广东省广州市第六十五中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

广州市第65中学2023-2024学年第二学期期中考试 高一数学 命趣人：唐慧 校对人：黄文晋 说明：本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分：第I卷客观题58分，第Ⅱ卷主观题92分，共150 分：第I卷需用2B铅笔填涂到答卷上，第Ⅱ卷用黑色的签字笔或钢笔于答卷上作答：考试 时间120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.若0-)=1，则复数z的虚部为( A.-1 B.- C.1 D.i 2.如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O, 则OM=() A.Om=B+而 B.0丽=182D cm丽-而 21 D.a丽而-而 3.已知a4BC的外接圆圆心为0，且2A0=店+AC可=，则向量历在向量C上的 投影向量为() A.BG B. C.-8c D.BC 4中国南北朝时期数学家，天文学家祖冲之、祖啦父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有 关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高详细点说就是， 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面 的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖暅原理如图，一个上底 面边长为1，下底面边长为2，高为3√3的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”， 则该不规则几何体的体积为() A.24 B.245 C.27N5 D. 65中期中考试试卷高一数学第1页共4页 5.已知m,n是两条不同的直线，：，B是两个不重合的平面，则下列命题正确的是() A.m∥a,n∥B,a∥B=m∥nB.a⊥B,mca,ncB→m⊥n C.m∥n,m⊥a,ncB→a土B D.a⊥B,m⊥a→mcB 6.在△ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,a2+b2-c2=2W3 absinC,且|AB+ACBC1, 则B=( A骨 B.月 c.8 D.君 7.已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是() A.若acos A=bcosB,则VABC是等腰三角形 B.若一口=sin2号，则VABC是直角三角形 2c C.若B=60°，b2=ac,则VABC是直角三角形 D.4a=b cosA cosB ”是“VABC是等边三角形”的充分不必要条件 8.在VABC中，AB=AC=5,BC=8,P为VABC内的一点，A亚=xAB+yAC,则下列说法正 确的是() A若P为y8C的藏心，则2x+y号B.若P为NBC的蛋心，则x+y=-号 C.若P为vBC的外心，则丽C=2D.若P为vBC的内心，则x+y号 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9,设复数z的共轭复数为z,1为虚数单位，则下列命题错误的是() A.2= B.若z=cos2+isin2,则z在复平面内对应的点位于第二象限 C.z= 2-i 是纯虚数 1+2i D.若z-3+4州=1，则的最大值是6 10.已知向量a=(cos8,sin8),6=(-3,4),则() A.若动6，则m0=号 B.若a15,则5血 C.a-可的最大值为6 D.若a(a-)=0,则a-=2N6 65中期中考试试卷高一数学第2页共4页 11.如图，AC为正圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于AC的动点，S0=OC=2, 则下列结论正确的是() A.圆锥S0的侧面积为42π B。三棱锥S-ABC体积的最大值为胃 C.∠SAB的取值范围是 剖 D.三棱锥S-ABC体积最大时，其内切球半径为4-25 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图是边长为2的正方形0AC,则该平面图 形的周长为 (第12题图) (第14题图) 13.已知向量ā=(-2,1)，6=(L,k),且云与6的夹角为钝角，求实数k的取值范围 14.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-ARGD中，点E,F分别是梭BC,CC的中 点，Q是侧面BCCB内一点，若A2∥平面AEF则线段A,2长度的最大值与最小值之和 为 四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤， 15.(13分) 已知同=4,5=2，且ā与6的夹角为120，求： ()求a6: 2)求2a-: (3)若向量2a-石与ā-35平行，求实数1的值 65中期中考试试卷高一数学第3页共4页 16.(15分)某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校 操场选择了同一条直线上的A,B,C三点，其中AC=40m,点B为 AC中点，兴趣小组组长小王在A,B,C三点上方5m处的A,B, C观察已建建筑物最高点E的仰角分别为a,B,Y,其中tana=1, tanB=2,tany=3,点D为点E在地面上的正投影，点D,为DE上 与4，B,C位于同一高度的点 (I)求建造中的建筑物已经到达的高度DE; (2)求 血LADB的值. in∠B,D,C 17,(15分)已知锐角VABC的内角A,B,C.所对的边分别为a,b,c,向量m=(sinC,cosC), =(2sin A-cos B,-sin B),m n. ()求角C的值： (2)诺a=4,求b+c的取值范围. 18.(17分)如图，已知AA⊥平面ABC,BBI1AA,AB=AC=3,B BC=2W5,A=N7,BB,=2W万，点E为BC的中点 (I)求证：AE⊥平面BCB: (2)求直线AB与平面BCB所成角的大小： (3)若点F为AC的中点，求点C到平面AEF的距离， 19.(17分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD是正三角 形，平面PAD⊥平面ABCD,M是PD的中点. (I)求证：PB∥平面MAC: (2)求二面角M-AC-D的余弦值： (3)在棱PC上是否存在点Q使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果 存在，求出二的值：如果不存在，请说明理由。 OC 65中期中考试试卷高一数学第4页共4页广州市第65中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学 命题人：唐慧 校对人：黄文晋 说明：本试卷分第1卷和第Ⅱ卷两部分：第1卷客观题58分，第Ⅱ卷主观题92分，共150分：第 I卷需用2B铅笔填涂到答卷上，第Ⅱ卷用黑色的签字笔或钢笔于答卷上作答：考试时间120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.若-)=1，则复数z的虚部为() A.-1 B.-i C.1 D.i 【答案】C 【详解】由条件可知，1-京=1+i,所以：的虚部为1. 2.如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O,则OW=() A.0m=丽+而 6 B.OV -148-2AD 3 D 丽西而 c. D.OM-1A8-AD 6 3 【答案】D B 【详】因为4100，且2光-2，所以89-2， OM 即o丽=}丽=(-而)-2丽-而 3.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2A0=AB+AC,=B,则向量B在向量C上的投影向 量为() A. B.3BC c.-I8c D. 3BC 4 4 【答案】C 【详解】因为2AO=AB+AC, 所以VABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图， 又4=4可，所以△ABO为等边三角形， 65中期中考试试卷高一数学第1页共17页 则∠ABC=60,故AB=BCcos60, 所以向量B在向量BC上的投影向量为： AB-BC BC AB BCcos120°.BC-BC cos260°BC BC BC BC BC 故选：C 4.中国南北朝时期数学家，天文学家祖冲之、祖脂父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作， 提出“幂势既同，则积不容异”“幂“是截面积，“势“是几何体的高详细点说就是，夹在两个平行平面 之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几 何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖啦原理如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高 为33的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为() A.24 B.245 C.275 D. 63 【答案】D 【详解】由祖咖原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等， 设该正六棱台的上下底面积分别为S,S,高为h, 则s-6分k血w-9.号-6r*2x2hw=65.h=35。 2 故r-+网+品h-分56店6o3g 5,己知m,n是两条不同的直线，《，B是两个不重合的平面，则下列命题正确的是() A.m∥a,n∥B,a∥B→m∥n B.a⊥B,mCa,ncB→m⊥n C.m∥n,m⊥a,ncB→a⊥B D.a⊥B,m⊥a→mcE 【答案】C 【详解】对于A:m∥a,n∥B,a∥B台m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误： 对于B:由a⊥B,mCa,nC阝，可能m⊥n,可能m∥n,还可能异面不垂直， 也可能相交不垂直，故B错误： 对于C:由m∥n,m⊥a,则n⊥a,又nCB,则a⊥B,故C正确： 对于D:a⊥B,m⊥a→mCB或mIB,故D错误 65中期中考试试卷高一数学第2页共17页 6.在△4BC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,a2+b2-c2=25 absin C,且|AB+AC BC1, 则B=() A月 B. c.2 D君 【答案】A 【详解】ad2+b2-c2=2 abcos C=2N3 absin C, tanc= ,Ce0,), 3 4.C-I 又知1AB+ACHBCHAC-AB1,平方可得AB·AC=0, 7.已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是() A.若acosA=bcos B,则VABC是等腰三角形 B.若=sm号，则VABC是直角三角形 2c C.若B=60,b=ac,则VABC是直角三角形 D.“a b“是VABC是等边三角形"的充分不必要条件 cos A cos B 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知式边角互化，根据正弦函数，余弦函数的图象，借助于 二倍角公式、降幂公式化简即可一一判断正误 【详解】对于A项，由acosA=bcosB和正弦定理，sin AcosA=sin Bcos B, 即sin2A=sin2B,故得2A=2B或2A+2B=T, 即A=B或A+B=:,即VABC是等腰三角形或直角三角形，故A项错误： 2 对于B项，由=m号和正弦定理， sin C-sin A 1-cos B 2sinC ,化简得，sinA=sin Ccos B(), 2 因A=元-(C+B).则sinA=sin Ccos B+cosCsin B,代入()，得sin BeosC=0, 因0<BC<x,$inB>0,则cosC=0,故C=,即B项正确： 2 对于C项，因B=60,b2=ae,由余弦定理，b2=a2+c2-2 ac cos B, 65中期中考试试卷高一数学第3页共17页 代入化简得，(a-c)2=0,即得a=c,故VABC是等边三角形，故C项错误： 对于D项，若VABC是等边三角形，则a=b.cosA=cosB=即a b 必成立， 2 cos A cos B 故0 b 。”是“VABC是等边三角形”的必要条件，故D项错误。 cos A cosB 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题主要考查三角形中正弦定理、余弦定理的应用，属于较难题 解决此类题的方法主要有： (1)边的齐次型问题，一般考虑运用正弦定理化边为角： (2)内角的正弦的齐次型，一般考虑运用正弦定理化角为边： (3)边或正弦的二次型，一般考虑直接运用余弦定理或化角为边后再用余弦定理： (4)正余弦混合的二次型，一般考虑运用降幂公式降次， 8.在VABC中，AB=AC=5,BC=8P为VABC内的一点，AP=xAB+yAC,则下列说法正确的是 () 7 A,若P为VABC的重心，则2x+y号B.若P为YABC的垂心，则x+y= 若P为yABC的外心，则P丽C=32D,若P为YBC的内心，则x+上 【答案】B 【详解】如图建立平面直角坐标系，A(0,3),B(4,0),C(4,0), 对于A:若P为VABC的重心，则P(0,1), 所以AP=(0,-2),AB=（4,-3)AC=4,-3)） 若AP=xAB+yAC,则 [-4x+4y=0 -3x-3y=-2解得x=y=子所以2x+y=1,A不正确： 对于B:若P为VABC的垂心，其必在AO上，设P(O,m),CP=(4,m) 则示西-(4网(4到=16-3=0，解得台 65中期中考试试卷高一数学第4页共17页 此时-0=(43C=4-3 -4x+4y=0 若P=xAB+yAC, 则 3--} 解得x=y=-乙 ，1所以x+y三一。，BE角： 对于C:若P为VABC的外心，其必在直线AO上， 所以PB.BC=(PO+OBC=PO,BC+OB.BC48《)=32,C错误： 对于D:若P为VABC的内心，设内切圆半径为r, 则×8x3=之r5+8.得r号则P0到引40，) 此时P-0-到=(43儿.C=4-) -4x+4y=0 若AP=xAB+yAC,则 解得y音所以+y号D不正确 5 -3x-3y=- 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设复数z的共轭复数为三，i为虚数单位，则下列命题错误的是() A.2=f B.若：=cos2+isin2,则三在复平面内对应的点位于第二象限 c.=1+2 2-i 是纯虚数 D.若：-3+4=1，则的最大值是6 【答案】AB 【详解】A选项，设z=2+i,则2=(2+=4+4i+2=3+4i,=2+12=5,故2≠，A错 误： B选项，8=co2-n2,因为2e爱 所以cos2(0,sin2)0→-sin2<0,则：在复平面内对应 的点位于第三象限，B错误： 2-1（2-i0-21.2-i-1+213-1,为纯虚数.c正确： c选项+200-2 5 D选项，若：-3+4=1，则：的几何意义为到点(3,4)的距离为1的圆上的点， 此圆上的点到原点的距离最大值为圆心(3,4)到原点的距离加上半径1， 故的最大值为√3-0+(4-0+1=6，D正确. 65中期中考试试卷高一数学第5页共17页 故选：AB 10.已知向量a=(cos0,sin0),b=(-3,4),则() A.若ai,则am0=3 4 B.若aL6,则sm0 5 C.后-的最大值为6 D.若a-(a-)=0,则a-=2v6 【答案】ACD 【详解】对A:若石6，则4cos0=-3n0,解得am8=-行A正确： 对B:若五∠6，则-3cos0+4sn0=0,解得am0=子所以n0=士号B错误 对C:因为同=cos20+sim0=1,-3旷+4.5，而a-≤同+月=6，当且仅当a,6反向 时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量ā，万的起点为坐标原点，向量ā的终点在以坐标原点 为圆心，半径为1的圆上，向量b=(-3,4)终点在第二象限，当a,b反向，则向量a=(cos0,sin0)的 终点应在第四象限， 此时cos0-子s血0=一子所以C正确： 3 对D:若a·(a-b=0,则cos8(cos0+3)+sine(sin0-4)=0, 即cos20+3cos0+sin20-4sin0=0,所以4sin0-3cos0=1, a-=V(cos0+3+(sin0-4了=6cos0-8sin0+26,所以a-=V24=26,D正确. 11.如图，AC为正圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于AC的动点， S0=OC=2,则下列结论正确的是() B D A.圆锥SO的侧面积为4W2π B。三棱锥S-8C体积的最大值为号 C么你的取值范是（任剖 D.三棱锥S-ABC体积最大时，其内切球半径为4-2√5 65中期中考试试卷高一数学第6页共17页 【答案】ABD 【详解】在R△SOC中，SC=√S0+OC=22,则圆锥的母线长1=2√5，半径r=0C=2, 对于A,圆维SO的侧面积为：l=4√2π，A正确： 对FB,*8scs0-言248c≤48+sC)名4C-号 32 当且仅当B=BC=25时等号成立，即B=BC=2反时三棱维S-ABC的体积取最大值号 对于C,△SMB是等腰三角形，SM=B,又因为S+SC=16=4C,则∠4C= 依题意，0<48<经面∠B=受8，因此∠SBe,C错误 对于D,结合B选项的解析可知， 当且仅当AB=BC=2反时等号成立，即AB=BC=25时三棱锥S-ABC的体积取最大值8 此时三棱维S-ABC的表面积为：S=2x5x25x25+2××2WE×22=45+8, 4 设三棱锥S-ABC的内切球半径为R, 由等体积法可得R= 3Vs-C= 38 3=425·故D对 S-4V5+8 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图是边长为2的正方形OABC,则该平面图形的周 长为 【答案】16 【详解】画出原图形如下：四边形OABC为平行四边形， 65中期中考试试卷高一数学第7页共17页 其中0B=22+2=22,故0B=20B=4W2, 0A=BC=2,由勾股定理得AB=√OA?+OB=√32+4=6， 故该平面图形周长为AB+CO+AO+BC=12+4=16 故答案为：16 13.已知向量ā=(-2,1)，万=(L,k),且ā与6的夹角为钝角，求实数k的取值范围 【答（引 【详解】向量ā=(-2,1)，6=(L,k),且ā与万的夹角为钝角，则āb<0(且排除反向共线情况)。 当ab<0时，则-2+k<0,解得k<2 当当ā，5反向共线时，1=-2k,解得k=-】 综上所得，求实数k的取值范围为 故答案为： （(刘 14.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-ABGD中，点E,F分别是棱BC,CC的中点，Q是 侧面BCC,B内一点，若AQ∥平面AEF则线段AQ长度的最大值与最小值之和为 D D 【答案】25+35 4 【详解】下图所示： 65中期中考试试卷高一数学第8页共17页 D D 分别取棱BB、BC的中点M、N,连接MN,连接BC, :M、N、E、F为所在棱的中点，MN/BC,EF /IBC, :MN I/EF,又MNZ平面AEF,EFc平面AEF, .MNII平面AEF: AA/INE,AA=NE,∴四边形AENA为平行四边形， 点ANIIAE,又AN在平面AEF,AEC平面AEF, AN1I平面AEF, 又AN∩MN=N,AN,MNc平面AAMN,∴平面AMN I/平面AEF, Q是侧面BCC,B内一点，且AQ1I平面AEF, 则Q必在线段MN上， 在△A8M中.4M=8+8n=-+令=5 2 同理，在△48N中，求得4N= 2 ·aAMN为等腰三角形 当Q在MN中点O时4Q⊥MW,此时AQ最短，Q位于M、N处时AQ最长， AO=√4M-OM 5-232 4 4M=4N= 2 所以线段40长度的是大值与最小值之和为35,525+3迈 424 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 15.(13分) 已知同=45=2，且a与6的夹角为120，求： 65中期中考试试卷高一数学第9页共17页 (1)求a6: (2)求2a-6: (3)若向量2ā-5与ā-3站平行，求实数2的值。 【答案】(1)4 (2)22i 3)±6 【详解】D由圈意可得a6-月eos120=4x2×(习》4 (2)2a--2a-万=√4-4a.6+B-4×16+16+4=22 (3)因a与6不共线，则a-36+0, 由向量2a-乃与1a-36平行可知，存在实数“使得2ā-h=u(2ā-36)， 即(2-d)a=(d-3)6, 则2-d=1-3μ=0，得入=±√6 16.(15分) 某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直 线上的A,B,C三点，其中AC=4Om,点B为AC中点，兴趣小组组长小王在A,B,C三点上 方5m处的A4,B,C观察已建建筑物最高点E的仰角分别为a,B,Y,其中tana=1,tanB=2, tany=3,点D为点E在地面上的正投影，点D为DE上与A,B,CG位于同一高度的点. (1)求建造中的建筑物已经到达的高度DE: (2)求 sin∠ADB sin∠B,D,C 的值 【答案】(5+120W面 11 【详解】(1)如图，设ED=h,因为在A,B,C处观察已建建筑物最高点E的仰角分别为a, B,Y,tana=1,tan B=2,tany=3, 65中期中考试试卷高一数学第10页共17页