精品解析：广西壮族自治区贵港市覃塘区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2025年春季期期中教学质量监测试卷 八年级数学 （本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，考试时间120分钟，赋分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 2. 已知一个等腰三角形的底角为，则该等腰三角形的顶角度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正五边形 4. 已知直角三角形面积为6，斜边长为5，则直角三角形的周长为（ ） A. 24 B. 7 C. 12 D. 10 5. 在判断“一个四边形窗户是否为菱形”的数学实践活动中，四个小组提出了以下方案，其中正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 测量四条边是否都相等 C. 测量一组邻边是否相等 D. 测量两个对角是否相等 6. 如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2.5 D. 3.5 7. 如图，在中，平分，若，，则的比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 四个角相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形 10. 长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（　　） A. B. C. D. 11. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知在平行四边形中，，则此平行四边形的周长为______． 14. 如图，，请你添加一个条件_______，利用“”，证明． 15. 如图，点为菱形的对称中心，连接，，，，连接并延长交边于点，则四边形的面积为_____． 16. 如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为_____．（杯壁厚度不计） 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中作，使在格点上，且与成轴对称； （2）在图②中，作，使、均在格点上，且与成中心对称； （3）在图③中，作，使、均在格点上，且是绕着点逆时针方向旋转后的图形． 18. 如图，在△ABC中，，CD⊥AB于点D，M是AB边的中点，连接CM． （1）若，，求CM的长； （2）若，求∠MCD的度数． 19. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证： （1）△AEF≌△BEC； （2）四边形BCFD是平行四边形． 20. 阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． （1）①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ （2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． （3）小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 21. 如图，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交，于点，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求折痕的长． 22. 如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连结、，线段和相交于点． （1）判断，的位置关系：______，，的数量关系：______； （2）若，，求的长． （3）如图2，正方形绕点顺时针旋转（），连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 23. 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，， ，分别为，的中点， ______ 分别为，的中点， ． 同理： ， 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，并具有一系列重要性质．例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形两条对角线的长度之和． 任务： （1）上述证明过程中的横线上填的内容是：______． （2）如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形的周长等于两条对角线与的长度之和．请你通过几何推理证明这一结论． （3）已知四边形的对角线与夹角为．请用刻度尺、三角板等工具，画出四边形的对角线、及瓦里尼翁平行四边形，并求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期期中教学质量监测试卷 八年级数学 （本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，考试时间120分钟，赋分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用进行判定即可． 【详解】解：A、设， ∵， ∴，能判定是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴，不能判定是直角三角形，不符合题意； C、，不能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵，即， ∴不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A ． 2. 已知一个等腰三角形的底角为，则该等腰三角形的顶角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的底角为， ∴这个三角形的顶角为， 故选：C． 3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正五边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：正方形、菱形、矩形均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 正五边形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：D． 4. 已知直角三角形面积为6，斜边长为5，则直角三角形的周长为（ ） A. 24 B. 7 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设直角三角形的两直角边分别是a、b，利用勾股定理和三角形的面积公式求得．然后由三角形的周长公式求得该直角三角形的周长． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别是a、b（a、b均为正数）， 则，， ∴， ∴， ∴（舍去）， 所以该直角三角形的周长是：． 故选：C． 5. 在判断“一个四边形窗户是否为菱形”的数学实践活动中，四个小组提出了以下方案，其中正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 测量四条边是否都相等 C. 测量一组邻边是否相等 D. 测量两个对角是否相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形的四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形．据此分析即可作出判断． 【详解】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定是菱形，故此选项不符合题意； B、测量四条边是否都相等，能判定菱形，故此选项符合题意； C、测量一组邻边是否相等，不能判定菱形，故此选项不符合题意； D、测量两个对角是否相等，不能判定菱形，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2.5 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到，由垂直的定义得到，则，，所以有，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 7. 如图，在中，平分，若，，则的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积．先根据角平分线性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到和的距离相等，然后根据三角形的面积公式得到． 【详解】解：∵平分， ∴点到和的距离相等， ∴， ∴， 则 故选：D． 8. 如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．由菱形的性质可得，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 四个角相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形和矩形的判定方法．根据菱形和矩形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故本选项不符合题意； B、四个角相等的四边形是矩形，故本选项符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，故本选项不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 10. 长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由矩形性质求面积，长方形的面积两个阴影小长方形的面积阴影小长方形的公共正方形的面积，即可求解；能根据图形列出面积是解题关键． 【详解】解：由题意得 空白部分的面积为； 故选：A． 11. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了考查了勾股定理的应用；设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 在中，由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 12. 如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出全等是解题的关键，也是本题的突破口．根据正方形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断②正确；假设，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可得，即，从而得出假设错误，判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得，然后都减去的面积，即可得解，从而判断④正确． 【详解】解：在正方形中，，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接，假设， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴，这与正方形的边长相矛盾， 所以，假设不成立，，故③错误； ∵， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知在平行四边形中，，则此平行四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求得结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等． 14. 如图，，请你添加一个条件_______，利用“”，证明． 【答案】或 【解析】 【分析】根据“”定理内容即可进行解答． 【详解】解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 由图可知：和斜边为公共边，即， ∴应添加：或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了用“”证明两个直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”． 15. 如图，点为菱形的对称中心，连接，，，，连接并延长交边于点，则四边形的面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．证明为等边三角形，过点作于点，过点作于点，由进行求解即可． 【详解】解：∵点O为菱形的对称中心，，，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，，， 过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为：． 16. 如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为_____．（杯壁厚度不计） 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， 根据题意得，，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：13． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中作，使在格点上，且与成轴对称； （2）在图②中，作，使、均在格点上，且与成中心对称； （3）在图③中，作，使、均在格点上，且是绕着点逆时针方向旋转后的图形． 【答案】（1） 解：如图①，即为所作： （2） 解：如图②，即为所作： （3） 解：如图③，即为所作： 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称，中心对称，解决本题的关键是掌握旋转变换，轴对称，中心对称的性质． （1）根据轴对称图形的特点作出图形即可； （2）根据中心对称图形的特点作出图形即可； （3）根据旋转对称图形的特点作出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，在△ABC中，，CD⊥AB于点D，M是AB边的中点，连接CM． （1）若，，求CM的长； （2）若，求∠MCD的度数． 【答案】（1） （2）∠MCD＝37° 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质即可得到CM的长； （2）先求出∠ACD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=MC，根据等边对等角可得∠ACM=∠A，再求出∠MCD=45°． 【小问1详解】 解：∵∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∵BC＝1，AC＝2， ∴AB2＝AC2＋BC2＝5，则， ∵M是AB边的中点， ∴． 【小问2详解】 解：∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=26.5°， ∴∠ACD=90°26.5°=63.5°， ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠A=26.5°， ∵CM=AB=AM， ∴∠ACM=∠A=26.5°， ∴∠MCD=∠ACD∠ACM=63.5°26.5°=37°． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 19. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证： （1）△AEF≌△BEC； （2）四边形BCFD是平行四边形． 【答案】 证明：（1）∵E是AB中点， ∴AE=BE， ∵△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∵∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°， 在△AEF和△BEC中 ， ∴△AEF≌△BEC（ASA）； （2）∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠DAB=60°，∠CAB=30°， ∴∠DAC=90°， ∴， ∵E是AB的中点，∠ACB=90°， ∴EC=AE=BE， ∴∠ECA=30°，∠FEA=60°， ∴∠EFA=∠BDA=60°， ∴， ∴四边形BCFD是平行四边形．     【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质得出∠DAB=60°，即可得出∠ABC=60°，进而求出△AEF≌△BEC（ASA）； （2）利用平行线的判定方法以及直角三角形的性质得出，进而求出答案． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定方法，得出∠ABC=60°是解题关键． 20. 阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． （1）①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ （2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． （3）小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】（1）①20；②小东求的是8边形内角和； （2）这个正多边形的一个内角是； （3） 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； 【小问2详解】 解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； 【小问3详解】 解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 21. 如图，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交，于点，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求折痕的长． 【答案】（1） 证明：由折叠性质，得：，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠性质，可得：，，，再证明，可得，可得，从而可得结论； （2）如图，过点F作于点H，证明，，又由折叠性质，知，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解x，在中，由勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点F作于点H， ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴，， 又由折叠性质，知， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 则，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，折叠的性质，利用折叠的性质得到边与角的相等是解本题的关键． 22. 如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连结、，线段和相交于点． （1）判断，的位置关系：______，，的数量关系：______； （2）若，，求的长． （3）如图2，正方形绕点顺时针旋转（），连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 【答案】（1）， （2）； （3）与的面积之差不变，其值为0． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，，，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，根据对顶角相等、三角形的内角和定理可得，由此即可得； （2）连接与交于点，先根据正方形的性质和勾股定理可得，，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得； （3）过点作于点，过点作的垂线，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：，； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设交于点， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ：如图，连接与交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由（1）已证：， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作的垂线，交延长线于点， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 所以与的面积之差不变，其值为0． 23. 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，， ，分别为，的中点， ______ 分别为，的中点， ． 同理： ， 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，并具有一系列重要性质．例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形两条对角线的长度之和． 任务： （1）上述证明过程中的横线上填的内容是：______． （2）如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形的周长等于两条对角线与的长度之和．请你通过几何推理证明这一结论． （3）已知四边形的对角线与夹角为．请用刻度尺、三角板等工具，画出四边形的对角线、及瓦里尼翁平行四边形，并求的度数． 【答案】（1）（三角形的中位线定理） （2） 证明：分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为： ． （3）的度数为或 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得； （2）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （3）根据题意画出图形（见解析），先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（三角形的中位线定理） 分别为的中点， ． ， 同理：， 四边形是平行四边形． 故答案为：（三角形的中位线定理）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $