精品解析：江西省景德镇市2025届高三第三次质检数学试题

景德镇市2025届高三第三次质检试题 数学 命题：景德镇二中 马小宇 昌江一中 占星 景德镇一中 余倩 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质解不等式，求出集合，再利用补集的定义求解. 【详解】由，解得，则， 则. 故选：B． 2. 已知复数，（为虚数单位）则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设复数在复平面内对应的点分别为，根据复数的几何意义可知点在标准单位圆上，，结合圆的性质分析求解. 【详解】设复数在复平面内对应的点分别为， 因为，则点在标准单位圆上，， 则，其中为坐标原点， 所以的最大值是3. 故选：C． 3. 函数为偶函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解. 【详解】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 4. 设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在一对异面直线，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间线、面平行或垂直的判定与性质，逐项分析推理判断. 【详解】对于A，由，得直线与可能平行、可能相交，也可能在面内，A错误； 对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误； 对于C，要垂直于内的两条相交直线，才能推出，C错误； 对于D，过直线的平面，由，得，而，则， 由是异面直线，得直线相交，又，因此，D正确. 故选D， 5. 双曲线的右焦点为，过右顶点向轴引垂线与的渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系可得，再得出基本量的关系求解即可. 【详解】不妨去双曲线渐近线， 则，∵，∴，即， 故，即， 因为，解得，∴. 故选：D 6. 如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可求的值. 【详解】 如图，，，∴． 又，∴，根据勾股定理． 在中，根据正弦定理可知， 即，解得， 故选：C． 7. 已知函数，斜率为的直线经过原点且与的图象相切，已知的值从大到小排列依次为，下列两个结论：①；②，则（ ） A. ①错误②正确 B. ①正确②错误 C. ①②均正确 D. ①②均错误 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，则，设出切点，再根据导数的几何意义即可求出，进而可判断①；分别过向轴引垂线分别与斜率为的切线交于两点，易得，即可判断②. 【详解】因，则， 因，则，则，即， 则，， 因与均为奇函数，故不妨设切点横坐标为， 则切线方程为， 将点代入切线方程中得，， 因，则，， 则， 因， 则，则， 故随着的增大，减小， 令，则， 则在上单调递减， 时，；时，， 则对于斜率最大的切线，切点，则，①正确； 分别过向轴引垂线分别与斜率为的切线交于两点， 由图易知， 而，∴，即，②错误． 故选：B． 8. 动圆经过直线与的交点，过原点向动圆作切线，切点为，若恒成立，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将与的方程联立可得，设动圆的方程为，由切线长可知的轨迹为圆，设设线段中点为令可得. 【详解】将与的方程联立，得，动圆的方程为， ∴切线长，即的轨迹是以为圆心为半径的圆， 设线段中点为，∵， 而（不能三点共线）， ∴的最大值是. 故选:D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的展开式中所有项系数的和为729，则 B. 已知，则 C. 已知向量，若，则的值为2 D. 已知正数满足，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A的正误，利用二倍角的余弦公式计算后可判断B的正误，利用共线向量的坐标形式可判断C的正误，利用基本不等式可判断D的正误. 【详解】令代入解得，解得，A错误； ∵，∴ ，B错误； 由可知，故，解得，C正确； ， 当且仅当时取等号，D正确． 故选：CD． 10. 已知为抛物线的焦点，是上位于第一象限的一点，，过点的直线与交于两点（在线段上），且，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线斜率之和为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点的坐标结合斜率公式计算判断A，联立方程组计算斜率和判断B，根据距离计算判断C，应用数量积公式计算判断D. 【详解】设点，，解得．又，∴点， 直线的斜率为，直线的倾斜角为．A正确； 设点，， 的方程为，联立， 消去可得．则 ，，所以，的斜率之和为 ，B正确； 若，则，即，∴，经验证不符题意，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 11. 表示不超过的最大整数，已知，函数满足，，且当时，单调递增，下列说法正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项利用条件，令取特殊值即可求解；B选项列举出一个符合已知条件的函数，但不是周期函数进行判断；C选项利用条件，将时的性质转化为即可进行判断；D选项借助图象进行判断. 【详解】对于A选项，∵，令，则，∴， 当时，，∴，故A正确； 对于B选项，当时符合题意，但不为周期函数，故B错误； 对于C选项，∵当时，单调递增，且， ∴当时，， ∴当时，，故C正确； 对于D选项，如图为函数当时的部分图象，显然该函数符合题意， 但，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则在区间上的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据周期求出，再利用图象变换求出，再根据的范围计算的范围，即可求的范围，得出的值域. 【详解】因的最小正周期为，则，故， 则， 因，则， 则，则， 故在区间上的值域为． 故答案为： 13. 已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球球面上，，，则三棱锥体积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理得到，结合三棱锥体积公式分析得到体积最大时同时最大，利用余弦定理结合基本不等式求解的最大值，再使用线面角的定义得到，结合勾股定理求出，进而分析出点面距离最大的情况并求出，最后求解体积的最大值即可. 【详解】由正弦定理可得，而， 则，解得，设到面的距离为，而， 如图，我们作出符合题意的三棱锥，连接， 若三棱锥的体积最大，则同时最大即可， 由三角形面积公式得， 由余弦定理得， 则， 得到， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 故，则， 解得，即，故面积取得最大值为， 由题意得球的半径为2，，设球心到面的距离为， 由勾股定理得，则到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 而，故，则直线与平面所成角为， 因为三棱锥的各顶点均在半径为2的球球面上， 所以，而，而， 故是以为顶点的等腰直角三角形，得到， 当面垂直于平面时，点到平面的距离最大， 最大距离为， 故三棱锥体积的最大值为． 故答案为： 14. 一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点移动次后落在顶点”，为的对立事件，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析某次在点则下次在或不在点，某次不在点，则下次在或不在的概率，再按照分步乘法计算、、，进而利用概率的乘法公式得、，最后利用贝叶斯公式计算即可. 【详解】我们将三个点看作为一个整体， 如果某次在点，则下次一定不在点的概率为； 如果某次不在点，则下次在与不在的概率分别为、， 因，， 则， 因，， 则， 则根据贝叶斯公式可得． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若为递增数列，，求数列的前项和． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质得出，，再利用等比数列的性质得，结合可求得通项； （2）根据单调性得出通项公式，再利用错位相减法可求. 【小问1详解】 因数列为等差数列，则，解得， 同理可得， 因，则，又，得， 因数列为等比数列，则，解得， 若，则，公比为，公差为； 若，则，公比为，公差为， 则或． 【小问2详解】 因为递增数列，则，，则， 则，， 两式相减得， ． 16. 如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点． （1）证明：平面平面； （2）如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证得两组线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角，再求其正弦值. 【小问1详解】 ，，为的中点， ，， 平面，平面， 平面． 又平面， 平面平面． 【小问2详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系． 取中点，连接，，． 由（1）可知平面，平面，， 又平面，平面，故平面． ，，为的中点，． 又，为的中点，． 则，，，，，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以． 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以. 设平面与平面的夹角为， 则，所以. 所以，平面与平面的夹角的正弦值是． 17. 2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”． （1）估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； （2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望． （3）用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求解可得，再根据平均值的求法求解即可； （2）根据分层抽样性质可得抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，则可取0，1，2，进而可得分布列与数学期望； （3）由题意，再根据二项分布的公式求解最值即可. 【小问1详解】 由，解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，与的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以 【小问3详解】 用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ，解得：，又，故时概率最大. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，． （1）求的方程； （2）记的左顶点为，求面积的最大值； （3）设，直线分别交于两点，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3） 设，，， 直线与椭圆联立可得，， 根据韦达定理可得，，∴，， 即，同理，， 根据对称性，直线过定点， 则，∵，， ∴，∴，解得， 即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）先根据椭圆离心率得出、与的关系，再把代入椭圆方程求出关于、的表达式，结合，联立方程解出、、，进而得到椭圆方程. （2）先确定、坐标，设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理求出和，算出，根据三角形面积公式得出面积表达式，再利用均值不等式求出面积最大值. （3）先把直线与椭圆方程联立，用韦达定理求出，再代入直线方程得，从而确定点坐标，同理得点坐标.因为直线MN过定点，利用两点斜率相等列等式，又已知，，代入等式化简，让等式恒成立求出的值，进而得到直线MN过的定点. 【小问1详解】 设（），由的离心率为，得，，① 在中，令，得， 则当垂直于轴时，，② 由①，②，解得，则，， ∴的方程为． 【小问2详解】 由题意，知，， 显然与轴不重合，可设：，设，， 联立，消去x并整理，得， 由韦达定理，得，， 则， 则面积， 而，当且仅当，即时等号成立，∴面积的最大值为． 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）当时，求在上的单调区间； （2）若存在经过坐标原点的直线与的导函数图象相切，求切线方程及其切点的横坐标； （3）若在区间与上均存在零点，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间是和，单调递减区间是 （2） ，切点横坐标为； ，切点横坐标为，， ，切点横坐标为,, （3） 【解析】 【分析】（1）对进行求导后，令后，通过判断的符号可知. （2）设，求导后，分成切点为原点和切点不是原点，切线过原点两种情况求解即可. (3)由题意可知当时，，在区间上无零点 当时，令，求解后判断单调性后可得. 【小问1详解】 解：（1）当时，，， 令解得或． 当时，∴在区间上单调递增，同理在区间上单调递减，在区间上单调递增． ∴的单调递增区间是和， 的单调递减区间是． 【小问2详解】 设，， 过点的切线方程为， 当切点为原点时，，此时切线方程为； 当切线经过原点时，∵，将原点代入，并整理得，∴，其中． 当为奇数时，，当为偶数时，， 即经过坐标原点与的导函数图象相切的直线方程为： ，切点横坐标为； ，切点横坐标为，， ，切点横坐标为,, 【小问3详解】 ∵，∴，当时，，即在区间上单调递增，又，∴此时，在区间上无零点． 当时，令解得，假设，∴或． 当时，∴单调递增，同理当时单调递减，当时单调递增． ∵，且在上单调递减，要使得在区间上存在零点，则，解得． ∴在区间上单调递减，∴，且在上单调递增，要使得在区间上存在零点，则，解得． 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇市2025届高三第三次质检试题 数学 命题：景德镇二中 马小宇 昌江一中 占星 景德镇一中 余倩 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，（为虚数单位）则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 函数为偶函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在一对异面直线，则 5. 双曲线的右焦点为，过右顶点向轴引垂线与的渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，斜率为的直线经过原点且与的图象相切，已知的值从大到小排列依次为，下列两个结论：①；②，则（ ） A. ①错误②正确 B. ①正确②错误 C. ①②均正确 D. ①②均错误 8. 动圆经过直线与的交点，过原点向动圆作切线，切点为，若恒成立，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 的展开式中所有项系数的和为729，则 B. 已知，则 C. 已知向量，若，则的值为2 D. 已知正数满足，则 10. 已知为抛物线的焦点，是上位于第一象限的一点，，过点的直线与交于两点（在线段上），且，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线斜率之和为 C. D. 11. 表示不超过的最大整数，已知，函数满足，，且当时，单调递增，下列说法正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. 若，则 D. 若，则 第II卷（非选择题） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则在区间上的值域为__________． 13. 已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球球面上，，，则三棱锥体积的最大值为__________． 14. 一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点移动次后落在顶点”，为的对立事件，则__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若为递增数列，，求数列的前项和． 16. 如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点． （1）证明：平面平面； （2）如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值． 17. 2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”． （1）估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； （2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望． （3）用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，． （1）求的方程； （2）记的左顶点为，求面积的最大值； （3）设，直线分别交于两点，证明：直线过定点． 19. 已知函数． （1）当时，求在上的单调区间； （2）若存在经过坐标原点的直线与的导函数图象相切，求切线方程及其切点的横坐标； （3）若在区间与上均存在零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $