精品解析：辽宁省锦州市2024-2025学年下学期九年级数学一模试卷

锦州市2024~2025学年度第二学期九年级质量检测（一） 数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 参考公式：抛物线顶点坐标为 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 乙醇是一种有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 2. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 近年来，国内AI领域发展态势迅猛，从基础算法研究到应用场景拓展，均取得了突破性进展．据国内AI产品榜统计数据，DeepSeek应用在上线仅20天后，其日活跃用户数就达到2215万．数据2215万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列食品标识图中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个不透明的口袋中装有红球和白球共个，这些球除颜色外完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，其大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐5人，则空余2辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行．问人与车各多少？若设有人，辆车，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以边为直径的交边于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：2a2﹣8=_____． 12. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是______． 13. 如图，在中，，是的中线，延长至点，使得，连接．若，，则的长是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为___________． 15. 如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为___________． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 为提升游客在景区内参观游览便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知型观光车的单价是型观光车单价的1.5倍，用45万元购进型观光车的数量比用40万元购进型观光车的数量少5辆． （1）A型和B型观光车的单价各是多少万元？ （2）该景区决定用不多于130万元资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 18. 某超市购进柑橘，计划通过选果机挑选出精品果装入甲、乙两种包装盒进行销售（每盒装6个），其余柑橘加价后，按斤销售（损耗忽略不计）．若柑橘果径为（单位：），装入甲包装盒的柑橘果径要求是，装入乙包装盒的柑橘果径要求是，为了估计这批柑橘中果径符合精品果条件的数量，工作人员从这批柑橘中随机称出，共20个柑橘样本，测量的柑橘果径数据如下： 76，78，78，81，82，83，84，85，86，86， 87，87，88，88，89，90，91，92，92，93． （1）求这20个柑橘果径的中位数； （2）请估计这批柑橘甲、乙包装各能装多少盒？ （3）小红从该超市购买了甲种精品果两盒（①号和②号），下面给出这两盒柑橘的部分信息： 信息一：②号包装盒的柑橘果径分别是：91，91，92，92，92，94． 信息二：①号和②号包装盒柑橘果径的平均数、方差如下表： 包装盒 平均数 方差 ①号 92 ②号 92 你认为小红购买的这两盒柑橘中，哪一盒柑橘的大小更均匀？ 19. 锦州古塔，始建于辽道宗清宁三年（1057年），是辽西地区历史文化的重要载体，见证了锦州地区的历史变迁和发展．某校综合与实践小组开展“锦州古塔高度的测量”实践活动，方案如下： 活动课题 锦州古塔高度的测量 测量工具 卷尺、角度测量仪 方案示意图 测量步骤 如图2， （1）利用角度测量仪在点处测得古塔最高点的仰角是； （2）将角度测量仪从点处朝着古塔方向移动到达点处，在点处测得古塔最高点的仰角为．（点，在同一水平线上，两点间的距离可以用卷尺测得，角度测量仪的高度忽略不计） 参考数据 ． 根据以上数据，求锦州古塔的高度．（结果精确到） 20. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． （1）求与之间的函数关系式； （2）水杯售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 21. 如图，的直径与弦相交于点，过点的切线垂直于射线，垂足为点，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 数学课上，张老师提出如下数学问题． 如图1，在菱形中，是边上一点，是边上一点，且满足．试探究与之间的数量关系． 两个学习小组经过讨论后给出了下面两种添加辅助线方法： 方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接． 方法2：连接，过点作交于点． （1）请你选择以上两种方法中的一种解答张老师提出的问题； （2）借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题： 如图2，在正方形中，是延长线上的一点，是边下方的一点．若，求证：； （3）如图3，在矩形中，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转后，点落在边上的点处．若，求的长． 23. 已知是自变量的函数，当时，记函数的最大值为，最小值为，若存在实数，使得函数满足：，且，则称当时函数具有性质． （1）当时，判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）当时，请直接写出一个具有性质的一次函数表达式； （3）当时，若有且只有一个实数，使得函数具有性质，求实数与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市2024~2025学年度第二学期九年级质量检测（一） 数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 参考公式：抛物线顶点坐标为 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 乙醇是一种有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用，特别是温度的正负表示方法．关键在于理解题目中规定的正负号含义∶零上温度用正数表示，零下温度用负数表示． 【详解】解：零上记作， 零下记作． 故选：D． 2. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：此几何体的主视图从左往右分3列，小正方形的个数分别是2，1，1， 故选：A． 3. 近年来，国内AI领域发展态势迅猛，从基础算法研究到应用场景拓展，均取得了突破性进展．据国内AI产品榜统计数据，DeepSeek应用在上线仅20天后，其日活跃用户数就达到2215万．数据2215万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：2215万即， ， 故选：B 4. 下列食品标识图中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 5. 一个不透明的口袋中装有红球和白球共个，这些球除颜色外完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，所以可以认为摸到红球的概率是，用小球的总数乘以摸到红球的概率即可求出袋中红球的个数． 【详解】解：摸到红球的频率稳定在附近， 口袋中红球可能有(个)． 故选：B ． 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂的除法、积的乘方，解决本题的关键是根据运算法则分别计算出正确结果，通过比较判断正误． 【详解】解：A选项：与不是同类项，不能合并同类项，故A选项错误； B选项：根据单项式乘以单项式的法则可知，故B选项错误； C选项：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：，故C选项正确； D选项：根据积的乘方等于各因式乘方的积，可得：，故D选项错误． 故选：C ． 7. 青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正八边形的对称性即可求得答案． 【详解】解：八边形是正八边形， ， 由对称性可知， 故选：D． 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，其大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐5人，则空余2辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行．问人与车各多少？若设有人，辆车，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意，设有人，辆车，分别分析两种乘车情况，建立方程组即可解答． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意得： ． 故选：A 9. 如图，在中，，以边为直径的交边于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆周角定理，弧长，解题的关键是熟练掌握以上性质和定义；连接，根据平行四边形的性质可得，，再根据圆周角定理可得，再根据弧长公式即可得解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 的长为， 故选：． 10. 已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，判断各选项所给的射线是角的平分线即可． 【详解】解：A.以B为端点的射线不是的平分线，故此选项不符合题意； B. 交点O到三角形的三个顶点距离相等，故此选项不符合题意； C.射线BO不是的平分线，，故此选项不符合题意； D.两条射线均为角的平分线，交点O到△ABC三边距离相等，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，明确三角形的内心是三角形角平分线的交点是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 12. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的一次函数解析式，进而把代入求出的值即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，得到的新的一次函数的解析式为， 当时，， ∴新的一次函数的图象与轴的交点坐标是， 故答案为：． 13. 如图，在中，，是的中线，延长至点，使得，连接．若，，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理，首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出、，再利用勾股定理求出的长即可 ． 详解】解：， ， ， 点是中点， ， 是的中线， ， 又， ． 故答案为： ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过A作于D，设与y轴交于点E，设，根据正切的定义可得，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可得，进而可得，代入反比例函数解析式即可求出，再求出矩形的面积，根据k的几何意义即可得解． 详解】解：过A作于D，设与y轴交于点E，则， 设， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，三角函数，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，为边上的动点，过点作直线交于点，，作四边形关于直线对称的四边形，连接．若，则的最小值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】延长交于点，连接，根据轴对称的性质可得点在直线上，，证明，结合，得出，根据，求出，在中，勾股定理求出，根据三边关系的，即可得当点三点共线且点H在C，E之间时，最小，求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵四边形和四边形关于直线对称， 根据轴对称的性质可得点在直线上， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴当点三点共线且点H在C，E之间时，最小， 此时， 故答案为：4 ． 【点睛】该题考查了轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，得出当点三点共线且点H在C，E中间时，最小． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）9（2），1 【解析】 【分析】本题考查了零次幂、乘方、二次根式的乘法，分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂，以及运算乘方和二次根式的乘法，再运算减法，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，化简得，再把代入化简，即可作答． 【详解】解：（1） ． ． （2） ． 当时，原式． 17. 为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知型观光车的单价是型观光车单价的1.5倍，用45万元购进型观光车的数量比用40万元购进型观光车的数量少5辆． （1）A型和B型观光车的单价各是多少万元？ （2）该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 【答案】（1）A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元 （2）最多可以购买30辆A型观光车 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； 【小问1详解】 设型观光车的单价为万元，则型观光车的单价为万元． 根据题意得 解得 经检验，是所列方程的根． （万元） 答：A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元． 【小问2详解】 设购买型观光车辆，则购买型观光车辆． 根据题意得． 解得． 最多可以购买30辆A型观光车． 18. 某超市购进柑橘，计划通过选果机挑选出精品果装入甲、乙两种包装盒进行销售（每盒装6个），其余柑橘加价后，按斤销售（损耗忽略不计）．若柑橘的果径为（单位：），装入甲包装盒的柑橘果径要求是，装入乙包装盒的柑橘果径要求是，为了估计这批柑橘中果径符合精品果条件的数量，工作人员从这批柑橘中随机称出，共20个柑橘样本，测量的柑橘果径数据如下： 76，78，78，81，82，83，84，85，86，86， 87，87，88，88，89，90，91，92，92，93． （1）求这20个柑橘果径的中位数； （2）请估计这批柑橘甲、乙包装各能装多少盒？ （3）小红从该超市购买了甲种精品果两盒（①号和②号），下面给出这两盒柑橘的部分信息： 信息一：②号包装盒的柑橘果径分别是：91，91，92，92，92，94． 信息二：①号和②号包装盒柑橘果径的平均数、方差如下表： 包装盒 平均数 方差 ①号 92 ②号 92 你认为小红购买的这两盒柑橘中，哪一盒柑橘的大小更均匀？ 【答案】（1） （2）估计甲包装能装50盒，乙包装能装80盒 （3）小红购买的这两盒柑橘中，②号包装盒的柑橘大小更均匀 【解析】 【分析】此题考查了方差，中位数，样本估计总体等知识，熟练掌握相关统计量的计算是解题的关键． （1）根据中位数的定义进行解答即可； （2）由题意估算出柑橘的总个数，再乘以样本中符合条件的占比，得出符合条件的柑橘个数，除以6既是装的盒数； （3）先求出②号包装盒柑橘果径的方差，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：将抽取的20个柑橘的果径数据从小到大排列，排在第10和第11位的是86和87，． 所以中位数是． 【小问2详解】 解：∵抽取的20个柑橘的果径数据中果径是的个数是5个，的个数是8个， ∴（盒），（盒）． ∴估计甲包装能装50盒，乙包装能装80盒． 【小问3详解】 解：②号包装盒柑橘果径的方差， ， 小红购买的这两盒柑橘中，②号包装盒的柑橘大小更均匀． 19. 锦州古塔，始建于辽道宗清宁三年（1057年），是辽西地区历史文化的重要载体，见证了锦州地区的历史变迁和发展．某校综合与实践小组开展“锦州古塔高度的测量”实践活动，方案如下： 活动课题 锦州古塔高度的测量 测量工具 卷尺、角度测量仪 方案示意图 测量步骤 如图2， （1）利用角度测量仪在点处测得古塔最高点的仰角是； （2）将角度测量仪从点处朝着古塔方向移动到达点处，在点处测得古塔最高点的仰角为．（点，在同一水平线上，两点间的距离可以用卷尺测得，角度测量仪的高度忽略不计） 参考数据 ． 根据以上数据，求锦州古塔的高度．（结果精确到） 【答案】锦州古塔的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．本题设锦州古塔的高度为，在中，以及在中，进而列出方程求解即可． 【详解】解：设锦州古塔的高度为．根据题意得， ． 在中， ． 在中， ． ， ． 解得． 答：锦州古塔的高度约为． 20. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． （1）求与之间的函数关系式； （2）水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 【答案】（1） （2）水杯的售价为50元或38元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用——销售问题以及二次方程的应用．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和销售量的关系，列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）根据题意得，注意的取值范围； （2）设每个水杯的售价为元，根据题意列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，． 答：与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设每个水杯的售价为元． 根据题意得． 解得：． 答：水杯的售价为50元或38元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元． 21. 如图，的直径与弦相交于点，过点的切线垂直于射线，垂足为点，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及推论的应用、解直角三角形， （1）连接，先证明，进而证明，得出，即可证明结论； （2）先求出，再求出，证明是等边三角形即可求出结论． 【小问1详解】 证明：如答图，连接． 是的切线， ． 是的直径， ． ． ， ． ． ． 【小问2详解】 解：， ． ． ， ， 在中，， ． ， 是等边三角形． ， 即的半径为 22 数学课上，张老师提出如下数学问题． 如图1，在菱形中，是边上一点，是边上一点，且满足．试探究与之间的数量关系． 两个学习小组经过讨论后给出了下面两种添加辅助线的方法： 方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接． 方法2：连接，过点作交于点． （1）请你选择以上两种方法中的一种解答张老师提出的问题； （2）借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题： 如图2，在正方形中，是延长线上的一点，是边下方的一点．若，求证：； （3）如图3，在矩形中，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转后，点落在边上的点处．若，求的长． 【答案】（1），详见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．证明．即可得到结论；方法2：连接，过点作交于点．证明，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接．证明，即可得到结论； （3）连接，过点作于点，过点作交于点，交于点．由得到．则，证明四边形是平行四边形．得到是矩形．证明．进一步即可得到结论． 【小问1详解】 解：方法1：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接． ， 是等边三角形． ． ． 四边形是菱形， ． ． ． ， ． ． ． 方法2：连接，过点作交于点． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长到点，使，连接． 四边形是正方形， ． ． ． ， ． ， ． ， ． ， ，即， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点作于点，过点作交于点，交于点． ， ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 是矩形． ． ． ， ． ， ． ． ． ． ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关图形的性质是关键． 23. 已知是自变量的函数，当时，记函数的最大值为，最小值为，若存在实数，使得函数满足：，且，则称当时函数具有性质． （1）当时，判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）当时，请直接写出一个具有性质的一次函数表达式； （3）当时，若有且只有一个实数，使得函数具有性质，求实数与的值． 【答案】（1）具有，理由见解析 （2）（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的函数，反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质等知识，掌握的定义以及性质是解题的关键． （1）根据的定义以及性质判断即可． （2）根据的定义写出合适的一次函数表达式即可． （3）分两种情况：①当时和②当时，分别的定义和性质列出不等式组，求解并判断即可． 【小问1详解】 解：由已知得：，，． 此时，． 对于， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值， ∴，且成立， ∴具有性质． 【小问2详解】 解：例如：（答案不唯一） 当时，即，，． 此时，． 对于， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值， ∴，且成立， ∴当时，具有性质． 【小问3详解】 解：当时，，， ∴，， ①当时，函数的图象的对称轴在y轴的左侧， ∴当时，y取最大值， 当时，y取最小值． ∴ ∵有且只有一个实数m，使得函数具有性质． ∴， ∴ 该种情况不存在． ②当时，函数的图象的对称轴在y轴的右侧， 分以下三种情况∶ (I)当，即， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值． ∴， 有且只有一个实数m，使得函数具有性质， ∴， ∴，（舍） ∴． (II)当时，即时 当时，y取最大值． 当时，y取最小值． ∴ ∵有且只有一个实数m，使得函数具有性质， ∴， ∴． ∴． (III)当时，即时， 当时，y取最大值， 当时，y取最小值． ∴， ∵有且只有一个实数m，使得函数具有性质， ∴， ∴ ∴该种情况不存在． 综上：，，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $