广东省惠州市博罗县2024-2025学年高一下学期阶段性教学质量检测数学试题

博罗县2024-2025学年第二学期阶段性教学质量检测 高一数学试题 本试卷共19小题，满分150分. 考试时间120分钟. 一、单项选择题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，且，则点的横坐标与纵坐标之和为（ ） A. B. C. D. 3. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，则原四边形OABC的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，，，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论错误的是（ ） A. B. P的坐标为 C. B的坐标为 D. 在方向上的投影向量为 二、多项选择题(共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第二象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 C. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 D. 圆锥截面的面积的最大值为 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角； B. 若，则； C. 若，则为等腰三角形； D. 若不是直角三角形，则. 第二部分（非选择题，共 92 分） 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡相应横线上. 12. 使不等式（为虚数单位）成立的实数________. 13. 在直三棱柱中，.若该直三棱柱的外接球表面积为，则此三棱柱的高为__________. 14. 已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 16. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． （1）求的值； （2）求证：． 17. 图①是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高. （1）求正四棱台的表面积； （2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台（如图②），求削去部分与圆台的体积之比. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若的角平分线交于点，且，，求边的长度； （3）若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. （1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 博罗县2024-2025学年第二学期阶段性教学质量检测 高一数学试题 本试卷共19小题，满分150分. 考试时间120分钟. 一、单项选择题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题(共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.) 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABD 第二部分（非选择题，共 92 分） 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡相应横线上. 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）． 【16题答案】 【答案】（1） （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）①线性无关；②线性相关；理由： 对于①，设， 则可得，所以，线性无关； 对于②设， 则可得，所以，， 可取不全为零，故，线线性相关； （2）向量，，线性无关；理由： 设， 则， 因为向量，，线性无关， 所以，，， 解得， 所以向量，，线性无关； （3） ①， 如果某个，，2，……，m， 则， 因为任意个都线性无关， 所以，，……，，，……，都等于0， 所以这些系数，，……，或者全为零，或者全不为零， ②因为，所以，，……，全不为零， 所以由， 可得， 代入，可得， 所以， 所以，……，， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $