专题06 第12章 二次根式 单元阶段复习（八大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

专题06 第12章 二次根式 单元阶段复习（八大题型） 目录： 题型1：二次根式的概念及有意义的条件 题型2：最简二次根式、同类二次根式 题型3：二次根式的性质 题型4：二次根式的化简、应用 题型5：二次根式的运算 题型6：二次根式运算的应用 题型7：二次根式的几何应用 题型8：解答题 题型1：二次根式的概念及有意义的条件 1．下列各式：，，，，，中，是二次根式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 题型2：最简二次根式、同类二次根式 4．下列二次根式中，最简二次根式是（　 　） A． B． C． D． 5．下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．下面能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．下列二次根式中，最简二次根式的是（   ）. A． B． C． D． 题型3：二次根式的性质 8．计算： ． 9．计算的结果为 ． 10．计算： ． 题型4：二次根式的化简、应用 11．比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 12．实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（     ）    A． B． C．a D． 13．已知是整数，则正整数n的最小值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．8 14．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 15．已知，则的值为 ． 16．将二次根式化为最简二次根式为（    ） A． B． C． D． 17．要把中根号外的因式移入根号内，下面式子正确的是  （ ） A． B． C． D． 题型5：二次根式的运算 18．计算： ． 19．计算的结果是 ． 20．下列运算中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 21．下列四个算式正确的是（　 　） A． B． C．＝× D． 22．计算：= ． 23．计算： ． 24．对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（     ） A． B． C． D． 25．式子成立的条件是 ． 题型6：二次根式运算的应用 26．估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 27．若，则（     ） A． B． C． D． 28．若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ． 29．已知m是的小数部分，则的值为 ． 30．已知，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型7：二次根式的几何应用 31．一间长方形卧室的面积为平方米，其中一边长为米，则这条边的邻边长为（     ） A． B． C． D． 32．已知：如图，E是边长为2的正方形对角线上的一点，交于点F，且则线段的长为 ．    33．如图，四边形中，，，，，，则 ．    题型8：解答题 34．计算 (1) (2) 35．嘉琪准备完成题目“计算：”时，发现“■”处的数字印刷不清楚． (1)他把“■”处的数字猜成4，请你计算的结果． (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是．”通过计算说明题目中的“■”处的数字是几？ 36．已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 37．如图，有一块矩形木板，木工王师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)正方形木板的边长为________，木板的边长为________； (2)求图中阴影部分的面积． 38．阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．其中一个是另一个的有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．如，． 像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的有理化因式是 ，分母有理化，得 ； (2)已知，求的值； (3)利用上述知识比较代数式与的大小． (4)计算：． 39．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 第12章 二次根式 单元阶段复习（八大题型） 目录： 题型1：二次根式的概念及有意义的条件 题型2：最简二次根式、同类二次根式 题型3：二次根式的性质 题型4：二次根式的化简、应用 题型5：二次根式的运算 题型6：二次根式运算的应用 题型7：二次根式的几何应用 题型8：解答题 题型1：二次根式的概念及有意义的条件 1．下列各式：，，，，，中，是二次根式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【解析】解：当时，不是二次根式， 的被开方数，不是二次根式， 的根指数是3，不是2，不是二次根式， 当时，不是二次根式， 所以二次根式有，，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键； 根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数列式计算即可； 【解析】解：根据题意可知，， 即； 故选：B 3．若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件即可得出答案． 【解析】解：∵式子在实数范围内有意义， ， ， ∴的值可以是1． 故答案为：1． 题型2：最简二次根式、同类二次根式 4．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．本题考查最简二次根式，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法必须满足两条，就是（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【解析】A.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A不符合题意； B. 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B符合题意； C. ，被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意； D.被开方数含有分母，故D不符合题意； 故选：B． 5．下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【解析】解：A、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； 故选：C． 6．下面能与合并的二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再看看是否是同类二次根式即可． 【解析】解：A．从整体上看不是二次根式，故本选项不符合题意； B． ，不能与合并，故本选项不符合题意； C． ，能与合并，故本选项符合题意； D．，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C 7．下列二次根式中，最简二次根式的是（  ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案． 【解析】解：A、，故A选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，故C选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，故D选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 题型3：二次根式的性质 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，利用直接可得答案． 【解析】解：， 故答案为： 9．计算的结果为 ． 【答案】18 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握是正确解答的关键．根据即可得出答案． 【解析】解：， 故答案为：18 10．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据化简即可． 【解析】解：∵ ∴ 故答案为：. 题型4：二次根式的化简、应用 11．比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可． 【解析】解：，， ， ， ， 故答案为：． 12．实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（    ）    A． B． C．a D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 【解析】解：由数轴可得：，， ∴，， 则 ， 故选：B． 13．已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据是整数，即可求解． 【解析】解：， 当时， ，是整数， 故正整数的最小值为． 故选C． 14．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，求不等式的解集，根据列出关于x的不等式求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 15．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质， 根据x的取值范围，结合绝对值和二次根式的性质，可得待求式，整理得出答案． 【解析】解：∵， ∴ 故答案为： 16．将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，先根据有意义得到，再根据二次根式的性质化成最简二次根式即可解答． 【解析】解：∵有意义， ∴， ∴且， 解得， ∴， 故选：B． 17．要把中根号外的因式移入根号内，下面式子正确的是  （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握根式的性质是解题的关键．根据非负数才能移入根号内或根号外，变成非负数后，变形化简即可． 【解析】解：根据题意，得， 故 ， 故选：D． 题型5：二次根式的运算 18．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键； 直接利用二次根式运算法则进行计算即可． 【解析】解：原式 ， 故答案为：． 19．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行运算即可． 【解析】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，先根据二次根式的性质将式子中的根式化简，再进行计算是解答本题的关键． 20．下列运算中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的加减运算，二次根式的性质，进行计算即可． 【解析】A、，故该选项运算错误，不符合题意； B、 ，故该选项运算错误，不符合题意； C、 ，故该选项运算正确，符合题意； D、 ，故该选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，次根式的性质，熟练掌握以上运算法则和性质是解题的关键． 21．下列四个算式正确的是（　　） A． B． C．＝× D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的各种运算的法则对各项进行运算即可． 【解析】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B.，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D.，故选项错误，不符合题意；． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 22．计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断a，b的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【解析】解：依题意得：，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 23．计算： ． 【答案】/ 【分析】先利用的积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解析】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 24．对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答． 【解析】解：当时，，当时，，故A不一定成立； 当都小于0时，，故B不一定成立； ，故C不成立； ，故D成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键． 25．式子成立的条件是 ． 【答案】/ 【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【解析】要使有意义，则 ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键． 题型6：二次根式运算的应用 26．估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的乘法和二次根式的性质，利用二次根式乘法法则得到，再利用二次根式的性质可得到，然后估算出的值即可，正确估算出的值是解题的关键． 【解析】解：由， ∵， ∴， ∴， 故选：． 27．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，估算无理数的大小，将化简为是解题的关键． 先利用二次根式的乘法法则与二次根式的性质求出，再利用夹值法即可求出的范围． 【解析】解：． 即． 故选：B． 28．若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键．先估算出a、b的值，再代入代数式进行计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2. 29．已知m是的小数部分，则的值为 ． 【答案】4 【分析】先估算得到，则，即，利用完全平方公式得到原式，再根据二次根式的性质得到原式，去绝对值得原式，然后把m和的值代入计算即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键． 【解析】解：是的小数部分， ， 原式， ， ，即， 原式 ． 故答案为：． 30．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式， 先求出的值，再根据x的取值范围开平方解答即可 【解析】解：， ， ， 故选：B 题型7：二次根式的几何应用 31．一间长方形卧室的面积为平方米，其中一边长为米，则这条边的邻边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积公式直接用面积除以已知边长即可得到答案． 【解析】解：， ∴这条边的邻边长为， 故选：D． 32．已知：如图，E是边长为2的正方形对角线上的一点，交于点F，且则线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形中线段的求解，解题关键是正确列方程． 由边长为 2 的正方形中，得，设，则，由，得，即可得． 【解析】解：在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，则， 由，得，解得：， ∴． 故答案为：． 33．如图，四边形中，，，，，，则 ．    【答案】3 【分析】此题考查了含直角三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．分别过点A、D作、，设，利用含直角三角形的性质求解即可． 【解析】解：分别过点A、D作、，如下图：    由题意可得：，， ∴，四边形为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， 则，， ∵， ∴，解得， ∴． 故答案为： 3． 题型8：解答题 34．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再去括号后计算二次根式乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【解析】（1）解： ； （2）解； ． 35．嘉琪准备完成题目“计算：”时，发现“■”处的数字印刷不清楚． (1)他把“■”处的数字猜成4，请你计算的结果． (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是．”通过计算说明题目中的“■”处的数字是几？ 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可； （2）设“■”处的数字为，计算得到，根据正确答案是得到，即可求出a的值． 此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解析】（1）解： ． （2）设“■”处的数字为，则 ， ∵这个题的正确答案是． ， 解得， 即“■”处的数字是8． 36．已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确把a、b分母有理化是解题的关键． （1）先把a、b分母有理化，再求出的值，根据计算求解即可； （2）根据（1）所求，结合计算求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 37．如图，有一块矩形木板，木工王师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)正方形木板的边长为________，木板的边长为________； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，5 (2)阴影部分的面积为． 【分析】本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 【解析】（1）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 解得，（负数舍去）． 故答案为：，5； （2）解：由题可知，阴影部分的面积为：． 答：阴影部分的面积为． 38．阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．其中一个是另一个的有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．如，． 像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的有理化因式是 ，分母有理化，得 ； (2)已知，求的值； (3)利用上述知识比较代数式与的大小． (4)计算：． 【答案】(1)，； (2) (3) (4)2023 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）仿照题意找出各式的分母有理化因式即可； （2）先对分母有理化，再根据计算求解即可； （3）分别把和分母有理化，然后比较出二者分母有理化的结果即可得到答案； （4）先证明，再把所求式子裂项求解即可． 【解析】（1）解：，， 的有理化因式是，分母有理化，得； 故答案为：，； （2）解： ， ∴ ； （3）解： ， ， ∵，且， ∴； （4）解： ， ∴ ． 39．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【答案】(1)①，；②5 (2)20 (3)①见解析，；② 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可． 【解析】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20． 故答案为：20； （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， 故答案为：． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$