精品解析：2025年江苏省南京市浦口区等5地中考一模数学试题

2025年中考数学模拟试卷（一） 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小．根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的是， 故选：C． 2. 2025年春节期间，南京夫子庙—秦淮风光带累计迎客约3429000人次．用科学记数法表示3429000是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用积的乘方，把括号里的每个因数分别乘方，可得；接下来利用幂的乘方法则进行计算，即可得到答案． 【详解】． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂运算的题目，解题的关键是掌握积的乘方以及幂的乘方法则． 4. 如图，在中，对角线，交于点，过点作直线分别交，于点，．若，，，则图中的阴影部分面积为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，先证明，可得出没然后根据三角形中线的性质可得出，根据勾股定理的逆定理可得出，即可求解． 【详解】解：∵在中，对角线，交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，在中，弦与交于点，，且的度数为的度数的一半．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，三角形内角和定理和三角形外角的性质，先证明，再证明，据此根据三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵的度数为的度数的一半， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图像交轴于点，经过的一次函数的图像交轴于点．若，则函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式，设，，设，把代入可求出，则，设，把，代入，可求出，则，进而求出，即可求解． 【详解】解：设，， ∵二次函数的图像经过、， ∴设， 把代入， 得， 解得， ∴ ∵经过的一次函数的图像经过，， 设， 则， 解得， ∴， ∴， 当时，；当时，，解得， 且，即， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 8. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： 故答案为: ． 【点睛】本题主要考查了因式分解．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 9. 计算：的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的除法法则、二次根式的性质以及二次根式的加减法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 已知2是方程的一个根，则另一个根为_______，_________ 【答案】 ①. 3 ②. 6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设原方程的另一个根为a，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原方程的另一个根为a， ∵2是方程的一个根， ∴由根与系数的关系可得， ∴， 故答案为：3；6． 11. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．若该机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得， ∴， ∴当时，则； 故答案为：5． 12. 如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正六边形、正五边形的性质求出它的内角的度数，进而求出的圆心角的度数，由弧长公式进行计算即可． 【详解】解：正六边形和正五边形， ，， ， 的长为． 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为________． 【答案】##64度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角， 根据旋转可得，，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余得，即可得出答案． 【详解】解：根据旋转可得，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 14. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则______（填“”“”“”“”或“”）． 1 2 3 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据对称性可求出对称轴为直线，再由当时的函数值小于时的函数值，得到在对称轴左侧，y随x增大而增大，即在对称轴右侧，y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值小于时的函数值， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的处，则折痕的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，解直角三角形，角平分线的性质，过点B作交延长线于H，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，求出，解直角三角形得到，由折叠的性质和角平分线的性质得到，则可根据等面积法求出的长，再解即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于H，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，点M，N分别在边上，且．连接，过点N作，垂足为P，连接，则的长的最小值为 _____ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了最值问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等，正确作出辅助线构造相似三角形，从而确定点P的轨迹是解题的关键．延长到H，使得，连接，可证明，得到，再导角证明，得到P、N、H三点共线；取的中点O，连接，则可得到当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴P、N、H三点共线； 如图所示，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值， 在中，， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 原不等式组的解集为：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除号后面的分式的分子和分母分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在四边形中，，，连接，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）过点作，垂足为，过点作，分别交，于点，．若，，则菱形的边长为_________． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是四边形是平行四边形，再结合，邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形为菱形； （2）先利用菱形的性质得到，然后证明三角形和三角形全等得到的长度，再根据三角形相似的性质进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理 ， 又， ． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、三角形全等的判定、三角形相似的判定、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，三角形的全等的判定与性质是解答的关键． 20. 小李开车到公司上班有， 两条路线可选择，路线经城市高架，路线经市区道路．为了解上班路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线，接着连续10个工作日选择路线，记录用时（单位：）数据如表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 路线用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19 路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12 （1）路线连续10天用时的中位数是_________，路线连续10天用时的众数是________； （2）求路线连续10天用时的平均数和方差； （3）经计算，路线连续10天用时的平均数是，方差是．结合上表信息，帮小李选择合适的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由． 【答案】（1）； （2）平均数为；方差为 （3） 解：建议选择路线B，理由如下： 从平均数的角度看，路线A的平均数大于路线B的平均数；从中位数来看，路线B的中位数小于路线A的中位数；从众数来看，路线B的众数小于路线A的众数， 综上所述，路线B比路线A更节约时间，故建议选择路线B． 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，众数，平均数和方差，熟知相关中位数，众数，平均数和方差的定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出平均数，再计算出方差即可； （3）路线B的中位数，平均数和众数都小于A对应的中位数，平均数和众数，据此可得结论． 【小问1详解】 解：路线A连续10天的用时按照从低到高排列为15，16，17，18，18，18，19，19，20，20，处在第5名和第6名的时间分别为，， ∴路线连续10天用时的中位数是； ∵路线B中，用时为的天数最多， ∴路线连续10天用时的众数是； 【小问2详解】 解：平均数为， 方差为； 【小问3详解】 略 21. 某商场在“五一”期间销售甲、乙、丙、丁四款衬衫． （1）若小华确定购买甲款衬衫的前提下，再从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率是________； （2）若小华从这四款衬衫中随机选择两款不同的衬衫，求恰好选中甲、乙两款的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲、乙两款的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有乙、丙、丁三款衬衫供选择，且每款衬衫被选择的概率相同， ∴从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率； 【小问2详解】 解：设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四款衬衫， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、乙两款的结果数有2种， ∴恰好选中甲、乙两款的概率为． 22. 因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 【答案】每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为．再根据大型冷链车比小型冷链车少辆，再列方程解方程即可． 【详解】解：设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为． 23. 如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮点的仰角为．继续向后水平移动到处测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到处．已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键．延长交于点，则，在中，根据正切定义可得出，设，在中，，根据正切的定义得出，解方程求出x，然后根据勾股定理求出和，进而求出从A处移动到B处，物体上升的高度，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则， 在中，，， ∴， 设， 在中，， ， ， 解得， ∴，， ∴，， ∴从A处移动到B处，物体上升了， ∴． 24. 代数式，代数式． （1）当时，若，则的取值范围是_________； （2）若，，判断代数式与的大小，并说明理由； （3）将“与的差”记为，即．当时，要使的值满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一次函数的性质，整式的加减计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案； （2）利用作差法得到，再由题意可证明，据此可得结论； （3）先求出，当时，，满足题意；当时，C是x的一次函数，据此讨论m的值利用一次函数的增减性列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵当时，，，， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，， ∴ ， ∴ 当时，，满足题意； 当时，则C的值随x增大而增大， ∵当时，的值满足， ∴， 解得； 当时，则C的值随x增大而减小， ∵当时，的值满足， ∴， 解得； 综上所述，． 25. 如图，是的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 【答案】（1） 证明：连接交于H， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）连接交于H，根据切线的性质和平行线的性质可得出，故垂径定理得出，然后根据线段垂直平分线的性质即可得证； （2）①根据弧、弦的关系以及圆周角定理得出，根据角平分线的定义得出，结合三角形的外角的性质可得出，最后根据等角对等边可判断出；设，则，，证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，即可求解； ②证明，根据相似三角形的性质求出，，由①知，则可求，，，，证明，根据相似三角形的性质求出，则，，根据勾股定理求出，连接，在中根据勾股定理得出，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又，， ∴，， 由①知， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 连接， 在中， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，正确找出相似三角形的解题的关键． 26. 如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）； （2）． 【答案】（1） 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2） 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 【答案】（1）2；（2）；（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则，当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，此时，设直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， ∵经过、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 设 ∵经过经过、， ∴设抛物线解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小， 此时， 设设直线解析式为， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， ∵， ∴， ∴的解析式为， ∵点P在的图象上，设， 则 ∴当时，有最小值为8， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正切的定义等知识，明确题意，找准临界位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考数学模拟试卷（一） 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 2025年春节期间，南京夫子庙—秦淮风光带累计迎客约3429000人次．用科学记数法表示3429000是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，对角线，交于点，过点作直线分别交，于点，．若，，，则图中的阴影部分面积为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 12 5. 如图，在中，弦与交于点，，且的度数为的度数的一半．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图像交轴于点，经过的一次函数的图像交轴于点．若，则函数的图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 8. 分解因式：_________． 9. 计算：的结果是_______． 10. 已知2是方程的一个根，则另一个根为_______，_________ 11. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．若该机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 12. 如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为______（结果保留）． 13. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为________． 14. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则______（填“”“”“”“”或“”）． 1 2 3 15. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的处，则折痕的长为______． 16. 如图，在矩形中，，点M，N分别在边上，且．连接，过点N作，垂足为P，连接，则的长的最小值为 _____ ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在四边形中，，，连接，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）过点作，垂足为，过点作，分别交，于点，．若，，则菱形的边长为_________． 20. 小李开车到公司上班有， 两条路线可选择，路线经城市高架，路线经市区道路．为了解上班路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线，接着连续10个工作日选择路线，记录用时（单位：）数据如表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 路线用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19 路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12 （1）路线连续10天用时的中位数是_________，路线连续10天用时的众数是________； （2）求路线连续10天用时的平均数和方差； （3）经计算，路线连续10天用时的平均数是，方差是．结合上表信息，帮小李选择合适的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由． 21. 某商场在“五一”期间销售甲、乙、丙、丁四款衬衫． （1）若小华确定购买甲款衬衫的前提下，再从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率是________； （2）若小华从这四款衬衫中随机选择两款不同的衬衫，求恰好选中甲、乙两款的概率． 22. 因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 23. 如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的处，此时在将绳子拉直的处测得定滑轮点的仰角为．继续向后水平移动到处测得定滑轮点的仰角为，此时物体上升到处．已知，均垂直于地面，，物体和定滑轮大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离的长（结果精确到，参考数据：，，，）． 24. 代数式，代数式． （1）当时，若，则的取值范围是_________； （2）若，，判断代数式与的大小，并说明理由； （3）将“与的差”记为，即．当时，要使的值满足，直接写出的取值范围． 25. 如图，是的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 26. 如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）； （2）． 27. 如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $