精品解析：湖北省部分高中2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

2025年湖北省部分高中春季高二年级期中联考 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 祝考试顺利 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】由，则， . 故选：C. 2. 5名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团至少1人，不同的报名方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将5人分成四组，再分配得解. 【详解】由题，先将5人分成四组有种，再将四组分配给4个社团有种， 所以不同的报名方法有种. 故选：B. 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的四则运算与复合运算求得导函数，从而可得切线斜率，确定切点纵坐标，结合直线方程即可得所求； 【详解】， 则斜率，又， 所以函数在处的切线方程为，即. 故选：A. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，可得， 令，可得， 所以， 故选：A 5. 设，若为函数的极小值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，令，解得或，然后分和，结合的正负讨论判断函数的极值点即可. 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 若，即时， 当时， 令，解得或；令，解得， ∴函数在，上单调递增，在上单调递减， 此时是函数的极大值点，不符合题意； 当时， 令，解得；令，解得或， ∴函数在上单调递增，在，上单调递减， 此时是函数的极小值点，满足题意， 此时由，可得； 若，即时， 当时， 令，解得或；令，解得， ∴函数在，上单调递增，在上单调递减， 此时是函数极小值点，满足题意， 此时由，可得； 当时， 令，解得；令，解得或， ∴函数在上单调递增，在，上单调递减， 此时是函数的极大值点，不符合题意， 综上，一定成立. 故选：D. 6. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的定义域和的单调性判断即可. 【详解】由题意可得，解得且，即定义域为，可排除D， 设，则， 所以当时，；当时，，即， 所以当时，，可排除A；当，，可排除A， 综上，C为正确选项. 故选：C 7. 已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，探讨函数的奇偶性、单调性，再逐项判断作答. 【详解】令函数，而函数是偶函数，则， 即函数是奇函数，当时，求导得， 即函数在上递增，则在上递增， 因为，所以，即， 所以，虽然，但不能确定与的大小，故ABC错误，D正确. 故选：D. 8. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定函数的定义域，求导，根据函数有3个零点，可得在有两个变号零点，结合二次函数根的分布列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域满足：，解得， 则函数的定义域为， ， 要使得函数有3个零点，则在有两个变号零点， 令，整理得，所以， 解得，故实数的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的运算法则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，若，则，故选项A正确； 对于B，若，则，故选项B错误； 对于C，若，则，故选项C正确； 对于D，若，则，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，则共有96种排法 B. 2名男生和5名女生站成一排，则2名男生相邻的排法共有1280种 C. 2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有4800种 D. 2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有3120种 【答案】AD 【解析】 【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A的正误；利用捆绑法，可判断B的正误；利用插空法，可判断C的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余4个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确； 对于B：2名男生相邻，有种排法，和剩余5名女生排列，相当于6人作排列，有种排法，所以共有种排法，故B错误； 对于C：先排5名女生，共有种排法，且形成6个空位，再排2名男生，共有种排法，所以共有种排法，故C错误； 对于D：由C选项可得2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有种排法，若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，所以2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有种，故D正确. 故选：AD 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，.若在上恒成立，则k的可能取值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到，参变分离后结合余弦函数的性质即可得k的取值范围，从而得所求． 【详解】定义在上的函数满足，则为奇函数， 所以，所以， 则当时，，则恒成立， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 所以在上递增， 不等式转化为：， 所以，即， 因为，所以，则，故 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在点处的切线方程为，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，利用导数的几何意义，列出方程组，求得和的值，即可求解. 【详解】∵，∴，. ∵函数在点处的切线方程为， ∴，， 解得，，∴. 故答案：. 13. 已知，的二项式系数的最大值分别为a，b，若，则正整数______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意可得，结合组合数公式运算求解. 【详解】因为为偶数，为奇数，结合二项式系数的最值可得， 又因为，即， 可得，整理可得，解得， 故答案为：5. 14. 已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用同构法将题设不等式转化为，再构造函数，利用导数与函数单调性的关系得到，从而将问题转化为对恒成立，，再次构造函数求得最值即可得解. 【详解】不等式，可化为，， 令，则， 所以在上单调递增， 因为，，所以，，则， 所以不等式，即为， ，即对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，则，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从装有3个红球、2个白球、1个黑球的袋中任取3个球，求： （1）恰好取到2个红球的概率； （2）至少取到1个红球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式求解； （2）根据对立事件的概率关系结合古典概型的概率公式求解. 【小问1详解】 设“恰好取到2个红球”为事件A，则； 【小问2详解】 设“至少取到1个红球”为事件B，则. 16. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）的单调增区间为，单调减区间. 【解析】 【分析】（1）求出导数，由，代入求得，得解； （2）根据导数，判断导数正负得解. 【小问1详解】 由题意知，， 所以， 又，所以， 故函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，得，（舍）， 当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减. 17. 在的展开式中， （1）求有理项的个数； （2）系数最大的项是第几项? 【答案】（1）4个 （2）第8项 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求解即可； （2）设第项的系数最大，列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 由二项式定理知， 要为有理项则，因为，且， 所以，故有理项有4个； 【小问2详解】 设第项的系数最大，则 解得， 又，故. 所以系数最大的项为第8项 18. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若对，都有恒成立，求的取值范围； （3）已知，若存在，使得，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导确定斜率及切点纵坐标，即可得切线方程； （2）法一：将不等式转化为对恒成立，，构造函数，求导确定其单调性及最小值即可求得的取值范围；法二：将问题转化为当时，，求导，讨论单调性确定的最大值，即可得的取值范围； （3）确定函数的单调性可得，要证，只需证明，令，求导确定单调性即可得结论. 【小问1详解】 当时，，所以，所以. 又，故所求切线方程为，即. 【小问2详解】 方法一：原命题等价于对恒成立， 令，则，. ∵，令，∴. ∴在上单调递增，在上单调递减， 又，，又，所以， 故的取值范围为. 方法二：由题意知，当时，，又， ①当时，恒成立，即在上单调递减， 所以恒成立，所以， ②当时，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当，即时，在区间上单调递增，， 所以，（舍去）； 当即时，在上单调递减，，所以； 当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，得到，所以， 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 ∵，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 又且，所以. 要证，只需证明， 因为，，且函数在区间上单调递增， 所以只需证明，又因为，即证， 令， 即，注意到， 因为， 则上单调递减，所以在上恒成立， 所以. 19. 已知函数，其中. （1）若是偶函数，求； （2）当时，讨论函数在上的零点个数； （3）若对，求的取值范围. （注：记，可用含的表达式表示） 【答案】（1） （2）2个 （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义，并结合两角和差的正弦公式化简即可； （2）通过导函数研究的单调性，最后结合零点存在性定理即可判断； （3）先用必要性探路缩小的范围，再通过导函数研究的单调性，使即可. 【小问1详解】 由题意可知，即 即，即 则，又，故. 【小问2详解】 当时，，则， 令，则恒成立， 故在上单调递增， 又，，故使得， 则得；得， 故在单调递减，在单调递增， 又因，则， 又，则在上存在一个零点， 故在上有2个零点. 【小问3详解】 因对恒成立， 则当时，上式必然成立，此时，又因，则； 当时，， 令，则， 则在上单调递增，则， （i）若，则，则在上单调递增， 则，符合题意； （ii）若，则，， 则由零点存在性定理可知，使得，即①， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则②， 因，，则， 若，②式显然成立， 若，即， 则联立，得，得或（舍）， 因，则，即， 则，则， 因，则，则， 则 综上可知，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省部分高中春季高二年级期中联考 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 祝考试顺利 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 5名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团至少1人，不同的报名方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 0 5. 设，若为函数的极小值点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确是（ ） A. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，则共有96种排法 B. 2名男生和5名女生站成一排，则2名男生相邻的排法共有1280种 C. 2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有4800种 D. 2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有3120种 11. 已知定义在上函数满足，且当时，.若在上恒成立，则k的可能取值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在点处的切线方程为，则_____. 13. 已知，的二项式系数的最大值分别为a，b，若，则正整数______. 14. 已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从装有3个红球、2个白球、1个黑球的袋中任取3个球，求： （1）恰好取到2个红球的概率； （2）至少取到1个红球的概率. 16. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）求函数的单调区间. 17. 在的展开式中， （1）求有理项的个数； （2）系数最大的项是第几项? 18 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若对，都有恒成立，求的取值范围； （3）已知，若存，使得，求证：. 19. 已知函数，其中. （1）若是偶函数，求； （2）当时，讨论函数在上的零点个数； （3）若对，求的取值范围. （注：记，可用含表达式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $