精品解析：山东省 济南育英教育集团 2024-2025学年下学期七年级期中数学试题

济南育英教育集团阶段性学业质量调研 七年级数学试卷 一、选择题（共10题，每题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A 1，5，7 B. 3，4，7 C. 7，4，2 D. 4，5，7 4. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射，如图，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，若，则等于（　　） A. 65° B. 55° C. 45° D. 41° 5. 若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 7. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形和矩形的面积相等，且四边形也为正方形，点在上，与交于点．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，．若，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 10. 规定：对于依次排列的多项式，，，（、、、是常数），当它们满足（为常数），则称、、、是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．下面四个结论： ①对于多项式，，，，则3、2、5、4是一组平衡数；②已知1、2、5、6是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子；③已知、、、是一组平衡数，若，，则；④当、、、之间满足时，它们是一组平衡数．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 已知，，则的值为______________． 12. 一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的度数为______． 13. 若是一个完全平方式，则___________． 14. 某校计划在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块边长为米的正方形体能训练基地，然后将剩余阴影部分进行绿化，则绿化的面积为（___________）平方米． 15. 如图是一块三角形纸板，点、、分别是线段、、的中点若阴影部分的面积为3，则的面积为___________． 16. 如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板如图放置，，，固定的位置不变，将沿方向平移至点F正好落在直线上，再将绕点F顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动当经过t秒时，线段与的一条边平行，则t的值______． 三、解答题（共10小题，共86分） 17. ．计算： （1） （2） 18. 计算： （1）． （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. ．如图，已知． 试说明：．请将下面解题过程补充完整： 解：∵， ∴（①______________）， ∵， ∴（②______________）， ∴③______________（④______________）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵（已知）， ∴⑤______________（同角的补角相等）， ∴⑥______________（⑦______________）， ∴（⑧______________）． 21. 已知：如图，是上的两点，且，，． 求证：． 22. ．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都在格点上，按要求画图： （1）请画出中边上的高线； （2）请画出中边上的中线； （3）在格纸中作（注意点为格点，请在格纸内部作三角形使得． 23. 在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 24. 【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知，点在直线、之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”．请解决下面的问题． 【学以致用】 （1）如图，已知，当，求出的度数． （2）如图1，若，则___________； （3）①如图2，若、分别平分和，直接写出与的数量关系为___________； ②如图3，设，则___________． 25. （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得． 若，则该大正方形的边长为___________； （2）【知识运用】两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点在一条直线上，点为的中点，若，求图中阴影部分的面积； （3）【知识拓展】如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到． 若已知，则___________． （4）【民族骄傲】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． 下列说法：正确的有 ①展开式各项系数之和为64； ②展开式各项中，系数最大项是第四项和第五项； ③； ④若，则； ⑤能被28整除． 26. 【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为中线．求证： ①； ②． 拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济南育英教育集团阶段性学业质量调研 七年级数学试卷 一、选择题（共10题，每题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，正确的计算是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算逐项分析判断即可． 【详解】A． ，故该选项正确，符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选A 2. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列长度三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，5，7 B. 3，4，7 C. 7，4，2 D. 4，5，7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐项判断即可得解，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：A、，故1，5，7不能组成三角形，不符合题意； B、，故3，4，7不能组成三角形，不符合题意； C、，故7，4，2不能组成三角形，不符合题意； D、，故4，5，7能组成三角形，符合题意； 故选：D． 4. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射，如图，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，若，则等于（　　） A. 65° B. 55° C. 45° D. 41° 【答案】B 【解析】 【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数． 【详解】解：∵水面和杯底互相平行， ∴， ∴． ∵水中的两条折射光线平行， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 5. 若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为180度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为， ∴这个三角形最大的内角度数为， ∴这个三角形是锐角三角形， 故选：A． 6. 2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形两边之和大于第三边 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 【详解】自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”，选项A、选项B和选项C都与题干不符． 故选：C． 7. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解． 【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意； B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意； D、添加，不能证明，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 8. 已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，根据折叠的性质，得到，，得到，进而求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 9. 如图，正方形和矩形的面积相等，且四边形也为正方形，点在上，与交于点．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，．若，则图中阴影部分的周长为（ ） A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 根据题意得，，故可得，经过变形得，从而求得，进一步可求得阴影部分的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ； ， ， 即， ， 或（舍去） ∵四边形是正方形， ， ∴阴影部分的周长是， 故选：D． 10. 规定：对于依次排列的多项式，，，（、、、是常数），当它们满足（为常数），则称、、、是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．下面四个结论： ①对于多项式，，，，则3、2、5、4是一组平衡数；②已知1、2、5、6是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子；③已知、、、是一组平衡数，若，，则；④当、、、之间满足时，它们是一组平衡数．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现，． ①②直接根据定义计算的值；③根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为，代入，可得结论；④根据③可得，，，之间满足的数量关系式． 【详解】解：∵对于多项式，，，， ∴ ， ∴3、2、5、4是一组平衡数，故①正确； 1，，5，6是一组平衡数， 故②错误； ，，，是一组平衡数， ， ， ， ， ，， ， ，故③错误； 由③得：， 当，即时，，，，是一组平衡数， 故④错误， 故选:A． 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 已知，，则的值为______________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握（其中m，n是正整数）是解题的关键． 12. 一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查的是补角的概念，掌握两个角的和等于，则这两个角互补是解题的关键． 【详解】解：设这个角为x， 由题意得， 解得． 故答案为：． 13. 若是一个完全平方式，则___________． 【答案】或16 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，其特点是：两数的平方和，加上或减去这两个数的乘积的2倍；由题意知，已知两数的平方和，则，由此可求得m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 即， 解得：或； 故答案为：或16． 14. 某校计划在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块边长为米的正方形体能训练基地，然后将剩余阴影部分进行绿化，则绿化的面积为（___________）平方米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键；利用长方形的面积减去正方形的面积，然后化简即可． 【详解】解： 平方米； 即阴影部分的面积为平方米； 故答案为：． 15. 如图是一块三角形纸板，点、、分别是线段、、的中点若阴影部分的面积为3，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，连接，由三角形中线平分三角形面积得到，，进而得到，再求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的中点， ∴，， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 16. 如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板如图放置，，，固定的位置不变，将沿方向平移至点F正好落在直线上，再将绕点F顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动当经过t秒时，线段与的一条边平行，则t的值______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．分类讨论、、三种情况，根据平行线的性质确定旋转角的大小即可求解． 【详解】解：①当时，如图所示： ∴秒 ②当时，如图所示： ∵， ∴ ∴秒 ③当时，如图所示： ∴秒 综上所述：t的值为或或 三、解答题（共10小题，共86分） 17. ．计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，单项式乘以单项式，单项式除以单项式和积的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式和单项式除以单项式即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式的综合应用，掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键； （1）分别用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类项即可； （2）先用平方差公式，再用完全平方公式展开即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算与求代数式的值；分别利用乘法公式展开再合并同类项，最后计算除法并代值即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. ．如图，已知． 试说明：．请将下面解题过程补充完整： 解：∵， ∴（①______________）， ∵， ∴（②______________）， ∴③______________（④______________）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵（已知）， ∴⑤______________（同角的补角相等）， ∴⑥______________（⑦______________）， ∴（⑧______________）． 【答案】垂直定义；等量代换；；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线的定义，补角的性质，读懂各步推理过程是解题的关键；读懂各步推理过程即可完成． 【详解】解：解：∵， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直的定义；等量代换；；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 21. 已知：如图，是上的两点，且，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定．根据平行线的性质可得，进而根据，可得，结合，根据边角边即可证明三角形全等． 【详解】证明：， ， ， ， 即， ， ． 22. ．如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都在格点上，按要求画图： （1）请画出中边上高线； （2）请画出中边上的中线； （3）在格纸中作（注意点格点，请在格纸内部作三角形使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，画三角形的高，画三角形的中线，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，取格点H，连接交于D，则线段即为所求； （2）如图所示，取格点E，连接，则线段即为所求； （3）如图所示，取格点F，连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 解；如图所示，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 23. 在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 【答案】①证明见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． ①先证明，再证明，即可证明； ②先由三角形内角和定理得到，再导角证明，据此可得答案． 【详解】证明：①∵， ∴，即 在和中， ， ∴， ∴； ②∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知，点在直线、之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”．请解决下面的问题． 【学以致用】 （1）如图，已知，当，求出的度数． （2）如图1，若，则___________； （3）①如图2，若、分别平分和，直接写出与的数量关系为___________； ②如图3，设，则___________． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理的推论，角平分线的性质及角的和差等知识，作出必要的辅助线是解题的关键． （1）过点E作，则得；再由，得，有，则由即可求解； （2）过点E作，则得；再由，得，有，则由即可求解； （3）①利用（1）（2）的结论，结合角平分线的性质即可求解； ②利用（1）（2）的结论，结合即可求解； 【小问1详解】 解：如图，过点E作， 则； ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作， 则， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：①由（2）知，； 由（1）知，； ∵、分别平分和， ∴， ∴， 即， ∴， 即； 故答案为：； ②由（2）知，； 由（1）知，； ∵， ∴， ∴； ∴； ∴； 故答案为：． 25. （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得． 若，则该大正方形的边长为___________； （2）【知识运用】两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点在一条直线上，点为的中点，若，求图中阴影部分的面积； （3）【知识拓展】如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到． 若已知，则___________． （4）【民族骄傲】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． 下列说法：正确的有 ①展开式各项系数之和为64； ②展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项； ③； ④若，则； ⑤能被28整除． 【答案】（1）8；（2）45；（3）95；（4）①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形的应用，多项式乘多项式的规律应用，注意数形结合． （1）由，把整体代入即可求解； （2）根据阴影部分面积等于两个正方形面积和分别减去的面积即可，再由已知求出，整体代入即可． （3）由，再整体代入即可求解； （4）根据（为正整数）的展开式的系数规律，逐个判断即可． 【详解】解：（1）， 由于，则； 故答案为：8． （2）∵，点为的中点， ∴； 阴暗部分面积 ； ∵， ∴， 即； 阴暗部分面积； 答：图中阴暗部分面积为45； （3）∵ 又， 即， ∴； 故答案为：95； （4）的各项系数分别为1，6，15，20，15，6，1， 其和； 故①正确； 展开式各项中，各系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1，系数最大的项是第四项和第五项； 故②正确； ； 故③正确； ， 上式中取，得；取，得 则； 故④错误； ∵， 而， ∴ 即 ∴能被28整除； 故⑤正确； 综上，正确的有①②③⑤． 26. 【预备知识】： 如图在等腰中，如果，则； 反之在中，如果，则，为等腰直角三角形． 【问题解决】 在中，，为过点的一条直线，过点作，过点作． （1）如图1，连接，若， ①求证：； ②求的面积． （2）如图2，为的中线．求证： ①； ②． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，在中，，的面积，请直接写出的长，并在图3中画出能解决此问题的图形，无需解答过程． 【答案】（1）①见解析；②； （2）①见解析；②见解析； （3），画图见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，余角的性质等知识，构造适当辅助线，证明三角形全等是解题的关键． （1）①利用同角的余角相等得，则由即可证明； ②由得，由三角形面积公式即可求解； （2）①由，即可得； ②延长与的延长线于点E，证明，则，易得，由预备知识得，则结论可证明； （3）过点C作交的延长线于点M，连接；设，由预备知识得；证明，则，，得；利用，可求得x的值，即求得． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图，延长与的延长线于点E， 由①知，， ∴，； ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（1）②知，， ∴； ∵， ∴由预备知识得， ∴； （3）解：，画图如下： 如图，过点C作交的延长线于点M，连接；设； ∵， ∴， ∴由预备知识得； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴； ∵， ∴ 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$