精品解析：湖南省永州日升高级中学2024-2025学年高一下学期4月份期中考试数学试题

日升高级中学2025年高一4月份期中考试 数学试题 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A满足，这样的集合A有（ ）个 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 函数的单调递增区间是（ ）． A B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值为 C. ，，使得 D. 若､，，则最小值为 10. 下列函数中，属于奇函数并且值域为R的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，且对于都有成立.现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数相邻的对称轴距离为 C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为偶函数，则___________． 13. 函数，的最大值是__________． 14. 设函数，若函数在上有意义，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、且 （1）证明：是等腰直角三角形 （2）求． 16. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值; （2）若，且，求角. 17. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元． （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 18. 在中，设角的对边分别为，已知. （1）求角大小； （2）若，求周长取值范围. 19. 已知函数，常数. （1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间； （2）若对于，不等式恒成立，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 日升高级中学2025年高一4月份期中考试 数学试题 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A满足，这样的集合A有（ ）个 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】写出满足题意的集合即得解. 【详解】解：由题得集合. 故选：C 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件必要条件的定义即可. 【详解】由得， 因为若，则，反之不成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数在上连续单调递增， 且, 所以函数的零点在区间内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出的范围即可比较. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为，所以，所以. 故选：C. 5. 已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向量除以模长即可. 【详解】与方向相同的单位向量为. 故选：C. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，直接求解即可. 【详解】根据题意，由，得， 因为不等式的解集为， 所以由，知，解得， 故不等式的解集为. 故选：C. 7. 函数的单调递增区间是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，代入的递增区间，即可得答案； 【详解】令，则可以化为， 当时，函数单调递增， 即，解得， 故原函数的单调递增区间为． 【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间，考查运算求解能力，属于基础题. 8. 在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系，设点，由题建立关系式， 令将问题转化利用参数方程求解 【详解】如图所示建立直角坐标系： 由题意设，其中， 所以 令 所以 所以 所以 所以 所以的取值范围是 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值为 C. ，，使得 D. 若､，，则最小值为 【答案】AB 【解析】 分析】利用不等式的性质，基本不等式逐一判断即可. 【详解】对于A：由于，所以，故，故A正确； 对于B：由于，所以，所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：当时，不成立，故C错误； 对于D：若、，，则，整理得， 即，所以，故的最大值为1，故D错误； 故选：AB． 10. 下列函数中，属于奇函数并且值域为R的有（ ） A B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数奇偶性和值域直接判断A、B，对C，根据函数形式和奇偶性并结合函数图象可判断正确，对D利用均值不等式求值域判断. 【详解】对A，由幂函数性质知为奇函数，值域为，故A正确； 对B，当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 则的值域为，故B错误； 对C，设，，定义域关于原点对称， ，则为奇函数， 当时，因为在上单调递增， 故在上为增函数，时，函数值为0， 当时，，，画出图形如图，所以，故C正确； 对D，，当且仅当时等号成立，所以值域为，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数，且对于都有成立.现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数相邻的对称轴距离为 C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题设条件，可得函数周期，所以，通过平移变换可得，利用正弦型函数的性质依次分析四个选项，即得解 【详解】因为对于都有成立， 所以，， 所以对于都成立， 可得的周期，所以， 所以， 将函数的图象向右平移个单位长度，可得 ，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得， 对于选项A. ， 故选项A正确； 对于选项B：函数周期为，所以相邻的对称轴距离为，故选项B正确； 对于选项C：是偶函数，故选项C错误； 对于选项D：当时，，所以函数在区间上单调递增，故选项D正确 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为偶函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求得的值. 【详解】依题意设为偶函数， 则， ， 恒成立，所以. 故答案为： 13. 函数，的最大值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义证明出函数在上的单调性，从而可求出最大值. 【详解】任取，且， 则， ∵ ∴根据不等式的性质可得，， ∵， ∴，即， ∴函数在上单调递增， ∴函数在上的最大值是. 故答案为：1. 14. 设函数，若函数在上有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据取值范围计算出取值范围，设，将原函数转化为，根据的范围及将转化为用表示的关系式，进而求出的范围. 【详解】设，． 则原函数有意义等价于在上恒成立， ，设， ，所以，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、且 （1）证明：是等腰直角三角形 （2）求． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由题意得，，由，，能够证明是等腰直角三角形． （2）设点，则，．由，知且，由此能求出． 【详解】解：（1）证明：由题意得， 因为， 所以 所以是直角三角形 又，， ， 是等腰直角三角形 （2）解：设点， 则， ， 且， 解得，， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要认真审题，注意平面向量数量积的坐标运算的灵活运用． 16. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值; （2）若，且，求角. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示得到，再结合同角三角函数的基本关系求出，最后利用二倍角公式求解即可； （2）先求出，进而得到，得到，再利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）∵，∴，即. 代入，得， 又，则，. 则. . (2)∵，，∴. 又，∴. ∴= =. 由，得. 【点睛】关键点睛：利用凑角得到是解决本题的关键. 17. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元． （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 【答案】（1），，； （2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的正比关系设出函数解析式，代入已知数据求出系数即可； （2）设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，列出收益的算式，利用配方法求收益的最大值. 【小问1详解】 依题意设，由，得； 设，由，得. 【小问2详解】 设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元， ，∵， 当，万元时，收益最大万元， 故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元， 投资收益最大为3万元． 18. 在中，设角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出. 【详解】（1）由题意知， 即， 由正弦定理得 由余弦定理得， 又. （2）， 则的周长 . ， ， 周长的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题. 19. 已知函数，常数. （1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间； （2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；单调增区间为，；（2）. 【解析】 【分析】 （1）时，，求其定义域，计算即可. （2）将不等式整理为，，只需要.利用单调性即可求出，进而可得. 【详解】（1）证明：当时，. 的定义域为. 当时， . ∴， ∴是奇函数， 是由和复合而成， 单调递减， 在 和单调递减， 所以在 和单调递增， 所以的单调增区间为，. （2）由， 得， 令， 若使题中不等式恒成立，只需要. 由（1）知在上是增函数，单调递减， 所以在上是增函数， 所以. 所以的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的单调性求最值，考查了恒成立问题，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $