精品解析：2025年广东省揭阳市榕城区中考一模数学试题

2025年初中学业水平考试第一次模拟考试数学科试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分 1. 关于，用文字语言可以描述为（ ） A. 互为倒数 B. 互为负倒数 C. 是的绝对值 D. 互为相反数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数．根据互为相反数的两数和为0直接确定答案即可． 【详解】解：∵实数满足， ∴互为相反数， 故选：D． 2. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 3. 下列四个函数中，图象经过原点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了函数值，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键． 取判断函数值的情况，即可得到结论． 【详解】解： A．当时，，所以该函数图象不经过原点，故选项不符合题意； B．当时，无意义，故选项不符合题意； C．当时，，所以该函数图象经过原点，故选项符合题意； D．当时，，所以该函数图象不经过原点，故选项不符合题意． 故选：C． 4. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，二次根式的减法，完全平方公式，根据相关运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：，故A选项运算错误，不合题意； ，故B选项运算错误，不合题意； ，故C选项运算正确，符合题意； ，故D选项运算错误，不合题意； 故选C． 6. 在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，设这个正多边形的边数是，再根据正多边形的内角和建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 设这个正多边形的边数是， 则， 解得， 即这个正多边形的边数是12， 故选：D． 7. 高的旗杆在水平地面上的影长为，此时测得附近一个建筑物的影子长，则该建筑物的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先设建筑物的高为米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出的值，即可求解． 【详解】解：设建筑物的高度为米，根据题意得， ， 解得： 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，将绕原点逆时针旋转，则其对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中绕原点旋转的点坐标变换，解题关键是利用旋转性质构造全等三角形，通过对应边相等确定旋转后点的坐标． 分别作，垂直于x轴，垂足分别为M，N，通过构建直角三角形，利用旋转的性质来确定对应点P的坐标． 【详解】解：分别作，垂直于x轴，垂足分别为M，N． ∴ ∵， ， ∴ 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵Q点坐标， ，， ∵由于点P在第二象限，第二象限中的点横坐标为负，纵坐标为正， ∴P点坐标为． 故选：C． 9. 如图，点P是锐角的边上任意一点，过点P作于点Q．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 根据正切的定义即可直接得出答案． 【详解】解：， ， 是锐角且， ， 故选：． 10. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可． 【详解】解：连接AM，如图所示： ∵点B和M关于AP对称， ∴AB＝AM＝3， ∴M在以A圆心，3为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，CM最短， ∵在矩形ABCD中，AC＝， AM＝AB＝3， ∴CM＝5﹣3＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是________（备注：1亿＝100000000）． 【答案】9 【解析】 【分析】将13.6亿=写成（，n为整数）的形式即可． 【详解】解：13.6亿==． 故答案为9． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键． 12. 如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查基本作图—作角，根据作图可知，，求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴； 故答案为：． 13. 如图是路灯维护工程车，如图是其工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，米，当，时，则工作篮底部到支撑平台的距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，过点作于点，交于点，分别在和中利用特殊角的三角函数值求出、的长，即可得出工作篮底部到支撑平台的距离．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵米， ∴， ∴， ∴米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 即工作篮底部到支撑平台的距离是米， 故答案为：． 14. 如果三点和在抛物线的图象上，那么的大小关系是___________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，关于对称轴直线的对称点是， ， ， 故答案为：． 15. 在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设正方形的边长为x，则，证明，可得，，在中，利用勾股定理可求出x的值，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为x，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：， 即，， ∴阴影部分面积为． 故答案为：6 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键． 17. 如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中，过点E作直线，将平行四边形分成形状、大小相同的两部分； （2）在图2中，若，请作出的平分线． 【答案】（1） 如图1，直线即为所作 （2） 如图2，射线即为所作 【解析】 【分析】（1）作的对角线，，交于点，作直线交于点，直线即为所作； （2）作射线即可得的平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 18. “强国必须强语，强语助力强国，”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次调查活动共抽取 人： （2）“C”等所在扇形的圆心角的度数为 度； （3）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）50 （2） （3）补全条形统计图，如图所示： （4） 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数； （2）用成绩为C等级的人数所占百分比乘以即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图； （4）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联、树状图或列表法求概率等知识，根据题意正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：（人）， ∴这次调查活动共抽取50人， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：“”等所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：A等级的人数为：（人）， 图略； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果数有2种， ∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 20. 探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； （2）若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； （3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． （4）拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】（1）3 （2） （3）10人 （4） 解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 【解析】 【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得； （3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得； （4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． 【小问2详解】 解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 故答案为：． 【小问3详解】 解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． 【小问4详解】 略 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． （1）求的值； （2）直接写出不等式的解集； （3）过两点分别作轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线经过原点． 【答案】（1） （2）或 （3） 证明：由（1）可知，，， 根据题意可得，， 设直线解析式为，代入、坐标得： ，解得， 直线解析式为， 故直线经过原点． 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入直线解析式可得，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得； （2）根据函数图象直接写出不等式解集即可； （3）根据题意可得，，待定系数法求出直线解析式是正比例函数即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求两个函数解析式是关键． 【小问1详解】 解：当时，一次函数， ， 、两点都在反比例函数图象上． ，即， ． ，． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 根据函数图象可知不等式的解集为：或． 【小问3详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，点E为正方形的边上一动点，直线与相交于点F，与的延长线相交于点 G，以为直径作． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若正方形的边长为4，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2） 证明：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是的半径 ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，由此即可利用证明； （2）如图所示，连接，由正方形的性质得到，则，，由全等三角形的性质得到，再由，得到，即可证明，即可推出， 即可证明是的切线； （3）如图所示，过点F作于点M，先证明，得到，解，得到，设，则，，解求出，由，求出；证明，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点F作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与安判定，切线的判定，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 23. 如图1，过点的抛物线与直线交于点．点是线段上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设的面积为，点的横坐标为． （1）求出的值及抛物线的解析式． （2）为探究最大时点的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下分析： 甲：借助的长与三角形面积公式，求出关于的函数关系式，可确定点的位置． 乙：当点运动到点或点时，的值可看作0，则当点运动到中点时，最大，即最大时，点为的中点． 请参考甲的方法求出最大时点的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由． （3）拓展探究：如图2，直线与任意抛物线相交于、两点，是线段上的一个动点，过点作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点．当的面积最大时，点一定是线段的中点吗？试作出判断并说明理由． 【答案】（1）， （2） 乙的猜想是正确的．理由如下： 设， ， ， ， ∴当即时，最大，此时点的坐标为， ， 设线段的中点为，则由线段中点坐标公式可得，即 的坐标为， 重合，即为的中点， 乙的猜想正确． （3）点一定是的中点，理由如下： 将图2中的抛物线放置在平面直角坐标系中，抛物线对称轴平行于轴．设的面积为，点的横坐标分别为． 由甲的方法可知，是的二次函数，其中，图象是开口向下的一段抛物线，记作“抛物线”， 当或，即点与点或点重合时，． 抛物线过与两点，这两点关于抛物线的对称轴对称， 当时，最大，此时点恰为的中点． 即当的面积最大时，点为的中点． 【解析】 【分析】（1）根据直线经过点，代入直线关系式，求出n的值即可；用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设，得出，求出，根据二次函数的性质得出当即时，最大，此时点的坐标为，根据中点坐标公式，求出结果即可； （3）将图2中的抛物线放置在平面直角坐标系中，抛物线对称轴平行于轴．设的面积为，点的横坐标分别为．根据甲的方法可知，是的二次函数，其中，图象是开口向下的一段抛物线，记作“抛物线”，抛物线过与两点，这两点关于抛物线的对称轴对称，根据解析（2）可知，当时，最大，此时点恰为的中点，即可得出答案． 本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，解题的关键，熟练掌握二次函数的性质． 【小问1详解】 解：直线经过点， ， ， 把代入抛物线，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试第一次模拟考试数学科试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分 1. 关于，用文字语言可以描述为（ ） A. 互为倒数 B. 互为负倒数 C. 是的绝对值 D. 互为相反数 2. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个函数中，图象经过原点的是（ ） A. B. C. D. 4. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 高的旗杆在水平地面上的影长为，此时测得附近一个建筑物的影子长，则该建筑物的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，将绕原点逆时针旋转，则其对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点P是锐角的边上任意一点，过点P作于点Q．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是________（备注：1亿＝100000000）． 12. 如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为______． 13. 如图是路灯维护工程车，如图是其工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，米，当，时，则工作篮底部到支撑平台的距离是______米． 14. 如果三点和在抛物线的图象上，那么的大小关系是___________．（用“”连接） 15. 在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中，过点E作直线，将平行四边形分成形状、大小相同的两部分； （2）在图2中，若，请作出的平分线． 18. “强国必须强语，强语助力强国，”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次调查活动共抽取 人： （2）“C”等所在扇形的圆心角的度数为 度； （3）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 20. 探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． （1）若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； （2）若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； （3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． （4）拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． （1）求的值； （2）直接写出不等式的解集； （3）过两点分别作轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线经过原点． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，点E为正方形的边上一动点，直线与相交于点F，与的延长线相交于点 G，以为直径作． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若正方形的边长为4，，求的值． 23. 如图1，过点的抛物线与直线交于点．点是线段上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设的面积为，点的横坐标为． （1）求出的值及抛物线的解析式． （2）为探究最大时点的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下分析： 甲：借助的长与三角形面积公式，求出关于的函数关系式，可确定点的位置． 乙：当点运动到点或点时，的值可看作0，则当点运动到中点时，最大，即最大时，点为的中点． 请参考甲的方法求出最大时点的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由． （3）拓展探究：如图2，直线与任意抛物线相交于、两点，是线段上的一个动点，过点作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点．当的面积最大时，点一定是线段的中点吗？试作出判断并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $