精品解析：广东省江门市江海区2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题

2025年初中学业水平考试数学模拟试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 2024年1月1日，某地4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，，其中最低的气温是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 3. 截至2025年2月19日，国产电影《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币元，成为春节档票房口碑最好的电影；将这个数用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 单项式﹣2a2b的次数是（　　） A. ﹣2 B. 1 C. 2 D. 3 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 7. 若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 8. 如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 9. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 一次函数的图象如图，下列说法正确的是（ ） A. 点B的坐标是 B. 的面积是8 C. y随x的增大而增大 D. 点在函数图象上 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 化简的结果为________． 12. 不等式组的解集为______． 13. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 14. 如图，在平行四边形中，，，，则的长为________． 15. 已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点N的坐标为____． 三、解答题（一）：（本题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算：． 17. 在中，是的平分线，其中点D在边上． （1）用圆规和直尺在图中作出角平分线．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 18. 4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在这一组的是： 84 85 85 86 86 88 89 c．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下： 分数 73 81 82 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全a中频数分布直方图； （2）七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是______；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是______； （3）已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分（含85分）以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀． 四、解答题（二）：（本题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位． （1）若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m； （2）设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （3）学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 20. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 21. 综合与实践主题：神奇的正方形 素材：两个边长不等的正方形卡纸，把两个边长不等的正方形卡纸与如图1所示摆放（点、、在同一条直线上，），点是边上一点，连接，，沿，裁剪之后，被分成①②③三块，拼接成为图2所示的一个正方形图案． （1）若，，则______，______ ． （2）试根据题意判断与是否全等？说明理由． （3）若，，则图2中的图形②（多边形）的面积______（用含、的式子表示） 五、解答题（三）：（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 综合探究 如图，在中，，点D在以为直径的圆上， 连接、， ，点E、F分别在、的延长线上，且，． （1）求证：四边形是正方形． （2）点M是延长线上一点，连接，若， 求证：． （3）延长、交于点G，连接，若，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点A，C的坐标分别是和，点D是对角线上一动点（不与A，C重合），连结，作，交x轴于点E，以线段，为邻边作矩形． （1）填空：B的坐标为________； （2）是否存在这样的点D，使得是等腰三角形？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由； （3）设，矩形的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最小值． （4）如图2，若点E边上，与相交于点G，连接及，和相交于点H，若，记的面积为，的面积为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试数学模拟试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 2024年1月1日，某地4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，，其中最低的气温是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；由题意可根据有理数的大小比较进行求解． 【详解】解：∵， ∴最低的气温是； 故选A． 2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 截至2025年2月19日，国产电影《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币元，成为春节档票房口碑最好的电影；将这个数用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 4. 单项式﹣2a2b的次数是（　　） A. ﹣2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式中所有字母的指数的和就是单项式的次数进行求解即可. 【详解】解：根据单项式定义得：单项式﹣2a2b的次数是3． 故选D． 【点睛】考查单项式的次数，掌握单项式次数的概念是解题的关键. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方，合并同类项，二次根式的减法，单项式除以单项式，进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方，合并同类项，二次根式的减法，单项式除以单项式，熟练掌握是解题的关键． 6. 在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1-k>0即可． 【详解】∵反比例函数y=1−kx图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小， ∴1−k>0， 解得k<1. 故选A. 【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k的值. 7. 若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围． 【详解】∵方程有两个不相同的实数根， ∴ 解得：m＜1． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 8. 如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案． 【详解】解：如图，连接， 设半径为，则， ， ，， ， 在中，有 ，即， 解得， 则该桨轮船的轮子直径为， 故选D． 9. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 10. 一次函数的图象如图，下列说法正确的是（ ） A. 点B的坐标是 B. 的面积是8 C. y随x的增大而增大 D. 点在函数图象上 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的性质，直线与坐标轴围成的三角形面积等知识点．令，则，即可判断A，求出点A的坐标，再计算的面积即可判断B，根据一次函数的性质即可判断C，把代入一次函数求出对应的y值即可判断D． 【详解】解：令，则， ∴点B坐标为，故A错误； 令，则， 解得， ∴点A坐标为， ∴，， ∴，故B错误； ∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大，故C正确； 当时，， ∴点不在函数图象上，故D错误． 故选：C． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 化简的结果为________． 【答案】－1 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，掌握分式加减法则是关键；观察分母和互为相反数，通过变形将第二个分数化为同分母后相加即可． 【详解】解：； 故答案为 ． 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键；分别求出两不等式的解集，再根据同小取小即可解得． 【详解】解： 由得， 由得 所以不等式组的解集为：， 故答案为：． 13. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可求得边数。 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形的一个外角为，且正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的边数为， 14. 如图，在平行四边形中，，，，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、用勾股定理解三角形，先根据已知条件得到的各个边长，满足勾股定理，即为直角三角形，即可得到，即可得到结果，得到为直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵在平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：5． 15. 已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点N的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】将代入抛物线中，可得，即抛物线解析式为：，根据轴，可得，令，解方程即可求解． 【详解】将代入抛物线中，可得：， 解得：， 即抛物线解析式为：， ∵轴，， ∴， 当时，， 解得：，或者， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程的知识，根据轴，得出，是解答本题的关键． 三、解答题（一）：（本题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】先计算负整数次幂、零次幂、特殊角三角函数值、算术平方根，再进行加减运算． 【详解】解： 【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是正确计算负整数次幂、零次幂、特殊角三角函数值、算术平方根． 17. 在中，是的平分线，其中点D在边上． （1）用圆规和直尺在图中作出角平分线．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握作角平分线的方法和步骤，以及三角形的内角和是180度． （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点A和两弧交点，交于点D，即为所求； （2）根据三角形的内角和定理求出，进而得出，最后根据即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． 平分， ， ． 18. 4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在这一组的是： 84 85 85 86 86 88 89 c．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下： 分数 73 81 82 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全a中频数分布直方图； （2）七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是______；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是______； （3）已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分（含85分）以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀． 【答案】（1）补全的频数分布直方图如图所示： （2）88.5；94 （3）435 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图，用样本估计总体，中位数和众数，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据频数分布直方图的数据可得成绩为的学生人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）求出七、八年级学生参加活动的成绩为优秀的百分比可得答案． 【小问1详解】 解：成绩为的学生人数为（人）， 【小问2详解】 将七年级参加活动的20名学生成绩按从小到大的顺序排列，中位数是（分） 八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是94； 故答案为：88.5；94； 【小问3详解】 （人） 答：估计这两个年级共有435人达到了优秀． 四、解答题（二）：（本题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位． （1）若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m； （2）设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （3）学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意列出正确的不等式是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出自行车车棚面积为关于车棚宽度AB为的一次函数，再求出自变量的取值范围即可； （3）根据题意可得到不等式组，解不等式组，再结合实际需要进行解答即可． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为：， 由题意得到 解得， ∴ 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 由（1）可得： ， 即 整理得到， ∴ 即或 解得， 当时， ∴机动车停车位向外移动1m； 答：有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动1m 20. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解； （2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，过作于， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，，即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为． 【小问2详解】 解：过作于，过作于， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在中，， 即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为． 21. 综合与实践主题：神奇的正方形 素材：两个边长不等的正方形卡纸，把两个边长不等的正方形卡纸与如图1所示摆放（点、、在同一条直线上，），点是边上一点，连接，，沿，裁剪之后，被分成①②③三块，拼接成为图2所示的一个正方形图案． （1）若，，则______，______ ． （2）试根据题意判断与是否全等？说明理由． （3）若，，则图2中的图形②（多边形）的面积______（用含、的式子表示） 【答案】（1）； （2） 全等．理由如下： ∵由①②③三块拼接成的图2是正方形， ∴，， ∵图1中的四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）图2中正方形的面积等于图1中，两个正方形的面积和；然后再根据正方形的面积公式即可得出的值； （2）全等．利用证明与全等即可： （3）结合（2）的结论可得出结论． 【小问1详解】 解：∵由①②③三块拼接成的图2中正方形的面积等于图1中两个正方形的面积和， ∴图2中，正方形的面积为：， ∵由①②③三块拼接成的图2是正方形， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴ 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵四边形是正方形，，， ∴，， 由（2）知：， ∴，， ∴， 图2正方形的面积：， ∴图2中的图形②（多边形）的面积为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的拼剪，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解决问题． 五、解答题（三）：（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 综合探究 如图，在中，，点D在以为直径的圆上， 连接、， ，点E、F分别在、的延长线上，且，． （1）求证：四边形是正方形． （2）点M是延长线上一点，连接，若， 求证：． （3）延长、交于点G，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由题图可知，为直径所对的圆周角， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴四边形为正方形； （2） 证明：连接，交于点，如图， 由（1）可知，四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）13 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可知，进而可知，则，再根据，可得，结合，，可知，得，进而可证明结论； （2）连接，交于点，如图，由（1）可知，四边形为正方形，由此得，，进而可知，再利用互余可证，进而证得，得，即可证明； （3）由勾股定理得，进而可得，由，可知，则，设，可得，在中，由勾股定理得，列出方程求得，即，再根据勾股定理得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴在中，， ∵，则，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵在中，，且， ∴， ∴，解得：或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即， ∵，则， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点A，C的坐标分别是和，点D是对角线上一动点（不与A，C重合），连结，作，交x轴于点E，以线段，为邻边作矩形． （1）填空：B的坐标为________； （2）是否存在这样的点D，使得是等腰三角形？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由； （3）设，矩形的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最小值． （4）如图2，若点E边上，与相交于点G，连接及，和相交于点H，若，记的面积为，的面积为，请直接写出的值． 【答案】（1）（，2）；（2）存在，2或；（3），y的最小值为；（4） 【解析】 【分析】（1）求出、的长即可得出结果； （2）先推出，由是等腰三角形，分两种情况：①当在线段上时，观察图象可知，只有，，推出，可得是等边三角形，推出，即可得出结果； ②当在的延长线上时，只有，，得出即可得出结果； （3）先表示出，，证出，用表示、的长，构建二次函数即可解决问题； （4）设DE=BF=m，根据平行线分线段成比例得到，从而求出EG，FG，可得BG，怎么△ECG∽△BFG，利用相似三角形的性质可得结果． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，，， ，． 故答案为，． （2）存在；理由如下： ，， ， ，， 分两种情况： ①当在线段上时，是等腰三角形，观察图象可知，只有，如图1所示： ， ， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， 当时，是等腰三角形； ②当在的延长线上时，是等腰三角形，只有，，如图2所示： ， ， 综上所述，满足条件的的值为2或． （3）过点作交于，交于，如图3所示： 和，， 直线的解析式为， 设， ，， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ，， ， 在中，， ， 矩形的面积为， ， ， 时，有最小值， 即当点运动到距点的距离为3时，有最小值． （4）如图4中，设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $