精品解析：2025年四川省宜宾市长宁县九年级中考一诊监测数学试题

2025年春期教学质量诊断监测（一） 九年级·数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题4分，共48分）． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 树叶上有许多气孔，在阳光下，这些气孔一边排出氧气和蒸腾水分，一边吸入二氧化碳.已知一个气孔每秒钟能吸进2500亿个二氧化碳分子，用科学记数法表示2500亿，结果是( ) A. 2.5×1010 B. 2.5×104 C. 2.5×1012 D. 2.5×1011 5. 如图，把一块含有角（）的直角三角板的直角顶点放在长方形桌面的一个顶点C处，如果，那么（　　） A. 50° B. 40° C. 20° D. 10° 6. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有（ ）两银子． A. B. C. D. 7. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（ ） A. 2或3 B. 2或7 C. 3或7 D. 2或3或7 8. 如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A. 199 B. 200 C. 201 D. 202 11. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图像上．若直线的函数表达式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”．设抛物线与y轴相交于点M，将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线．若抛物线L上的完美点也在抛物线上，则下列结论中：①抛物线L上的完美点是或；②a的值是或；③存在某条定直线l，与抛物线交于点A，使得平行于x轴．正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）． 13. 分解因式：______． 14. 为落实国家“双减”政策，七（1）班老师逐步减少学生作业量，学生完成作业的时间逐步减少．七（1）班班主任随机抽查了本班6位学生每天课外作业时间分别是（单位：分）：74，86，97，62，48，105，则这组数据的中位数是_____________ 15. 若一元二次方程的两根为，则的值为___________． 16. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________． 17. 如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具一一“碓”的结构简图，右图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为______分米（结果用含根号的式子表示）． 18. 如图，正方形中，，点E为中点，以为直径的半圆交线段于点F，连接交于点G．下列结论：①；②；③；④当点E在边上（不与B、C重合）运动时，有最大值．其中正确结论有________． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）化简：． 20. 如图，和都是等边三角形，且点A、D、E在同一直线上，证明； 21. 学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． （1）本次调查中，陈老师一共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是 度； （3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 22. 图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． （参考数据：，，） （1）求图（2）中点B到一楼地面的距离； （2）求日光灯C到一楼地面的距离．（结果保留整数） 23. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点，点B是线段的中点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）动点在y轴上运动，当的值最大时，求点P的坐标． 24. 如图所示，为的直径，、、分别与相切于点、、．连接并延长与直线相交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）在（2）条件下，若，求四边形的面积． 25. 如图，的顶点，，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线经过A、B、C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P从点A出发以2个单位的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位的速度沿向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积； （3）如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点，若设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期教学质量诊断监测（一） 九年级·数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题4分，共48分）． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 4. 树叶上有许多气孔，在阳光下，这些气孔一边排出氧气和蒸腾水分，一边吸入二氧化碳.已知一个气孔每秒钟能吸进2500亿个二氧化碳分子，用科学记数法表示2500亿，结果是( ) A. 2.5×1010 B. 2.5×104 C. 2.5×1012 D. 2.5×1011 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将2500亿用科学记数法表示为2.5×1011． 故选D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5. 如图，把一块含有角（）的直角三角板的直角顶点放在长方形桌面的一个顶点C处，如果，那么（　　） A. 50° B. 40° C. 20° D. 10° 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形为长方形，得到与平行，利用两直线平行同位角相等求出的度数，根据为三角形的外角，利用外角性质求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵为的外角，且， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解本题的关键． 6. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有（ ）两银子． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出等式即可． 【详解】解：设总共有个人， 根据题意得：， 解得：， （两）， 故选：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是利用人数不变找到等量关系列出方程． 7. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（ ） A. 2或3 B. 2或7 C. 3或7 D. 2或3或7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题． 【详解】解不等式组，得， 不等式组无解， ， ， 分式方程， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ， 方程有整数解， 或或或， 或或或或或或或， ，， ， 或或， 故选：D． 8. 如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE＋PM的最小值为OE的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解答：解：作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，如图： ∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM， ∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°， ∵E是AD的中点， ∴DE＝AD＝×2＝1， ∵点E与点E关于DC对称， ∴DE＝DE＝1，PE＝PE， ∴AE＝AD＋DE＝2＋1＝3， 在Rt△AOE中，OE＝＝＝， ∴线段PE＋PM的最小值为： PE＋PM ＝PE＋PM ＝ME ＝OE−OM ＝−1． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 10. 对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A. 199 B. 200 C. 201 D. 202 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算，可以推出结果． 【详解】解： … ，，， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键． 11. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图像上．若直线的函数表达式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，可证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质得到，设设，，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则，令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图像上， ， 解得：或（不合题意舍去）， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 12. 定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”．设抛物线与y轴相交于点M，将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线．若抛物线L上的完美点也在抛物线上，则下列结论中：①抛物线L上的完美点是或；②a的值是或；③存在某条定直线l，与抛物线交于点A，使得平行于x轴．正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的变换，理解并掌握“完美点”的定义，是解题的关键．令，得到，求出的值判断①，求出的解析式，将完美点代入，求出的值判断②，求出点坐标，得到轴时，直线为，根据抛物线的解析式，得到抛物线恒过，进而得到存在定直线交抛物线交于点A，使平行于x轴，判断③． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：， ∴抛物线L上的完美点是或；故①正确； ∵将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线L上的完美点也在抛物线上， ∴当在直线上时，，解得：； 当在直线上时，，解得：， ∴或；故②正确； ∵， ∴当时，， ∴， ∵轴，则：直线为， ∵， ∴当时， ， ∴抛物线恒过点， ∴存在定直线交抛物线交于点A，使平行于x轴；故③正确； 故选D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，进而用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握该方法是本题解题的关键． 14. 为落实国家“双减”政策，七（1）班老师逐步减少学生作业量，学生完成作业的时间逐步减少．七（1）班班主任随机抽查了本班6位学生每天课外作业时间分别是（单位：分）：74，86，97，62，48，105，则这组数据的中位数是_____________ 【答案】80 【解析】 【分析】根据中位数的定义，计算即可． 【详解】解：从小到大排列此数据为：48、62、74、86、97、105，处在第3、4位两个数的平均数为中位数．所以本题这组数据的中位数是． 故答案为：80． 【点睛】本题考查中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 15. 若一元二次方程的两根为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，结合完全平方公式，把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 16. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， ∴， ∵与四边形的面积比为， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 17. 如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具一一“碓”的结构简图，右图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为______分米（结果用含根号的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质，以及勾股定理，延长交于点，连接，结合题意得到，进而得到，设，利用角三角形性质，以及勾股定理，建立等式求解，得到，在中再次利用角三角形性质，以及勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：延长交于点，连接， ，， ， ， ， 设分米， 分米，分米， 分米， 分米， ， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， 分米， ， ， 分米， 分米， 故答案为：． 18. 如图，正方形中，，点E为中点，以为直径的半圆交线段于点F，连接交于点G．下列结论：①；②；③；④当点E在边上（不与B、C重合）运动时，有最大值．其中正确结论有________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】取的中点O，连接，过点F作于H，取中点M．通过说明四边形为平行四边形，由直径所对的圆周角为直角，结合垂径定理得出．可判定①正确；利用，对应边成比例，解得和的长，从而判定②正确；通过，计算出的长，再利用三角形面积公式得出三角形的面积，从而判定③错误；根据当且仅当与相切时，取得最大值，利用勾股定理计算出的最大值，判定④正确． 【详解】解：取的中点O，连接，过点F作于H，取的中点M． ∵四边形为正方形， ∴． ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵是半圆的直径， ∴，即， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． 故①正确； 在中，， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，即．故②正确； 作， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，故③错误； 当E点在上运动时，点F在上运动， 当且仅当与相切时，取得最大值． ∴当取得最大值时，，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得：． ∴的最大值为，故④正确． 综上，正确结论有：①②④． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，结合已知条件恰当的添加辅助线是解题的关键． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值等，掌握零指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值是本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简、根据零指数幂的运算法则、将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）利用平方差公式和乘法分配律计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，和都是等边三角形，且点A、D、E在同一直线上，证明； 【答案】 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 21. 学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． （1）本次调查中，陈老师一共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是 度； （3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2）36； 补充条形统计图如图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图． （1）由题意可得：陈老师一共调查学生：（名）； （2）由题意可得：C类女生：（名），D类男生：（名），继而可补全条形统计图； （3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案． 【小问1详解】 陈老师一共调查学生：（名）； 故答案为：20 【小问2详解】 C类学生人数：（名）， C类女生人数：（名）， D类学生占的百分比：， D类学生人数：（名）， D类男生人数：（名），； 故答案为：36； 【小问3详解】 列表如下，A类学生中的两名女生分别记为和， 女 女 男A 男D 女男D 女男D 男A男D 女D 女女D 女女D 男A女D 共有6种等可能的结果，其中符合条件的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为． 22. 图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． （参考数据：，，） （1）求图（2）中点B到一楼地面的距离； （2）求日光灯C到一楼地面的距离．（结果保留整数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，添加合适的辅助线是解题的关键． （1）过点B作于E，设m，由的坡度为，在Rt中，由勾股定理得，解得，即可得到答案； （2）过点C作于F交于G，过点D作于J交于H，可证得 四边形，四边形是矩形，求出和的长度，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点B作于E，如图： 设m， 的坡度为， , ， 在Rt中，由勾股定理得：， 解得：， ，， 答：B到一楼地面的距离为； 【小问2详解】 过点C作于F交于G，过点D作于J交于H， 由题意知：，， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形是矩形， ，，， 由（1）可知，， ， 在Rt中，， ， ， 答：日光灯C到一楼地面的距离约为． 23. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点，点B是线段的中点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）动点在y轴上运动，当的值最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，根据题意求得的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）联立方程求得的坐标，然后根据即可求得的面积； （3）作点关于轴的对称点，延长交轴于点，点即为所求． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数的图象上， ， ； ∵，点B是线段的中点， ∴， ∵，在的图象上， ， 解得 ； 【小问2详解】 解：由 解得， ， ， ； 【小问3详解】 解：关于轴的对称点，延长交轴于点 设直线函数关系式为：， 得：，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴点P的坐标， ∴当的值最大时，点P的坐标为 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得A点的坐标是解题的关键． 24. 如图所示，为的直径，、、分别与相切于点、、．连接并延长与直线相交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）在（2）条件下，若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：连接，如图①， 、分别与相切于点、， ， 在与中， 同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半， ， ， 又点是的中点， 是的中位线， ． （2）20 （3） 【解析】 【分析】（1）由于点是的中点，所以要证，只要证明即可； （2）由可以想到比例式，由题意可以证明，由此得，则，再证即可； （3）易证，根相似三角形的性质得，则，又四边形是梯形，按其面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接、、，如图②所示 是的直径， ， 又与相切于点， ， 又， ， ， ， ， ，， 又，， ， 又， ， ， ， ， 即：， 【小问3详解】 、分别与相切于点、，如图②所示， ，， ， ， ， ， 即：， 又， ， 即：， ， 即：四边形的面积为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、相似的性质与判定等知识点，本题的难点是相似的判定与性质的应用，这也是解（2）、（3）两个小题的关键． 25. 如图，的顶点，，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线经过A、B、C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P从点A出发以2个单位的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位的速度沿向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积； （3）如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点，若设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2），； （3）定值，定值为3． 【解析】 【分析】（1）先证明，求出的长，得到点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据两点间的距离公式，求出，设运动时间为，则，，，，过点Q作轴于点G，易证，得到，进而得到，然后根据，求得，利用二次函数的性质，即可得到答案； （3）设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，联立直线和抛物线解析式，得到，根据二元一次方程根和系数的关系，得到，，再跟别将点E和点F代入直线和直线中，求得、，再进行代入求值，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， 点C在y轴的正半轴上， ，即， 抛物线经过A、B、C三点 设抛物线的解析式， 将代入，解得， ，即； 【小问2详解】 解：、， ， 设运动时间为， 由题意可知，，， ，， 如图，过点Q作轴于点G， ， ， ， ， ， 点P从点A运动到点B需要，点Q从点C运动到点B需要， ， 当时，面积最大，此时，； 【小问3详解】 解：设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，， 联立化简得：， ，， 点代入直线，解得：， 点代入直线，解得：， 将，代入，解得:， 将，，代入，解得：， 即为定值，定值为3． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根和系数的关系等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $