专题11.7 反比例函数（6大知识点5大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.7 反比例函数（6大知识点5大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 【知识点2】反比例函数的图象与性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【知识点3】反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 【知识点4】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 【知识点5】反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【知识点6】反比例函数中的三个模型 考点与题型目录 【考点一】反比例函数概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系....................................................3 【题型2】用反比例函数定义求参数......................................................4 【题型3】求反比例函数值..............................................................4 【考点二】确定反比例函数的解析式 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式............................................5 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式................................................5 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式................................................6 【考点三】反比例函数的图象与性质 【题型7】反比例函数的对称性..........................................................7 【题型8】反比例函数的增减性..........................................................8 【题型9】双曲线分布..................................................................8 【考点四】反比例函数与一次函数综合 【题型10】反比例函数与一次函数综合...................................................9 【考点五】反比例函数的应用 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用..............................................10 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】反比例函数概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系 【例1】（24-25八年级上·上海·期中）已知，其中与成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【变式1】（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（20-21九年级上·广东佛山·期末）一个菱形的面积为，它的两条对角线长分别为，则与之间的函数关系式为 ． 【题型2】用反比例函数定义求参数 【例2】（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． （1）求的值． （2）判断点是否在该反比例函数图象上． 【变式1】（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）已知点与点在同一反比例函数的图象上，则a的值为 ． 【题型3】求反比例函数值 【例3】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【变式1】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式2】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，P为x轴上的动点，值最小时，点P的坐标为 ． 【考点二】确定反比例函数的解析式 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式 【例4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． （1）求一次函数解析式和反比例函数解析式； （2）请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围． 【变式1】（2025·安徽马鞍山·一模）若反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则b的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（2025·陕西汉中·一模）已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ． 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式 【例5】（2025·陕西西安·一模）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点，点B为直线上一点，连接AB，PB，若的面积是12，则k的值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是7，则k的值（    ） A． B．10 C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是7，则k的值为 ． 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式 【例6】（2025·陕西咸阳·二模）如图，点A，B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，，反比例函数（）的图象分别交边，于点P，Q.作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于3，则k的值为 ． 【变式1】（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【变式2】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ．    【考点三】反比例函数的图象与性质 【题型7】反比例函数的对称性 【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点和，轴于点，且． （1）求正比例函数与反比例函数的解析式； （2）结合图象，指出当时的取值范围． 【变式1】（2025·浙江宁波·一模）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式2】（2025·北京·模拟预测）已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是 ． 【题型8】反比例函数的增减性 【例8】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知反比例函数（为常数，且）． （1）若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； （2）若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 【变式1】（2025·浙江杭州·一模）已知，，三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式2】（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【题型9】双曲线分布 【例9】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； （2）若、是该反比例函数图象上的点，直接写出函数值、的大小． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【考点四】反比例函数与一次函数综合 【题型10】反比例函数与一次函数综合 【例10】（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形是平行四边形时，求点D的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为 【考点五】反比例函数的应用 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用 【例11】（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【变式1】（2025·山东济南·一模）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天水温为 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为 （写出自变量的取值范围）． 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用 【例12】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式． （1）下面的函数图象，正确的有____________；填写序号） （2）已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【变式1】（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）王林同学利用图1所示的电路进行实验，电源电压恒为，更换5个定值电阻，得到图2所示的图象．下列有关叙述正确的是（   ） A．电流与电压成反比例关系 B．滑动变阻器的最大阻值至少为 C．实验中电压表的示数保持不变 D．将从换成后，应将滑片P向左移 【变式2】（2025·江苏南京·模拟预测）欢欢同学通过学习数学和物理句识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长 ． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.7 反比例函数（6大知识点5大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 【知识点2】反比例函数的图象与性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【知识点3】反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 【知识点4】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 【知识点5】反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【知识点6】反比例函数中的三个模型 考点与题型目录 【考点一】反比例函数概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系....................................................3 【题型2】用反比例函数定义求参数......................................................5 【题型3】求反比例函数值..............................................................7 【考点二】确定反比例函数的解析式 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式............................................9 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式...............................................11 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式...............................................14 【考点三】反比例函数的图象与性质 【题型7】反比例函数的对称性.........................................................18 【题型8】反比例函数的增减性.........................................................20 【题型9】双曲线分布.................................................................23 【考点四】反比例函数与一次函数综合 【题型10】反比例函数与一次函数综合..................................................25 【考点五】反比例函数的应用 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用..............................................29 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用................................................32 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】反比例函数概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系 【例1】（24-25八年级上·上海·期中）已知，其中与成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】题考查了待定系数法求函数的解析式，正比例函数与反比例函数的性质，根据题意，设，根据当时，；当时，，待定系数法求得，即可求解． 解：设， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：； ∴关于的函数解析式为． 【变式1】（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质．先根据题意得出矩形的面积，求得的面积，然后再根据三角形的面积公式即可解答． 解：连接， 四边形是矩形， 矩形的面积为， 的面积为， ， ，即， ． 故选：A． 【变式2】（20-21九年级上·广东佛山·期末）一个菱形的面积为，它的两条对角线长分别为，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据菱形面积对角线的积可列出关系式． 解：由题意得：，可得， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式． 【题型2】用反比例函数定义求参数 【例2】（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． （1）求的值． （2）判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】（1）；（2）点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 解：（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 【变式1】（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值，将其代入和中即可求出结论． 解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ，， 故选：B． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）已知点与点在同一反比例函数的图象上，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k． 设反比例函数解析式为，反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k，即，据此可得a的值． 解：设反比例函数解析式为， ∵点与点在反比例函数图象上， ∴ ， 解得 ， 故答案为：． 【题型3】求反比例函数值 【例3】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 解：证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 解：当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，P为x轴上的动点，值最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，一次函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求出A，B两点坐标，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小，求出直线的解析式，即可得出点P的坐标． 解：∵在函数上，在函数上， ∴，， ∴，， 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小， 设直线的解析式为，则有， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 故答案为：． 【考点二】确定反比例函数的解析式 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式 【例4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． （1）求一次函数解析式和反比例函数解析式； （2）请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，利用图像求不等式的解集等知识； （1）把点B的坐标代入反比例函数式中求得k的值，从而求得反比例函数解析式，进而可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）当时，表明一次函数的图像在反比例函数的图像上方，观察图像即可求得自变量的取值范围． 解：（1）解：∵一次函数与反比例函数相交于点和点， ∴， 解得， 即； 把点A坐标代入中，， 即； 把A、B两点坐标分别代入中，得，解得：， 即． （2）解：由图像知，当时，或． 【变式1】（2025·安徽马鞍山·一模）若反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则b的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得、的值是解题的关键．把点坐标代入反比例函数解析式可求得，则可求得反比例函数解析式，则可求得点坐标，把、坐标代入一次函数解析式即可求得、的值． 解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 在反比例函数图象上， ∴， ， ， 、在一次函数图象上， ， 解得， 故选：D． 【变式2】（2025·陕西汉中·一模）已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将点A、B的坐标分别代入已知反比例函数解析式，分别求得m、k的值，再求出n的值，然后再代入计算即可． 解：将点、代入得，，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入，得， ∴， ∴， 故答案为：9． 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式 【例5】（2025·陕西西安·一模）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点，点B为直线上一点，连接AB，PB，若的面积是12，则k的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了反比函数与几何应用，正确作出辅助线，确定点坐标是解题关键．过点作直线，交轴于点，，求出的长，进而得到点的坐标，进一步求出k的值即可． 解： 过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，则， 由题意，得轴直线， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是7，则k的值（    ） A． B．10 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解答． 解：如图，连接，，与y轴交于点M， ∵轴，点A双在曲线上，点B在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是7，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段，交y轴于点E，由于轴，所以轴，故四边形是矩形，由于点A在双曲线上，所以，同理可得，由即可得出k的值． 解：∵双曲线在第一象限， ∴， 延长线段，交y轴于点E， ∵轴 ∴轴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴． 故答案为：12． 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式 【例6】（2025·陕西咸阳·二模）如图，点A，B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，，反比例函数（）的图象分别交边，于点P，Q.作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于3，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解决问题的关键． 设 可得，， 则点纵坐标为，则点横坐标为，由于的坐标为， 则，根据已知阴影为矩形，长为，宽为， 面积为，求出的值即可． 解：设， ， ， ，则， 由于在正方形中，， ∵为中点， ， ∴， ∵在反比例函数上， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵在上， ∴点纵坐标为， ∵在反比例函数上， ∴点横坐标为：， ， ∵作轴于点M，轴于点， ∴四边形是矩形， ， ， 解得， 故答案为： ． 【变式1】（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可. 解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 【变式2】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ．    【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数的的意义，设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案． 解：四边形是矩形， ，， 设点的坐标为， ， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【考点三】反比例函数的图象与性质 【题型7】反比例函数的对称性 【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点和，轴于点，且． （1）求正比例函数与反比例函数的解析式； （2）结合图象，指出当时的取值范围． 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到，即可求得，把点代入反比例函数的解析式即可求得t，然后根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式； （2）根据反比例函数与正比例函数的对称性，可得B点的坐标，然后根据图象即可求得当时x的取值范围． 解：（1）解：∵，， ∴， ， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵， 且两个函数的图象均关于原点对称， ∴， 由图象可知当时x的取值范围是或． 【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求正比例函数与反比例函数的解析式，正比例函数与反比例函数的对称性，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 【变式1】（2025·浙江宁波·一模）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的对称性，根据对称性求解是解题的关键． 分别联立直线和反比例函数解析式得到两次的交点关于原点成中心对称，则的面积不变，即可求解． 解：当时，联立直线与 得：， 解得：， ∴点，（顺序无关） 当联立直线与 得：， 解得：， ∴点，（顺序无关）， ∴发现点与点关于原点成中心对称，点与点关于原点成中心对称， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025·北京·模拟预测）已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，利用中心对称性质是解题的关键． 根据正比例函数与反比例函数均是中心对称图形即可得到． 解：∵点是反比例函数与正比例函数的两个交点，且正比例函数与反比例函数均是中心对称图形， ∴， 故答案为：0． 【题型8】反比例函数的增减性 【例8】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）已知反比例函数（为常数，且）． （1）若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； （2）若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）①，；② 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，求函数解析式，与不等式的结合，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可求解； （2）①点、代入即可求解； ②求出解析式为，则当时，,作出大致函数图象，数形结合即可求解． 解：（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：①把，代入中， 得到， 解得， ， ， ； ②∵， ∴解析式为： 当时，, 作出大致函数图象如图： 由图象可得，当，． 【变式1】（2025·浙江杭州·一模）已知，，三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限，增减性是解题的关键．根据反比例函数的解析式得到反比例函数经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 解：反比例函数， ∴图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大， 当时，即时，，故A选项错误，不符合题意； 当，即时，，故B选项正确，符合题意； 当，即时，，故C选项错误，不符合题意； 当时，即时，，故D选项错误，不符合题意． 故选：B ． 【变式2】（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在一、三象限，再利用图象法可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键． 解：， 反比例函数是常数）的图象在一、三象限， 如图所示，当时，， 即 故答案为：． 【题型9】双曲线分布 【例9】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； （2）若、是该反比例函数图象上的点，直接写出函数值、的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）将代入反比例函数得，图象位于第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，再由即可得出答案． 解：（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得， ∴a的取值范围是； （2）解：当时，反比例函数， ∵， ∴图象位于第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小， ∴、是该反比例函数图象上位于第三象限的点， ∵， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 根据反比例函数的性质解答即可． 解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 【考点四】反比例函数与一次函数综合 【题型10】反比例函数与一次函数综合 【例10】（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形是平行四边形时，求点D的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，平行四边形的性质，画出图形，利用平行四边形的性质列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）画出图形，根据平行四边形的性质可得，列方程即可解答． 解：（1）解：把代入， 可得，解得， 反比例函数的解析式为； 把代入，可得， ， 把，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ， ， 如图，当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，即轴，且， 设点，则， 则可得， 整理得， 解得， ，， 即点D的坐标为或 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、二、三象限可知，两结论一致，故本选项符合题意； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、三、四象限可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限知，由一次函数图象知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图象的性质，几何图形中线段的关系，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识的综合是解题的关键． 如图所示构造辅助线，可得四边形，是矩形，可证，，是等腰直角三角形，设，可得，，在等腰直角三角形中，根据其性质可得，，结合反比例函数图象的性质即可求解． 解：如图所示，过点作轴，过点作轴，过点作轴于点，作轴于点，    ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，，，， 已知直线， 令时，，则， ∴， 令时，， ∴，则， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴，，都是等腰直角三角形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设， ∴，， ∴在，中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点五】反比例函数的应用 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用 【例11】（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；（2）销售单价应为160元 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可． （2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可． 解：（1）解：设函数式为， ∵当销售定价为120元时，每日可销售20件， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设单价是x元， ∵， ∴，解得：， 检验：当时，利润为元，符合题意． 答：销售单价应为160元． 【变式1】（2025·山东济南·一模）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天水温为 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为时，可以得到饮水机是第二次加热，把，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故C不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故D符合题意． 解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； 在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：10:30时的水温为，故C选项说法正确，不合题意； 当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为 （写出自变量的取值范围）． 【答案】（） 【分析】本题考查反比例函数应用、矩形的性质、勾股定理和三角形面积公式，根据矩形的性质和点是上与不重合的任意一点，可知，又，根据这两个表达式建立等式，即可得到关于自变量的函数关系式，再利用勾股定理求得的长，根据即可求出自变量的取值范围． 解：连接，，如图所示： 四边形为矩形，点是上与不重合的任意一点， ，， ，， ， ，点到的距离为， ，整理得， 点是上与不重合的任意一点，即， 又， ，即． 故答案为：（）． 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用 【例12】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式． （1）下面的函数图象，正确的有____________；填写序号） （2）已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【答案】（1）；（2）这块薄木板的面积至少． 【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键． （）根据函数解析式即可判断求解； （）把，代入计算即可求解； 把，代入计算即可求解； 解：（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确； 当为定值时，，是的正比例函数，故错误； 当为定值时，是的正比例函数，故正确； ∴正确的有， 故答案为：； （2）解：把，代入 得，， ∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，， 解得， ∴这块薄木板的面积至少． 【变式1】（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）王林同学利用图1所示的电路进行实验，电源电压恒为，更换5个定值电阻，得到图2所示的图象．下列有关叙述正确的是（   ） A．电流与电压成反比例关系 B．滑动变阻器的最大阻值至少为 C．实验中电压表的示数保持不变 D．将从换成后，应将滑片P向左移 【答案】B 【分析】本题考查了欧姆定律中代数运算，反比例函数图象分析，解题关键是准确运用公式计算、理解并应用比例关系判断电路变化以及从图像中提取数据进行分析． 通过分析图中电流和电阻数据，借助比例关系，判断选项关于电路各物理量变化描述的正误即可解答． 解：A．由题图象可知，电流与电阻之积为：，即电压不变，根据控制变量法，电流与电阻成反比例函数关系，故该选项错误，不符合题意； B．由图中可知，电路中的最小电流为，对应的定值电阻为，此时滑动变阻器接入电路阻值最大，由欧姆定律可知，滑动变阻器的最大电阻，故该选项正确，符合题意； C． 根据图2中数据，利用，并非，故该选项错误，不符合题意； D．深究电流与电阻的实验中应控制电压不变，即应保持定值电阻两端的电压不变，从换成后，根据串联电路分压原理可知，应增大滑动变阻器电阻，所以滑片应向右端移动，故该选项错误，不符合题意；． 故选B． 【变式2】（2025·江苏南京·模拟预测）欢欢同学通过学习数学和物理句识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长 ． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 【答案】4 【分析】本题是反比例函数的应用问题，设解析式为 ，用待定系数法求解得到把值代入所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 解：设波长关于频率的函数解析式为 ， 把点代入上式中得：， 解得：， ； 当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 故答案为：4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$