精品解析：湖南省祁阳市七里桥镇中学2025年中考一模数学仿真试卷

七里桥镇中心学校2025年中考一模数学仿真试卷 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列有理数中，属于负整数的是（ ） A. B. 0 C. 2024 D. 2. 如图，这是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，则（ ） A. 从正面看和从左面看到的形状图相同 B. 从上面看和从左面看到的形状图相同 C. 从正面看和从上面看到的形状图相同 D. 从正面看、从左面看和从上面看到的形状图都相同 3. 如图，下列条件：①；②；③；④；其中能判断的是（　　） A. ①③④ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③ 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 某医院从检验科的3名医生（2女1男）中随机选取两名医生应对突发需要，恰选中一男一女两名医生的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 直径是弦 B. 三角形的内心到三角形三边的距离都相等 C. 顶点在圆周上的角是圆周角 D. 半径相等的两个半圆是等弧 8. 已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：①是的平分线；②；③判定的依据是“”；④．其中正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加30分记为分，则扣20分记为_______分 12. 一个数的绝对值等于8，这个数的等于__________． 13. 请你写出一个经过点，且y随x增大而增大的一次函数___________． 14. 若代数式有意义，则x的取值范围为__________． 15. 如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是______． 16. 已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ________ ． 17. 观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，则第个数是__________． 18. 已知：如图，在中，，点D位于边上，过点D作边的平行线交边于点E，过点D作边的平行线交边于点F，设，四边形的面积为y，则y关于x的函数关系式是_________．（不必写定义域） 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 解方程组：． 20. 有这样一道题：先化简再求值，“，其中．”小华同学把条件“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的，请通过计算说明这是怎么回事． 21. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 22. 如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，． （1）当时，求的长（结果保留整数）． （2）从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，） 23. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，若苗圃园的面积为，求x的值． 24. 如图，D是以为直径的上一点，过点D的切线交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点C，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，已知的三个顶点分别为，，． （1）作的中线； （2）作边上的高； （3）图中，，求边上的高的长； （4）在第四象限中找点F，使与全等，请直接写出符合条件的F的坐标． 26. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，当点P在直线上方时，过点P作y轴的平行线交直线于点E． ①求面积的最大值； ②点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作交抛物线于点Q，过点D作于点H，请直接写出点H到抛物线对称轴距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七里桥镇中心学校2025年中考一模数学仿真试卷 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列有理数中，属于负整数的是（ ） A. B. 0 C. 2024 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的分类，根据负整数的概念进行判断，即可解题． 【详解】解：A、不是负整数，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，故不是负整数，不符合题意； C、2024是正整数，不是负整数，不符合题意； D、是负整数，符合题意； 故选：D． 2. 如图，这是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，则（ ） A. 从正面看和从左面看到的形状图相同 B. 从上面看和从左面看到的形状图相同 C. 从正面看和从上面看到的形状图相同 D. 从正面看、从左面看和从上面看到的形状图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从正面看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形，从左边看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形，从上面看有三层，底层和中层有两个小正方形，上层有一个正方形，再逐项分析即可得解． 【详解】解：从正面看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形， 从左边看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形， 从上面看有三层，底层和中层有两个小正方形，上层有一个正方形， 故从正面看和从左面看到的形状图相同，从上面看和从左面看到的形状图不同，从正面看和从上面看到的形状图不同，从正面看、从左面看和从上面看到的形状图不同， 故选：A． 3. 如图，下列条件：①；②；③；④；其中能判断的是（　　） A. ①③④ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定，依次判断各个条件即可． 【详解】解：①，根据内错角相等，两直线平行，可判断； ②，根据同位角相等，两直线平行，可判断，不能判断； ③，不能判断； ④∵，， ∴， 根据同旁内角互补，两直线平行，可判断； 综上，能判断的是①④， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，负整数指数幂，零指数幂的法则对各项进行运算即可得到答案． 【详解】解：、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，根据题意，分类讨论，当时；当时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限； 二次函数的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在轴的左边，当时，，即与轴交于点； ∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意； B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意； C、D选项均不符合该种情况； 当时，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限； 二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在轴右边，与轴交于点； 如图所示， ∴D选项的图符合题意， 故选：D ． 6. 某医院从检验科的3名医生（2女1男）中随机选取两名医生应对突发需要，恰选中一男一女两名医生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中选派的两名医生是一男一女的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：列树状图如下： 选取两名医生一共有6种等可能的情况，其中恰选中一男一女两名医生的有4种情况， ∴选中一男一女两名医生的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 直径是弦 B. 三角形的内心到三角形三边的距离都相等 C. 顶点在圆周上的角是圆周角 D. 半径相等的两个半圆是等弧 【答案】C 【解析】 【分析】利用弦的定义、三角形的内心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确； B、三角形的内心到三角形三边的距离都相等，正确； C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误； D、半径相等的两个半圆是等弧，正确， 故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的内心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识，难度不大． 8. 已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的性质；由数轴可得，，再根据立方根，二次根式性质与化简绝对值，进行求解即可． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴ ； 故选：D． 9. 如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：①是的平分线；②；③判定的依据是“”；④．其中正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的基本作图，三角形外角的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握上述相关的知识是解题的关键． 根据作图判定是的平分线，结合，得到，，根据三角形外角性质可得；根据作图可知：的依据是“”；根据角平分线性质可得出边上任意一点到边和边上的距离都相等，结合三角形面积公式可得． 【详解】解：根据作图判定是的平分线，故①正确； 因为， 所以， 所以， 所以，故②正确； 根据作图可知：，， 因为， 所以，故③错误； 根据角平分线的性质可知：边上任意一点到边和边上的距离都相等， 所以与面积的比等于与的比． 因为，， 所以， 所以 所以，故④正确； 综上分析可知：正确的有3个． 故选：B． 10. 如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】勾股定理求得母线长，然后根据圆锥的侧面积公式，即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，高为， ∴圆锥的母线长为， ∴这个圆锥的侧面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了求圆锥侧面积，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加30分记为分，则扣20分记为_______分 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量； 根据正负数表示相反意义的量，可得加分记为正，扣分记为负解答； 【详解】解：某校举行“生活中的数学”知识竞赛，若将加30分记为分，则扣20分记为分， 故答案为：． 12. 一个数的绝对值等于8，这个数的等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质进行解答． 【详解】解：，， ， 一个数的绝对值等于8，这个数的等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 13. 请你写出一个经过点，且y随x增大而增大的一次函数___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先可由y随x的增大而增大确定 x 的系数 ，再根据函数图象经过点，写出符合题意的函数表达式即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为 ， ∵y 随 x 的增大而增大， ∴， ∵函数图象经过点， ∴ ∴函数表达式可以是 ， 故答案为： （答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 14. 若代数式有意义，则x的取值范围为__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不等于零，列式计算即可得出答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 15. 如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等角对等边，角所对的直角边等于斜边的一半，过点作于，由可得，由平分可得，即可得，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半可解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ∴点到的距离是 2 ， 故答案为：2． 16. 已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案． 【详解】解：∵与是位似三角形，且， ∴，相似比为， ∴与的周长比等于相似比． 故答案为：． 17. 观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，则第个数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，根据分母是平方数，分子是连续的奇数得出变化规律是解题的关键． 观察数列，分子是连续的奇数，分母是序数的平方，且奇数项是负数，偶数项是正数，根据此规律写出即可． 【详解】观察数据的规律可知：分子的规律是连续的奇数即，分母是、、、，且奇数项是负数，偶数项是正数即，则第个数是 故答案为： 18. 已知：如图，在中，，点D位于边上，过点D作边的平行线交边于点E，过点D作边的平行线交边于点F，设，四边形的面积为y，则y关于x的函数关系式是_________．（不必写定义域） 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理的逆定理求出，进而证明四边形是矩形，再证明，求出，根据矩形面积公式即可得到． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵矩形的面积， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质于判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，证明四边形是矩形是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由①得： 将③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴该方程组的解为：． 20. 有这样一道题：先化简再求值，“，其中．”小华同学把条件“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的，请通过计算说明这是怎么回事． 【答案】 原式 ． 化简后结果不含字母， 小华同学虽然把条件“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的． 【解析】 【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后合并得到最简结果为常数，与x取值无关,即可做出判断． 【详解】略 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确运用分式的运算法则是解题的关键． 21. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87，所以A款好 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 22. 如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，． （1）当时，求的长（结果保留整数）． （2）从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】（1）的长约为 （2）13 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，根据四边形是菱形，得到，根据，解答即可． （2）连接，交于点O，根据四边形是菱形，当得到，根据，当得到，根据，解答即可． 本题考查了菱形的性质，正弦函数的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握菱形的性质，正弦函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 连接，交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴． 故千斤顶升高了， 故答案为：13． 23. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，若苗圃园的面积为，求x的值． 【答案】x的值为10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．根据矩形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为． 根据题意得，， 解得， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故x的值为10． 24. 如图，D是以为直径的上一点，过点D的切线交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点C，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）的长是． 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆的切线的性质，推出，得到，进而得到，再利用等角对等边的性质即可证明结论； （2）连接，根据圆的直径所对的圆周角是直角，得到，再根据正弦函数值，求出，然后利用等腰三角形三线合一的性质，证明，可求出的长，再证明，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接， 是的直径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴的长是． 【点睛】本题考查了切线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题关键． 25. 如图，已知的三个顶点分别为，，． （1）作的中线； （2）作边上的高； （3）图中，，求边上的高的长； （4）在第四象限中找点F，使与全等，请直接写出符合条件的F的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求； （3） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线，以及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义，即可解答； （2）连接交于点E，即为所求，通过证明，得出，进而得出，即可求证，则即为所求 （3）根据，即可求解； （4）根据全等三角形的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示： ∵，， ∴， 即， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：连接交于点E，即为所求， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴即为所求； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，为边上的高， ∴， 解得：； 【小问4详解】 解：∵，， ∴轴，即， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； 综上：或． 26. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，当点P在直线上方时，过点P作y轴的平行线交直线于点E． ①求面积的最大值； ②点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作交抛物线于点Q，过点D作于点H，请直接写出点H到抛物线对称轴距离的最大值． 【答案】（1） （2）①；②点M的坐标为或或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①先求出直线的解析式，然后设设，则，即可表示并配方得到最值即可； ②分为，，三种情况，利用菱形的性质解题即可； （3）过点作轴，过点作轴,交过点作轴的平行线于点，，则，即可得到，然后利用根与系数得的关系解题即可． 【小问1详解】 ∵抛物经过点，， ∴ 解得 ∴该抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 ①∵点，， 设直线的解析式为，把代入得， ∴直线的解析式为. 设， 则， ∴ ∴， ∴当时，； ②∵抛物线与x轴交于A、两点， 令，则，解得或， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴. 以下分三种情况讨论： （i）如答图9-1，当四边形为菱形时，此时， 又∵， ∴垂直平分， ∴点P与点E关于x轴对称 ∴，即 解得，(舍去) ， ∴，， ∴ . （ii）如答图9-2，当四边形为菱形时，此时， ∴. ∴点P与点A重合 ∴，， ∴ . （iii）如答图9-3，当四边形为菱形时，此时， ∵，， ∴， ∴， 解得，(舍去) ， ∴，， ∴ . 综上，点M的坐标为或 或 . 【小问3详解】 如图，过点作轴，过点作轴,交过点作轴的平行线于点，， 则， ∴ ∴， ∴， ，，已知，则有， 整理得：①， 设直线的解析式为，联立抛物线， 消去y可得：， 由韦达定理得，， 代入①得， 整理得， ∴直线为， ∴直线过定点， ∴， ∵， ∴点H的轨迹是以为直径的圆， 点H到抛物线对称轴距离的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $