精品解析：河北省邯郸市2025届高三下学期第四次调研监测数学试卷

河北省邯郸市2025届高三下学期第四次调研监测数学试卷 班级_________ 姓名__________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间的三角函数值，下表是部分的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 6. 在正三棱锥中，分别在上，当周长最小时，的面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数有极大值 D. 函数在上的最小值为 10. 定义区间的长度为．已知函数的一个单调递增区间的长度为，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个单调递减区间长度也为 B. 若，则的三个相邻最值点构成等腰直角三角形 C. 存在包含原点的单调递减区间 D. 若，且在区间上单调递增，则的最大值为 11. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“负导值点”，下列函数中具有“负导值点”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，且，则公差___________． 13. 已知焦点为的抛物线与圆相切于两点，则的面积为___________． 14. 设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表： 良品 次品 合计 国产14纳米光刻机 170 80 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 180 500 （1）求的值； （2）以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率； （3）根据小概率值的独立性检验，能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异． 附：，其中为样本容量． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在平面四边形ABCD中，． （1）若，求CD的长； （2）设，将表示成的函数，并求的取值范围． 17. 直角梯形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，，分别是的中点． （1）证明：平面平面DFM； （2）求平面DEN与平面ENC夹角的余弦值． 18. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：. 19. 已知离心率且焦点在轴上的序列椭圆，其中的一个焦点为．过上一点作的两条弦，交于另两点，且的内心在垂直于轴的一条直线上． （1）求数列的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）若为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邯郸市2025届高三下学期第四次调研监测数学试卷 班级_________ 姓名__________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质得到，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 因为，所以，故D正确. 故选：D. 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由求参数，再结合必要不充分条件定义即可得解. 【详解】，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计算它们的数量积，最后通过化简得到与的关系式． 【详解】，即． 故选：A. 4. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间的三角函数值，下表是部分的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 5. 已知随机变量，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性得到，进而建立方程，求解出，再利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为正态分布曲线关于对称，所以， 因为，， 所以，即，解得或（舍去）， 由正态分布的性质得，故B正确. 故选：B. 6. 在正三棱锥中，分别在上，当周长最小时，的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用正三棱锥的性质得到侧面展开图中角的度数，再根据侧面展开图中线段与三角形周长的关系，得出周长的最小值，然后通过正弦定理求出PM的长度，最后利用三角形面积公式求出的面积． 【详解】三棱锥是正三棱锥，，沿AP剪开，使侧面铺开在一个平面上， 如图，则，则周长的最小值为 ． 故选：B. 7. 6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出共有种情况，再利用捆绑法和插空法结合古典概型概率公式求出和，最后利用条件概率公式求出结果即可. 【详解】我们先把6个不同的芯片全排列，共有种情况， 设甲，乙两个芯片不相邻为，丙、丁相邻为， 当甲，乙两个芯片不相邻时，先对除了甲、乙两个芯片的其它芯片全排列， 其它芯片全排列共有种情况，产生了个空， 将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有种情况， 由分步乘法计数原理得此时共有种情况， 在该条件下，我们将丙，丁进行全排列，共有种情况， 将丙丁整体和除了甲乙以外的芯片全排列，共有种情况，产生了个空， 将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有种情况， 由分步乘法计数原理得此时共有种情况， 故，， 则由条件概率公式得，故D正确. 故选：D. 8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设内切圆圆心为，三个切点分别为，由切线长定理可得，进而可得，设，利用余弦定理可得，利用三角形面积公式可得，进而得，利用勾股定理可求离心率. 【详解】设内切圆圆心为，三个切点分别为， 如图，由切线长定理可得， 即 ，圆与轴切于左端点．内切圆半径． 设，， ， •， ，，， 由勾股定理，整理得， 所以，解得，即或（舍去）， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数有极大值 D. 函数在上的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】因，则通过导数的定义可通过求来判断A；通过求导，研究的单调性可判断BCD. 【详解】由题意可得， 因，则，故A不正确； 由得或，由得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，故B正确，C正确， ，则函数在上的最小值为，故D不正确． 故选：BC. 10. 定义区间的长度为．已知函数的一个单调递增区间的长度为，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个单调递减区间长度也为 B. 若，则的三个相邻最值点构成等腰直角三角形 C. 存在包含原点的单调递减区间 D. 若，且在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接与正弦型函数的单调性、最值判断AB；其一个单调增区间满足，求解判断C；包含0的递增区间由不等式，解得，可判断D. 【详解】对于A，一个增区间的长度等于一个减区间的长度，等于半个周期，故A正确； 对于B，相邻三个最值点可能是两个最大值点一个最小值点或是两个最小值点一个最大值点， 若是两个最大值点，其距离等于，其高等于最大值减去最小值等于2，故B正确； 对于C，，其一个单调增区间满足，即，其中包含原点，故C不正确； 对于D，若，则，包含0的递增区间，由不等式，解得， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 11. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“负导值点”，下列函数中具有“负导值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数解析式，求导，结合题意建立方程，根据函数与方程的关系，可得答案. 【详解】对于A，即为无解，A不正确； 对于B，不是方程的解， 不等于零时方程化为为，由的图象有交点知该方程有根，B正确； 对于C，即为，由函数及的图象无交点知该方程无解，C不正确； 对于D，即为， 设，，令，， 由，解得，，解得，则函数在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值，是增函数，，， 由基本初等函数的图象与的图象知该方程有一个根，D正确． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，且，则公差___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式与通项公式即可求解. 【详解】由题意得，解得． 故答案为：. 13. 已知焦点为的抛物线与圆相切于两点，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】联立抛物线与圆的方程，利用可求，进而求得两点坐标，可求的面积. 【详解】将抛物线方程代入曲线中：， 由，得，解得或， 由，可知，所以两点横坐标均大于等于0，故不符合题意， 两点的横坐标为，纵坐标为， 由抛物线方程可得，． 故答案为：. 14. 设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将恒成立问题转化为曲线位置问题，再研究曲线相切的情况，利用导数的几何意义求出的取值，最后再分析曲线的性质得到取值范围即可. 【详解】因为存在实数，使得恒成立， 所以， 若满足条件，只需在曲线的下方， 且在曲线的上方即可， 但我们只需找到与曲线均相切时的的值即可， 我们先研究与曲线相切时的情况， 设切点为，，由导数的几何意义得， 将代入中，得到，解得， 故，解得，代入中，得到， 设当与的切点为，， 将代入中，得到， 由导数的几何意义得，解得， 而在曲线的下方，且在曲线的上方， 则越小，越大，更容易满足题意，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表： 良品 次品 合计 国产14纳米光刻机 170 80 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 180 500 （1）求的值； （2）以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率； （3）根据小概率值的独立性检验，能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异． 附：，其中为样本容量． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2） （3）不能判断 【解析】 【分析】（1）由题意易求； （2）求得样本中的次品的频率，用频率估计概率即可； （3）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 由题意得，. 【小问2详解】 样品中，国产14纳米光刻机次品的频率为， 国产14纳米光刻机的次品率约为． 【小问3详解】 零假设：国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异， ， 依据的独立性检验，不成立， 不能判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机有差异． 16. 如图，在平面四边形ABCD中，． （1）若，求CD的长； （2）设，将表示成的函数，并求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，求解即可； （2）在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，进而可得，可求的取值范围． 【小问1详解】 由余弦定理， 即， 或． 【小问2详解】 ， ． 在中，由正弦定理得， 即． 在中，， 即， ， 即， ． 17. 直角梯形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，，分别是的中点． （1）证明：平面平面DFM； （2）求平面DEN与平面ENC夹角的余弦值． 【答案】（1）如图，过作AD的垂线交于，，． ， ，，平面， 平面平面，平面平面， 平面，． 又分别是AB、AF的中点， ，， ，即， 又，平面， 平面，又平面， 平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理得出平面，再证出平面，进而证出结论； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再计算面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示的空间坐标系， 则， ． 设平面的法向量为， ， 令，． 设平面的法向量为， ， 设，． 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：. 【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （2）要证，即证. 由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，即， ，. 令， ， ∴在上单调递增， ∴当时，，即， ∴，即， ∴原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）由函数的解析式可知函数的定义域为及导函数，对分和两类讨论即可求解； （2）由（1）知当时，，即，进而可得.令，对函数求导可知在上单调递增，可得，故，原不等式得证. 【小问1详解】 由题知：，其定义域为，. 当时，则，在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查利用导数讨论含参函数的单调性，证明函数不等式恒成立问题，属于难题. 研究含参函数的单调性常用分类讨论的数学思想； 对于函数不等式的证明，常采用放缩法，如本题中，证明不等式恒成立的问题关键在于不等式的等价转化. 19. 已知离心率且焦点在轴上的序列椭圆，其中的一个焦点为．过上一点作的两条弦，交于另两点，且的内心在垂直于轴的一条直线上． （1）求数列的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）若为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：. 【答案】（1） （2） （3）由（2）知的方程为，此时， ，， 到直线的距离， 的面积， 解得满足， ． ， ， 则 ． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而可得，可求数列的通项公式； （2）设的方程为．联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系可得，由已知可得，进而可得，计算可求直线的斜率； （3）求得，结合三角形的面积可得，可得，可证明结论. 【小问1详解】 由，解得． 的一个焦点为， ， ． 【小问2详解】 由（1）知． 的内心在垂直于轴的一条直线上， ． 设的方程为． 代入中整理得：． ，即， ， ， 由得， 即， 代入与整理得， 当时，过点，舍去． ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $