精品解析：广东省湛江市雷州市新南方学校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

雷州市新南方学校七年级第二学期期中考试 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列方程中，哪个是二元一次方程？（ ） A. B. C. D. 3. 在下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图可以得到（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转，再直行至C处，此时他若想还是沿正东行走，则他应（　　） A. 先右转，再直行 B. 先右转，再直行 C 先左转，再直行 D. 先左转，再直行 7. 若a<<b，且a、b是两个连续整数，则a+b的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数为( ) A. B. C. D. 9. 在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A. 48 B. 72 C. 36 D. 24 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点坐标为（ ） A. （1012，1012） B. （2011，2011） C. （2012，2012） D. （1011，1011） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点在轴上，则点所在象限是第______象限． 12. 如图，当________________时，． 13. 已知和都是方程的解，则________，________． 14. 如图，将三角形沿着直线的方向向右平移得到三角形，若平移距离为7，，则的长为_______． 15. 如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论序号有______． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知点在第四象限，分别根据下列条件求点P的坐标． （1）点P到x轴的距离为3； （2）点Q的坐标为，且直线与坐标轴平行． 18. 如图所示，把三角形向上平移3单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 已知的算术平方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的立方根． 20. 如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． （1）若，请求出的度数； （2）若，求证：． 21. 某校在2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元． （1）求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ （2）现有七年级10个班级学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 五、解答题（13+14，共27分） 22. 如图1，四边形为正方形（四条边都相等，四个内角都是），平行于y轴． （1）如图1，已知，正方形的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标； （2）如图2，已知，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若． ①当时，求的面积； ②当时，求t的值． 23. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线且和直角三角形． （1）操作发现：在图1中，，求的度数； （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由； （3）实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将（2）中的图形继续变化得到如图3所示，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雷州市新南方学校七年级第二学期期中考试 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无限不循环小数叫无理数，可得答案． 【详解】解：A：＝2，是有理数； B：无限不循环小数，属于无理数； C：0是整数，属于有理数； D：是分数，属于有理数． 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 2. 下列方程中，哪个是二元一次方程？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟悉二元一次方程的定义：“含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程”．根据二元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程是二元二次方程，故A不符合题意； B、方程是二元二次方程，故B不符合题意； C、方程不是整式方程，故C不符合题意； D、方程是二元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 3. 在下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义是解决此题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 如图可以得到（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，即同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；对四个选项依次判断即可； 【详解】A. ,因为它们不是两平行线被截得的同位角或内错角，不符合题意； B. ，是和被所截形成的内错角，所以可以得到，符合题意； C. ，是和被所截形成的内错角，所以可以得到,不符合题意； D. ，因为它们不是两平行线被截得的同位角或内错角，不符合题意； 故选：B. 【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键； 5. 已知，是二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，将方程的解代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选B． 6. 如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转，再直行至C处，此时他若想还是沿正东行走，则他应（　　） A. 先右转，再直行 B. 先右转，再直行 C. 先左转，再直行 D. 先左转，再直行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行同位角相等．延长至,延长至,由两直线平行同位角相等，即可求解． 【详解】解：如图，延长至,延长至, 由题意知：，， ， 他应该先左转，再直行． 故选：C． 7. 若a<<b，且a、b是两个连续整数，则a+b的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】∵的整数部分是2， ∴0＜﹣2＜1， ∵a、b是两个连续整数， ∴a=0，b=1， ∴a+b=1， 故选：A． 8. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，由平行线的性质可求得∠4，结合三角形内角和定理可求得∠3． 【详解】解：如图： ∵直尺两对边分别平行， ∴， 由三角形内角和定理，得 ； 故选择：D. 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是求出∠4的度数，是一道较为简单的题目． 9. 在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A. 48 B. 72 C. 36 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解之得， ∴小长方形的长、宽分别为， ∴ ． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（ ） A. （1012，1012） B. （2011，2011） C. （2012，2012） D. （1011，1011） 【答案】A 【解析】 【解答】解：由题意得，偶数点在第一象限， ∵P1（﹣1，﹣4）水平向右平移2个单位长度2， ∴P7（1，1）， 同理可得，P3（2，2），…， ∴P7n（n，n）， ∴P2024（1012，1012）， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点在轴上，则点所在象限是第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，根据在横轴上的点，纵坐标为0，可得a的值，代入计算，再根据象限点的特点“”判定即可求解． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴，即， ∴点在第二象限， 故答案为：二 ． 12. 如图，当________________时，． 【答案】 ① 1 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 可先假设得到，继而可求解． 详解】解：∵， ∴， 故当时，， 故答案为：1，4． 13. 已知和都是方程的解，则________，________． 【答案】 ①. 1 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解法，正确解二元一次方程组是解题关键． 把，分别代入得到二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：把，分别代入得 解这个二元一次方程组得 所以m、n的值分别是1和4， 故答案为：1，4． 14. 如图，将三角形沿着直线的方向向右平移得到三角形，若平移距离为7，，则的长为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】此题考查平移的性质，平移的距离为平移前的点与平移后对应点之间的线段长度，根据平移的性质得到，即可求出． 【详解】解：∵将三角形沿着直线的方向向右平移得到三角形，平移距离为7， ∴ ∵， ∴， 故答案为：15． 15. 如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点．根据平行线的判定和性质以及图形中角度之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵，，但不一定成立， ∴不一定成立，即③错误； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，解二元一次方程组． （1）先算乘方、除法和算术平方根，再算乘法，最后算加减即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：． 17. 已知点在第四象限，分别根据下列条件求点P的坐标． （1）点P到x轴的距离为3； （2）点Q的坐标为，且直线与坐标轴平行． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）点P到x轴的距离为3，且点P在第四象限，得出，求解即可； （2）分两种情况进行讨论：①当直线与x轴平行时，②当直线与y轴平行时，分别求出每种情况的点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点P到x轴的距离为3，且它在第四象限， ∴， 解得： ∴点P的坐标为． 【小问2详解】 解：当直线与x轴平行时， ， 解得． ∴， 点P的坐标为； 当直线与y轴平行时， ， 解得， ∴， 点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，主要利用了平行于x轴和y轴的直线上的点的坐标特征，根据题意列方程求解即可． 18 如图所示，把三角形向上平移3单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）， （3）存在，点P的坐标是或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形： （1）根据平移的要求分别确定点的位置，即可得到三角形； （2）根据（1）的图形即可得到点的坐标； （3）先求出三角形的面积为，设点P的坐标为，列出方程，求出或，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：由图可知点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得三角形的面积为， 设点P的坐标为， ∵三角形与三角形面积的2倍， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P的坐标是或． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 已知的算术平方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的立方根． 【答案】的立方根为4 【解析】 【分析】先依据算术平方根的定义得到关于a，b的方程，从而可求得a，b的值，然后估算出的范围可得到c的值，接下来，求得的值，最后再求立方根即可． 【详解】∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵的算术平方根是4， ∴，解得：； ∵， ∴， ∵c是的整数部分，即， ∴， ∵， ∴的立方根为4． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根以及估算无理数的大小，求得a、b、c的值是解题的关键． 20. 如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． （1）若，请求出的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质． （1）根据平行线的判定以及性质求角的度数即可． （2）根据垂直的定义得出，根据平行线的性质得出，根据平角的定义得出，再根据平行线的性质得出，等量代换即可得证． 【小问1详解】 解：因为， 所以， ∴； 【小问2详解】 证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 21. 某校在2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元． （1）求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ （2）现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 【答案】（1）租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元； （2）租用A型客车辆，租用B型客车辆，需要花费钱． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． （1）设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元，根据“租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元”列方程求解即可； （2）设租用A型客车辆，租用B型客车辆，，得到关于、的二元一次方程，求出正整数解，可得方案． 【小问1详解】 解：设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元， 由题意得：，解得：， 答：租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元； 【小问2详解】 解：设租用A型客车辆，租用B型客车辆， 则， 则， 、都是正整数， 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 则为了节约成本，则租用A型客车辆，租用B型客车辆，需要花费钱． 五、解答题（13+14，共27分） 22. 如图1，四边形为正方形（四条边都相等，四个内角都是），平行于y轴． （1）如图1，已知，正方形的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标； （2）如图2，已知，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若． ①当时，求的面积； ②当时，求t的值． 【答案】（1）点A，C，D的坐标分别为 （2）①的面积为；② 【解析】 【分析】（1）根据 ，正方形的边长为4，即可求出，，； （2）利用绝对值非负性，算术平方根的非负性，平方根的非负性求出，，，进一步得到，，，即正方形的边长为3，①当时，，，此时P点位于上，结合图形利用割补法求面积即可；②先确定，，然后运用割补法求面积以及列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴，，， ∵ ， ∴，，， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴，，，即正方形边长为3，， ①当时，，， ∴P点位于上，如图，连接， ∴； ②由题意可知：，， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：． 【点睛】本题主要考查直角坐标系、正方形的性质，绝对值的非负性、算术平方根的非负性等知识点，掌握数学结合、分类讨论思想以及割补法求面积是解答本题的关键． 23. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线且和直角三角形． （1）操作发现：在图1中，，求的度数； （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由； （3）实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将（2）中的图形继续变化得到如图3所示，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写与的数量关系． 【答案】（1） （2）理由见详解； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质解答； （2）过点作，由此可得，进而可得出结论； （3）根据平分，可知，过点作，则，根据，，可知，，则，进而可知，则． 【小问1详解】 解：如图标出， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵平分， ∴， 过点作， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$