精品解析：2025年河南省三门峡市中考一模数学试题

三门峡市2025年中招第一次模拟考试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置． 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 自DeepSeekAPP全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月29日单日下载峰值冲至次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，垂足为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 无解 6. 如图，与交于点，若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 7. 若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小亮与同学组队玩寻宝游戏，在某个环节，小亮面前有A，B两组箱子（如图），A组有3个箱子，其中1个箱子中装有重要线索；B组有2个箱子，其中1个箱子中装有重要线索．小亮要从A，B两组箱子中各选一个箱子去获得线索，则小亮一条线索都没有得到的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在扇形中，，P为的中点，过点P作，，垂足分别为M，N，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 天气瓶是生活中常见的装饰品，它的结晶状态会随温度发生改变．制作天气瓶用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵．这两种物质在水中的溶解度与温度的函数图象如图所示． 信息窗 a．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化． b．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． 下列说法正确的是（ ） A. 硝酸钾和氯化铵的溶解度与温度分别满足二次函数和一次函数关系 B. 当时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大 C. 硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度始终不一样 D. 时，将氯化铵加到水中可得到饱和溶液 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的系数是_______． 12. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则______． 13. 在“经典诵读”比赛活动中，某校甲、乙两班各12名学生的参赛成绩如图所示，那么甲班学生参赛成绩的中位数_______乙班学生参赛成绩的中位数（填“>”，“<”或“=”）． 14. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（请填写序号）． 15. 如图，点E在正方形外，连接，过点A作的垂线交于点F．若，，则的值为_______． 三、解答题（本大题8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示． 类别 A B C D 视力 视力≥5.0 4.9 4.6≤视力≤4.8 视力≤4.5 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 为了解某校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有_______人，D类所在扇形的圆心角的度数是_______； （2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为_______类； （3）已知该校共有600名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的两个交点分别为和． （1）求直线的解析式； （2）过点作x轴的垂线，与直线和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，直接写出n的取值范围． 19. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． （1）根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； （2）请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 20. 为测量三门峡市宝轮寺塔的高度，一位无人机玩家利用无人机在点P处测得其顶点A的俯角，其底端点B的俯角，此时无人机到地面的垂直距离，求宝轮寺塔的高AB．（结果精确到．参考数据：，，，） 21. 景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： （1）用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是_______元； ②实际的销售量是_______个； （2）为了赚得10000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ （3）瓷盘售价定为_______元时，商家可获得最大利润？ 22. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为． （1）甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为时到达最高处，此时羽毛球离地面 ，如图1． ①求抛物线的解析式； ②通过计算判断此球能否过网； （2）甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 到与点O的水平距离为时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路线为直线的一部分，且经过点，如图2．问：乙能扣球过网吗?通过计算加以说明． 23. 综合与实践 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣小组发现对于平面内的一个四边形，O是上一点，连接，存在点O，使得且，我们称四边形是“可等垂四边形”，点O为四边形的“等垂点”． 初步探索 （1）如图①，矩形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是_______； 类比探究 （2）如图②，四边形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为G和H．请写出，，之间的数量关系，并证明； 拓展应用 （3）如图③，在中，，，，点B，C为中不在同一边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出C，D两点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三门峡市2025年中招第一次模拟考试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置． 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案．掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键． 【详解】解：根据数轴得：， ∵， ∴a可以是． 故选：A． 2. 自DeepSeekAPP全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月29日单日下载峰值冲至次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：用科学记数法可表示为， 故选：C． 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 4. 如图，垂足为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和三角形内角和定理．根据平行线性质得到，再由垂直定义得到，最后由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A 5. 已知点在第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标与解一元一次不等式，解此题的关键在于根据点的坐标特征得到一元一次不等式组．根据点的坐标特征可得关于的一元一次不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：点在第二象限， ∴， 解得：， 故选：C． 6. 如图，与交于点，若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得，再证明，得，进而可以解决问题．本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，关键是得到． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 7. 若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，由题意可得，将式子变形为，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故选：D． 8. 小亮与同学组队玩寻宝游戏，在某个环节，小亮面前有A，B两组箱子（如图），A组有3个箱子，其中1个箱子中装有重要线索；B组有2个箱子，其中1个箱子中装有重要线索．小亮要从A，B两组箱子中各选一个箱子去获得线索，则小亮一条线索都没有得到的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键．画出树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：设A组3个箱子为，其中箱子中装有重要线索；B组2个箱子为，其中箱子中装有重要线索． 根据题意画树状图如下： 共有种等可能的情况数，其中一条线索都没有得到的有种， 则一条线索都没有得到的概率是． 故选：B． 9. 如图，在扇形中，，P为的中点，过点P作，，垂足分别为M，N，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，求扇形面积，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定，弧弦圆心角的关系等知识点，根据已知条件证明四边形是正方形是解题的关键． 连接，根据已知条件证明四边形是矩形，再根据P为的中点，证明，进而证明四边形是正方形，然后根据勾股定理求出，最后根据“阴影部分的面积扇形的面积正方形的面积”列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， 为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得： ， 阴影部分的面积扇形的面积正方形的面积 ， 故选：D． 10. 天气瓶是生活中常见的装饰品，它的结晶状态会随温度发生改变．制作天气瓶用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵．这两种物质在水中的溶解度与温度的函数图象如图所示． 信息窗 a．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化． b．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． 下列说法正确的是（ ） A. 硝酸钾和氯化铵的溶解度与温度分别满足二次函数和一次函数关系 B. 当时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大 C. 硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度始终不一样 D. 时，将氯化铵加到水中可得到饱和溶液 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，读懂题意，从图象获取正确信息是关键．根据图象分析即可． 【详解】解：根据题图，无法判断硝酸钾的溶解度与温度满足二次函数，根据题意可知，氯化铵的溶解度与温度之间的函数图象不是直线，故氯化铵的溶解度与温度一定不满足一次函数关系，故选项A错误； 观察图可知，当时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大，故选项B正确，符合题意； 由图可知，时硝酸钾和氯化铵在水中的溶解一样，故选项C错误，不符合题意； 由题意可知，时，氯化铵的溶解度大于， ∴将氯化铵加到水中可得到不饱和溶液，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的系数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查单项式的系数．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为： 12. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】． 【解析】 【分析】由根的判别式，即可求出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式进行解题． 13. 在“经典诵读”比赛活动中，某校甲、乙两班各12名学生的参赛成绩如图所示，那么甲班学生参赛成绩的中位数_______乙班学生参赛成绩的中位数（填“>”，“<”或“=”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、扇形统计图、中位数．分别根据折线统计图、扇形统计图求出两个班学生参赛成绩，再根据再根据中位数的定义，即可求解． 【详解】解：观察甲班参赛成绩统计图可知：甲班学生参赛成绩从小到大排列为：85分、85分、90分、90分、90分、90分、95分、95分、95分、95分、95分、100分 ∴甲班学生参赛成绩的中位数为分； 观察乙班参赛成绩统计图可知： ，，， ∴乙班学生参赛成绩从小到大排列为85分、85分、85分、90分、90分、90分、90分、95分、95分、95分、100分、100分， ∴乙班学生参赛成绩的中位数为分； 综上所述，对于甲、乙两班学生参赛成绩的中位数，甲班比乙班大． 故答案为：>． 14. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（请填写序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④错误，不符合题意． 故答案为：①② 15. 如图，点E在正方形外，连接，过点A作的垂线交于点F．若，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识．求出，，证明，得到，得到，则，即可求出答案． 【详解】解：∵过点A作的垂线交于点F．， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查实数的混合运算，分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）先计算零次幂、负整数指数幂，化简二次根式的乘法，然后计算加减法即可； （2）先计算括号内的分式加减法，然后计算除法运算即可 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示． 类别 A B C D 视力 视力≥5.0 4.9 4.6≤视力≤4.8 视力≤4.5 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 为了解某校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有_______人，D类所在扇形的圆心角的度数是_______； （2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为_______类； （3）已知该校共有600名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数． 【答案】（1）4； （2）B （3）270人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据． （1）首先利用组的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以类所占的百分比即可求得类学生的人数； （2）用周角乘以类所占的百分比即可； （3）用样本数据估计总体数据即可． 【小问1详解】 解：观察两个统计题知：类有7人，占， 所以调查的总人数为（人）， 所以视力情况属于类的学生有（人）， 类所在扇形的圆心角的度数为． 【小问2详解】 解：每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人， 所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了类， 所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为类． 【小问3详解】 解：（人， 所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为270人． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的两个交点分别为和． （1）求直线的解析式； （2）过点作x轴的垂线，与直线和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2）或者． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象法解决问题． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）利用图象法即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵直线与函数的图象的两个交点分别为和． ∴把和代入，得 解得 ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与函数的图象的两个交点分别为和． 观察图象可知，满足条件的的值为：或者． 19. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． （1）根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； （2）请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 【答案】（1） （2）证明：由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， ， ． 【解析】 【分析】（1）①分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，②按照语句依次作图即可； （2）由作图可得： 再证明 再证明， 从而可得结论． 【小问1详解】 解：作出线段的垂直平分线，连接； 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接 【小问2详解】 略 20. 为测量三门峡市宝轮寺塔的高度，一位无人机玩家利用无人机在点P处测得其顶点A的俯角，其底端点B的俯角，此时无人机到地面的垂直距离，求宝轮寺塔的高AB．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】的高约为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的判定和性质，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义． 过点A作交于点D，根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案． 【详解】解：如图，过点A作交于点D，如图所示： ， 根据题意得：，， 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴米， 答：的高约为． 21. 景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： （1）用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是_______元； ②实际的销售量是_______个； （2）为了赚得10000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ （3）瓷盘售价定为_______元时，商家可获得最大利润？ 【答案】（1）①； （2）元 （3）65 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）根据售价进价利润，销量减少的销量实际销量进而得出答案； （2）利用总利润，进而得出方程求出答案； （3）利用二次函数最值求法进而得出答案． 【小问1详解】 解：①每个磁盘的实际利润是：（元）； ②实际的销售量是：元； 故答案为：；； 【小问2详解】 设瓷盘每个涨价元能赚得元的利润， 依题意得：， 解得：， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为元； 【小问3详解】 设售价定为元，总利润为元，则 ， ， 函数有最大值，当时，最大， 故答案为：65． 22. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为． （1）甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为时到达最高处，此时羽毛球离地面 ，如图1． ①求抛物线的解析式； ②通过计算判断此球能否过网； （2）甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 到与点O的水平距离为时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路线为直线的一部分，且经过点，如图2．问：乙能扣球过网吗?通过计算加以说明． 【答案】（1）① ②此球能过网 （2）乙扣球不过网 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）①运用待定系数法求出二次函数解析式即可； ②把代入抛物线的解析式中求出对应的y的值，再与比较大小即可判断是否过网；（2）将(0,1),(9,0)代入解析式中得到一个关于a、h的二元一次方程组，解方程组即可得出二次函数的解析式，得到点的坐标 ，然后求出乙扣球路线的解析式，代入即可解题． 【小问1详解】 解：①设抛物线解析式为 ， 由题意得， ， 解得 ∴， ②把代入 得:， ， ∴ 此球能过网； 【小问2详解】 把代入得: ，解得： ， ， 当时, ， ∴点的坐标 ， 设乙扣球路线的解析式为，则 解得 ， ， 当时, ， ∴乙扣球不过网． 23. 综合与实践 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣小组发现对于平面内的一个四边形，O是上一点，连接，存在点O，使得且，我们称四边形是“可等垂四边形”，点O为四边形的“等垂点”． 初步探索 （1）如图①，矩形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是_______； 类比探究 （2）如图②，四边形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为G和H．请写出，，之间的数量关系，并证明； 拓展应用 （3）如图③，在中，，，，点B，C为中不在同一边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出C，D两点之间的距离． 【答案】（1）； （2）， 证明：，． ， ． 四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，． ， ． ． ，． ． （3），两点之间的距离为或． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，则，证明，即可得到结论； （2）证明，则，，即可得到结论； （3）分两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图（1），过点作于点，则． 矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，， 是等腰直角三角形， ， ． ， 即． 故答案为： （2）略 （3），，， ． 由题意，得点，均不可能在边上，故分两种情况讨论． a．当点在边上，点在边上，且四边形为“可等垂四边形”时，如图（2），则． 设点为它的“等垂点”，连接，，过点作于点，则． 同理（2）可得， ，． 设，则． ， ， ， 即， 解得， ． b．当点在边上，点在边上，且四边形为“可等垂四边形”时，如图（3），则． 设点为它的“等垂点”，连接，，过点作于点，则， ， ， ，， ． 同理可证，． ， ． 连接，则． 综上，，两点之间的距离为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，读懂题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $