2026年九年级数学中考二轮复习二次函数与周长问题综合压轴题考前冲刺专题训练

2026年九年级数学中考二轮复习二次函数与周长问题综合压轴题考前冲刺专题训练 1．如图，二次函数的图像经过点和点，点B的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若y轴上有一点，点M是抛物线上一动点，过点M作轴于点E． ①求证：点M在线段的垂直平分线上； ②若点，求的周长的最小值． 2．如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点 (1)求A，B，C三点坐标． (2)求证：∠ACB=90° (3)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．求DE+BF的最大值． 4．二次函数图像交轴于两点，点为点A右侧图像上一动点，过点作轴于点．点为该函数轴上方图像上一动点（不与点重合），直线交轴于点，连接、．如图，当，轴； (1)若，判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，在点、运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）找出图中与相等的一个角，并证明； （3）若点是第二象限内抛物线上的一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标． 6．如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．点P为第一象限抛物线上的点，连接． (1)直接写出结果：________，________； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边上的动点，且，求的最小值． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴垂线，交与轴分别为点与点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的上方），且，连接．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得到，点为点的对应点，点为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），且，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)已知点是直线上方抛物线上一动点（且在对称轴左侧），过点作轴交于点，过点作交对称轴于点，点是对称轴上一点满足，点是对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点是点的对应点，点是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 9．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，（点在点的左侧）两点．点是该抛物线上任意一点，过点作平行于轴的直线交于，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，． (1)已知：，，． ①如图①，当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时，________，________； ②如图②，当点的横坐标为2，直线的解析式为时，________，________． (2)由（1）中两种情况的结果，请你猜想在一般情况下与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)若，点，的横坐标分别为，2，点在直线的上方的抛物线上运动（点不与点，重合），在点的运动过程中，利用（2）中的结论求出的最大面积． 10．如图，过原点的抛物线为常数与轴交于另一点，是线段的中点，，点在抛物线上    (1)点的坐标为______； (2)为轴正半轴上一点，且． ①求线段的长； ②线段与抛物线相交于另一点，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，是抛物线上两点，是抛物线的顶点对于每一个确定的值，求证：矩形的对角线必过一定点，并求出此时线段的长． 11．如图，抛物线经过、两点，直线交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)P是抛物线上一个动点（不与A重合），与抛物线的另一个交点为D，交直线于点E，连接，求证：轴． (3)过点C的动直线交抛物线于M、N两点，分别交y轴于F、G两点，求证：为定值． 12．如图，抛物线y＝x2+mx+m（m＞0）的顶点为A，交y轴于点C． （1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）； （2）若直线y＝﹣x＋n经过点A，与抛物线交于另一点B，证明：AB的长是定值； （3）连接AC，延长AC交x轴于点D，作直线AD关于x轴对称的直线，与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°，求m的值．    13．如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C． （1）求抛物线M2的解析式； （2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值； （3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）把代入二次函数可得 ∴， ∴ （2）①设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴点M在线段的垂直平分线上． ②过点作轴，交轴于点 ∵ ∴， ， 由①可知， 当的值最小时，三角形的周长最小， 即与重合时，的周长最小， ∴的周长最小值为． 2．(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出对称轴和点D的坐标，根据待定系数法求出a、b的值； （2）过E作于F，根据角平分线的性质，然后根据可得出关于的方程，解方程即可求解； （3）①先求出平移后抛物线的解析式，分两种情况讨论：；，根据二次函数的性质求解即可； ②待定系数法求出的解析式，根据题意求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，点， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵，交抛物线于点D， ∴C、D关于直线对称， ∴， ∵抛物线交x轴于点，点， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 过E作于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （3）解：①由（1）知， ∵抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， 综上，； ②设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵点M为线段上一动点， M的横坐标为t， ∴M的纵坐标为，， 由①知：， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴当时，随t的增大而减小， 又， ∴， 即当时，点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小． 3．(1)A（-2，0），B（8，0），C（0，4）； (2)见解析 (3)DE+BF的最大值是9． 【分析】（1）由抛物线y=-x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点，即可求出A，B，C坐标； （2）求得△ABC三边长，用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形即可； （3）由B（8，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y=-x+4，设第一象限D（m，−m2+m+4），则E（m，-m+4），可得DE+BF=（-m2+2m）+（8-m）=-（m-2）2+9，即可得DE+BF的最大值是9． 【详解】（1）解： y=-x2+x+4中， 令x=0得y=4， 令y=0得x1=-2，x2=8， ∴A（-2，0），B（8，0），C（0，4）； （2）证明：∵A（-2，0），B（8，0），C（0，4）， ∴OA=2，OB=8，OC=4，AB=10， ∴AC2=OA2+OC2=20，BC2=OB2+OC2=80， ∴AC2+BC2=100， 而AB2=102=100， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°； （3）①设直线BC解析式为y=kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得： ， 解得， ∴直线BC解析式为y=-x+4， 设第一象限D（m，−m2+m+4），则E（m，-m+4）， ∴DE=（−m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m，BF=8-m， ∴DE+BF=（-m2+2m）+（8-m） =-m2+m+8 =-（m-2）2+9， ∴当m=2时，DE+BF的最大值是9． 【点睛】本题考查二次函数综合知识，涉及抛物线与坐标轴交点、线段和的最大值等，要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 4．(1)，理由见解析 (2)，为定值，理由见解析 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数与x轴交点，待定系数法求一次函数解析式，锐角的正切三角函数，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）过点D作轴于F，分别求出，，，从而求得，，，，则，，即可得出结论； （2）由题意得，，，则，，，又因为对称轴为，即，所以，代入计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 当，时，则二次函数解析式为，， 当时， 解得：或， ∵， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴， ∴， 过点D作轴于F，如图， ∴，， 令，则，解得：，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：，为定值，理由如下： ，为定值，理由如下： 由（1）得，，， ∴，，， ∵轴， ∴C、D关于对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 5．（1），顶点坐标；（2）图中与相等的一个角是，证明见解析；（3）点的坐标是． 【分析】（1）利用待定系数法把和代入中，得，解方程组，得到抛物线配方为顶点式即可； （2）图中与相等的一个角是，求出抛物线与x轴的交点A，可得，.利用勾股定理求，，，利用勾股定理逆定理可证是直角三角形,，可得，可证即可； （3）设点的坐标为，过作轴，垂足为，交于，求点坐标为，可求PE=，利用面积公式=.利用抛物线性质可求点的坐标是． 【详解】解：（1）把和代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式是：， 顶点坐标； （2）图中与相等的一个角是， 令，则，，， . ， ， 在中，， ，，， ，； ， ∴是直角三角形,， ， 又和都是锐角， ， ， 即； （3）设点的坐标为， ∵一定，当点到直线的距离最大时，的面积最大， 过作轴，垂足为，交于.易求直线的表达式为， 所以点坐标为， ∴PE=， ， ∵，抛物线开口向下，对称轴， 当时，最大，点到直线的距离最大， ∴， 点的坐标是． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，配方为抛物线顶点式，等腰直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积的最值，掌握待定系数法求抛物线解析式，配方为抛物线顶点式，等腰直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积的最值是解题关键． 6．(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，再求出点坐标，根据正切定义可求出； （2）过点C作轴，交于点D，过点 P作轴，交y轴于点E，导角证明，再设点P坐标为，根据相似三角形的性质求解即可； （3）作，且使，连接，证明得到，Q，F，H共线时，的值最小，作于点G，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ 解得 ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴，， 在中，； （2）解：如图1，过点C作轴，交于点D，过点 P作轴，交y轴于点E， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， 设点P坐标为，则 ， ∴， 解得（舍去）或， ∴点P坐标为； （3）解：如图2，作，且使，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴Q，F，H共线时，的值最小，即为 作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 7．(1) (2)，周长最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先利用对称轴与点的坐标求得点的坐标，再利用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）先求出直线的解析式，再设，则，，表示出的表达式，此时表达式为开口向下的二次函数，化为顶点式后即可得出点的横坐标，代入二次函数解析式即可求得点的坐标，将点往下平移个单位得到，则，且，连接，得平行四边形，则，作关于对称轴直线的对称点，即为坐标原点，则，当、、共线时取等，即可求得周长的最小值； （3）先根据平移情况求出新抛物线解析式和点平移后的点坐标，作轴，延长至点，根据题意可得出点在上，求出的解析式后联立新抛物线解析式即可求得的坐标；作关于对称的直线，交于点，设，得出，利用导角得出，再过作交于点，延长交轴于点，求得，设，，从而求出，进而求出，求得点的坐标，设直线的解析式为，求出解析式联立新抛物线解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，为抛物线与轴的交点， ∴， ∴， ∴， 将、代入， 得， 解得，， ∴． （2）解：∵点是抛物线与轴交点， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， 代入，，得 解得： 故直线：， 设，则，， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下有最大值， ∴在中，当时，有最大值，此时， 如图，将点往下平移个单位得到， 则 ，且， 连接，得平行四边形， 则， 作关于对称轴直线的对称点， 即为坐标原点，则， ∴， 当、、共线时取等， 即，周长最小值为． （3）解：由二次函数的平移可得新抛物线解析式为， ∵点对应点平移的坐标， ∴， 如图，作轴，延长至点，交抛物线于点， ∴， 过点作交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 设直线的解析式为， 得，解得， 得直线的解析式为， 联立得 解得(舍去)，， ∴； 作关于对称的直线，交抛物线于点，延长交轴于点， 设， ∴， ∵轴，，， ∴，， ∴， 过作交于点， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵轴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点、代入得，解得， 得直线的解析式为， 联立得 解得(舍去)，， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 8．(1) (2)；； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）直线的解析式为：．直线的解析式为：．设，且，则， 则， 过点Q作于点Y，则，设，根据中点坐标公式，得，，过点D作轴于点H，则，过点F作于点G，过点P作于点N，交于点R，故的最小值为；连接交于点T，求解即可． （3）向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 故平移后抛物线的解析式为，根据题意，得，此时；过点作，交于点，延长交抛物线于点k，此时的k符合题意，设，求得，设直线的解析式为，根据题意，得，此时；求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），且，与轴交于点， ， ， 故， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据抛物线解析式为， 得，抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，且， 则， 则， ∵，， 设直线的解析式为：， ， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，． 故， 过点Q作于点Y， 则， ， ， 设，根据中点坐标公式，得， ， ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，取得最大值， ∴，，， 过点D作轴于点H， 则， 取点， 则， 作直线， 根据题意，得， 故，， ， ， ， 过点F作于点G， 则， 故， 过点P作于点N，交于点R， 故的最小值为； 连接交于点T， ， 轴， ， ，， ， ，， ， ， ， ； 故的最小值为． （3）解：根据题意，得， 由，得， 故， 故， 由抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 故向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 故平移后抛物线的解析式为， 故点， 故点在抛物线的对称轴上，设直线：与对称轴的交点为， 此时，且，． 连接，则， 故， 设直线与y轴的交点为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ， ， 故四边形是平行四边形， ， ， 延长交抛物线于点K， ， ， ， 此时的k符合题意， 此时直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时与重合，舍去； 设抛物线的对称轴与x轴交于点，与y轴交于点， 根据题意，得，， ， ， 过点作，交于点， ， ， ， ， 延长交抛物线于点K，此时的K符合题意， 设， 则， 整理，得， 解得， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 整理，得， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时与重合，舍去； 综上所述，符合要求的点或． 9．(1)①2，2；②7，7； (2) (3)当时， 【分析】（1）先求出抛物线的解析式：，①当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时，利用点的坐标即可求出CD的长，进一步求出AE,BF的长，即可得到答案；②当点的横坐标为2，根据已知条件证出点，点，即可求CD，进一步可求，，即可得到的答案； （2）先给出猜想，再根据已知得到式子，化简得，则，，∴，，代入即可得AE、BF，即可得到答案； （3）过点作轴交于，设点的横坐标为，的面积为，即可表示，，，则，即可得到极值，即当时，． 【详解】（1）解：∵，，， ∴抛物线解析式为：， ①当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时， ∴点，点，点，点， ∴，，， ∴， 故答案为：2，2； ②当点的横坐标为2，直线的解析式为时， ∴点，点， ∴， ∵， ∴，， ∴点，点， ∴，， ∴， 故答案为：7，7； （2）猜想：， 证明：设点，点，点的横坐标为：，，，直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵，是方程的两根， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵点， ∴； ∴； （3）过点作轴交于， 设点的横坐标为，的面积为， 则，，， ∵ ， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、掌握根于系数的关系是解题的关键． 10．(1) (2)①；② (3)证明见解析， 【分析】（1）根据中点公式求点坐标即可； （2）设，根据，建立方程，求出点坐标即可求；求出直线的解析式为，将代入，求出，将点代入，求出，从而求出抛物线， 直线与抛物线的交点即为点； （3）根据平移的性质可求，则，设直线的解析式为，，当时，整理得，由根与系数的关系可得，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明∽，则，即，整理得，，求出，所以直线的解析式为，对于每一个确定的值，直线必经过定点，． 【详解】（1）是线段的中点，， ， ， 故答案为：； （2）设， ， ， 解得， ； 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 将代入， ， ， ， 解得， ， 将点代入， ， 解得， 抛物线， 当时，解得或， ； （3）证明：， ， ， 设直线的解析式为，，， 当时，整理得， ，， 过点作轴交于点，过点作轴交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ∽， ，即， 整理得，， ， ，即， 直线的解析式为， 对于每一个确定的值，直线必经过定点， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系， 11．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设直线的解析式为，设直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式可求出点P的横坐标，联立直线和抛物线解析式可求出点，再联立直线和可求出，即可证明； （3）设，，设直线的解析式为：，和抛物线解析式联立可得，同理可得，由此可表示出，再联立和抛物线利用根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为 （2）证明：设直线的解析式为， ∵直线经过，设直线的解析式为， 联立， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， ∴， ∵：交直线于点E， 联立， ∴， ∴， ∴， ∴轴； （3）证明：∵分别交轴于F、G两点， 设，， 设直线的解析式为：， 将代入得：， ∴直线的解析式为：， 同理直线的解析式为：， 联立， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， ∵直线与y轴交于点F， ∴时，， 即， 直线与y轴交于点G， ∴时，， 即， ∴，， ∴， 直线与y轴交于点C， ∴， ∵直线过点， ∴设直线的解析式为：， 联立， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴为定值； 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，直线与抛物线交点的求法，根与系数的关系等，抽象性较强，解题关键是能够想到根与系数的关系在解题过程中的运用． 12．（1）；（2）见解析；（3）-1+ 【分析】（1）直接写出顶点式即可得出结论； （2）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，得出n=2m+m2，进而得出直线AB的解析式为y=-x+2m+m2，再联立抛物线解析式得出方程组，转化成方程，利用根与系数的关系即可得出结论； （3）先求出点A，C关于x轴的对称点，进而得出直线EF解析式，再联立抛物线解析式，过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于点M，过点F作FN⊥MN，设点E，F坐标，联系抛物线和EF表达式，利用根与系数的关系列出方程求解. 【详解】解：（1）抛物线， 顶点的坐标为； （2）由（1）知，顶点的坐标为， 直线经过点， ， ， 直线的解析式为①， 设，，，， 抛物线②， 联立①②得，， 即：， ，， 即：的长是定值，其值为； （3）抛物线与轴相交于， ， 点关于轴的对称点的坐标为， 由（1）知，顶点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 直线是直线关于轴的对称点， 点，在直线上， 直线的解析式为③， 抛物线④， 设E（，），F（，）， 过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于点M，过点F作FN⊥MN，如图1， ∵∠ECF=90°， ∴∠ECM+∠FCN=90°， ∠FCN+∠CFN=90°， ∴∠ECM=∠CFN， ∵∠EMC=∠FNC=90°， ∴△EMC∽△CNF， ∴, 即， 化简得：， 联立③④得，， ，， ==， ， ∴， ∴=0 解得：m=或m=或m=0， ∵m>0 ∴m=.    【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，配方法，根与系数的关系，直角三角形的性质，建立方程组是解本题的关键． 13．（1）y＝﹣x2+10x﹣18；（2）4，6；（3）定值1，见解析 【分析】（1）先将抛物线M1：y=-x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式； （2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值； （3）设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造相似三角形△GEM与△HFN，可通过相似三角形的性质求出的值为1． 【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18； （2）∵抛物线M1与M2交于点B， ∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x＝3， ∴B（3，3）， 将点B（3，3）代入y＝kx， 得，k＝1， ∴yOB＝x， ∵抛物线M2与直线OB交于点C， ∴x＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x1＝3，x2＝6， ∴C（6，6）， ∵点P的横坐标为m， ∴点P（m，﹣m2+4m）， 则Q（m，﹣m2+10m﹣18）， ∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18， ∴S△PQC＝（6m﹣18）（6﹣m） ＝﹣3m2+27m﹣54， ＝﹣3（m﹣）2+， 在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时， x1＝0，x2＝4， ∴A（4，0）， ∵B（3，3）， ∴3≤m≤4， ∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6； （3）的值是定值1，理由如下： 设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH， 则yEH＝x﹣k， ∴令x﹣k＝﹣x2+4x， 解得，x1＝，x2＝， ∴xF＝，xE＝， 令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x1＝，x2＝， ∴xH＝，xG＝， ∴ME＝xG﹣xE＝﹣＝3， FN＝xH﹣xF＝＝3， 分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q， 则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°， ∴△GEM∽△HFN， ∴＝＝＝1， ∴的值是定值1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象平移规律，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是掌握用函数的思想求极值等． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $