D. 两根之积为5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：关于的一元二次方程根的判别式为， ∵， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根； 由一元二次方程的根与系数的关系得：两根之和，两根之积为， 综上所述，选项B正确， 故选：B． 8. 《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何?译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次．问太仓到上林的距离是 （ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设太仓到上林的距离是里，根据题意可得往返1次的时间为天，再根据5天往返3次建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设太仓到上林的距离是里， 由题意得：， 解得， 即太仓到上林的距离是里， 故选：A． 9. 学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，他俩谁的工具能判定这张纸片是矩形（ ） A. 嘉嘉能，淇淇不能 B. 淇淇能，嘉嘉不能 C. 他俩都能 D. 他俩都不能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，有3个角是直角的四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：嘉嘉用刻度尺可以分别测量四边形的四条边长和两条对角线的长度，如果四边形的两组对边的长度相等且两条对角线的长度相等，即可判定这张纸片是矩形； 淇淇用量角器测量四边形的四个内角的度数，如果有3个角是直角，即可判定这张纸片是矩形； 故他俩都能判定这张纸片是矩形； 故选C． 10. 一副三角板如图所示摆放，，以A为旋转中心，逆时针旋转三角板，当点E再次落到边上时，点D走过长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，求弧长，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，根据旋转的性质推出为等边三角形，求出，即旋转角为60度，进行利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即：旋转角为， ∴， ∴点D走过的长度为为； 故选A． 11. 如图，在中，，，点D为斜边上一点（点D不与点A，B重合），作，交边于点E，则下列结论错误的是 （ ） A. B. 存在3个值使等腰三角形 C. 当时， D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后证出，由此即可判断A正确；分三种情况：①，②和③，根据等腰三角形的判定与性质求出的长，由此即可判断B错误；求出，根据定理即可判断C正确；根据相似三角形的性质可得，设，则，然后利用二次函数的性质即可判断D正确． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，则选项A正确； ∵在中，，， ∴， ①当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴，此时点与点重合，不符合题意，舍去； ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，存在2个值，使是等腰三角形，则选项B错误； 当时，， ∴， 在和中， ， ∴，则选项C正确； 由上已证：， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴，则选项D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定、勾股定理、二次函数的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 12. 已知直线过点，二次函数的图象和直线交于点C，D（C在D的左侧），若，则满足条件的a的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合、一元二次方程的应用、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．先利用待定系数法求出直线的解析式为，与二次函数的解析式联立可得，解方程可得或，再设点的坐标为，点的坐标为，且，则是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，然后分两种情况：①和②，分别求出的值，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立得：， ∴， 解得或， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为，且， ∴是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， 由①当时，， 则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得或，经检验，都是方程的解，且符合题设； ②当时，， 则， 同理可得：， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， 经检验，是方程的解，且符合题设； 综上，满足条件的的值有或或，共3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题、每小题3分，其中16题第（1）小题2分、第（2）小题1分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 如图．数轴上点A、B分别表示，点C在线段AB上，且点C表示无理数，则点C表示的数可以是_______（写出一个满足条件的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查实数与数轴，根据无理数的估算方法得到在和之间的整数的范围，据此确定无理数即可，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数为c， 根据数轴可知：， ∵点C表示无理数， ∴可以是， 故答案为：（答案不唯一） 14. a，b均为正整数，且满足．则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据，得到与是同类二次根式，结合a，b均为正整数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴与是同类二次根式， ∵a，b均为正整数，， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 15. 如图．已知点，将反比例函数图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确找出两个临界位置是解题关键．先把问题转化为将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点，再求出点平移后的坐标为，点平移后的坐标为，将这个两个点的坐标代入反比例函数的解析式，由此即可得． 【详解】解：将反比例函数的图象向左平移个单位长度，使平移后的函数图象和线段有交点，相当于将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点， ∵， ∴点平移后的坐标为，点平移后的坐标为， 由题意，有以下两个临界位置： ①当反比例函数的图象恰好经过点时， 则，解得； ②当反比例函数的图象恰好经过点时， 则，解得； 所以要使平移后的函数图象和线段有交点，则， 故答案：． 16. 如图，边长为6的正六边形内接于圆O，点P为劣弧的中点，连接，． （1）的度数为________； （2）连接交于点，则_________． 【答案】 ①. ##度 ②. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，先根据正六边形的性质求出，再根据圆周角定理可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据垂径定理可得，利用勾股定理求出的值，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：（1）如图，连接，交于点， ∵边长为6的正六边形内接于圆， ∴， ∵点为劣弧的中点， ∴， 由圆周角定理得：，， ∴， 故答案为：． （2）∵点为劣弧的中点，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 由圆周角定理得：， 由（1）已得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的性质是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“”，“＋5”，“”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： ． （1）开始数字为，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果； （2）开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用立方根解方程，理解并掌握对应的法则，是解题的关键： （1）根据对应的法则列出算式进行计算即可； （2）根据对应的法则列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 由题意，得：， ∴， ∴． 18. 整式、、、如表所示． 整式 整式 （1）将整式进行因式分解； （2）化简整式，当，时，求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、整式的除法、二元一次方程组，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用平方差公式分解因式即可得； （2）根据（1）的结果，计算整式的除法即可得；然后利用平方差公式和提取公因式法分解，最后根据建立关于的方程组，解方程组即可得． 【小问1详解】 解：由表可知， ． 【小问2详解】 解：由表可知，，，，， ∴ ， ， ∵， ∴，， ∴， 即， 联立， 解得． 19. 为了解学生对春节传统习俗的了解程度，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置四个选项：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不太了解．将调查结果整理后绘制了如图所示不完整的统计图． （1）求此次调查一共抽取了多少名学生； （2）请补全条形统计图中B选项的人数，求出扇形统计图中“C．基本了解”所对应的圆心角度数，并借助三角尺或量角器补全扇形统计图； （3）学校挑出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两名同学去参加教育局组织的春节传统习俗知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）此次调查一共抽取了100名学生 （2），图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图或列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用选项的人数除以所占的比例，求出总人数； （2）用总人数减去其它选项的人数，求出选项的人数，用360度乘以选项所占的比例求出圆心角的度数，同法求出选项的圆心角的度数，补全扇形图即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（名）； 答：此次调查一共抽取了100名学生； 【小问2详解】 选项的人数为：（人）； 选项的圆心角度数为：； 选项的圆心角度数为：； D选项的圆心角度数为：； 补全统计图如图： 【小问3详解】 由题意，画出树状图如下： 共12种等可能的结果，其中一男一女的情况有8种， ∴． 20. 如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 【答案】（1）5米 （2）25盏 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， 解得：米； 答：喷泉的半径为5米； 【小问2详解】 解：由题意，得：（米）， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 21. 如图，已知一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数； （2）若点在该函数图象上，连接，求的面积； （3）若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3）能， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等知识，较难的是（3），正确找出两个临界位置是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可得； （3）先求出点的坐标为，再求出两个临界位置：①当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上和②当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时，利用全等三角形的性质求出的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得， 所以这个一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：将点代入一次函数得：， 解得， ∴， ∴的边上的高为， 又∵， ∴， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：将点代入一次函数得：， ∴， 由题意，有以下两个临界位置： ①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上， ∵点坐标为， ∴此时， 解得； ②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时， 过点作轴于点， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时． 22. 如图，某公园内有一个垂直于地面的信号塔，小高同学位于点C的位置观测信号塔，眼睛距地面高度为米，，测得塔顶B的仰角为，小高向着信号塔的方向前进到点E处，此时小高距信号塔的水平距离为27米，测得塔顶B的仰角为﹒ （1）求小高前进的距离；（取，结果保留整数） （2）此时，小高发现，前方5米的地面上有一个气球正在缓缓升起，假设气球升起的方向是垂直向上的，3秒后，气球恰好挡住小高的视线无法看到塔顶B的位置，求气球升起的平均速度． 【答案】（1）小高前进的距离约为20米 （2）气球升起的平均速度为米/秒 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）连接，并延长交于点，先证出，米，再在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，则可求出的长，由此即可得； （2）过点作于点，交于点，交于点，先分别求出的长，从而可得的长，再利用除以时间即可得． 【小问1详解】 解：如图，连接，并延长交于点， 由题意得：，， ，米，米， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴，，米， 在中，米， 在中，米， ∴米， ∴（米）， 答：小高前进的距离约为20米﹒ 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，交于点，交于点， 则四边形是矩形， ∴，米，， 由题意得：米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∵气球升起的方向是垂直向上的，3秒后，气球恰好挡住小高的视线无法看到塔顶的位置， ∴气球升起的平均速度为（米/秒）， 答：气球升起的平均速度为米/秒． 23. 掷实心球是中学体育常见的一项运动，图1是嘉嘉同学体育课上投掷实心球，实心球运动路线为抛物线，行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点米处． （1）求抛物线的解析式； （2）求这次投掷中嘉嘉的成绩是多少米； （3）如图3，下课后嘉嘉将这次投掷的路线画在纸上，并试图通过调整出手角度，使成绩提高2米．他绘制了调整后的抛物线的图象，抛物线和与y轴交点相同，对称轴相同． ①请你帮助嘉嘉求出调整出手角度后，实心球的最大高度； ②直接写出调整前后，实心球飞行水平距离是多少米时实心球的高度相等； ③直接写出抛物线和之间的最大竖直距离． 【答案】（1） （2）这次投掷中嘉嘉的成绩是米 （3）①这次投掷中嘉嘉的成绩是米；②调整前后，实心球飞行水平距离是米时实心球的高度相等；③抛物线和之间的最大竖直距离为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键； （1）设抛物线的解析式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入，解方程，即可求解； （3）①设解析式为，代入，，待定系数法求解析式即可求解； ②联立，解析式，即可求解； ③分，两种情况讨论，设和之间的竖直距离为，根据函数图象得出的解析式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点米处． 设抛物线的解析式为，代入得， 解得： ∴ 【小问2详解】 解：当时， 解得：（舍去）或 答：这次投掷中嘉嘉的成绩是米； 【小问3详解】 解：①∵成绩提高2米．则与轴的交点为 ∵抛物线和与y轴交点相同，对称轴相同． 设解析式为，代入，得 解得： 答：调整出手角度后，实心球的最大高度为米； ②由①可得解析式为 联立 ∴ 解得：（舍去）， 答：调整前后，实心球飞行水平距离是米时实心球的高度相等 ③解：设和之间的竖直距离为，当时， ∵，当时，取得最大值，最大值为 当时，， ∵时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为 答：抛物线和之间的最大竖直距离为 24. 如图1，，点，分别为，上的点，且，连接，将沿直线折叠，得到．设． （1）的值为_____时，为直角三角形； （2）如图，当时． 利用尺规作图找出的外心；（保留作图痕迹，不写过程） 连接，，，求的长及四边形的面积． （3）试说明：无论如何改变的值，点始终在的平分线上； （4）如图，设的外心为，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）或； （2）作图见解析； ，； （3）证明见解析； （4） 【解析】 【分析】因为且为直角三角形，所以可得或，当时，，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可以得到，再根据可以求出的长度；当时，，可得，因为，可以求出的长度； 根据三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，利用尺规作图作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是三角形的外心； 当时，是等边三角形，点是的外心，所以可得是直角三角形，根据直角三角形的性质求出、的长度，利用四边形的周长公式求出四边形的周长即可； 过点作，，因为点是的外心，根据圆周角定理可以得到，根据四边形内角和是可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角平分线两边之间距离相等的点在角平分线可证结论成立； 根据折叠的性质和两点之间线段最短可知：当是等边三角形时，的值最小，利用直角三角形的性质和勾股定理求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：， 若为直角三角形， 则或， 当时，， 则有， 又， ， 解得：， 即的值为； 当时，， 则有， 又， ， 解得：， 即值为； 综上所述，当的值为或时，为直角三角形， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：当时， ， ， 又， 是等边三角形， 根据折叠的性质可知也是等边三角形， 如下图所示，分别作、的垂直平分线， 两条垂直平分线相交于点， 点即为的外心； 如下图所示， 点是的外心，是等边三角形， 、分别是和的平分线，， ， 是等边三角形， ， ， 又， 平分， ， ， ， 又， ， 在中，, ， 同理可得：， ； 【小问3详解】 证明：如下图所示，过点作，， 点是的外心， ， ， 在四边形中，， ，， ， 又， ， 在和中，， ， ， 是的平分线； 无论如何改变的值，点始终在的平分线上； 【小问4详解】 解：如下图所示，连接、、， 根据折叠的性质可知，点与点关于对称， ，， ， ， ， ， 当最小时最小， 两点之间线段最短， 当点、、三点共线且垂直于时，最小， 由折叠的性质可知是等边三角形时，最小， 此时，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， 的最小值为 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、尺规作图、三角形外接圆的性质，本题综合性较强，难度较大，解决本题的关键是利用图形的性质找边、角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $