精品解析：2025年北京市房山区中考一模数学试题

房山区2024—2025学年度第二学期九年级数学综合练习（一） 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 据网络平台数据，截至2025年3月5日18时25分，电影《哪吒之魔童闹海》观影人次突破300000000，成为中国影史首部观影人次突破300000000的电影．将300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 6. 不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边．使点A与点F在直线同侧．交于点G．交于点H．给出下面四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则四边形是菱形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 10. 分解因式3x3-12x=________ 11. 方程的解为_____． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______（填“”“”或“”） 13 某小区有500户家庭，随机抽取50户家庭，对某月用电量情况统计如表： 月用电量x（千瓦时） 户数（户） 7 13 10 15 5 根据以上数据，估计该小区用电量在（千瓦时）的家庭有______户． 14. 如图，是的直径，、是上的两点，，则的度数为 ________． 15. 如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为______． 16. 某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 三、解答题（本题共12道小题，第17—19题每题5分，第20—21题每题6分，第22—23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题每题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，，平分，交于点C．平分，交于点D，连接，于点D，交于点G． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求长． 21. 列方程解应用题：学校礼堂舞台正上方有一个长为的长方形电子显示屏，如图所示，每次搞活动都会在电子显示屏播出主题活动的标题，由于各次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的工作人员对有关数据作出了如下规定：边空宽：字宽：字距；若某次主题活动的标题字数为17个字，求字距是多少？ 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标． （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于5，直接写出n的值． 23. 为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分． 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，最终成绩较高的班级排序靠前，若最终成绩相同，则整体发挥稳定性较好的班级排序靠前． 现将参加比赛甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图： b．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 88 m 94 90 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲班五个单项得分的中位数为：________； （2）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，则丙班第二个单项的得分________； （3）甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是________班（填“甲”或“丙”）； （4）若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为________（得分为整数）． 24. 如图，是直径，点D是上一点，是切线，连接交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，为半圆，O为圆心．点C是半圆上一动点，过点C作于点D．已知，设弦长为x，的面积为y（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表： x 0 1 1.5 2 2.5 3 3.45 3.5 3.8 3.9 4 y 0 0.12 039 0.87 1.52 2.23 2.60 2.59 2.13 1.62 m m的值为________； （2）建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为2时，的长度约为________（精确到0.01） 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）已知，是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 27. 如图，在中，，，是边上一点．为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，连接． （1）依题意补全图形； （2）若点N是的中点，连接和，猜想线段与的数量关系和位置关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦．给出如下定义：若存在点C，使得直线与有且仅有一个公共点．并且，则称点C为弦的“α伴随点”． （1）已知点A的坐标为，B的坐标为，在点，，中，点______是弦的“伴随点”； （2）若弦的长度为，且存在唯一的点D为弦的“α伴随点”，直接写出α的取值范围； （3）已知直线与x轴交于点N，与y轴交于点M，若上存在弦，使得线段上总存在弦的“伴随点”，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 房山区2024—2025学年度第二学期九年级数学综合练习（一） 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 据网络平台数据，截至2025年3月5日18时25分，电影《哪吒之魔童闹海》观影人次突破300000000，成为中国影史首部观影人次突破300000000的电影．将300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差；据此即可求解． 【详解】解：； 故选：B． 3. 如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 【详解】解：∵， ， ， 故选：A． 4. 实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置，判断出a，b，c的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，，，， 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个相等的实数根，得到判别式等于0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 6. 不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．熟练掌握列表法是解题的关键． 【详解】解：由题意，列表如下： 白 白 红 白 （白，白） （白，白） （白，红） 白 （白，白） （白，白） （白，红） 红 （红，白） （红，白） （红，红） 共9种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果为1种， ∴； 故选B． 7. 如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图过程可知，，，可判断选项A和选项B；证明可判断选项C；由平行线分线段成比例定理可判断选项D． 【详解】解：由作图过程可知，，故A选项正确，不符合题意； 由作图过程可知，，， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴ ∵O是边的中点， ∴， ∵， ∴，故C选项不正确，符合题意， ∵， ∴， ∴，D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8. 如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边．使点A与点F在直线同侧．交于点G．交于点H．给出下面四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则四边形是菱形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质等知识；由三角形内角和及等边三角形的性质得，由对顶角相等即可得，故①正确；证明，再利用即可得到，故②正确；利用，即可得，故③正确；当时，由得，从而得是等边三角形，则，从而，即四边形是菱形，故④正确，最后确定答案． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即； ∵是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴； ∵， ∴， 即，故③正确； 当时，即； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形，故④正确； 综上，全部正确； 故选：D． 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据二次根式有意义的条件，即可求出实数的取值范围. 详解：被开方数为非负数，故． 故答案为． 点睛：考查二次根式有意义的条件，被开方数大于等于零. 10. 分解因式3x3-12x=________ 【答案】3x(x+2)(x-2) 【解析】 详解】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解． 解答：解：3x3-12x =3x（x2-4）--（提取公因式） =3x（x-2）（x+2）． 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根； 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．熟练掌握反比例函数的增减性，是解题的关键： 【详解】解：∵， ∴双曲线过二，四象限，再每一个象限内，随的增大而增大， ∵函数的图象经过点和，且， ∴； 故答案为： 13. 某小区有500户家庭，随机抽取50户家庭，对某月用电量情况统计如表： 月用电量x（千瓦时） 户数（户） 7 13 10 15 5 根据以上数据，估计该小区用电量在（千瓦时）的家庭有______户． 【答案】380 【解析】 【分析】本题考查了用木样本估计总体数量，理解用样本的百分比作为总体的百分比是解题的关键；求出该小区用电量在（千瓦时）的家庭所占的百分比，与小区所有家庭的乘积即可得到结果． 【详解】解：该小区用电量在（千瓦时）的家庭所占的百分比为：，（户）； 答：该小区用电量在（千瓦时）的家庭有380户． 14. 如图，是的直径，、是上的两点，，则的度数为 ________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周是直角，得出，根据等弧所对的圆周角相等，得出，进而即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证和全等得，然后在中由勾股定理求出，则，再根据由三角形的面积求出，进而可得的长． 【详解】解：四边形为正方形，且边长为4， ，， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 由三角形的面积得：， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等；正方形的四条边相等、四个角都是直角；难点是利用三角形的面积公式进行计算． 16. 某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 【答案】 ①. 54 ②. 28 【解析】 【分析】三种产品各个阶段所需时间相加即可；一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要28小时． 【详解】解：（小时）； 当由两位工人合作完成时，一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要（小时）． 故答案为：54；28． 三、解答题（本题共12道小题，第17—19题每题5分，第20—21题每题6分，第22—23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题每题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可．熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练求解是解题的关键；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【详解】解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 则不等式组的解集为：； 19. 已知，求代数式的值． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，利用完全平方公式分解因式，再约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 20. 如图，，平分，交于点C．平分，交于点D，连接，于点D，交于点G． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行及角平分线得，即，从而得四边形是平行四边形，再由即可证明结论成立； （2）设交于点O，由菱形的性质及垂直关系得点G是线段的中点，得，在中由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 ∵ ∴； ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设交于点O，如图； ∵四边形是菱形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C是的中点， ∴； 在中，，， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线性质定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，熟悉菱形的判定与性质是解题的关键； 21. 列方程解应用题：学校礼堂舞台正上方有一个长为的长方形电子显示屏，如图所示，每次搞活动都会在电子显示屏播出主题活动的标题，由于各次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的工作人员对有关数据作出了如下规定：边空宽：字宽：字距；若某次主题活动的标题字数为17个字，求字距是多少？ 【答案】字距为 【解析】 【分析】设字距为，则字宽为，边空宽为，根据标题字数为17个字可知，字数为17，边空为2，字空为，据此列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设字距为，则字宽为，边空宽为，依题意得： ， 解得， 答：字距为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的\实际应用，根据题意，找准数量关系列方程是解题关键． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标． （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于5，直接写出n的值． 【答案】（1）；点C的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式等知识，注意数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法即可求得一次函数解析式，再求出点函数值为5时的自变量值，即可得点C的坐标； （2）把点C的坐标代入中，求得n的值． 【小问1详解】 解：把A、B两点坐标代入中，得：， 解得：， 即函数解析式为； 由于与过点且平行于x轴的直线交于点C，则， 解得：， 即点C的坐标为； 【小问2详解】 解：把点C的坐标代入中，即， ∴， 如图所示，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于5． 23. 为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分． 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，最终成绩较高的班级排序靠前，若最终成绩相同，则整体发挥稳定性较好的班级排序靠前． 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图： b．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 88 m 94 90 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲班五个单项得分的中位数为：________； （2）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，则丙班第二个单项的得分________； （3）甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是________班（填“甲”或“丙”）； （4）若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为________（得分为整数）． 【答案】（1）92 （2）83 （3）丙 （4）98 【解析】 【分析】本题考查了统计表与折线统计图，中位数，求平均数等知识，掌握这些知识，数形结合是解题的关键； （1）根据中位数的意义即可求解； （2）去掉最高分与最低分，求出三个得分的平均数即可； （3）计算两班的团体得分，即可判断； （4）由（3）的计算知，乙的第5个单项得分即可确定． 【小问1详解】 解：由折线统计图知，甲班得分按由低到高排列为80，83，92，93，98，则中间位置的分数是92，即中位数为92； 故答案为：92； 【小问2详解】 解：80，84，86，83，82中，去掉最高分86，去掉最低分80， 则； 故答案为：83； 【小问3详解】 解：甲班的团体得分为：， 丙班的团体得分为：， 则丙班更靠前； 故答案为：丙； 【小问4详解】 解：由（3）知，乙的团体得分为446，则， 则可能得分为98分； 故答案为：98． 24. 如图，是直径，点D是上一点，是切线，连接交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）切线的性质，得到，进而得到，圆周角定理结合已知条件推出，进而得到，即可； （2）解，求出的长，进而求出的长，连接，圆周角定理得到，根据，求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵是切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，则：， ∴， ∴． 25. 如图，为半圆，O为圆心．点C是半圆上一动点，过点C作于点D．已知，设弦的长为x，的面积为y（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表： x 0 1 1.5 2 2.5 3 3.45 3.5 3.8 3.9 4 y 0 0.12 039 0.87 1.52 2.23 2.60 2.59 2.13 1.62 m m的值为________； （2）建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为2时，的长度约为________（精确到0.01） 【答案】（1）0 （2）图见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，正确的画出函数图象是解题的关键： （1）当时，点与点重合，即可得出的值； （2）描点，连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象进行估算即可． 小问1详解】 解：当时，点与点重合， ∴； 故答案为：0； 【小问2详解】 描点，连线，画出函数图象，如图： 【小问3详解】 由图可知：当的面积为2时，则或 的长度约为或． 故答案为：或． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）已知，是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据对称轴公式进行计算即可； （2）分和两种情况，根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，则：， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴为：， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，是抛物线上的两点，且对于，都有， ∴； 当时，抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴关于的对称点为：， ∵，是抛物线上的两点，且对于，都有， ∴， ∴， 综上：或． 27. 如图，在中，，，是边上一点．为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到，连接． （1）依题意补全图形； （2）若点N是的中点，连接和，猜想线段与的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，需要通过构造辅助线，利用以上知识来证明线段与的数量关系和位置关系． （1）根据题意作图即可； （2）延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，，根据中位线定理可得，，，，可得、和都是等腰直角三角形，继而得到、和都是等腰直角三角形，证明，可得，，，从而得到，延长，，相交于点，证得，即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，可得，． 【小问2详解】 解：如图所示，延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，， 、、分别是、、的中点， ，， ，， ，，， 且， 和都是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ，， ，，是的中点， ，， ， ， 、和都是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ，，， ， 延长，，相交于点， 在中，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， ，， ， 线段与的数量关系是，位置关系是． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦．给出如下定义：若存在点C，使得直线与有且仅有一个公共点．并且，则称点C为弦的“α伴随点”． （1）已知点A的坐标为，B的坐标为，在点，，中，点______是弦的“伴随点”； （2）若弦的长度为，且存在唯一的点D为弦的“α伴随点”，直接写出α的取值范围； （3）已知直线与x轴交于点N，与y轴交于点M，若上存在弦，使得线段上总存在弦的“伴随点”，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由坐标知，点在过点A且平行于x轴的直线上，，，，由正切函数知，，则可得是弦的“伴随点”；点则不是弦的“伴随点”； （2）连接，过点O作于点F，过点B作于点E，由题意易得，则可得；在中，，根据的取值范围可求得的取值范围； （3）当分别在y轴正半轴，x轴负正半轴上，连接，则可得，得伴随点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆；设此圆分别交x轴，y轴正半轴于G，D，连接，直线与直线平行且与此圆相切，显然当线段位于直线与直线间时满足题意，从而求得m的取值范围；由对称性，求得分别在y轴负半轴，x轴负半轴上时m的取值范围，从而得到结果． 【小问1详解】 解：∵点，， ∴由坐标知，点在过点A且平行于x轴的直线上，且，， ∵点A的坐标为，B的坐标为， ∴， 在中，，则； 同理得，， ∵，且是圆的切线， ∴是弦的“伴随点”，而点则不是弦的“伴随点”； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点O作于点F，过点B作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵点D为弦的“α伴随点”， ∴，， ∴， 当点在的右边，根据三角形外角的性质可得，，当点在的左边，根据三角形内角和定理可得，， ∵存在唯一的点D为弦的“α伴随点”， ∴ 【小问3详解】 解：如图，当分别在y轴正半轴，x轴负正半轴上时，连接， ∵，， ∴，； ∵点C为弦的“伴随点”， ∴， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得， 在中，由勾股定理得：， 则伴随点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆； 设此圆分别交x轴，y轴正半轴于G，D，连接，直线与直线平行且与此圆相切，则，， 当与重合时，把点D坐标代入，即； ∵直线，且与圆相切，， ∴点O到切线的距离为，， ∴， ∴，即； 当线段与直线重合时，把点H的坐标代入，即； 当线段位于直线与直线间时满足题意，此时； 由对称性，当分别在y轴负半轴，x轴负半轴上时m的取值范围为； 综上，m的取值范围为：或． 【点睛】本题是圆的综合，考查了直线与圆相切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数，三角函数等知识，理解新概念，构造适当辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$