第二章 平行线与相交线 单元检测卷A 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

北师大2024版数学七年级下册 单元检测卷A 第二章 平行线与相交线 考试范围：北师大2024版第二章 （考试时间：120分钟 总分：120分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1．若一个角的余角是，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行 4．如图1，两根木条，分别与木条钉在一起，三根木条在同一平面内，固定木条和，顺时针转动木条，使（如图2），图1中，．木条至少转动的角度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图为户外坐椅的侧面图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，两块平面镜的夹角，两条平行光线和分别射到两块平面镜上，它们的反射光线的反向延长线与的反向延长线的夹角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，点在边的延长线上，添加下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．如果一个角的补角是，那么这个角的余角是 ． 12．如图，已知在直线外有一点C，用“推三角板”的方法，经过点C作直线，则所作直线与直线平行，这种画法的依据是 ． 13．如图，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则 ． 14．如图是从电动伸缩门抽象出的局部示意图，若，，则的度数为 ． 15．如图，平分，，，则 ． 16．已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17．（本题6分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下述要求画图． (1)画直线； (2)画线段； (3)过点画直线的垂线，垂足为； (4)在线段中，最短的线段为___________，依据为___________． 18．（本题6分）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：∵____________（________________________）， 又∵（已知）， ∴（等式的基本事实） ∴____________（________________________）． ∴_______（________________________）． 又∵（已知）， （________________________）． ∴（________________________）． 19．（本题6分）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一条直线上，点G，N，H在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图（2），延长交于点P． ∵（已知）， ∴（________）． 又∵（已知）， ∴________（________）． ∴（________）． ∴_________（________）． 又∵_________（已知）， ∴（________）． ∴（________）． 20．（本题6分）如图，直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 21．（本题6分）【问题情境】如图，，连接，垂足为点． 【问题解决】（1）如图1，若，则的度数为__________； 【问题拓展】（2）如图2，过点作，交的延长线于点，请说明与的数量关系； （3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数． 22．（本题8分）如图，点，分别在，上，且，的平分线交于点，点在上，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 23．（本题10分）问题：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角有什么数量关系？探究： （1）如图（1），，，探究与的关系为________． （2）如图（2），，，猜想与的关系，并说明理由； 结论：请用一句话概括上面得到的结论：_________． 运用：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少，求这两个角分别是多少度？ 24．（本题12分）如图．已知，直线分别交，于点、． (1)如图1，点P为直线、之间，直线右侧一点，且满足，．求的大小： (2)如图2，在（1）的条件下，射线交的延长线于点，若，求证：平分； (3)如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点（不与点F重合），内靠近的三等分线交于点，若，直接写出的大小．（用含的式子表示） 25．（本题12分）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．探照灯发出的光束可分别看作射线和射线，已知铁路两边是平行的（即），且．如图，灯A光束从射线开始顺时针旋转至便立即回转，灯B光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度． 【问题提出】 （1）填空：______． 【问题解决】 （2）若灯B的光束射线先转动15秒，灯A的光束射线才开始转动，在灯B的光束射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《北师大2024版数学七年级下册 单元检测卷A》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A C C A B C B 1．B 【分析】本题主要考查余角，解题关键是熟练掌握互为余角的定义． 根据两个角的和是，那么这两个角是互为余角，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵一个角的余角度数是， ∴这个角的度数为：， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可， 【详解】解：A选项，与是对顶角，不是同位角，故该选项不符合题意； B选项，与是同位角，故该选项符合题意； C选项，与是内错角，不是同位角，故该选项不符合题意； D选项，与是同旁内角，不是同位角，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离及直线和直线的位置关系，根据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离的定义及直线和直线的位置关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项说法错误，不符合题意； 、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，该选项说法错误，不符合题意； 、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，该选项说法错误，不符合题意； 、在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 4．A 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等得出当时，，结合题意即可求解． 【详解】解：若，则， ∵固定木条和，顺时针转动木条， 即当时，； 此时木条顺时针转动． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由平行线的性质推出，再由对顶角相等得出即可求出的度数． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，掌握两直线平行、内错角相等成为解题的关键． 由平角的定义可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵，， ∴， ∵与地面平行， ∴． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查平行线的性质，过P作，得到，推出，，得到，同理：，由光的反射定律和对顶角的性质得到，，推出，得到． 【详解】解：过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理：， 由光的反射定律得到：， ∵， ∴， 同理：， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定定理即可得到答案． 【详解】解：可得，不能证明，故选项A不符合题意； 可得，故选项B符合题意； 不能判定直线平行，故选项C不符合题意； 可得，不能证明，故选项D不符合题意； 故选B． 9．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角板的特征、角度的计算等知识点，作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过A作，则，利用平行线的性质得出，进而利用三角板的特征求出，最后利用平行线的性质即可． 【详解】解：如图：过A作，则， ， ， ， ∵，直线， ∴ ， 故选C． 10．B 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 11． 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，度数之和为180度的两个角互补，据此求出这个角的度数，再根据度数之和为90度的两个角互余，据此可求出这个角的余角的度数． 【详解】解：∵一个角的补角是， ∴这个角的度数为， ∴这个角的余角的度数为， 故答案为：． 12．同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了作图一复杂作图，平行线的判定，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握平行线的判定． 根据画法得到同位角相等，然后根据平行线的判定方法可得到经过点C的直线与平行． 【详解】解：如图， 由图形痕迹可得，则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点C的直线与平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 13．/100度 【分析】本题考平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和，解题的关键是综合运用上述知识点，通过等量代换得出与的关系． 过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过F作， ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中，， 即， ∴， 故答案为： 14． 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据题意得到，，即可得到答案． 【详解】解：平分，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．或 【分析】本题主要考查了相交线和角平分线有关计算．熟练掌握垂线定义，角平分线定义，余角补角定义，分类讨论，是解本题的关键． 当点F和点C在同侧时，根据垂直定义得，结合，得，根据角平分线定义，得；当点F和点C在异侧时， 可得，得，得． 【详解】解：当点F和点C在同侧时， ∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 当点F和点C在异侧时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，点到直线的距离垂线段最短 【分析】本题考查了作图知识及把几何语言转化为几何图形的能力，熟练掌握直线、射线、线段和垂直的定义是解答本题的关键． （1）根据直线的特征画图即可； （2）根据线段的特征画图即可； （3）结合网格，过点作垂线画图即可． （4）根据垂线段最短，并结合题干信息即可求解 【详解】（1）解：连接点、点并延长，如图： ； （2）解：连接点、点和点、点，且不要延长出点，如图： ； （3）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图： ； （4）解：∵垂线段最短， ∴最短的线段为， 故答案为：，垂线段最短 18．；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；等式的基本性质；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，先由已知条件和对顶角相等证明，则可证明得到，再证明即可证明结论． 【详解】证明：∵（对顶角相等）， 又∵（已知）， ∴（等式的基本事实） ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， （等式的基本性质）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 19．两直线平行，内错角相等；；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．延长交于点P，根据平行线的性质得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，，最后根据补角的性质，求出结果即可． 【详解】证明：如图2，延长交于点P， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）. 又∵（已知）， ∴（等式的基本事实） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（同角的补角相等） 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，对顶角相等，熟知垂线的定义是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案； （2）设，则，根据垂线的定义可得，解方程求出，则． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 21． （1） （2）与的数量关系为：，理由见详解 （3） 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是关键． （1）根据平行线的性质得到，由垂直的定义得到，再根据平行线的性质得到，由此即可求解； （2）根据平行线的性质得到，由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，则，等量代换即可求解； （3）根据平行线的性质，角平分线的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）与的数量关系为：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，即， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，且， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在（2）的条件下，则有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，得到，结合角平分线，得到，从而有，证得； （2）根据题意，求出，利用（1）的结论，得到． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：，平分， ， ， ， ， ， ． 23．（1）（2）猜想：（或与互补），理由见解析；结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；运用：这两个角分别是，或，． 【分析】本题主要考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，一元一次方程的应用． （1）根据，得出，根据，得出，即可得出； （2）根据，得出，根据，得出，即可得出； （3）根据解析（1）（2）即可得出结论； （4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，根据（3）的结论进行讨论：或，然后分别解方程求出x，则可得到对应两个角的度数． 【详解】解：（1）．理由如下：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 结论：请用一句话概括上面得到的结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 运用：设一个角的度数为x，则另一个角的度数为， 当，解得，则这两个角的度数分别为，； 当，解得，则这两个角的度数分别为，． 综上所述：这两个角的度数分别为，或，． 24．(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，角的和差计算等内容，分类讨论是解题的关键． （1）过拐点作平行线，过作于点，由题易得； （2）过作，则，设易得，，所以，再根据（1）中结论易得，因此， 利用平角定义得到即可得证， （3）分类讨论，画出图形，参考（2）方法设参，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ， ， ， ， ， ， ， . ； （2）证明:过作，则， 则， 设，则， ， ， . ， 由（1）可知， ， ， 根据平角的定义可得， ， 平分； （3）解:①当在左侧时， 设，， ． ， ， 是靠近的三等分线， ， ， ： ②当在右侧且在左侧时， 设，， ， ， ， 是靠近的三等分线， ， ； ③当在右侧时， 设，， ， ， ， 是靠近的三等分线， ． 此时负值舍去； 综上，或． 25．（1）；（2）当秒或秒时，两灯的光束互相平行 【分析】本题考查角的和差计算，平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键： （1）根据平角的定义，结合，求出的度数即可； （2）分和，两种情况，画出对应的示意图进行求解即可． 【详解】解：（1），，即， ∴ ， 故答案为：； 设灯转动秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图， ， ， ， ， ， 解得 ； 当时，如图， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$