广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

河溪中学2024-2025学年度第二学期期中考试试卷答案 1-8 ABBC ADBC 9.AC 10.ABD 11.BD 12. 13. 3 14. 1． A 【详解】由，则 2. B 3. B 4. C 5. A 6. D 7．B 【分析】利用向量的坐标运算，结合相等向量逐项计算判断作答. 【详解】设， 对于A，，则，无解，A不是； 对于B，，则，解得，B是； 对于C，，则，无解，C不是； 对于D，，则，无解，D不是. 8.C 9．AC 【详解】解：因为，所以，所以，，的实部为，虚部为； 10.【答案】ABD 【详解】由图像可知函数 的最大值为2，最小值为，所以， ， 又 又 所以 又，所以 所以，故A正确， 将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得 ，故B选项正确， 由 所以的图像关于点对称，故C错误. 由 即所以选项D正确 11. BD 12.【答案】 【详解】向量，，若间的夹角为， 则. 13.3 14. 15. 【详解】（1）由，可得，……1分 即．……2分 又，，所以……3分 ， ……4分 所以， ……5分 解得．……6分 （2）因为，，所以，……7分 又，所以，解得，……8分 所以. 又， ……9分 所以，……12分 所以与的夹角的余弦值为．……13分 16.【详解】（1）因为， 由正弦定理得，，……2分 因为，所以， ……3分 则，……4分 则，……5分 又，……6分 所以．……7分 （2）由（1）知，又因为， 由余弦定理，……8分 得①， ……9分 由题意知， ……10分 即②， ……11分 联立①②得，所以，……13分 故，……14分 则的周长为.……15分 17. 【详解】（1）当0＜x≤20时，＝x﹣（180+450x）＝610x﹣2x2﹣180﹣450x＝﹣2x2+160x﹣180， ……2分 当20＜x≤50时， ……4分 所以，. ……5分 （2）当0＜x≤20时，＝﹣2x2+160x﹣180＝﹣2（x﹣40）2+3020，……7分 则函数在（0,20]上单调递增，故当x＝20时，取得最大值，且最大值为2220； ……9分 当20＜x≤50时， ， ……11分 当且仅当，即x＝30（负值舍去）时等号成立，此时取得最大值，且最大值为2270，……13分 因为2270＞2220，……14分 所以，当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元．…15分 18.【详解】（1） ，……2分 最小正周期为，……3分 令，，所以，， 所以函数的单调递增区间为；……5分 （2），……6分 因为，所以，……7分 所以……8分 所以……10分 ；……11分 （3）因为，所以，……12分 因为，所以，……13分 ，……15分 因为，所以，所以， 所以的取值范围为.……17分 19.【详解】∵是上的奇函数， ∴对任意，有，即，……2分 即，对任意恒成立，……3分 ∴，即.……4分 （2）为上的增函数，证明如下：……5分 任取，且，……6分 ，……8分 ∵，∴，，……9分 ∴，即， 所以函数为上的增函数.……10分 （2）不等式在上恒成立， ∴，……11分 又为上的增函数， ∴在上恒成立，……12分 即，令，， 上式等价于对恒成立，……13分 即，令，只需即可，……14分 又，开口向下，对称轴为，，……15分 ∴，∴.……16分 所以实数的取值范围为.……17分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 河溪中学 2024-2025学年度第二学期期中考试 高一级数学科试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上。） 1．已知集合 2{ | 4}, { | 0}A x x B x x    ，则 A B  （ ） A．{ | 0 2}x x  B．{ | 2}x x   C．{ | 2 0}x x   D．{ | 0 4}x x  2．复数 2 1 2 iz i    则在复平面内， z 对应的点的坐标是（ ） A.  1,0 B.  0,1 C. 5 4( , ) 3 3   D. 4 5( , ) 3 3   3. 如图所示的△ABC中，点 D是线段 AC上靠近 A的三等分 点，点 E是线段 AB的中点，则 ＝（ ） A． B． C． D． 4. 已知命题 2: , 2 6p x R x    ，则 p 是（ ） A． 2, 2 6x R x    B． 2, 2 6x R x    C． 20 0, 2 6x R x    D． 2 00 , 2 6x R x    5.已知 ，则 sin 2θ的值是（ ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若△ABC的面积为 S，且 a＝1, 4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为( ) A. 4π B. 2π C. π D. π 2 7.在下列向量组中，可以把向量  3,2a   表示出来的是（ ） A．  1 0,0e   ，  2 1,2e   B．  1 1,2e    ，  2 5, 2e    C．  1 3,5e   ，  2 6,10e   D．  1 2, 3e    ，  2 2,3e    8.已知 0a  ， 0b  ，如果不等式 2 1 2 m a b a b    恒成立，那么m的最大值等于（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 2 二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。） 9.已知复数 z 的共轭复数为 z，若 i 1 iz   ，则（ ） A．z 的实部是 1 B．z 的虚部是 i C． 1 iz   D． 2z  10.已知函数 π( ) cos( ) 0, 0,| | 2 f x A x A            的部分图像如图所示，将 ( )f x 的 图像向左平移 π 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度后得到函数 ( )g x 的图像，则（ ） A． π( ) 2cos 2 3 f x x      B． π( ) 2cos 2 1 6 g x x       C． ( )g x 的图像关于点 π ,0 6       对称 D． ( )g x 在 π 5π, π ( Z) 12 12 k k k       上单调递减 11．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（ ） A. 若 sin 2 sin 2A B ，则△ABC是等腰三角形 B. 若△ABC是锐角三角形，则不等式 sin cosA B 恒成立 C. 若 2 2 2sin sin cos 1A B C   ，则△ABC为锐角三角形 D. 若 2| |AC AB AB    ，则△ABC为钝角三角形 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5分，共 15分。) 12.已知向量 3a   ， 6  b ，若 ,a b   间的夹角为 3π 4 ，则 2a b    . 13.函数    31 1 log 4 , 2 3 , 2x x x f x x        ，则  1f f    ______. 14.△ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知 a＝b，c2＝2b2(1－sin C)，则 C＝________. 3 四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知向量  1,a x  ，  2,3b   ． (1)若  3b a b r rr ，求 x的值； (2)若  3, 4c    ，  / /b a cr rr ，求3b c rr 与a的夹角的余弦值． 16．（15 分）已知 a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且 3cos sin 0 3 b A a B  . (1)求A； (2)若 2a  ，且△ABC的面积为 3，求△ABC的周长. 17．（15 分）近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保 产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入产量增加。某企业为响应国家号 召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场。已知该产品的固定研发成本为 180 万元，此外，每生产一万台该产品需另投入 450 万元。设该企业一年内生产该产品 x（0＜x≤50） 万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降 低．已知每万台产品的销售收入为  I x 万元，满足：   2 610 2 ,0 20 3050 9000440 ,20 50 x x I x x x x          ． (1)写出年利润  P x （单位：万元）关于年产量 x（单位：万台）的函数关系式；（利润＝销售 收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？ 4 18．（17 分）已知函数   π πsin sin 3 sin cos 4 4 f x x x x x              . (1)求函数  f x 的最小正周期及单调增区间； (2)若 π 2 2 12 2 3 f        ，且 7ππ 6   ，求 sin 的值； (3)在△ABC中，若 1 2 Af       ，求 sin sinB C 的取值范围 19.（17 分）已知   2 2x xf x a    是定义域为R的奇函数. (1)求实数 a的值； (2)判断和利用函数单调性的定义证明  f x 在R上的单调性； (3)若不等式    9 1 2 3 5 0x xf f t      在R上恒成立，求实数 t的取值范围. 题号[来源:Zxxk.Com][来源:学+科+网] 一[来源:学科网][来源:Zxxk.Com] 二 三 总分 15 16 17 18 19 得分 ( 一．选择题（本大题共11小题，单选每道5分，多选每道6分，满分58分） ) ( 班级 姓名 座号 ) ( 河溪中学202 4 -202 5 学年度 第二学期期中考试 高 一 级 数学 科 答 题卷 ) ( 17． （15分） ) ( 16． （15分） ) ( 15．（13分） ) ( 三．解答题（本大题共5小题，满分77分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） ) ( 12． 13． 14． ) ( 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 9 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] ) ( 二．填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） ) ( 19． （17分） ) ( 18． （17分） ) 学科网（北京）股份有限公司 $$