精品解析：广东省茂名市高州市四校联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期期中素养展评 八年级数学试卷 （考试时间共120分钟，满分为120分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 下列不属于平移现象的是（ ） A. 升降电梯上下移动 B. 电风扇扇叶的转动 C. 拉抽屉 D. 传送带上物品传输 2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A B. C. D. 3. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（ ） A. 底角大于 B. 底角等于 C. 底角小于 D. 底角大于等于 4. 下列多项式中，能用平方差公式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 将长度为的线段向上平移，所得线段的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 若是完全平方式，则k应为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 9. 若方程2x=4的解使关于x的一次不等式(a-1)x＜a+5成立，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 且 10. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填写在答题卷相应位置上． 11. 多项式的公因式是______； 12. 如图所示，△ABC与△A′B′C′是全等三角形，那么△A′B′C′可以看作是由△ABC以O为旋转中心，旋转_______度形成的． 13. 如图，在中，，平分，于D，如果，那么等于______． 14. 把分解因式得，则c的值是_____________． 15. 如图，在中，，，，在直线上，将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点；…，按此规律继续旋转，则______． 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）分解因式： （2）解不等式： 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点B顺时针旋转后的； （3）求出（2）中的面积． 18. 阅读理解：把多项式分解因式． 解法： 观察上述过程，解下列问题． 若三边分别为，且满足，试判断形状，并说明理由． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积． 20. 根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 21. 如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集：___________． 五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分共27分） 22. 【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． （1）用“配方法”分解因式． （2）用“配方法”求代数式的最小值． （3）已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 23. （1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积． 小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积． 请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中素养展评 八年级数学试卷 （考试时间共120分钟，满分为120分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 下列不属于平移现象的是（ ） A. 升降电梯上下移动 B. 电风扇扇叶的转动 C. 拉抽屉 D. 传送带上物品传输 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的定义对各选项分析判断即可得解． 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 【详解】解：A、升降电梯上下移动，属于平移； B、电风扇扇叶转动，不属于平移； C、拉抽屉，属于平移； D、传送带上物品传输，属于平移． 故选：B． 2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，判断即可． 本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个因式的积的形式，正确理解定义是解题的关键． 【详解】∵不是因式分解， ∴A不合题意； ∵不因式分解， ∴B不合题意； ∵不是因式分解， ∴C不合题意； ∵是因式分解， ∴D符合题意； 故选：D． 3. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（ ） A. 底角大于 B. 底角等于 C. 底角小于 D. 底角大于等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设底角大于等于， 故选： D． 4. 下列多项式中，能用平方差公式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式的基本特点，判断求解即可． 本题主要考查了平方差公式分解因式，熟知平方差公式的结构是解题的关键． 【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，能用平方差公式分解因式，符合题意； D、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 5. 将长度为的线段向上平移，所得线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移性质，平移前后线段的长度不会改变，解答即可． 本题考查了平移，熟练掌握平移的全等性质是解题的关键． 【详解】解：根据平移性质，得长度为的线段向上平移，所得线段的长度是． 故选：A． 6. 若是完全平方式，则k应为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合完全平方公式的定义，得，解答即可． 本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由，且是完全平方式， 故． 故选：C． 7. 已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤． 解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴． ∴，． ∴． ∴方程为． 解得． 故选：D． 8. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，即， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 9. 若方程2x=4的解使关于x的一次不等式(a-1)x＜a+5成立，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解方程2x=4得：x=2， ∵（a-1）x＜a+5， 当a-1＞0时，x＜， ∴＞2， ∴1＜a＜7． 当a-1＜0时，x＞ ∴＜2， ∴a＜1． 则a的取值范围是a＜7且a≠1． 故选D． 点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，先求出方程2x=4的解，再根据不等式（a-1）x＜a+5用a表示出x的取值范围，即可求出a的取值范围． 10. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质以及翻折变换及其应用；连接，先根据线段垂直平分线的性质得到，则，利用等边对等角和三角形内角和定理以及角平分线的性质得到，，据此可得，证明，得到，则，再由对称性得到，，则，由三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填写在答题卷相应位置上． 11. 多项式的公因式是______； 【答案】a 【解析】 【分析】根据公因式的定义判断即可． 本题考查了公因式的定义，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．掌握确定公因式的方法是解题的关键． 【详解】解：的公因式是a． 故答案：a． 12. 如图所示，△ABC与△A′B′C′是全等三角形，那么△A′B′C′可以看作是由△ABC以O为旋转中心，旋转_______度形成的． 【答案】180 【解析】 【详解】根据全等三角形的对应关系，可知A与A′是一对对应点，则可知旋转了180°． 故答案为180． 【点睛】此题主要考查了旋转变化的辨别，解题关键是根据全等三角形确定对应点，从而知与旋转中心构成的角度即可求解，比较简单． 13. 如图，在中，，平分，于D，如果，那么等于______． 【答案】##3厘米 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，即可求出答案． 【详解】解：平分，，， ， ， 故答案为：． 14. 把分解因式得，则c的值是_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】将展开即可得到c的值． 【详解】解：∵（x＋1）（x＋2）＝x2＋2x＋x＋2＝x2＋3x＋2， ∴x2＋3x＋c＝x2＋3x＋2， ∴c＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了因式分解与整式乘法．熟知因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，在直线上，将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点；…，按此规律继续旋转，则______． 【答案】4050 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，旋转的性质及勾股定理，根据题意，发现将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加，2，，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 由题意知，， ， ， …… 以此类推，每旋转一次，的长度依次增加，2，，且三次一循环， ， ， 故答案为：4050． 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）分解因式： （2）解不等式： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解即可． （2）根据解不等式的基本步骤求解即可． 本题考查了因式分解，解不等式，熟练掌握解题的基本步骤和基本思路是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点B顺时针旋转后的； （3）求出（2）中的面积． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据顺时针旋转的要求求出对应坐标，画图即可． （3）根据分割法计算面积解答即可． 本题考查了坐标的对称，旋转，分割法求面积，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，根据题意，得， 为所求，且点的坐标； 【小问2详解】 根据题意，得，绕原点O顺时针旋转得到，新坐标分别为．画图如下： 则即为所求． 【小问3详解】 解：的面积 18. 阅读理解：把多项式分解因式． 解法： 观察上述过程，解下列问题． 若三边分别为，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提取公因式法，等腰三角形的判定．理解提取公因式法是解答关键． 首先将原式前两项和后两项分组，进而提取公因式分解因式即可得出a，b关系，进而得出的形状． 【详解】解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， 为的三边， ， ， 是等腰三角形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积． 【答案】（1）是的平分线，见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键； （1）利用证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用面积计算公式解题即可． 【小问1详解】 解：是的平分线， 理由如下： 和中， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：过点作于点， 平分， ， ， ． 20. 根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 【答案】（1），商品的销售单价分别是16元，20元；（2）①；②；（3）购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）设，商品的销售单价分别是元，元，根据“若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元”列出方程组求解即可； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）由题意可知，使用外卖配送服务更合算，再结合实际，即可求解． 【详解】解：（1）设，商品的销售单价分别是元，元， 由题意可知，， 解得：， 答：，商品的销售单价分别是16元，20元； （2）①若使用外卖配送商品，共需要元； ②若不使用外卖配送商品，共需要元； 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得：， 又∵，且为整数， ∴购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算． 21. 如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集：___________． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入，求出m，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，再根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）利用函数图象，写出一次函数的图象在的上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：过点， ， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式． 【小问2详解】 解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点为， ， ， 又， ． 【小问3详解】 解：由图像可知，当时，一次函数的图象在的上面， ∴不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． 五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分共27分） 22. 【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． （1）用“配方法”分解因式． （2）用“配方法”求代数式的最小值． （3）已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 【答案】（1） （2）4 （3）等腰三角形的底边长为1 【解析】 【分析】（1）根据“配方法”，将变形为，后用完全平方公式，平方差公式分解因式即可． （2）用“配方法”构造完全平方式，利用非负性求代数式的最小值即可． （3）先将转化为，求得a、b，后分类求等腰三角形的底边长． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 的最小值是4． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当三边为2，2，1时，能构成三角形， ∴底边长为1； ②当三边为2，1，1时，不能构成三角形， 综上可知：等腰三角形的底边长为1． 【点睛】本题考查了配方法分解因式，求代数式的最值，实数的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系定理应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 23. （1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积． 小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积． 请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 【答案】（1）25（2）（3）24 【解析】 【分析】（1）根据四边形的面积等于正方形的面积计算即可； （2）如图乙中，延长至，取，连接．只要证明，即可推出四边形的面积等于的面积； （3）如图丙中，延长至，连接、、．只要证明五边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】解（1）由题可知． 故答案为25． （2）如图，延长至，取，连接． 等边中，，， ， 四边形中，， ， 又，， ， ，． ， ， 为等边三角形且， ． （3）如图，延长至，连接、、． ，，， ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$