精品解析：广东省茂名市高州市十三校联考2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2025年广东省创优中考模拟卷（三） 九年级数学 本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国传统节日，是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，下列四幅作品分别代表“春节”、“端午节”、“中秋节”、“元宵节”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 当前，我国人工智能产业在技术创新、产品创造和行业应用等方面实现快速发展，形成庞大市场规模．中国互联网络信息中心发布的《生成式人工智能应用发展报告（）》显示，我国初步构建了较为全面的人工智能产业体系，核心产业规模接近亿元，数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．首先写成，用科学记数法表示时需要把小数点向左移动位，所以． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则与合并同类项法则，根据对应法则分别计算各选项即可判断正误． 【详解】A、，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意． 4. 已知，若相似比，则=（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质代入即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5. 体育锻炼是学生健康成长的重要组成部分，为此学校开展了丰富的体育活动．甲乙两位同学积极参加学校举办的1分钟跳绳比赛，训练期间甲乙两名同学各进行10次跳绳练习，平均成绩均为195下，他们成绩的方差分别是：，，根据方差的意义可知（ ） A. 甲的成绩波动比乙大 B. 乙的成绩波动比甲大 C. 甲、乙两人成绩波动一样大 D. 无法比较甲、乙两人成绩波动大小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差反映了一组数据的波动大小，熟练掌握方差越小，波动性越小是解本题的关键．根据方差的意义解答即可． 【详解】解：甲乙两名同学的平均成绩相同，， 甲的成绩波动比乙大， 故选：A． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】解：， 该反比例函数图象位于二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ， 点和点位于第二象限，点位于第四象限， ， 故选：D． 7. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为人．根据两次每人分得的钱数相同列方程，即可得解． 【详解】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人， ∴第一次分钱的人数为人， 根据题意得：， 故选：D． 8. 如图，若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据函数图象，当时，， 所以不等式的解集为． 故选：A． 9. 如图所示，已知四边形为菱形，点为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点与点恰好重合在一起．已知菱形的边长为4，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， 线段沿折叠后点与点恰好重合在一起， ，， ， 故选：C． 10. 八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接、交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，等腰三角形的性质等知识，利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，再根据等腰三角形的性质求得，的度数，然后利用三角形的内角和求得的度数，继而得出答案． 【详解】解：多边形是正八边形， ，， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分），请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 已知圆锥母线长为，圆锥的侧面积是，则圆锥底面周长是______．（保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面周长即可． 【详解】解：圆锥的母线长是，侧面积是， 圆锥的侧面展开扇形的弧长为：， 锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 圆锥的底面周长为． 故答案为：． 13. 为培养和促进学生对数理化科普知识的兴趣，激发学生形成学科学、用科学、爱科学、积极探索的学习风尚，学校举办了“数理化科普知识竞赛”，设有数学、物理、化学三个科目，学校按照的比例计算综合成绩来评定参赛学生的奖项．在这次竞赛中，小王数学竞赛成绩为分，物理竞赛成绩为分，化学竞赛成绩为分，那么小王的竞赛综合成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．根据加权平均数的计算公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：小王的综合成绩是（分）． 故答案为：． 14. 如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，连接，利用圆周角定理得到，则，然后利用同弧所对的圆周角相等求的度数． 【详解】如图，连接， 为的直径， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，点，直线与交交于点，交于点，与交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由作法得垂直平分，则，，利用勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后利用相似的性质得到，所以． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，，， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ∴是的中位线， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理． 三、解答题（一）（本大题共3题，每小题7分，共21分），请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值． 根据负整数指数幂、零指数幂和特殊角的函数值，去绝对值，依次计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地，若垂直于墙的一边长为，它的面积为． （1）求矩形的面积与的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）； （2）当长为时，求矩形场地的面积． 【答案】（1）， （2）当长为时，矩形场地的面积为 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的关系式的确定和求函数值，关键是根据长方形的面积公式列出函数关系式． （1）先利用长方形的面积公式列出二次函数关系式即可； （2）当时，代入二次函数关系式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意，得； 【小问2详解】 解：当时，， 答：当长为时，矩形场地的面积为． 18. 如图1所示，在户外活动时，为了遮阳和防雨常常会用到天幕帐篷，其截面示意图是轴对称图形（如图2所示），对称轴是垂直于地面的支撑杆，已知幕布，支撑杆，于点．、为防风绳，通过调节防风绳在地面的固定点与支撑杆的距离可控制天幕的开合（、、三点共线，、、三点共线）． （1）当时，求的长（结果保留根号）； （2）当由调节至时，左侧防风绳在地面的固定点需向右平移多少米？（结果保留根号） 【答案】（1）当时，长为 （2）当由调节至时，点向右平移的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角形的值的计算方法是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，，在中，解直角三角形求出，即可得． （2）如图，作，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再求出，即可解答． 【小问1详解】 解：，， ，， 在中，， ， 答：当时，长为． 【小问2详解】 解：如图，作， 在中，， 在中，， ， 答：当由调节至时，点向右平移的距离为． 四、解答题（二）（本大题共3题，每小题9分，共27分），请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 19. 某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为______人；扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是______°； （2）请将条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，李老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20；36 （2） 补全统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题是统计图的综合，考查了条形统计图与扇形统计图，简单事件的概率，关键是读懂两个统计图并能从图中获取信息． （1）由条形统计图中B类学生数及扇形统计图中B类学生的百分比即可求得参与调查的总人数；由扇形统计图可求得不达标的学生所占的百分比，它与的积即为所求的结果； （2）根据两种统计图及（1）中所求得的总人数，可分别求得C类、D类学生的人数，从而可求得这两类中未知的学生数，从而可补充完整条形统计图； （3）画树状图即可求得所有可能的结果数及所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的结果数，从而可求得概率． 【小问1详解】 解：由条形统计图知，B类学生共有（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为，则参与调查的总人数为：（人）， 由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：等级的人数有：（人）， 等级的女生人数有：（人）， 等级的男生人数有：（人）， 补全统计图略； 【小问3详解】 解：由题意画树状图如下： 从树状图可知，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的结果共有种． 所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生． 20. 某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元． （1）甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？ 【答案】（1）甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元； （2）该网店共有种进货方案 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、二元一次不等式组的应用． 设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，根据该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元，可列一元一次方程：，解方程即可求出两种文化衫的单价； 设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，根据该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，可列关于的一元一次不等式组，解不等式组可得：，又因为为正整数，从而可得：，，，所以共有种进货方案． 【小问1详解】 解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 元， 答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件， 由题意得：， 解得：， 为整数， 的值为：，，， 该网店共有3种进货方案． 21. 如图，为的直径，C是上方上异于A、B的点，D是的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角和圆心角，勾股定理，扇形面积公式等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）连接，根据弧和圆心角的关系，得到，进而得到，即可证明结论； （2）根据圆周角和勾股定理，得到，进而得到，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的直径， ， ，， ， ， 由（1）得， ． 22. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N． 【猜想】（1）请直接写出线段、的数量关系． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． （2）若，，求的长； （3）猜想、、的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边等等，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． （1）由折叠的性质可得，再由矩形的性质结合平行线的性质得到，则，进而可得； （2）由折叠的性质可得，设，则，由，得到，解得，则，同理可证明，则； （３）由折叠的性质证明，由勾股定理得到，再证明，即可得到． 【详解】解：（1），理由如下： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）矩形沿所在直线折叠， ，，， 设， ， 在中，， ， ，解得， ． （3）， 理由如下： 由折叠的性质可得，， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 23. 数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题： （1）如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标； （3）如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积． 【答案】（1）△POD为一中美三角， 理由如下：过O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图： ∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC， ∴∠ACB＝45°，四边形EFCD是矩形， ∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC， ∴OF＝FC， ∴OF＝ED， ∵OP⊥OD， ∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1， 在△DEO和△OFP中，  ， ∴△ DEO≌△OFP（ASA）， ∴OD＝OP， 又∠DOP＝90°， ∴△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角； （2）P（﹣2，2） （3）m＝时，S△PBQ有最大值为，此时Q（，）． 【解析】 【分析】（1）过O作EF⊥BC于F，交AD于E，证明可得OD＝OP，从而△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角； （2）设P（m，-2m-2），AP2=（m+2）2+（-2m-2）2=5m2+12m+8，BP2=m2+（-2m-2-2）2=5m2+16m+16，AB2=（-2-0）2+（0-2）2=8，△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，分三种情况讨论：①若AP、BP为腰，5m2+12m+8=5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16=8，②若AP、AB为腰，5m2+12m+8=8且5m2+12m+8+8=5m2+16m+16，③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16=8且5m2+16m+16+8=5m2+12m+8，分别解方程即可得答案； （3）连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，由∠OPB=∠BCO知P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，根据PD= BC=，P（t，3t+3），可列（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2得P（﹣，），从而可得直线BP为y=-x+1，由Q（m，-m2+2m+3），M（m，- m+1），有QM=-m2+m+2，故S△PBQ=﹣（m﹣）2+，即可得m= 时，S△PBQ有最大值为，Q（，）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设P（m，﹣2m﹣2）， ∵点A（﹣2，0），点B（0，2）， ∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8， BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16， AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8， △ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图： ①若AP、BP为腰，则需满足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2， ∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8， 解得m＝﹣2， ∴P（﹣2，2）； ②若AP、AB为腰，同理可得： 5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16， 满足两个方程的m＝0，此时不存在P，使△ABP构成一中美三角； ③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8， 没有m能同时满足两个方程，故此时不存在P，使△ABP构成一中美三角； 综上所述，△ABP构成一中美三角，则P（﹣2，2）； 【小问3详解】 连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，如图： ∵y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC，BC＝3，D（，）， ∴∠BCO＝45°， ∵∠OPB恰好构成一中美角，即∠OPB＝45°， ∴∠OPB＝∠BCO， ∴P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上， ∵∠BOC＝90°， ∴D为△BOC的外接圆圆心， ∴PD＝BC＝， 设直线AC为y＝kx+b，则 ， 解得， ∴直线AC为y＝3x+3， 设P（t，3t+3）， ∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2， 解得t＝﹣或t＝0（舍去）， ∴P（﹣，）， 设直线BP为y＝sx+r， 则， 解得 ， ∴直线BP为y＝﹣x+1， ∵Q点横坐标为m， ∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1）， ∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2， ∴S△PBQ＝QM•（xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+， ∵﹣＜0， ∴m＝时，S△PBQ有最大值为， 此时Q（，）． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数及二次函数图象上点坐标特征、四点共圆、三角形面积等知识，综合性强，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的点坐标、线段长度及三角形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省创优中考模拟卷（三） 九年级数学 本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国传统节日，是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，下列四幅作品分别代表“春节”、“端午节”、“中秋节”、“元宵节”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 当前，我国人工智能产业在技术创新、产品创造和行业应用等方面实现快速发展，形成庞大市场规模．中国互联网络信息中心发布的《生成式人工智能应用发展报告（）》显示，我国初步构建了较为全面的人工智能产业体系，核心产业规模接近亿元，数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若相似比，则=（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 体育锻炼是学生健康成长的重要组成部分，为此学校开展了丰富的体育活动．甲乙两位同学积极参加学校举办的1分钟跳绳比赛，训练期间甲乙两名同学各进行10次跳绳练习，平均成绩均为195下，他们成绩的方差分别是：，，根据方差的意义可知（ ） A. 甲的成绩波动比乙大 B. 乙的成绩波动比甲大 C. 甲、乙两人成绩波动一样大 D. 无法比较甲、乙两人成绩波动大小 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，已知四边形为菱形，点为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点与点恰好重合在一起．已知菱形的边长为4，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 10. 八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接、交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分），请将答案填在答题卡上对应的横线上． 11. 因式分解：__________ 12. 已知圆锥母线长为，圆锥的侧面积是，则圆锥底面周长是______．（保留） 13. 为培养和促进学生对数理化科普知识的兴趣，激发学生形成学科学、用科学、爱科学、积极探索的学习风尚，学校举办了“数理化科普知识竞赛”，设有数学、物理、化学三个科目，学校按照的比例计算综合成绩来评定参赛学生的奖项．在这次竞赛中，小王数学竞赛成绩为分，物理竞赛成绩为分，化学竞赛成绩为分，那么小王的竞赛综合成绩为______分． 14. 如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为______． 15. 如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，点，直线与交交于点，交于点，与交于点，则的长为______． 三、解答题（一）（本大题共3题，每小题7分，共21分），请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 16. 计算：． 17. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地，若垂直于墙的一边长为，它的面积为． （1）求矩形的面积与的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）； （2）当长为时，求矩形场地的面积． 18. 如图1所示，在户外活动时，为了遮阳和防雨常常会用到天幕帐篷，其截面示意图是轴对称图形（如图2所示），对称轴是垂直于地面的支撑杆，已知幕布，支撑杆，于点．、为防风绳，通过调节防风绳在地面的固定点与支撑杆的距离可控制天幕的开合（、、三点共线，、、三点共线）． （1）当时，求的长（结果保留根号）； （2）当由调节至时，左侧防风绳在地面的固定点需向右平移多少米？（结果保留根号） 四、解答题（二）（本大题共3题，每小题9分，共27分），请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 19. 某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为______人；扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是______°； （2）请将条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，李老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 20. 某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元． （1）甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？ 21. 如图，为的直径，C是上方上异于A、B的点，D是的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 22. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N． 【猜想】（1）请直接写出线段、的数量关系． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为． （2）若，，求的长； （3）猜想、、的数量关系，并加以证明． 23. 数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题： （1）如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标； （3）如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $