精品解析：山西省朔州市右玉县右玉教育集团初中部九年级期中考试2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

山西中考模拟百校联考试卷（二） 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 某天，月球表面白天的最高温度为零上，如果记作，那么夜间的最低温度零下应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数，相反意义量的运用，理解正负数的运用是关键． 根据零上，记作，可得零下应记作，即可求解． 【详解】解：∵零上，记作， ∴零下应记作， 故选：B ． 2. 在油气开发中，国际上一般将埋深超过4500米的地层称为深层，埋深超过6000米的地层被称为超深层．我国最大超深油气生产基地——塔里木油田，已累计从6000米以下地层采出油气1.5亿吨油气当量．数据1.5亿吨用科学记数法表示为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此解答即可． 【详解】解：1.5亿吨， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合同同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方的运算，掌握整式的运算法则是关键． 根据整式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、与不同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，本角形内角和定理，根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 关于一元二次方程根情况，下列说法中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，直接利用一元二次方程根的判别式即可得． 【详解】解：， 其中，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 6. 在2025年全球气候行动峰会上，设有“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题，供与会代表讨论．甲、乙两个国家代表需从这四个议题中随机选择一个议题进行投票．每个议题被选择的可能性相同，且两国代表的选择相互独立．甲、乙两国代表选择同一议题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 详解】解：“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题分别用表示，运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， 共有16种等可能结果，其中甲、乙两国代表选择同一议题的有4种， ∴甲、乙两国代表选择同一议题的概率是， 故选：B ． 7. 如图，在正八边形中，连接，可知．以点G为圆心，大于点G到线段的距离为半径作弧，分别交线段于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交线段于点I，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和，等腰三角形的性质，作垂直，根据多边形的性质得到，，再根据等腰三角形得到，由平行得到，即可求出． 【详解】解：∵正八边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 图象分别位于第一、第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质是关键． 根据题意，把代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为，由此得到反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，反比例函数图象关于原点对称，由此即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，故D选项错误，不符合题意； ∴，故A选项错误，不符合题意； 当时，；当时，；故B选项错误，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点对称， ∴当，则，故C选项正确，符合题意； 故选：C ． 9. 如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作，与相切于点，连接，若平分，，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是关键． 如图所示，设与交于点，连接，，，，由30度角的直角三角形的性质得到，，，，，，根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，设与交于点，连接， ∵以点为圆心，以为半径作，与相切于点，， ∴，， ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴，即， 在中，，，， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积， 故选：C ． 10. 图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式．图2中，发球机从中线的端点的正上方处的点发球，乒乓球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点，其高度为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．记图2中球的落点为点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是关键． 根据题意，，顶点坐标，设二次函数解析式为，运用待定系数法可得二次函数解析式为，根据函数值得到自变量的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，顶点坐标， ∴设二次函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， 故选：A ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：的结果等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得． 【详解】解： =（）2-（）2 =6-2 =4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键． 12. 每年4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学组织学生开展“航空航天”的知识竞赛，其中九年级（一）班有7名同学参加竞赛，成绩数据分别为98、86、95、77、82、85、93（单位：分）．则这组数据的中位数是________分． 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查了中位数的计算，掌握中位数的计算方法是关键． 把一组数据从小到大排序，中间的数即为中位，若这组数据的个数为偶数个时，中间两个数的平均数即为中位数，若这组数据的个数为奇数个时，中间的数即为中位数，由此即可求解． 【详解】解：九年级（一）班有7名同学参加竞赛，成绩数据分别为98、86、95、77、82、85、93（单位：分）， 从小到大排序为：77，82，85，86，93，95，98， ∴中位数是， 故答案为：86 ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，点在轴的正半轴上，将沿轴正方向平移后得到，点的对应点为点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形平移，平面直角坐标系的点坐标，掌握图形的平移是关键． 根据图形平移得到点与点对应，得到即为平移距离，结合点的平移规律即可求解． 【详解】解：将沿轴正方向平移后得到，点的对应点为点， ∴点与点对应， ∴， ∴， ∵，， ∴，即平移距离为4， ∵顶点的坐标为， ∴， 故答案为： ． 14. 某物理小组在做水沸腾实验时记录了水温随加热时间变化的相关数据，部分数据如下表所示，当加热时间为时，对应的水温是________． 时间 3 4 5 6 温度 30 39 48 57 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，掌握待定系数法是关键． 根据表格信息，随着时间的增长，温度逐渐升高，设温度与时间的函数关系为，运用待定系数法可得解析式，再根据自变量求函数值即可． 【详解】解：根据表格信息，随着时间的增长，温度逐渐升高， ∴设温度与时间的函数关系为， ∴， 解得，， ∴温度与时间的函数关系为， ∴当时，， 故答案为： ． 15. 如图，在中，，，，点D为边上的一点，连接，过点A作于点E，交边于点F．当时，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作交延长线于点K，先解求出，再根据求出，最后由，根据等角的三角函数值相等求解即可． 【详解】解：过点作交延长线于点K， ∵，， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）下面是小红化简分式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务： ①上述解答过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是________． ②上述解答过程从第________步开始出现错误． ③请直接写出该分式化简后的正确结果． 【答案】（1） （2）①完全平方公式；②第二步；③正确过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，负指数幂，分式的混合运算，掌握以上知识及计算方法是关键． （1）先算乘方，负指数幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）①，运用的是完全平方公式； ②， ∴第二步开始出错； ③正确的计算过程如下， ． 17. 2025年，个人消费者购买单件销售价格不超过6000元的手机、平板电脑、智能手表（手环）三类数码产品，可享受政府的购新补贴．小路打算购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑，一部B品牌平板电脑比一部A品牌手机便宜600元，已知该地区对A品牌手机每部补贴，对B品牌平板电脑每部补贴，若购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑一共补贴740元，那么一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑的销售价各是多少？ 【答案】一部A品牌手机的销售价是元，一部B品牌平板电脑的销售价是元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设一部A品牌手机的销售价是元，一部B品牌平板电脑的销售价是元，根据数量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设一部A品牌手机的销售价是元，一部B品牌平板电脑的销售价是元， ∵一部B品牌平板电脑比一部A品牌手机便宜600元， ∴， ∵该地区对A品牌手机每部补贴，对B品牌平板电脑每部补贴，购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑一共补贴740元， ∴， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴一部A品牌手机的销售价是元，一部B品牌平板电脑的销售价是元． 18. 某校举办青少年科技创新大赛，主题为“探索科技前沿，点燃创新梦想”·大赛分为“智能创造”编程设计（记为A）、“奇思妙想”创意发明（记为B）、“未来视界”科技绘画（记为C）、“探索先锋”科普演讲（记为D）四类比赛．为了解同学们参与比赛的意向，学校从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）． 类别 占调查人数的百分比 A 30% B m C 30% D 20% “科技创新大赛”参赛意向调查问卷 请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“[ ]”内打“√”，非常感谢您的合作（可多选）． A．“智能创造”编程设计[ ] B．“奇思妙想”创意发明[ ] C．“未来视界”科技绘画[ ] D．“探索先锋”科普演讲[ ] 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）参与本次问卷调查的总人数为________人，统计表中m的值为________（填百分数）． （2）请补全条形统计图． （3）小明想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求表示“奇思妙想”创意发明的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由． （4）若该校共有600名学生有意向参与此次科技创新大赛，根据上述调查结果，估计参加“智能创造”编程设计比赛的学生人数． 【答案】（1）50， （2）见解析 （3）不可行，理由见解析（答案不唯一） （4）180人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体． （1）根据频率频数总数进行计算即可； （2）求出C类的人数即可补全条形统计图； （3）根据，即有意向参与比赛的人数占调查总人数的百分比之和大于1；或，即有意向参与A类、B类、C类、D类的人数之和大于总人数50可判断不可行； （4）根据用样本估计总体，计算即可． 【小问1详解】 解：调查总人数为：（人）， B的百分比为：， ∴ 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：C类的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：不可行．理由如下（答案不唯一）： 如：由统计表可知，即有意向参与比赛的人数占调查总人数的百分比之和大于1；或，即有意向参与A类、B类、C类、D类的人数之和大于总人数50； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计参加“智能创造”编程设计比赛的学生人数为180人． 19. 某生产商计划用相同材质的结绳编织两种中国结，其中320米结绳用于编织团锦结，168米结绳用于编织福字结．已知每个团锦结使用结绳长度比每个福字结使用结绳长度少0.2米．若编织出的团锦结数量是福字结数量的2倍，且刚好能用完所有结绳． （1）求该生产商能编织团锦结和福字结各多少个． （2）已知原来每个团锦结的成本为35元，售价为45元；每个福字结的成本为28元，售价为35元．由于制作工艺升级，制作成本有所增加．且两种中国结制作成本增加的金额相同，售价不变．若该生产商希望全部售出两种中国结后的总利润不低于840元，求每个中国结的成本最多增加多少元． 【答案】（1）该生产商能编织福字结40个，能编织团锦结80个 （2）每个中国结的成本最多增加2元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键． （1）设该生产商能编织福字结x个，则能编织团锦结个，根据每个团锦结使用结绳长度比每个福字结使用结绳长度少0.2米，列出分式方程，解方程即可； （2）设每个中国结的成本增加a元，根据生产商希望全部售出两种中国结后的总利润不低于840元，列出不等式，解不等式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该生产商能编织福字结x个，则能编织团锦结个， 根据题意得，， 解得， 经检验是分式方程的解，符合题意， ∴， 答：该生产商能编织福字结40个，能编织团锦结80个； 【小问2详解】 解：设每个中国结的成本增加a元， 根据题意得，， 解得， ∴每个中国结的成本最多增加2元． 20. 在正方形中，，E是射线上的一个动点．连接，过点E作，与正方形的一边交于点F，连接，．设的长为x，的面积为y． （1）如图1，当点E在边上时（不与B，C两点重合），交边于点F．求y关于x的函数表达式． （2）如图2，当点E在的延长线上时，点F落在边上时（不与A，B两点重合），写出自变量x的取值范围，并求面积的最大值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出：，，，证明，得出，然后求出三角形面积即可； （2）先证明，得出，根据点F落在边上时，且不与A，B两点重合，求出，写出，根据二次函数性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F落在边上时，且不与A，B两点重合， ∴， 解得：， ∵， 又∵， ∴当时，y最大，且最大值为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，正方形的性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 21. 项目式学习 课题 利用直角三角形的边角关系测量光影塔的高度 背景 “五一国际劳动节”当天，某公园在湖面上搭建舞台进行灯光秀表演，演出利用智能控制系统，实现灯光的动态变化和场景切换，展示当地的历史文化、民宿风情．右图是演出的一个场景，某“综合与实践”小组开展了测量舞台上光影塔高度的实践活动 测量工具 皮尺、________ 测量示意图及方法 说明：是湖面，矩形是舞台的竖直截面，是光影塔，，表示水平观景台的一部分，在观影台点D处测得光影塔底部点A的俯角为；从点D处行走至点E处，然后在点E的竖直上方的点F（）处测得光影塔顶部点B的仰角为．图中所有点均在同一竖直平面内，点C，I，M在同一水平直线上 测量数据 舞台高度米，观影台高度米，测点F距离湖面的高度为8米，米，， 计算过程 …… 活动感受 …… （1）补充测量工具：________． （2）根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出光影塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）测角仪 （2）光影塔高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的应用，熟练构建直角三角形，利用三角函数表示边与边之间的关系是解题的关键． （1）根据题意还需要测角仪，即可解答； （2）延长交于点，延长交于点，在中，求得，即可求得，在中，求得即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意还需要测角仪， 故答案为：测角仪； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，延长交于点， ， 根据题意可得四边形为矩形， ， 舞台高度米，观影台高度米， 米， 在中，可得米， 米， 米， 在中，可得米， 测点F距离湖面的高度为8米， 点到湖面的距离约为米， 米， 即光影塔的高度约为米． 22. 阅读与思考 几何透视 几何透视是一种在二维平面表现三维空间的方法，能使观察者产生空间感和深度感．其基本原理是根据近大远小的视觉规律，平行于观察者视线方向的线条都汇聚于消失点．几何透视主要分为一点透视、两点透视和三点透视． 一点透视，又叫平行透视．适用于物体正面与画面平行的场景，只有一个消失点．如图1，视线，汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O），． 两点透视，又叫成角透视．适用于物体与画面成一定角度的情况，有两个消失点．如图2，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），． 三点透视，适用于俯瞰或仰视场景，有三个消失点．如图3，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），视线，，汇聚（相交）于视平线垂直方向上的点P处（消失点P）． 任务： （1）如图1，根据上述信息可知，一点透视运用的数学原理是________．（只有一个选项符合题意） A．平行投影 B．位似 C．图形的全等 （2）如图2，两点透视画法中，若，，，求的长． （3）如图4，是三点透视（图3）中的部分平面图形，若，，，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，位似； （1）由得到，即可说明一点透视运用的数学原理是位似； （2）由结合得到，再由得到，结合求出 （3）过作交于，于，先根据等腰三角形和平行线得到，即可得到，再由得到，结合得到，即可求出． 【小问1详解】 解：∵图1，视线，汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O），， ∴， ∴一点透视运用的数学原理是位似， 故选：B； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，过作交于，于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且，请直接写出点到直线的距离． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析；（2）①，证明见解析； ②；（3）点到直线的距离 【解析】 【分析】（1）设与交于点，先由菱形纸片得到，再由折叠得到，，，即可证明，得到，推出，则四边形是菱形； （2）①连接、、由菱形，，得到，由折叠得到，，则，根据，得到，利用等角对等边得到； ②由M恰好是的中点，得到， ，则，则，，根据，求出，则，最后根据求解即可； （3）设直线与直线交于点，与直线交于点，由（2）可得和之间的距离为，即，，，则，然后根据当在左边或右边分情况画出图形求出点到直线的距离的值即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形，证明如下： 设与交于点， ∵菱形纸片， ∴， ∵折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处， ∴，，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①，证明如下： 如图，连接、、 ∵菱形，， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵M恰好是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）设直线与直线交于点，与直线交于点， ∵在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转，， ∴，， ∵与所在的直线垂直， ∴，， ∴， ∴， 由（2）可得和之间的距离为，即， 当在左边时，如图，此时点到直线的距离； 当在右边时，如图，此时点到直线的距离； ∴点到直线的距离． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，折叠问题，直角三角形，勾股定理，旋转等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西中考模拟百校联考试卷（二） 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 某天，月球表面白天的最高温度为零上，如果记作，那么夜间的最低温度零下应记作（ ） A B. C. D. 2. 在油气开发中，国际上一般将埋深超过4500米的地层称为深层，埋深超过6000米的地层被称为超深层．我国最大超深油气生产基地——塔里木油田，已累计从6000米以下地层采出油气1.5亿吨油气当量．数据1.5亿吨用科学记数法表示为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 3. 下列运算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 4. 将一副三角板按如图所示方式摆放，已知，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 在2025年全球气候行动峰会上，设有“碳中和”“可再生能源”“绿色交通”“生态保护”四个议题，供与会代表讨论．甲、乙两个国家代表需从这四个议题中随机选择一个议题进行投票．每个议题被选择可能性相同，且两国代表的选择相互独立．甲、乙两国代表选择同一议题的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正八边形中，连接，可知．以点G为圆心，大于点G到线段的距离为半径作弧，分别交线段于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交线段于点I，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 图象分别位于第一、第三象限 9. 如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作，与相切于点，连接，若平分，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式．图2中，发球机从中线的端点的正上方处的点发球，乒乓球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点，其高度为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．记图2中球的落点为点，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：的结果等于______． 12. 每年4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学组织学生开展“航空航天”的知识竞赛，其中九年级（一）班有7名同学参加竞赛，成绩数据分别为98、86、95、77、82、85、93（单位：分）．则这组数据的中位数是________分． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，点在轴的正半轴上，将沿轴正方向平移后得到，点的对应点为点．若，，则点的坐标为________． 14. 某物理小组在做水沸腾实验时记录了水温随加热时间变化的相关数据，部分数据如下表所示，当加热时间为时，对应的水温是________． 时间 3 4 5 6 温度 30 39 48 57 15. 如图，在中，，，，点D为边上的一点，连接，过点A作于点E，交边于点F．当时，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）下面是小红化简分式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务： ①上述解答过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是________． ②上述解答过程从第________步开始出现错误． ③请直接写出该分式化简后的正确结果． 17. 2025年，个人消费者购买单件销售价格不超过6000元的手机、平板电脑、智能手表（手环）三类数码产品，可享受政府的购新补贴．小路打算购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑，一部B品牌平板电脑比一部A品牌手机便宜600元，已知该地区对A品牌手机每部补贴，对B品牌平板电脑每部补贴，若购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑一共补贴740元，那么一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑的销售价各是多少？ 18. 某校举办青少年科技创新大赛，主题为“探索科技前沿，点燃创新梦想”·大赛分为“智能创造”编程设计（记为A）、“奇思妙想”创意发明（记为B）、“未来视界”科技绘画（记为C）、“探索先锋”科普演讲（记为D）四类比赛．为了解同学们参与比赛的意向，学校从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）． 类别 占调查人数的百分比 A 30% B m C 30% D 20% “科技创新大赛”参赛意向调查问卷 请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“[ ]”内打“√”，非常感谢您的合作（可多选）． A．“智能创造”编程设计[ ] B．“奇思妙想”创意发明[ ] C．“未来视界”科技绘画[ ] D．“探索先锋”科普演讲[ ] 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）参与本次问卷调查的总人数为________人，统计表中m的值为________（填百分数）． （2）请补全条形统计图． （3）小明想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求表示“奇思妙想”创意发明的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由． （4）若该校共有600名学生有意向参与此次科技创新大赛，根据上述调查结果，估计参加“智能创造”编程设计比赛的学生人数． 19. 某生产商计划用相同材质的结绳编织两种中国结，其中320米结绳用于编织团锦结，168米结绳用于编织福字结．已知每个团锦结使用结绳长度比每个福字结使用结绳长度少0.2米．若编织出的团锦结数量是福字结数量的2倍，且刚好能用完所有结绳． （1）求该生产商能编织团锦结和福字结各多少个． （2）已知原来每个团锦结的成本为35元，售价为45元；每个福字结的成本为28元，售价为35元．由于制作工艺升级，制作成本有所增加．且两种中国结制作成本增加的金额相同，售价不变．若该生产商希望全部售出两种中国结后的总利润不低于840元，求每个中国结的成本最多增加多少元． 20. 在正方形中，，E是射线上的一个动点．连接，过点E作，与正方形的一边交于点F，连接，．设的长为x，的面积为y． （1）如图1，当点E在边上时（不与B，C两点重合），交边于点F．求y关于x的函数表达式． （2）如图2，当点E在的延长线上时，点F落在边上时（不与A，B两点重合），写出自变量x的取值范围，并求面积的最大值． 21. 项目式学习 课题 利用直角三角形的边角关系测量光影塔的高度 背景 “五一国际劳动节”当天，某公园在湖面上搭建舞台进行灯光秀表演，演出利用智能控制系统，实现灯光的动态变化和场景切换，展示当地的历史文化、民宿风情．右图是演出的一个场景，某“综合与实践”小组开展了测量舞台上光影塔高度的实践活动 测量工具 皮尺、________ 测量示意图及方法 说明：是湖面，矩形是舞台的竖直截面，是光影塔，，表示水平观景台的一部分，在观影台点D处测得光影塔底部点A的俯角为；从点D处行走至点E处，然后在点E的竖直上方的点F（）处测得光影塔顶部点B的仰角为．图中所有点均在同一竖直平面内，点C，I，M在同一水平直线上 测量数据 舞台高度米，观影台高度米，测点F距离湖面的高度为8米，米，， 计算过程 …… 活动感受 …… （1）补充测量工具：________． （2）根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出光影塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 22. 阅读与思考 几何透视 几何透视是一种在二维平面表现三维空间方法，能使观察者产生空间感和深度感．其基本原理是根据近大远小的视觉规律，平行于观察者视线方向的线条都汇聚于消失点．几何透视主要分为一点透视、两点透视和三点透视． 一点透视，又叫平行透视．适用于物体正面与画面平行的场景，只有一个消失点．如图1，视线，汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O），． 两点透视，又叫成角透视．适用于物体与画面成一定角度的情况，有两个消失点．如图2，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），． 三点透视，适用于俯瞰或仰视场景，有三个消失点．如图3，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），视线，，汇聚（相交）于视平线垂直方向上的点P处（消失点P）． 任务： （1）如图1，根据上述信息可知，一点透视运用的数学原理是________．（只有一个选项符合题意） A．平行投影 B．位似 C．图形的全等 （2）如图2，两点透视画法中，若，，，求的长． （3）如图4，是三点透视（图3）中的部分平面图形，若，，，猜想与的数量关系，并说明理由． 23. 综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且，请直接写出点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$