特训05 二元一次方程组 压轴题（八大题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训05 二元一次方程组 压轴题（十大题型） 目录： 题型1：含参数的二元一次方程组综合辨析 题型2：二元一次方程组的特殊解法 题型3：新定义题 题型4：n×n方格 题型5：表格类实际应用题——运输、乘车问题 题型6：配套问题 题型7：表格类实际应用题——销售、利润问题 题型8：表格类实际应用题——用水、用电问题 题型1：含参数的二元一次方程组综合辨析 1．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 3．已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 题型2：二元一次方程组的特殊解法 4．阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 5．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 6．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 7．小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过“换元”可以解决问题．设，则原方程组可化为_______，解关于的方程组，得，所以解这个方程组，得_______． (2)运用上述方法解方程组：． (3)已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的二元一次方程组的解． 8．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组 中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得，所以解方程组，得． 任务． (1)材料中运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 题型3：新定义题 9．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； (2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 10．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（  ） A． B． C． D．方程组的解为 11．对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对． (1)若，则 ， ；（用含m的式子表示） (2)已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由． 12．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得，的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，．求的值． 13．规定：形如关于x，y的方程．与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______． (2)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则_____． (3)若方程中x，y的值满足下表： x 0 y 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是______． (4)解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为________；的解为______；的解为_____． (5)若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系：_______． 14．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 题型4：n×n方格 15．在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15． （1）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得______．（用含的代数式表示）； （2）图3是显示部分代数式的“等和格”，可得______．______． 16．在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”． （1）在图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15； 4 9 2 3 5 7 8 1 6 （2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得：__________；（用含的代数式表示） （3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求、的值；（写出具体的求解过程） （4）图4是显示部分代数式的“等和格”，直接写出的值． 题型5：表格类实际应用题——运输、乘车问题 17．某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ▄ 第三次 5 4 160 (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 18．某校九年级314名学生准备坐客车到校外参加体育中考，客车类型和租车价格如下表，已知B型客车的座位数是A型客车座位数的两倍少1个，C型客车座位数比B型客车座位数多13个． 客车类型 A型客车 B型客车 C型客车 乘客座位（个） 19 _______ _______ 租车价格（元/辆） 1200 1500 1800 （1）根据题意，填写表格． （2）若计划同时租A型客车和C型客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，租车用为14400元，求计划租A型和C型车各多少辆． （3）考试当天有老师和志愿者家长共36人一同前往，若同时租用三种车，且每辆车都坐满，已知A型车的数量是B型车的n倍（n为正整数），则租C型车________辆．（直接写出答案） 19．某网约车公司推出两种服务：一种是“独享”：规定车主“一对一服务”，每次只服务一个订单；另一种“拼车”：每次可以服务两个订单，时间相近、行程方向一致的乘客被车主接单同行．付费规则如下： 路程（公里） 独享 拼车 不超过3公里 10元 8元 超过3公里不超过10公里的部分 元/公里 元/公里 超过10公里的部分 1元/公里 元/公里 例如，小李选择“独享”乘车，路程是15公里，费用为元． (1)如果小李选择“独享”乘车一次，付费16元，那么乘车路程是多少公里？ (2)如果小李两次出行都选择“独享”乘车，且乘车路程都超过3公里，两次乘车路程共23公里，合计付费43元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？ (3)如果小李两次出行分别选择“独享”乘车和“拼车”（与另一乘客同路），两次乘车路程都超过10公里且为整数，共付费元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？ 题型6：配套问题 20．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 题型7：表格类实际应用题——销售、利润问题 21．法库寒富苹果以果实硕大、酸甜多汁、营养丰富、风味独特而驰名省外，沈阳某特产品商店购进、两种不同包装的寒富苹果共件，总费用为元，这两种包装苹果的进价、售价如表： 包装 包装 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该特产品店购进、两种包装的苹果各多少件？ (2)来自外地的王先生到该特产品商店打算购买、两种包装的苹果各件．现在该特产品店在做销售活动： 方案一：打“九折”销售； 方案二：总价“满元减元”， 请问王先生会选择到哪个方案买更优惠？说明理由． 22． 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，得利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，每件乙种商品所赚利润_____元 ； (2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？ (3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450 不优惠 超过450，但不超过600 按打九折 超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 23．今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 题型8：表格类实际应用题——用水、用电问题 24．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每月每户用水量（吨） 单价（元/吨） 单价（元/吨） 17 吨及以下部分 2.8 b 超过 17 吨且不超过 30 吨的部分 a b 超过 30 吨的部分 6.6 b （说明：①每户的生活污水量等于该户的用水量；②水费＝自来水费＋污水处理费）已知小明家去年 4月份用水 20 吨，交水费 86 元；5 月份用水 27 吨，交水费 128 元． (1)求 a、b 的值； (2)随着夏天的到来，用水量将大幅度增加，小明家 6 月分水费为 185 元，则小明家 6 月份用水多少 吨？ 25．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 二元一次方程组 压轴题（八大题型） 目录： 题型1：含参数的二元一次方程组综合辨析 题型2：二元一次方程组的特殊解法 题型3：新定义题 题型4：n×n方格 题型5：表格类实际应用题——运输、乘车问题 题型6：配套问题 题型7：表格类实际应用题——销售、利润问题 题型8：表格类实际应用题——用水、用电问题 题型1：含参数的二元一次方程组综合辨析 1．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【解析】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 2．已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)没有，理由见详解 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【解析】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 3．已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键． 将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，， 当 时，，，因此存在两对自然数解，④正确； 【解析】解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：， ∴当时，方程组的解也是的解，①正确； 方程组，得：，当，解得：；故②正确； 设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误； 解方程，解得：，当 时，，， 当 时，，，因此存在两对自然数解，④正确； 综上所述：①②④正确， 故选：D； 题型2：二元一次方程组的特殊解法 4．阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键； （1）①、，所得方程两边都除以4，得：，再与方程①利用加减法求解即可；②、，所得方程两边都除以9，得：，再与方程①利用加减法求解即可； （2），所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可． 【解析】（1）解：①； 得：， 两边除以4，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为：； ② 得：， 两边除以9，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 两边除以，得：， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 5．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组： （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可． 【解析】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）解：在中，令，， 则可化为， ∵方程组解为， ∴， ， 故答案为：． 6．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【解析】（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 7．小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过“换元”可以解决问题．设，则原方程组可化为_______，解关于的方程组，得，所以解这个方程组，得_______． (2)运用上述方法解方程组：． (3)已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形为，然后得出，进而可得答案． 【解析】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 解方程组， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以； （2）解：设，则原方程组可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得： 解得， 所以， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以； （3）解：方程组可化为， 所以， 所以． 8．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组 中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得，所以解方程组，得． 任务． (1)材料中运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 【答案】(1)B； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． 根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， 仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； 首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可． 【解析】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． 题型3：新定义题 9．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； (2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据“开心”方程组的定义进行逐项分析，即可作答． （2）先整理原方程为，再结合“开心”方程组的定义，得出，再代入，进行计算，即可作答． （3）先结合结合“开心”方程组的定义，得出，然后解出，或，，再分别代入，结合题意列式计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵中的， 故不是“开心”方程组； ∵中的 ∴是“开心”方程组； ∵， ∴， 把代入， 得， 解得， 把代入， ∴， ∵， 故不是“开心”方程组； 故答案为：． （2）解：∵， ∴两式子相加得， 整理得， ∵关于，的方程组是“开心”方程组， ∴， 即， 解得或； （3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴ 即把代入， 得 整理得， ∴， 故或， 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 综上：的值为或． 10．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（  ） A． B． C． D．方程组的解为 【答案】C 【解析】【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得. 【解析】A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意； B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意； C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意； D、方程组的解：x==2，y==﹣3，故D选项正确，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键. 11．对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对． (1)若，则 ， ；（用含m的式子表示） (2)已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，； (2)时，存在正格数对，满足条件． 【分析】（1）直接根据新定义进行求解即可得到答案； （2）先根据定义求出c的值，然后根据广芙蓉正格数对的定义进行求解即可． 【解析】（1）解：根据题中的新定义得： ； ， 故答案为：3；； （2）解：存在，，理由如下： 根据题中的新定义化简，得：， 解得：， ∴， 化简，得：， ∴， 依题意，x，y都为正整数，k是整数， 是奇数， ，3，9， 解得：，0，3， 当时，，，舍去； 当时，，，舍去； 当时，，， 综上，时，存在正格数对，满足条件． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，解题的关键在于能够准确地读懂题意． 12．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得，的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，．求的值． 【答案】(1)19 (2)30 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，即可求解． 【解析】（1）解： 得， 得，； （2）解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元，根据题意得， 得， 得， 得， 所以，购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：根据新定义运算得， 得， ∴． 13．规定：形如关于x，y的方程．与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______． (2)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则_____． (3)若方程中x，y的值满足下表： x 0 y 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是______． (4)解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为________；的解为______；的解为_____． (5)若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系：_______． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)；； (5) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义得特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）根据共轭方程组的定义解答； （2）由题意得，解方程即可得到答案； （3）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程； （4）分别根据代入法或加减法解方程组； （5）解方程组，然后观察解中x与y的关系即可得到答案． 【解析】（1）解：根据定义得方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）由题意得， 解得， 故答案为：1； （3）由题意得， 解得， 原方程为：， 这个方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （4）解方程组， 由得， 将代入得，， 解得， 将代入得， 原方程组的解为； 解方程组， 得， ， 将代入得， ， 原方程组的解为； 解方程组， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 原方程组的解为， 故答案为：；；； （5）， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 共轭方程组的解是， ． 14．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】(1)19 (2)30元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【解析】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． 题型4：n×n方格 15．在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15． （1）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得______．（用含的代数式表示）； （2）图3是显示部分代数式的“等和格”，可得______．______． 【答案】（1）；（2）a=-2，b=-1 【分析】（1）根据“等和格”的定义可得：，依此即可求解； （2）由题意得，解方程可得，再由（1）得可求． 【解析】解：（1）由题意得：， 则， 故． （2）由题意得：， 解得， 由（1）得， 则． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等”，得出等式求解． 16．在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”． （1）在图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15； 4 9 2 3 5 7 8 1 6 （2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得：__________；（用含的代数式表示） （3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求、的值；（写出具体的求解过程） （4）图4是显示部分代数式的“等和格”，直接写出的值． 【答案】（2）-b；（3）a=-2，b=2；（4）9 【分析】（2）根据每行、每列的3个代数式的和相等，可得到a和b的关系； （3）根据第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值； （4）根据“等和格”的定义可得方程，分别进行整理代入可求出b的值； 【解析】（2）由题意可得：， ∴， ∴， 故答案是； （3）由题意得， 解得， 故答案是：-2，2． （4）由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 题型4：表格类实际应用题——运输、乘车问题 17．某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ▄ 第三次 5 4 160 (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 【答案】(1)540 (2)A货车每辆每次可以运货20吨， B货车每辆每次可以运货15吨 (3)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆 【分析】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意列出方程组，求解即可； （2）根据（1）知，运送防疫物资A种货车每辆每次20吨，B种货车每辆每次15吨； （3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到20m+15n=190，当m=2时，n=10；当m=5时，n=6；当m=8时，n=2．共三种运输方案． 【解析】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨， 则根据题意，得， 解得， （吨）； 故答案为：540； （2）由（1）知，A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨； （3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆， 则20m+15n=190, ∴， ①当m=2时，n=10； ②当m=5时，n=6； ③当m=8时，n=2． ∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练掌握每种车运输总吨数与每车每次运输吨数和车数的关系，列方程组，列方程解答． 18．某校九年级314名学生准备坐客车到校外参加体育中考，客车类型和租车价格如下表，已知B型客车的座位数是A型客车座位数的两倍少1个，C型客车座位数比B型客车座位数多13个． 客车类型 A型客车 B型客车 C型客车 乘客座位（个） 19 _______ _______ 租车价格（元/辆） 1200 1500 1800 （1）根据题意，填写表格． （2）若计划同时租A型客车和C型客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，租车用为14400元，求计划租A型和C型车各多少辆． （3）考试当天有老师和志愿者家长共36人一同前往，若同时租用三种车，且每辆车都坐满，已知A型车的数量是B型车的n倍（n为正整数），则租C型车________辆．（直接写出答案） 【答案】（1）37，50；（2）计划租A型客车6辆，租C型客车4辆；（3）1或 4 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设租A型客车x辆，租C型客车y辆，根据总人数314人以及总费用14400元列出二元一次方程组并求解即可； （3）先求得总人数为350人，再设租C型客车a辆，租B型客车b辆，租A型客车nb辆，然后列出方程19nb＋37b＋50a＝350，进而对其进行分类讨论即可． 【解析】解：（1）B型客车的座位数：19×2－1＝37（个）， C型客车座位数：37＋13＝50（个）， 故答案为：37，50； （2）设租A型客车x辆，租C型客车y辆， 根据题意，得：， 解得：， 答：计划租A型客车6辆，租C型客车4辆； （3）总人数为：314＋36＝350（人）， 设租C型客车a辆，租B型客车b辆，则租A型客车nb辆（a≥1，b≥1，n≥1且a、b、n为正整数）， 由题意得：19nb＋37b＋50a＝350， 即：（19n＋37）b＋50a＝350， 当a＝1时，则（19n＋37）b＝300， ∵300＝2×2×3×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝300， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝150， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝3，则19n＋37＝100， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝4，则19n＋37＝75， 解得：（符合题意）， 若b＝5，则19n＋37＝60， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝6，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝2时，则（19n＋37）b＝250， ∵250＝2×5×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝250， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝125， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝5，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝3时，则（19n＋37）b＝200， ∵200＝2×2×2×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝200， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝100， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝4，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝4时，则（19n＋37）b＝150， ∵150＝2×3×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝150， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝75， 解得：（符合题意）， 若b＝3，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝5时，则（19n＋37）b＝100， ∵100＝2×2×5×5， ∴若b＝1，则19n＋37＝100， 解得：（不符合题意，舍去）， 若b＝2，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1； 当a＝6时，则（19n＋37）b＝50， 若b＝1，则19n＋37＝50， 解得：（不符合题意，舍去），此时＜1， 综上所述：符合题意的a的值为1或4， 故答案为：1或 4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，第（2）问的关键是理清题意，设出未知数，根据等量关系列出方程组求解，第（3）问的关键是学会正确进行分类讨论，要保证每种情况不重也不漏． 19．某网约车公司推出两种服务：一种是“独享”：规定车主“一对一服务”，每次只服务一个订单；另一种“拼车”：每次可以服务两个订单，时间相近、行程方向一致的乘客被车主接单同行．付费规则如下： 路程（公里） 独享 拼车 不超过3公里 10元 8元 超过3公里不超过10公里的部分 元/公里 元/公里 超过10公里的部分 1元/公里 元/公里 例如，小李选择“独享”乘车，路程是15公里，费用为元． (1)如果小李选择“独享”乘车一次，付费16元，那么乘车路程是多少公里？ (2)如果小李两次出行都选择“独享”乘车，且乘车路程都超过3公里，两次乘车路程共23公里，合计付费43元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？ (3)如果小李两次出行分别选择“独享”乘车和“拼车”（与另一乘客同路），两次乘车路程都超过10公里且为整数，共付费元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？ 【答案】(1)乘车路程是7公里 (2)小李两次乘车路程各为8公里和15公里 (3)小李选择“独享”乘车的路程为12公里，选择“拼车”乘车的路程为15公里 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设乘车路程是x公里，根据付费16元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出结论； （2）设较短的一次乘车路程是y公里，则较长的一次乘车路程是公里，分及两种情况考虑，根据两次乘车合计付费43元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，可得出y值（即较短的一次乘车路程），再将其代入中，即可求出较长的一次乘车路程； （3）设小李选择“独享”乘车的路程为m公里，选择“拼车1+1”乘车的路程为n公里，根据两次乘车合计付费元，可列出关于m，n的二元一次方程，再结合，，且m，n均为整数，即可得出结论． 【解析】（1）设乘车路程是x公里， ，， ， 根据题意得： ， 解得， 答：乘车路程是7公里； （2）设较短的一次乘车路程是y公里，则较长的一次乘车路程是公里， 当时，， 解得， ； 当时，， 此时无解，舍去； 答：小李两次乘车路程各为8公里和15公里； （3）设小李选择“独享”乘车的路程为m公里，选择“拼车”乘车的路程为n公里， 根据题意得：， ， 又，，且m，n均为整数， ， 答：小李选择“独享”乘车的路程为12公里，选择“拼车”乘车的路程为15公里． 题型6：配套问题 20．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【解析】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 题型7：表格类实际应用题——销售、利润问题 21．法库寒富苹果以果实硕大、酸甜多汁、营养丰富、风味独特而驰名省外，沈阳某特产品商店购进、两种不同包装的寒富苹果共件，总费用为元，这两种包装苹果的进价、售价如表： 包装 包装 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该特产品店购进、两种包装的苹果各多少件？ (2)来自外地的王先生到该特产品商店打算购买、两种包装的苹果各件．现在该特产品店在做销售活动： 方案一：打“九折”销售； 方案二：总价“满元减元”， 请问王先生会选择到哪个方案买更优惠？说明理由． 【答案】(1)该特产品店购进包装的苹果50件，包装的苹果件 (2)王先生选择方案二购买更优惠，理由见解析 【分析】（）设该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件，根据题意列出方程组即可求解； （）求出产品销售活动前购买所需费用，再分别求出销售活动后两种方案购买所需费用，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【解析】（1）解：设该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件， 根据题意得，， 解得， 答：该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件； （2）解：王先生选择方案二买更优惠，理由如下： （元）， 选择方案一购买所需费用为（元）， 选择方案二购买所需费用为（元）， ， 王先生选择方案二购买更优惠． 22． 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，得利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，每件乙种商品所赚利润_____元 ； (2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？ (3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450 不优惠 超过450，但不超过600 按打九折 超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)40， 30 ； (2)购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元 (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 【分析】（1）直接由“进价=售价-利润”、“单件利润=售价-进价”计算即可得到答案； （2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，然后结合条件列出方程组，即可得到甲、乙两种商品的数量； （3）先设小梅购买乙种商品a件，然后根据乙种商品原来的钱进行分类讨论，再根据实际付款列出方程求得a的值，最后得到结果． 【解析】（1）由题意得， 甲种商品每件进价为60-20=40（元）， 乙种商品每件的利润为80-50=30（元）， 故答案为：40，30． （2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意有                      解得       40×20+10×30=1100 所以购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元 （3）设打折前一次性购物总金额为a元， 若a超过450，但不超过600，则有 ，解得 ，   此时购买乙种商品的数量为：（件）；      若a超过600，则有 ，解得 ， 此时购买乙种商品的数量为： （件）；   综上所述，小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 【点睛】本题以销售问题为背景，考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知销售问题有关的计算公式． 23．今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 【答案】(1)长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台 (2)元 (3)节约元或元 【分析】（1）长虹取暖器和格力取暖器的总量是，两种日光灯的总价是，可得方程组，即可得解； （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元根据题意可得：长虹取暖器销售额格力取暖器销售额总销售额，根据等量关系列出等式即可； （3）通过已知条件计算出乙生产厂家一次性购买的总支出，然后，在甲乙两家购买总支出-乙生产厂家一次性购买的总支出节约金额，注意分类讨论，在乙厂家支付的元的原价是否小于元． 【解析】（1）解：设长虹取暖器购进x台，则格力取暖器购进y台． 由题意得：， 解得： 答：长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台． （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得：， 答：长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多元． （3）当购买甲厂家台，共支付． 设在甲厂家购买了z台，则． 解得：． 若在乙厂家支付的元的原价小于元， 则可节约元． 若在乙厂家支付的元的原价大于元， 则可节约元． 答：商场可节约元或元． 【点睛】本题主要是考查二元一次方程组的应用，在应用中结合实际情况考虑物品的损耗和最终利润问题，切记：单价数量总价，(售价进价数量利润，利用公式解决问题． 题型8：表格类实际应用题——用水、用电问题 24．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每月每户用水量（吨） 单价（元/吨） 单价（元/吨） 17 吨及以下部分 2.8 b 超过 17 吨且不超过 30 吨的部分 a b 超过 30 吨的部分 6.6 b （说明：①每户的生活污水量等于该户的用水量；②水费＝自来水费＋污水处理费）已知小明家去年 4月份用水 20 吨，交水费 86 元；5 月份用水 27 吨，交水费 128 元． (1)求 a、b 的值； (2)随着夏天的到来，用水量将大幅度增加，小明家 6 月分水费为 185 元，则小明家 6 月份用水多少 吨？ 【答案】(1)a 的值为 4.8，b 的值为 1.2 (2)小明家 6 月份用水 35 吨 【分析】（1）根据题意列出关于a、b的二元一次方程组求解即可； （2）设小明家 6 月份用水x吨，由题意列出一元一次方程即可求解． 【解析】（1）解：由题意得：， 解方程组得：， 答：a 的值为 4.8，b 的值为 1.2； （2）解：当用水30吨时，水费为（元），表明小明家的用水量超过了30吨 设小明家 6 月份用水x吨，由题意得：， 解得：， 答：小明家 6 月份用水 35 吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次方程解决分段计费的问题，根据题意找到等量关系，并正确列出方程组与方程是解题的关键． 25．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【答案】（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解电费由高峰用电费用和低谷用电费用组成是解决本题的关键．掌握最多用电量和最贵电费的求法是解决本题的易错点． （1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据第一档共产生电费1354.88元列出方程求解可得高峰用电量，加上低谷用电量即为的值； （2）根据高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元和高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．列出方程组求解即可得到和的值； （3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，那么最多需要的电费高峰电价，所以需要节约用电，尽量控制高峰用电． 【解析】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时． ． ． ． ． ； （2）由题意得：． 解得：． 答：，； （3）（千瓦时）． （元． 答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$