二次函数中直角三角形的存在性问题专题提升训练2026年中考数学提分必刷训练

二次函数中直角三角形的存在性问题专题提升训练--2026年中 考数学提分必刷训练 1.已知二次函数=+r+c经过点C(03引，与x轴交于点4-0)，点B到3,0 ,点D 为抛物线的顶点. 备用图 (1)求此二次函数解析式： DC,BC,DB △BCD (2)连接 ,求证： 是直角三角形： (3)若点P是直线BC上方抛物线的一动点，当△BCP面积取最大值时，求点P的坐标. 2.如图，抛物线2+V2 x+2 2 与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点. A 0 (I)求A,B,C三点的坐标： (2)证明△ABC为直角三角形： (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P,使△ABP是直角三角形？若存在，请 求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 3.如图，抛物线=ar+b+C与轴交于1(v2,0)、B25,0)两点，与'轴交于C0,2) 点 试卷第1页，共3页 B (1)求抛物线的解析式： (2)证明：△ABC为直角三角形： (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P,使△ABP是直角三角形？若存在，请 求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 4.如图己知抛物线”=a-3训x+)与轴交于本B两点，与'轴交于点C,顶点为D 图1 图2 备用图 (I)求AB两点的坐标： (2)若△ABD为等边三角形，求a的值： (3)若a=-1,点F是对称轴与AC的交点，点P是抛物线上一点，且横坐标为m,PE⊥x 轴交AC于点E,点P,E,F构成的三角形是直角三角形，求m的值 5.如图1，在平面直角坐标系0中，P4,-2 是抛物线y=ar2-4r+c 的对称轴上一点， 且抛物线与y轴的交点坐标为(0,2). 试卷第2页，共3页 OIM 图1 图2 ()求抛物线的函数表达式： (2)设点C在对称轴右侧的抛物线上，点D在x轴上，若△PCD是以P为直角顶点的直角三 角形，且PC=2PD,求点D的坐标： (3)如图2，A,B是抛物线上的两个动点（点A在点B的左侧），点A,B,P在同一直线上， 过点M(0,m〔m<-6作y轴的垂线，交直线B于点Q,是否存在实数m,使得 QAPB=QB:AP总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 6.如图，已知抛物线'=-+m+”与”相交于人、分两点，与'轴交于点C,抛物线的 对称轴交轴于点D,已知4(-1,0)，C(0,3) B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动 到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐 标 (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是直角三角形？如果存在，求出P点的坐 标：如果不存在，请说明理由. 试卷第3页，共3页 7.如图所示，已知抛物线’=-+r+C与轴交于本、B两点（点4在点B左侧），与》 轴交于点C0,3) 对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D (1)求抛物线的函数表达式： (2)求直线BC的函数表达式： 6)点E为'轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于 CE 、Q 两点，且点P 在第二象限 ①当线段PQ=AB时，求an∠CED的值： ②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标 8.如图、抛物线'=+r4a≠0与轴交于点4-2,0和B(40,与'轴交于点C, 点P是抛物线的顶点. Av B C (1)求该抛物线的函数解析式： CP △CPQ (2)连接，在轴上是否存在点，使得 为直角三角形，若存在，求出点的坐标： 若不存在请说明理由. 试卷第4页，共3页 9.抛物线y=++c与轴交于4-，0、B两点，与y轴交于C0,-3 ,顶点为D,点 M是抛物线上任意一点. M D (1)求抛物线解析式： (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M,使∠AMC=∠MCD?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由： (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所 有相应的点N的坐标， 10.如图，抛物线"=ar+hr+ca<0 与轴交于点1-2,0、B⑧，0，于'轴交于点C, 且△ABC为直角三角形. B B 备用图1 备用图2 (1)求该抛物线的解析式： 2在该抛物线上是香存在点P,能使点P满足5c=Sm,若存在，求出所有点P的坐 标，若不存在，请说明理由. 试卷第5页，共3页 3)将4ABC Q(m,1m） 绕平面内一动点 座羟18 0后所得△1BC与该抛物线没有公共点，请直 接写出m的取值范围 B1,0」 11.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于4和 0两点，与'轴相交于C, 且顶点D-4),P是抛物线上一动点. A B O 图1 图2 (1)求二次函数的解析式： (2)如图1，连接BC,若∠PBC=45°，求P的坐标： 3)如图2，过'作 P9∥AC 交抛物线于”，以P、Q、D为顶点的三角形是否有在直角三 角形，若存在，求出P的坐标；若不存在，通过计算说明。 12.如图，已知一次函数=05x+2的图象与轴交于点，与二次函数=心+x+心的 图象交于y轴上的一点B,二次函数》=+hr+C 的图象与x轴只有唯一的交点C,且 0C=2. 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，△ABM的面积最大时，求点M的坐标： 试卷第6页，共3页 y=0.5x+2 (3)设一次函数 的图象与二次函数的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一 个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标. 13.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线”=r+r+3的图象交x轴于A-1,0) B(3,0) 两点，交y轴于点C.点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物 线于点E,交直线BC于点F. M 图1 图2 (1)求抛物线和直线BC的表达式： (2)求线段EF的最大值； (3)如图2，是否存在以点C,E,F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第7页，共3页 参考答案 1,（①解：：二次函数=ar+6+c经过点C0.3引，与x轴交于点4-1,0，点B30, y=a(x+1x-3,把C0,3到代入，得：a=-1, :y=-(x+(x-3)=-x2+2x+3 (2)y=-r2+2x+3=-x-12+4 D14) B3,0)C(0,3) :BD=(3-+4=20,BC2=3+3=18,CD2=1P+4-32=2 :BC+CD2=18+2=20=BD .△BCD是直角三角形： (3).B(3,0).C0,3 设直线BC的解折式为：y=+3,把B3,0)代入，得：k=-1, :x+3 过点P作PE1x轴，交BC于点E,设Pm,-m+2m+3列，则：Em,-m+3列， E B :.PE=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m=- 答案第1页，共2页 wso咖到+号} 当m= 2时，ABCP面积最大， 此时：P） 之①解，~鹅物线方+ 2 x+2 与x轴交于A、B两点， +号x+2-0.即g-2x-4=0 2 解之得：5，=25 六点1、B的坐标为45,0、B25,0 将=0代入式， 2x+2,得c点的坐标为(0,2 (2)解：由两点间的距离公式得：4C=V6,BC=2V5.AB=32 .AB2=AC2+BC2,则∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形： (3)解：当PC∥x轴，即P点与C点是关于抛物线对称轴的对称点，而C点坐标为(0,2) 设，=2把，=2代入y=+ x+2得： 21 2 2 2x+2=2, ￥=0x3=V2 P点坐标为5,2) 答案第2页，共2页 B 3.（)解：y=a㎡+br+c与x轴交于A-5.0、B25,0两点，与y轴交于 c0,24点， -2a-2b+c=0 22a+22b+c=0 c=2 1 a=- 2 2 解得： }b= 2， c=2 挑物线的解折式为y子：要 x+2; (2)解：4-5,0、B22.0、C0,2, AC=-2-0+(0-22=6, BC=22-0°+(0-22=25， 4B=-V2-2W2+0-02=32, 3=6+2, AB2=AC2+BC2,则∠ACB=90°， '△ABC是直角三角形： 答案第3页，共2页 (3)解：存在， 当PC∥x轴，即P点与C点是关于抛物线对称轴的对称点，而C点坐标为(0,2)， y=2, 把，=2代入=+ +2得：++2=2 “出=02=V2 P点坐标为V2,2 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆 定理，两点间的距离公式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 4.①13,0).B(-1,0) 2 ③)m=-1或m=2或m±5 【分析】(1)令y=0,得ax2-2ax-3a=0,然后解方程即可： （2)先把y=am-2ax-3a=a(x--4a,则D1,-4a,根据两点间的距离求出AB=4, AD=V4+160,BD=V4+16a,再由等边三角形的性质即可求解： 3)当=时，则 =-x2+2x+3 ,再求出1C解析式为 =-x+3 ，然后分当 ∠FPE=90°时和当∠PFE=90°时两种情况分析即可： 答案第4页，共2页 本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，两点间的距 离，熟练掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】(1)由抛物线y=a(x-3(x+1=a2-2ar-3a 令y=0,即ax2-2ax-3a=0, a≠0， 2-2x-3=0 解得-1，=3 43.0),B(-1.0) (2)由y=ar2-2ar-3a=ax-12-4a D(1,-4a) 由（山得：43,0），B(-1,0) ∴.AB=3-(-1川=4，AD=V3-12+[0-(-4a)]=4+16a2, BD=V-1-12+[0-(-4a)]=4+16a, ,△ABC是等边三角形， ∴.AB=AD=BD=4, V4+16a2=4 解得：a= 2 根据图象可知：a<0, √5 2: (3)当a=-时，)=+2x+3 令x=0,则y=3, 答案第5页，共2页 C0,3) .0A=0C, .∠AOC=∠CA0=45°， 设直线1C解析式为'=x+么， 「3k+b=0 .b=3 [k=-1 解得：b=3, :1C解析式为 =-x+3 当1 y=-1+3=2 时， :F42 如图，当∠FPE=90°时， P呢上，即 E∥y 轴， ∴.∠PEF=∠PFE=45°， .PE=PF, ,P的横坐标为m,PE⊥x, :Pm,-m2+2m+3）.E(m,-m+3) PE-m-3m PF=m-1 答案第6页，共2页 :m-3m=m-1或m-3m=-m+1， 整理得：m-4m+1=0或m-2m-1=0 解得：m=2±V3 (舍去)》或m±E, 如图4，当∠PFE=90°时， 由上可知PE=m2-3m,EF=m-l12+(-m+3-22=V2(m-12=V2m-1, 由勾股定理得：PE=V2EF :m2-3ml=2x2m-l1 :m-3m=2m-2我m2-3m=-2m+2 或 解得：m5达 2(舍去)或m=-1,m=2, 综上可知：m=-1或m=2或m=1±2； 5.0-2-442 2D20 (3)存在实数m=-10,使得QAPB=QB.AP总成立，理由见解析 【分析】(1)由题意可知抛物线的对称轴为直线x=4,可求a的值，再将点(0,2)代入 y方-4+c,即可确定函数的解析式： (2)设对称轴与x轴的交点为G,过点C作CH⊥PG交于H点，则△PGD∽aCHP,能得 答案第7页，共2页 到PH=2GD,HC=2G,设c-+2),Ds.0,则4-4非4， 1-2+-2非21-41，即可求D20): (3)过点A作AS⊥I交于S点，过点B作BT⊥I交于T点，设对称轴与的交点为H,由题 意可知名品，再由soim则产之.设直线B的解析式为 y=k--2,当)-2--4+2时，，+=8+2张，=8+8，求出 Q(4+m+2 x,-4-m2-4-m2 “安，m可得等式4人4人，整理后可得 k k m=-10 【详解】(1)解：P4,-2 是抛物线少=ar2-4r+c 的对称轴上一点， ∴抛物线的对称轴为直线x=4, 4， 1 解得a=2, :抛物线的解析式为女-4+c, 将点0,2)代入y=-4r+c, 2 c=2, :抛物线的解析式为y=-4+2; (2)解：设对称轴与x轴的交点为G,过点C作CH⊥PG于点H,如图 答案第8页，共2页 图1 :∠DGP=∠PHC=90° ∴.∠GPD+∠GDP=90° :∠DPC=90°， ∴.∠GPD+∠HPC=90°， .∠GDP=∠HPC, .APGD∽△CHP, .GD-PG_PD_PD_1 PH CH PC 2PD 2' ..PH=2GD,CH=2PG. 由P4-2),得PG=2,G4,0, .CH=2×2=4, 设C-4+2Ds,0,则 a-44m-小4 1=8或=0（舍去. -4448- 解得s=2或5=6， 当8=6时，C82,P4,-2,D(6.0)， 有CD=V8-62+(2-0=2W2 PC=V(8-4)2+(2+2)2=4V2 即CD<PC,不符合题意，舍去； 答案第9页，共2页 ÷3=2即D(2,0) (3)解：存在实数m,使得QA:PB=QB·AP总成立，理由如下： 如图2，过点A作AS⊥I交于S点，过点B作BT⊥1交于T点，设对称轴与I的交点为H, B OM SH T 图2 .OAPB=OB·AP A0 BO .AP BP :AS∥BT∥PH, 4-卫=g-鱼 .p-AxB-xp’ 设直线1B的解析式为 =k(x-4)-2 当-到-2-写式-4新+2时，，+=8+2，，=+8， M(0,m),1∥x轴， Q(4+m+2 k,m), x4-4、m+2 k一= xg-4-m+2 k一， 4-x X8-4 4"244w. 2xX。-80,+x,）+32+8m+2_m+26x,+）=0 kk 218k+8-88+20+32+8m+2）_m+28+2k)=0, k k 答案第10页，共2页 16k+16-64-16k+32+80m+2_80m+2-20m+2）=0, k -16-2m-4=0, 解得m=-10, 存在实数m=-10,使得QAPB=QB·AP总成立. 6。(1)抛物线的表达式为'=r+2x+3 51 33 2)四边形CDBF的最大面积为8，E点的坐标为22： (③)在抛物线的对称轴上存在点P,使△PCD是直角三角形，P点的坐标为1,3)或，3 【分析】(1)直接根据待定系数法进行求解即可； (2)首先得点B3,0,待定系数法得直线BC的解析式，过点C作CM LEF于M,设 Ea,-a+3)Fa,-a2+2a+3) ,利用面积公式计算即可： (3)设出点P坐标，分别表示出PC、PD、CD,进而利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=-r+mr+n经过A-,0),C0,3到， -(-1)2-m+n=0 .n=3 「m=2 .n=3, 六抛物线的表达式为”=+2x+3 y=-x+2x+3 (2)解：抛物线为 2 .对称轴为x= =1 -2 ,抛物线的对称轴交x轴于点D, D1,0) 答案第11页，共2页 当y=0时，0=-x2+2x+3, =-16=3 83,0) .BD=3-1=2, 设直线BC的解析式为 y=kx+b b=3 ∴.3k+b=0, k=-1 .b=3, ∴直线8 y=-x+3 的解析式为 过点C作CM⊥EF于点M, BN 设Ea,-a+3列，Fa,-u+2a+3列，点B到EF的距离为， :.EF=-a+2a+3-(-a+3)=-a2+3a(0≤as3) :5.c=)BD0C=×2x3=3, 2 2 S.cw-S.ar+.m-EFCMEFh-EF-BC--0+3)x3- 2 答案第12页，共2页 3 51 “当Q=2时，S边形cpsr取得最大值8， 此时，-a+3= 23 3 3 2 51 33 答：四边形CDBF的最大面积为8，E点的坐标为22 (3)解：在抛物线的对称轴上存在点P,使△PCD是直角三角形， 设P1P,则PD2=p2,PC=1+(p-3=p2-6p+10.CD=10 ①当∠CPD=90°时，PC2+PD2=CD2, :p+p2-6p+10=10 解得，P=3或P=0 (舍去)， :P1,3 ②当∠PCD=90°时，则PC2+CD2=DP2, :p-6p+10+10=p2 解得、-9 . ③当∠PDC=90°，则PD2+CD2=PC2, :p+10=p2-6p+10 解得，p=0,不合题意， ∴.∠PDC=90°这种情况不存在， 爷：在抛物线的对称辑上存在点p使APCD是直角三角形，p点的坐标为L3或智)】 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上 答案第13页，共2页 点的坐标特征和二次函数的性质，解题的关键是会利用待定系数法求函数的解析式，理解 坐标与图形性质，灵活应用三角形的面积公式，学会运用分类讨论的思想解决数学问题. 7.)'=2+2r+3 (2少-x+3 2 2-√65 6)05:②1-V2,2或22 【分析】(I)利用待定系数法解答即可： (2)求出点B坐标，再利用待定系数法解答即可； 3 PO=3 PO ()①由题意可得 M ,设交抛物线的对称轴于点，则由抛物线的对称性可得 PM=3 7 2,进而可得点P的横坐标为2，得到 24 乙即得0,4， 即得到 FC=OC-OF=5 .可得CE=2C-,过点D作DGCE于点G由DL2到得G=1 CG=1,即得EG=CE-CG=3 ,最后根据正切的定义计算即可求解；②分∠CDE=90° 和∠CED=90°两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的几何应用，锐角三角 函数，运用分类讨论思想解答是解题的关键. 3=c b 【详解】(1)解：由题意得， =1, 2×(-1） [b=2 解得c=3, y=-x2+2x+3 .抛物线的函数表达式为 (2)解，把=0代入"=-+2x+3, 得r+2x+3=0 答案第14页，共2页 解得=15=3 :A-L0)B3,0) 设直线BC的函数表达式为y=x+m, 把B3,0和C(0,3到代入=+m得， [0=3k+m 3=m, [k=-1 解得m=3, ÷直线BC的函数表达式为 =-x+3 (3)解：①.-1,0)，B(3,0 :B=3-(-1)=4 PO=3 .PQ⊥y 轴， :e/ 轴， 设PQ交抛物线的对称轴于点M,则由抛物线的对称性可得PM= ·对称轴是直线x=1, ∴.点P到y轴的距离是2， ∴点p的横坐标为2， 答案第15页，共2页 0F=7 , C0,3) ∴.0C=3, FC=0C-0F=3-7-5 44 : `垂直平分CE 于点F, 5 ∴.CE=2FC= 2’ :点D是直线BC与抛物线的对称轴， D112 过点D作DG^CE于点G, y C Q O ∴.DG=1,CG=3-2=1, ·EG=CE-CG= 13 2 2’ tan∠CED=DG-12 在 中， EG33 RtaEGD 2 ②当∠CDE=90°时， .DG=CG=1,∠CGD=90°， ∴.∠CDG=∠DCG=45°， ∴.∠EDG=∠CDE-∠CDG=90°-45°=45°， 答案第16页，共2页 .∠DFG=90°-45°=45°， ∴.∠EDG=∠DFG, .'.EG=DG=1, ∴.CE=CG+EG=1+1=2, .EF-CE-1,OE=OC-CE-3-2-1 ∴.OF=OE+EF=1+1=2, .点F、P的纵坐标为2，此时点F和点G重合，如图， D A E B 把 代入少=-2+2r+3 得2=-2+2x+3 解得5=1-5，=1+V2 点P在第二象限， :=1-2 P1-2,2 当∠CED=90°时，如图， C O 则OE=2, ∴.CE=OC-OE=3-2=1, 答案第17页，共2页 :F0E Γ2 .OF=0E+EF=2+5 22, 5 “点p和F的纵坐标为2， 5 把y代入y+2+3餐，+2x+3 20,2+6 解得x2-V 2 点P在第二象限， 2-√6 s. 2, /2-65 综上，点p的坐标为1-V2,2或22 e)或a 【分析】)将点42,0和8(4,0)代入=r+b-4得到关于0、D的二元一次方程 组，求解即可； (2)设2(0，m,∠PC9≠90°，分两种情况：当∠C0P90°时，当∠CPQ=90°时，分别 求得点Q的坐标即可. 【详解】（①解：：抛物线'=r+-4a≠0与r轴交于点4-2,0和B4,0), 4a-2b-4=0 ∴.16a+4b-4=0, 答案第18页，共2页 =1 a= 解得： 2 b=-1 “该抛物线的解析式为y=)2-x-4。 2 (2)·抛物线y= r-x-4与与y轴交于点C,点p是抛物线的顶点。 当x=0时，y=-4, :C0,-4 2 在y轴上存在点Q,使得△CPQ为直角三角形，理由如下： 设e0,mj :PC与'轴不垂直，即 PCQ≠90° cm=1-0{4-,cg=4-则=m+4. e-1-o+}j-1fa+9, 当∠CQP=90°时，如图，PQ⊥y轴， 20u-) 答案第19页，共2页 亚7并‘迎0忆嵬若易 (后西任)6果T琴 ·乙=w批揭 ‘=任41 :00=.0M+dD‘中0dDvN买 d “阁的‘钳 o06=0d0z a 【点晴】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性 质，二次函数与坐标的交点，勾股定理等知识点，分类讨论思想的运用是解题的关键。 9.0x2-2x-3 (2)存在， M2,-3) -3+V17 (3)点N的坐标为 2 或/ 2 或(1,2)或(1，-4)· 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理的应用和待定系数法求函数解析式等 知识，利用分类讨论得出N点坐标是解题关键. (1)直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可； (2)首先求出如，=-3，如，--1，令2-2-3=-，即可求出M点坐 标即可； (3)①若 .则Cs+C,②老∠aC-9nnC-AN+a ∠BWC=90° ,则 , 若CB=0,则Bn=NC+BC ，分别求出N点坐标即可. 【详解】(1)解：抛物线'=x+r+c过4(-1,0)，C0,-3) 1-b+c=0 .c=-3, b=-2 解得：c=-3, 抛物线解析式为：r-2x-3 (2)解：存在 如图1，当AM∥CD时，∠AMC=∠MCD, 答案第21页，共2页 A B M D 图1 由(1)可得抛物线y=x-2x-3=(x-12-4 :Dl-4 设直线CD的解析式为： y=kx-3 .-4=k-3, .k=-1, :m:y=-3 AM∥CD,w:=-x-l :2-2x-3=-x-1 1 （舍)，2 :y=22-2x2-3=-3 :M2,-3) (3)解：设Nl,m川，则BN=4+,NC=V+(-3-川，BC=32, ①如图2，若∠BNC=90 BC2=BN2+NC,即 18=4+n2+1+9+6n+n2 , 答案第22页，共2页 A C D 图2 :n+3n-2=0 n=3±7 解得： 2, -3+17 .点N的坐标为 ∠NBC=90° NC2=BN2+BC2 1+9+6n+n2=4+n2+18 ②若 则 即 .6n=12, .n=2, 心点N的坐标为L,2列 ③若<WCB=90 BN2 NC2+BC2 ,则 1+9+6n+n2+18=4+n2 ,即 .6n=-24, .n=-4, 二点N的坐标为4， -3+V17 -3-17 综上，点N的坐标为 2 或 2 或(1,2)或(1，-4) 1 10.(1)y=- -x2+-x+4 4 2 答案第23页，共2页 34100 (2点P的坐标为P(6,4)或气3，-9： (3)m>4或m<-3与抛物线没有公共点 OC OB 【分析】(1)根据题意可证△40C∽△COB,得OAOC,结合已知点的坐标即可求得 点C的坐标，设抛物线'=a(x-8(+2),将点C(0,4求得a,即可得到解析式： (2)分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作CP∥AB,交抛物线于点P,则点A和点 B到线段CP的距离相等，利用平行线的性质即可求得点P;当点P位于点B的右侧，连接 CP 与x轴交于点D,作 ⊥CP.BN LCP,则AM=BW △AMD≌△BND ,可证明 ,得 AD=BD,求得点 D3,0 ,利用待定系数法求得直线CP的表达式，联立求得点即可： (3)根据题意可得1(2m+2,2则，B'(2m-82m）,C2m,2m-4 ,,分类：当点Q位 于原点右侧时，旋转后B'C与抛物线相切时，求得直线BC的解析式，进一步得直线BC 的解析式为y=2r+s,联立求得s,将点B代入直线gC上，即可求得m；当点Q位于 原点左侧时，旋转后A在抛物线上时，将点A代入函数解析式求解即可. 【详解】(1)解：：△ABC为直角三角形，OC⊥AB, ∴.∠AOC=∠BOC=∠ACB=90° ∴.∠ACO+∠CAO=∠ACO+∠BCO=90°， ∴.∠CAO=∠BCO, ∴.△AOC∽△COB, .OC OB .0A0C 4-2,0)88,0) .OA=2,OB=8, OC 8 则20C' 答案第24页，共2页 解得0C=4, 设抛物线'=a(x-8)(x+2) 将点C0,到代入得4=a10-810+2,解得a= =-8+2刘=+4 (2)解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作CP∥AB,交抛物线于点P,如图， A B 则点A和点B到线段CP的距离相等， SPNC-SAmC 令，4则子+ x+4=4, 解得 ”(舍去)，6 点P64 CP AM⊥CP,BN⊥CP 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D,作 ，如图， B 答案第25页，共2页 SAPIC=SAPC ∴.AM=BN, ∠AMD=∠BND,∠MDA=∠NDB ∴.△AMD≌△BND, .AD =BD, 则点D30) 设直线CP的表达式为'=+k≠0，则 [0=3k+b 3 4=b，解得b=4, 则直线Cp的表达式为y=- x+4, 3 4 34 y=- x+4 x= 3 3 联立 1 3 解得〔x=0(舍去)或 y=- x2+ x+4 100 y= 4 2 y=4 9 34100 综上所达，点P的坐标为P64利或P号9)， (3)解：：将△ABC绕平面内一动点m,m旋转I180后所得△4B'C, :.4(2m+2,2m,8'2m-8,2m.C(2m,2m-4 当点Q位于原点右侧时，旋转后B'C与抛物线相切时，如图， 答案第26页，共2页 y B 设直线BC的解析式为'=c+(k≠0，则 1 (0=8k+b,解得 k=- 2, 4=b b=4 ·直线BC的解析式为y= 2+4, ·直线gC的解析式为y= 2+, 旋转后B'C与抛物线相切， 3 2 x2-8x-4(4-s)=0 整理得： :A=(-8)2+4×44-y)=0 解得s=8, 则直线B'C的解析式为y=2r+8 B吖2m-8,2m在直线BC上， 2m=2m-8到+8， 解得m=4, 则m>4时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后 (2m+2,2m叫在抛物线上时，如图， 答案第27页，共2页 则2m=2m+22+2m+2+4, 解得%=2，%，=-3 ∴.当m<-3时与抛物线没有公共点， 综上所述，m>4或m<-3与抛物线没有公共点. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判 定和性质、求一次函数的解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉分类讨论思想和二次函 数的性质旋转。 11.(①少-2-2r+3 ②别 【分析】(1)根据图象顶点为点D(-14), 设抛物线解析式为”=a(r+P+4a≠0)，再 代入B(l,0)求出a=-1即可解答： (2)将CB以C为旋转中心顺时针旋转0，B对应点B,连接BB交抛物线于P,过C作 90°，B MN∥x轴，且BN⊥MN,B'M⊥MN,则∠PBC=45°，求出A(-3,O),B(1,O),C(0,3),证 明△MB'C≌△VCB,求出B(-3,2),求出BB的直线解析式，联立即可求解. ∠PDQ=90° ∠PQD=90° (3)分为①当 时，②当 时，分别画图求解即可， 答案第28页，共2页 【详解】(1)解：·二次函数的图象顶点为点D-山4 故设抛物线解析式为'=a(r+'+4(a≠0)， B1,0) ,抛物线图象经过 a0+0+4=0 解得：a=-1, ·抛物线解析式为少=-r+)+4 即y-r2-2r+3 (2)解：将CB以C为旋转中心顺时针旋转0,8对应点B,连接 C 90°，B B BB 交抛物线于”，过 C作MN∥x轴，且BN⊥MN,B'M⊥MW, B .∴.∠PBC=45° 令X-2x+3=0,解得：=-35= ∴.A(-3,0),B(1,0) 当x=0时，y=3, ∴.C0,3) .∠MCB'=∠CBN=90°-∠NCB, ∴.在△MB'C和△NCB中 [∠M=∠N=90° ∠MCB'=∠CBW CB'=CB 答案第29页，共2页 :.△MMB'C≌△NCB(AAS) NB=MC=yc-yg=3,CN=B'M=Xg-xc=1 B'(-3,2), 设BB'的直线解析式为y=c+b(k≠O), k+b=0 .-3k+b=2, 1 角浑得：飞=一2么一 2 小9g的直线解折式为=子+行， 11 y=- r+ 2 ·y=-x2-2x+3 整理的2x2+3x-5=0, 解得：=26=1， 当时，=子 别 ∠PDQ=90° (3)解：①当 时， 设PD的直线方程为'=(x+)+4， 设D的直线方程为=6，+)+4， y=k(x+1)+4 .y=-x2-2x+3, 整理得+k+2)x+k+1=0 答案第30页，共2页 :xp+xn=-6-2,x。x0=k+1 -1=-6-2 .k=-xp-1 y=k(x+1)+4 ∴.y=-x2-2x+3, 整理得+，+2)x+所，+1=0 :n+e=-6-2,nx0=k3+1 。-1=-水-2 :6-6-1 :∠PD0=90°， :直线PD与轴夹角的正切值直 线D0与轴夹角的正切值的倒数， yp-yexo-xD 1 ·。-0%,即4= k,, ∴kk2=-1 :-x,-川-g-1=-1 即无。。+Xn+xg+2=0 POIAC PO y=x+b 设的直线解析式为 y=x+b y=-x2-2x+3, 答案第31页，共2页 整理得：r+3x+h-3=0 xp+xo=-3,xpX=b-3 :6-3+(-3)+2=0 解得：b=4, :?的直线解折武为 =x+4 y=x+4 .y=-x2-2x+3, 整理得x2+3x+1=0, 解得：=3+5 2,x2=3V5 2 :当”在2的左侧时， -3-V5 X2=X3= y,=3,5+4-5-6 2 2, 5,5 P 当在的右侧时， 答案第32页，共2页 B 衣 以345 2 2 P3+55+5 22 D(-1,4),C(0,3),A(-3,0) ②由(1)知，顶点 DC2=(-1-0)2+(4-3)2=2 AC2=32+32=18 AD2=(-1+3)2+(4-0)2=20 :.AD2=AC2+CD2, ∴此时△ACD为直角三角形，即∠ACD=90°， 若2P0=90,此时0与4C重合，与题意不合，应合去. 形 【点晴】该题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解， 全等三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数解析式，直角三角形的性质等知识点，解 题的关键是运用分类讨论思想解决问题， 12.(①二次函数的表达式为'=0.5r-2r+2 a8司 答案第33页，共2页 3)点P的坐标为P1,0和B(7.25,0 =0.5x+2 【分析】(1)根据 交x轴于点A,与y轴交于点B,即可得出A,B两点坐标， 二次西发”=四+如+（的图象与转只有唯一的交点C且0C=2 得出可设二次函数 y=ax2+bx+c=a个x-2,进而求出即可： (2)作MHLD于H, MG∥y 轴交1D于点G,易证 AOBP△MHG 设 M,0.5r-21+2,则G1,0.51+2)，可表示出M,进而求出5a的函数解析式，进而 即可求解： (3)根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时进行分类讨论，利 用三角形相似对应边成比例求出即可. 【详解】()解：·y=0.5r+2 交x轴于点A, .0=0.5x+2, .x=-4, 4-4,0) y=0.5x+2 直线 与y轴交于点B, B点坐标为02) ”二次题数"=四+如+的图象与：转只有唯的交点C且0C=2 ∴可设二次函数y=a(x-22 把B102到代入得，a=05, ·二次函数的表达式：y=0.5r-2x+2 答案第34页，共2页 (2)解：作MH上D于， MG∥y 轴交D于点G, 则∠MGH=∠OBA,∠MHG=∠AOB=90°， .△AOBAMHG, :班MG OAAB’ B 设M,0-5-21+2,则G,0.51+2) c=0+2到-05-2+2=+， 又AB=V④+2=25,0A=4, 5到 当-，及威大北时，=草-2？-日 2 8 . (3)解：(D当点B为直角顶点时，过B作B上D交 D交x轴于P点，则 RtA AOB∽Rt△BOP 如图1， 答案第35页，共2页 P 图1 AO BO .BO PO 42 .2OR,得OR=1, :l,0) PD⊥BD (Ⅱ)当点D为直角顶点时，作 ,如图2， B 图2 将V=0.5x+2与y=0.5r-2x+2 立， 得0.5x+2=0.5x2-2x+2 0.5x2-2.5x=0 0.5xx-5=0 解得=0（舍去）或=5 将x=5代入y=0.5x+2得，y=4.5, D点的坐标为545列 答案第36页，共2页 :4D=V5+4+45-0F_5 , :∠DAB=∠BAO,∠BOA=∠ADR :△1B0aABD 2V54 ,即g95 B40 2, AB=11.250P=11.25-4=7.25 解得： ,则 故2点坐标为7,25,0)， ()当P为直角顶点时，过点D作DELx轴于点E,如图3， 图3 设3(a,0) OP OB 则由RtAOBP∽Rt△ED,得DEPE, a 2 4.5-5-a, 方程无解， ÷点不有在， ∴点P的坐标为1,0和B(7.25,0) 【点晴】此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的判定 答案第37页，共2页 与性质等知识，关键是根据已知进行分类讨论得出所有结果. BC 13.(1)抛物线的表达式为 =-?+2r+3,直线BC的解析式为 =-x+3 9 (2)4 61.0或2.0) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，利 用分类讨论思想解答是解题的关键。 (1)利用待定系数法解答，即可求解； (2)设M(m,0),则(m,-m+2m+3列，Fm,m+3到，可得到用m表示EF的长，再根 据二次函数的性质，即可求解： (3)先求出EF=-m2+3m,CF=Vm+m=m2,CE=Vm+(←m+2mF,分类讨论：O 当∠ECF=90°时，②当∠CEF=90°时，③当∠CFE=90°时， 【详解】（1)解：“把点4-1,0，B到3,0代入y=a+r+3,得： [a-b+3=0 9a+3b+3=0, a=-1 解得：b=2 六抛物线的表达式为=-+2+3， BC y=kx+b 设直线解析式为 直线BC经过点B,C, 「3k+b=0 ∴.b=3, [k=-1 解得b=3. 答案第38页，共2页 直线8C的解析式为 =-x+3 答：抛物线的表达式为-+2+3，直线C的解折式为=+3 (2)解：如图 设M(m,0,则E(m,-m+2m+3到，F(m,-m+3到 ”抛物线=-r+2x+3,y 3与》轴相交于点C, :C0,3) Em,-m2+2m+3) 欧m42m4-4小m40- ∴当m=2时，EF取得最大值4： (3)解：由(2)，得 M(m,0）E(m,-m2+2m+3),F(m,-m+3),C(0,3) :EF=-m2+3m.CF=Vm2+m2=m2,CE=m2+(-m2+2m) ①当∠ECF=90°时，如图 答案第39页，共2页 .∠ECF=90° 由勾股定理，得 CE2+CF2=EF2 即m+(←m2+2mP2+2m2=(←m2+3m m2(m-1)=0 解得m=1或m=0(不符合题意，舍去)， :41,o) ②当∠CEF=90°时，如图 A ∠CEF=90°， 由勾股定理，得 CE2+EF2=CF2. 即㎡+(-m+2m0P+(←m2+3m2=2m2 整理，得 m2(m2-4m+4+m2(m2-6m+9)-m2=0 答案第40页，共2页 m2m2-5m+6=0 m2(m-2)(m-3)=0 解得m=2或m=0(不符合题意，舍去)或m=3(不符合题意，舍去)， M2,0) ③当∠CFE=90°时，如图， M .EM⊥x轴于点M, .∠EMB=90°， .∠MFB<90°， 即∠CFE<90°， ∴当∠CFE=90°时，不符合题意，舍去. 综上，存在满足条件的点M,其坐标为L0或2,0) 答案第41页，共2页