精品解析：湖南省永州日升高级中学2024-2025学年高一下学期4月份期中考试数学试题

日升高级中学2025年高一4月份期中考试 数学试题 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A满足，这样的集合A有（ ）个 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 函数的单调递增区间是（ ）． A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值为 C. ，，使得 D. 若､，，则最小值为 10. 下列函数中，属于奇函数并且值域为R的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，且对于都有成立.现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数相邻的对称轴距离为 C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为偶函数，则___________． 13. 函数，的最大值是__________． 14. 设函数，若函数在上有意义，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、且 （1）证明：是等腰直角三角形 （2）求． 16. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值; （2）若，且，求角. 17. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元． （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 18. 在中，设角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围. 19. 已知函数，常数. （1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间； （2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网命组卷网 日升高级中学2025年高一4月份期中考试 数学试题 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动， 用橡皮擦千净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的： cA-{L,2,3,4} 1.己知集合A满足 ,这样的集合A有()个 A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】 【分析】写出满足题意的集合A即得解 A={I,{1,2,{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4,{1,3,4} 【详解】解：由题得集合 故选：C 第1页/共20页 学科网命组卷网 ,b∈R 2.若 ,则aa<b,是lha<lhb,的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式lna<lnb的等价条件，结合充分条件必要条件的定义即可. 【详解】由lna<nb得0<a<b」 因为若0<a<b,则a<b,反之不成立， 故“a<b”是“0<a<b”的必要不充分条件， 即“a<b”是“lna<lnb”的必要不充分条件. 故选：B 3在下列区间中，函数f()=e+4x-3 的零点所在的区间为() 04 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数 在上单调递增， 由 利用零点存在定理可得结果 f(x) R 【详解】因为函数f(冈)=e+4红-3在R上连续单调递增， 第2页/共20页 6学科网组卷网 0)-e+4x3=e2-0 2 11 所以函数的零点在区间4'2内，故选C 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题应用零点存在定理解题时，要注意两点：(1) 函数是否为单调函数；(2)函数是否连续 a=0.54,b=0.45,c=ln 4.已 4,则a,b,c的大小关系为() a>b>c B.c>a>b c.b>axe D b>c>a A. 【答案】C 【解析】 a,b,c 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出 的范围即可比较 【详解1因为0<0.54<0.5°=1，所以0<a<1,因为0.405>0.4=1，所以b>1, 因为n4<n1=0,所以e<0,所以b>a>c 故选：C 5.已知平面向量4B=(-1,2),则与B方向相同的单位向量是() e〔s2 n(2 【答案】C 【解析】 第3页/共20页 6学科网6组卷网 【分析】向量除以模长即可： 【详解】与一方向相同的单位向量为 AB gjHs 故选：C 6.若不等式ar2+br+c>0的解失为d2<x<3,那么不等武a(+刂+x-)+c>2am的解柴为 () A{-3<x<2 B.{xr<-3或x>2 c.{x-1<x<4} D.{<-l或x>4 【答案】C 【解析】 【分析】根据慰意，直接求解a(x-旷+b(x-)+c>0即可 【详解】根据腿意，由a(r+小+b(x-)+c>2ac,得a(x-+b(x-)+c>0. 因为不等式r+x+c>0的解集为{-2<x<3}, 所以由a(x-+b(x-+c>0,知2<x-1<3,解得-1<x<4, 故不等式a(r+)+bx-)+c>2r的解集为{1<x<4 故选：C x-1 7.函数少=sin 2π的单调递区间是《）. A[4kπ，(4k+2)z]k∈Z) B.[4,4k+2Ik∈Z) C.[2kz,(2k+2)l(keZ) D.[2k,2k+21keZ) 【答案】B 第4页/共20页 6学科网 命组卷网 【解析】 i=x-1 π 【分析】令2，代入y=sint的递增区间，即可得答案； - 1=- -π 【详解】令2，则可以化为y=sint, 2 解得x∈[4k,4k+2](k∈Z), [4k,4k+2]k∈Z) 故原函数的单调递增区间为 【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间，考查运算求解能力，属于基础题 8.在平面直角坐标系x0y中，已知厂 P(3,4) 长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则 PA·PB 的取值范围是() A[2,6] B.[3,5] c.[4,6 D.[15,35] 【答案】D 【解析】 A(a,0),B(0,b) 【分析】利用平面直角坐标系，设点 由题建立关系武4+b2=4 a=2cos0,b=2sin0 将问题转化利用参数方程求解 【详解】如图所示建立直角坐标系： 少 第5页/共20页 6学科网列组卷网 由题意设4a,0,B(0,b),其中0≤4≤2,0≤l≤2. 所以AB=2→a2+b=4 令a=2cos8,b=2sim0 A(2cos0,0),B(0,2sin0) 所以 所以PA=(2cos8-3,4,PB=(-3,2sin0-4) 所以PA-PB=（-3)×(2cos0-3)+(4×(2sin0-4) =-6cos0+9-8sin0+16 =-10sin(0+p)+25 所以(PA-PB=35,(P1-PB）n=15 所以PAPB的取值范围是15,35] 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分 9.下列命题中，正确的是() 1 .a+->b+ A.若a>b>0,则b 1 B若x<1,则少=x+ x-1的最大值为-1 C.VaeR eR ax>2 ，使得 D.若x>0y>0.x+y+y=3 ，则最小值为 第6页/共20页 6学科网命组卷网 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的性质，基本不等式逐一判断即可， 1.1 1 ,1 ,a+,>b+ 【详解】对于A:由于a>b>0,所以ba,故b a,故A正确： 对于B:由于x<1,所以x-1<0,所以y=x+ 7=x-)+1 x-1 +x一长-2+1=-1，当且仅当x=0时等 号成立，故B正确： 对于C:当a=0时，不成立，故C错误； 对于D:若x>0、y>0,x+y+y=3,则3-=x+22四，整理得四-X+3水0 即V,所以<1，故y的最大值为1，故D错误 故选：AB 10.下列函数中，属于奇函数并且值域为R的有() 1 A.y=x3 B.y=x+ X C y=x-1 D.y=2x+2 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和值域直接判断A、B,对C,根据函数形式和奇偶性并结合函数图象可判断正 确，对D利用均值不等式求值域判断 【详解】对A,由幂函数性质知y= 为奇函数，值域为R,故A正确： ,1. 1 对B,当x>0时，y=x+≥2 2,当且仅当x=1时等号成立， 当0时，少=x+≤2x·2,当且仅当时等号成肠 第7页/共20页 6学科网列组卷网 则少x x的值域为(-0，-2小U[2,+o),故B错误； 对e段创-.（一，o吵u0+.定义减共打原点核. (小女(.则内为的面脱 当x>0时，因为 x在(0，+∞)上单调递增， 故少x x在(0，+0)上为增函数，x=1时，函数值为0， 当x→0* 时，心，y→物，国品图形周，少eR ,故C正确： 对D,y=2+2≥2V2,2=2,当且仅当x=0时等号成立，所以值域为2，+0)，故D错误 故选：AC 成立现将函数 f(x)=2sin π π 0x+ 6)的图象向右平移6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不 变)得到函数8（ 的图象，则下列说法正确的是() 第8页/共20页 6学科网命组卷网 A后++)0 B.函数8() 相邻的对称轴距离为π 2π C.函数8x+ 3 是奇函数 ππ D.函数g(x)在区间6’3」上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分折】流题设条作，可得两数f网的周断7=：，所以=2sn2x+爱。 通过平移变换可得 g(x)=2sin π 利用正弦型函数的性质依次分析四个选项，即得解 mf=-(+到.f+)-fx+) 所以f)=(fx+r》=fx+刊对于xeR 都成立， 0=2=2 可得f(x)的周期T=π，所以T 所以=2如2x+引 将数f=2sin2x+石 6)的图象向右平移6个单位长度，可得 第9页/共20页 6学科网命组卷网 y-2sin2sina) 再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得 对于选项A. [名+e+)-2m8x2an+看君)-2s-+2sm=0. 故选项A正确； T- 2元2 对于选项B:函数g(x)周期为 11 ,所以相邻的对称轴距离为2π，故选项B正确。 对于选项C: =2sinx+ 2cosx 是偶函数，故选项C错误； ππ 对于选项D:当6 3时，0≤x-s 6二6，所以函数g(x)在区间6’3上单调递增，故选项D正 确 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12若函数y=(m-小r+r+1为偶函数，则m= 【答案】±1 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求得m的值. 【详解】依题意设f(四=(m-)小r+r+1为偶函数。 则f(-=f(x) 第10页/共20页 命学科网命组卷网 -(m2-1)x3+x2+1=(m2-1)x3+x2+1 2(m-)r=0恒成立，所以m-1=0,m=士1 故答案为：±1 13.函数)三x+l,x可的最大值是 【答案】1 【解析】 】利用函数单性的定义证明出的效三文干1在P可上的单调性，从商复 【详解1任取，五∈1，且1≤<≤1， 则f)-f6),2525-2(s+2x(+刊24-0-） x2+1x2+1(x2+10x2+1 (x2+1x22+1） -1≤x<x2≤1 ·根据不等式的性质可得名一戈<0，书<1 :2+1>0.32+1>0 :.(x)f(3)K0.即f(x)Kf(), 2x “西激f)+1在山川上单调递蜡 四备刘宽大是0斜 2x 故答案为：1. 14设函数y=V1+2+a4,若函数在(0，上有意义，则实数Q的取值范围是一 第11页/共20页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】先根据x的取值范围计算出2取值范围，设1=2，将原函数转化为y=V1+1+心，根据1的 范国及1+1+≥0将“转化为用'表示的关系式，进而求出“的花围， 【详解】设t=2,“x∈(-o0,1小，∴0<1≤2 则原函数有意义等价于1+1+a2≥0在1∈(0,2]上恒成立， 0=-+ 0<1s.cB.10s)}≥- 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15,已知432)、B-2,D、C4,-D且4P=-2Pm (1)证明：△MBC是等腰直角三角形 (2)求cos∠APC. 【答案】(1)证明：由题意得C1=亿，3)，CB=(-3,2) 因为CA.CB=0 所以CA⊥CB 所以△ABC是直角三角形 第12页/供20页 6学科网列组卷网 又.|CA=4+9=13,1CB=V9+4=V13, ..ICAHCBI ∴.△ABC 是等腰直角三角形 310 (2)10 【解析】 【分析】(1)由题意得CA=(2,3),CB=(-3,2),由C1.CB=0,1 CAHCB1,能够证明△ABC是等 腰直角三角形 （2)设点P(x,月，则4P=(x-3,y-2),PB=(-2-1-》.由AP=-2PB,知x-3=4+2x且 y-2=2y-2 由此能求出cos∠APC 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点P(x》,则AP=x-3,y-2),PB=(-2-x1-) AP=-2PB 六x-3=4+2r且’-2=2y-2, 解得x-7y=0 ∴.P(-7,0) :.PC=(8,-)PA=10,2) .PA-PC=78 第13页共20页 6学科网命组卷网 PC=65 PA=226 78 3V10 ∴.cos∠APC= V652√2610. 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力：综合性强，是高考的重点， 易错点是知识体系不牢固.解题时要认真审题，注意平面向量数量积的坐标运算的灵活运用. 16已知向量m=(2,sina).n=(cosa,-),其中a∈（02 ,且m⊥n (l)求sin2a和cos2a的值； 2m(a--酒，n引求种A 【答案】(1) sin2a 5,cos2a=-3 【解析】 【分析】(I)利用平面向量垂直的坐标表示得到sina=2c0s0,再结合同角三角函数的基本关系求出 sin a,cosa 最后利用二倍角公式求解即可； (2)先求出 a-B∈ 2'2 进而得到cos(a-B),得到sinB=sin[a-(a-B)],再利用两角差 的正弦公式求解即可： 【详解】(4)：m1n,:2cosa-sina=0,即sina=2cosa f代入osa+sin'a=l,得5cosa=l 则cosa~5 sina= W5 5, 5 第14页/共20页 命学科网命组卷网 in2a=2singcosa-2x254 555· cos2a=2c0s2a-1=2×}-1=-3 5 5 aeo引.B0引，a-e（经 女a-)-,ma-)- 10 .sing=sin a-(a-B)=sinacos(a-B)-cosasin(a-B) 253w10V5102 =510 5102 由Be0，B= 【点睛】关键点睛：利用凑角得到si血B=sin[a一-(a-P刃是解决本题的关键 17某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益（ 与投资额x成正 比，且投资1万元时的收益为8万元，投资股票等风险型产品的收益g(x)与投资额x的算术平方根成正比， 且投资1万元时的收益为0.5万元 (1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收 益为多少万元？ 【14-后，8-2G,20. 第15页/共20页 学科网命组卷网 (2)投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的正比关系设出函数解析式，代入己知数据求出系数即可： (2)设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为20一x万元，列出收益的算式，利 用配方法求收益的最大值. 【小问1详解】 依盟意设倒=，由0=名-令，得国-日x≥0) 1 段6闭=6，后30=专=克，-r0 2 【小问2详解】 设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为20一x万元， y=f20-9)+g)=.20-0+VF=-F-2y+3 8 8 .0≤x≤20， 当=2，x=4万元时，收益最大m3 万元， 故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元， 投资收益最大为3万元， 18在△4BC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知cos2A=sin2B+cos2C+-sin Asin B. (1)求角C的大小； (2)若C=V5,求△MBC周长的取值范围， 2π 【答案】(1)3；(2)(23,2+V5] 【解析】 第16页/共20页 命学科网命组卷网 【分析】(1)由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出(2)利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三 角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出， 1-sin24=sin2B+1-sin'C+sinAsinB 【详解】(1)由题意知 sin'A+sin'B-sinC=-sindsinB 由正弦定理得a+h2-c2=-ab 由余弦定理得0sC=口+62-C-ab1 2ab 2ab 2. 又0<C<zC=2n 3. ab c 3 =2,.'.a 2sinA,b 2sinB (2) .2π sinA sinB sinc sin2 3 则△ABC的周长 1-a+be=26m+m8+5-2m4+sm[（各4小5=2n4+}5 25<2sn4+}5≤2+5 ·△MBC周长的取值范围是(2V5,2+V3] 【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性， 属于中档题 )=lo82x1,a倍数 1-ax 19.已知函数 第17页/共20页 6学科网命组卷网 (1)若a=-2,求证f()为奇函数，并指出()的单调区间： 35 (2)若对于x∈ 2'2 不等式l8,2x+)-m>(（得-g,2x-》恒成立.求实数的取位范围 f=o8:2x可. 2x+1 【答案】(1)当a=-2时 f院文（日j 当（公o 2x+llog7x-1 f-9+f6=lo8:2x-1+ 2x+1 -2x+12x+1 =log-2x-12x-1 =l1og11=0 .fx)+f-x)=0 :f(x)是奇函数， 单网阳区的为（引.(o】 9 (2) m<- 8 【解析】 2x+1 【分折】（山a=-2时，=08；2，求其定义减，计算-+f=0即可 只需要g(x)n>m利用 第18页/供20页 6学科网6组卷网 8,进而可彩m< 9 P 【小问1详解】 2x+1 当a=-2时.倒=l:2x Ex》+ 当(m2麻 +o-1 f-9+f=lo8;2x- 2x+1 (-2x+1.2x+=1og11=0 =lo82x-12x-1) 2 :fw)+f(-x)=0 :.f(x是奇函数， 2x+1 2x+1 y=log f0=82x-1是由-2x-i和 2复合而成， y=0!单调递减， 2x-12x-1 所以f)=lo8:2x-在0， 所的每送同(o.(, 第19页/供20页 学科网命组卷网 【小问2详解】 由log1(2x+1) -m> log2(2x-1) 2 8=21周 若使题中不等式恒成立，只需要8（四m>m 由山知)在2引上是搭员数，y(得) T35 单调递减， 所以g6)=l1og! {[周引上数 9 所以m的取值范围是8. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的单调性求最值，考查了恒成立问题，属于中档题 第20页/共20页