专题11.5 反比例函数的应用（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题11.5 反比例函数的应用（2大知识点7类题型） （知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】利用反比例函数解决实际问题思路 在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题，运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路： （1）通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中的待定系数的值； （2）已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题； 【知识点2】运用反比例函数解决实际问题的一般步骤 （1）审； （2）设； （3）列； （4）写； （5）解. 【特别提示】利用反比例函数解决实际问题时应注意: 1.要理清题目中的常量与变量及其基本数量关系； 2.结合问题的实际意义确定目变量的取值范围； 3.要熟练掌握反比例函数的薏义、图象和性质。 题型目录 【题型1】反比例函数在生产生活中的应用.......................................1 【题型2】反比例函数在工程问题中的应用.......................................2 【题型3】反比例函数在跨学科中的应用.........................................3 【题型4】反比例函数在销售利润中的应用.......................................4 【题型5】反比例函数与几何综合应用...........................................5 【题型6】直通中考...........................................................6 【题型7】拓展延伸...........................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】反比例函数在生产生活中的应用 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为80度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． （1）求与之间的函数关系式： （2）计算当车速为时视野的度数： （3）若在某弯道行车时，由于环境的影响，视野的度数至少是100度，求车速最多是多少？ 【变式1】（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【变式2】（2025·江苏苏州·一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．    【题型2】反比例函数在工程问题中的应用 【例2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点． （1）求与的函数关系式． （2）当每天完成25米时，求该工程队完成工程所需的时间． （3）若完成工程的天数小于50天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是________． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 【变式2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． （1）工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 【题型3】反比例函数在跨学科中的应用 【例3】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ 如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁BC段滑动（点不与重合）．已知，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量）． （1）设右侧托盘中放置物体的质量为的长为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点由点向点滑动，向空瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量． 【变式1】（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）【跨学科】已知蓄电池的电压为定值，在其工作时电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）成反比； 当接入电路的电阻为8Ω时，其电流为3A，当电阻增大4Ω后，流经该电阻的电流（   ） A．增大1A B．减小1A C．增大2A D．减小2A 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，二氧化碳的密度是 ． 【题型4】反比例函数在销售利润中的应用 【例4】（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【变式1】（2024·贵州黔东南·一模）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，继续巩固贵阳市生态文明建设的成果，贵阳市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级，降低污染物排放，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图像的一部分，下列选项正确的是（    ） A．月份的利润为万元 B．月份该厂利润达到万元 C．技术升级完成前后共有个月的利润低于万元 D．技术升级完成后每月利润比前一个月增加万元 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为 元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 【题型5】反比例函数与几何综合应用 【例5】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接，连接．   （1）求点的坐标； （2）连接，求的面积． 【变式1】（24-25九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过顶点A，若，，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【变式2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是 ． 【题型6】直通中考 【例1】（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示． （1）当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）； （2）请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 【例2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． （1）求和的值； （2）已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 【题型7】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． （1）直线的函数关系式为______． （2）①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． （3）为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 【例2】（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： （1）求与的函数关系式； （2）观察图象，当时，与的函数关系式为_______． （3）第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ （4）在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.5 反比例函数的应用（2大知识点7类题型） （知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】利用反比例函数解决实际问题思路 在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题，运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路： （1）通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中的待定系数的值； （2）已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题； 【知识点2】运用反比例函数解决实际问题的一般步骤 （1）审； （2）设； （3）列； （4）写； （5）解. 【特别提示】利用反比例函数解决实际问题时应注意: 1.要理清题目中的常量与变量及其基本数量关系； 2.结合问题的实际意义确定目变量的取值范围； 3.要熟练掌握反比例函数的薏义、图象和性质。 题型目录 【题型1】反比例函数在生产生活中的应用.......................................1 【题型2】反比例函数在工程问题中的应用.......................................5 【题型3】反比例函数在跨学科中的应用.........................................7 【题型4】反比例函数在销售利润中的应用.......................................9 【题型5】反比例函数与几何综合应用..........................................12 【题型6】直通中考..........................................................16 【题型7】拓展延伸..........................................................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】反比例函数在生产生活中的应用 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为80度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． （1）求与之间的函数关系式： （2）计算当车速为时视野的度数： （3）若在某弯道行车时，由于环境的影响，视野的度数至少是100度，求车速最多是多少？ 【答案】（1）；（2）40度；（3） 【分析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据题意，用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）代入进一步求解即可； （3）根据题意得，求解即可． 解：（1）解：设f，v之间的关系式为， ∵时，度， ∴， 解得， 所以， （2）当时，（度）． （3）根据题意得：， ∴， ∴车速最多． 【变式1】（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． A．根据“从加热到水温升高的温度加热时每分钟上升的温度”计算即可； B．利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可； C．根据x的取值范围对应的函数关系式，分别计算当时对应的x的值，求出两个x值的差即为在一个加热周期内水温不低于的时间； D．求出将水温从加热到，再降到一处循环需要的时间，写出这个过程中y与x的函数关系式并据此计算即可． 解：水温从加热到，需要的时间为， ∴A正确，不符合题意； 设水温上升过程中，y与x的函数关系式是， 将坐标，代入， 得， 解得， ∴水温上升过程中，y与x的函数关系式是， ∴B正确，不符合题意； 当时，当时，得， 解得， 当时，当时，得， 解得， ， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为， ∴C正确，不符合题意； 当时，得， 解得， ∴水温从加热到，再降到所用时间为，即一个循环是， ∴水温y与通电时间x之间的函数关系式为， 上午10点到共90分钟，则（分钟）， 当时，得， ∴上午10点接通电源，可以保证当天水温为， ∴D不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·江苏苏州·一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数的应用；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 解：设该反比例函数的解析式为， 由题意得：， ∴， ∴当时，则； 故答案为：3． 【题型2】反比例函数在工程问题中的应用 【例2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点． （1）求与的函数关系式． （2）当每天完成25米时，求该工程队完成工程所需的时间． （3）若完成工程的天数小于50天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是________． 【答案】（1）；（2）40天；（3） 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案； （3）根据图象求出当时的取值范围即可求解， 解：（1）解：设与的函数关系式为． 将点代入上式，得， 解得：， ∴与的函数关系式为． （2）解：将代入，得． 答：该工程队完成工程所需的时间为40天． （3）解：若完成工程的天数小于50天，即， 根据图象可得当时，， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 【答案】需要台这样的挖掘机 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，求出反比例函数的解析式．设与的函数关系式为，将点代入求出该函数解析式，令，求出，即可求解． 解：设与的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， ， 与的函数关系式为， 当时，， ， （台）． 答：需要台这样的挖掘机． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． （1）工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 【答案】（1）；（2）提前10天 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，正确列出反比例函数关系式是解题的关键． （1）根据工作效率=工作量÷工作时间，列出关系式即可； （2）将和代入（1）中求得的解析式，求出t值，作差后即可得出答案． 解：（1）解：由题意，得， （2）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：， ∵（天）， ∴工程队每天修40米比每天修30米能提前10天完成该项工程． 【题型3】反比例函数在跨学科中的应用 【例3】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ 如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁BC段滑动（点不与重合）．已知，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量）． （1）设右侧托盘中放置物体的质量为的长为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点由点向点滑动，向空瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量． 【答案】（1）；（2）这个空矿泉水瓶的质量为 【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键． （1）根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式； （2）设空瓶的质量为，加水后的质量均为，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出一元一次方程求解即可得到空瓶的质量． 解：（1）解：∵左盘砝码重量右盘物体重量，右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，砝码的质量是，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点P可以在横梁段滑动， ∴． 即． 答：y关于x的函数表达式为：； （2）解：设空矿泉水瓶的质量为． 根据题意，得， 解得． 这个空矿泉水瓶的质量为． 【变式1】（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）【跨学科】已知蓄电池的电压为定值，在其工作时电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）成反比； 当接入电路的电阻为8Ω时，其电流为3A，当电阻增大4Ω后，流经该电阻的电流（   ） A．增大1A B．减小1A C．增大2A D．减小2A 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数关系式， 根据工作电流与电阻成反比可得，再求出关系式，然后令求出电流，进而得出答案. 解：根据题意设反比例函数关系式为， 当时， . ∴反比例函数关系式为， 当时，， 可知， 所以流经电阻的电流减少1A. 故选：B. 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，二氧化碳的密度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的值． 解：设反比例函数的解析式为， 将代入表达式中得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴当时，气体的密度是， 故答案为：． 【题型4】反比例函数在销售利润中的应用 【例4】（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；（2）销售单价应为160元 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可． （2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可． 解：（1）解：设函数式为， ∵当销售定价为120元时，每日可销售20件， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设单价是x元， ∵， ∴，解得：， 检验：当时，利润为元，符合题意． 答：销售单价应为160元． 【变式1】（2024·贵州黔东南·一模）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，继续巩固贵阳市生态文明建设的成果，贵阳市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级，降低污染物排放，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图像的一部分，下列选项正确的是（    ） A．月份的利润为万元 B．月份该厂利润达到万元 C．技术升级完成前后共有个月的利润低于万元 D．技术升级完成后每月利润比前一个月增加万元 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，根据题意，分别求出一次函数、反比例函数解析式，结合图示中的信息代入求值比较即可求解． 解：∵技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，，即， ∵完成后是一次函数图像的一部分，设一次函数解析式为，且点、在一次函数图象上， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴A、月份的利润为万元，原选项错误，不符合题意； B、当时，（万元）万元，原选项错误，不符合题意； C、∵完成后是一次函数图像的一部分， ∴， 解得，，且， ∴5月的利润低于万元； 技术升级完成前利用为100万元时，，则当时，这两个月的利润低于100万元； ∴技术升级完成前后有3月、4月、5月共3个月的利润低于 万元，故原选项错误，不符合题意； D、技术升级完成后的利润为， ∴（万元）， ∴技术升级完成后每月利润比前一个月增加 万元，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为 元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 【答案】300 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先求解，再由，再解方程并检验即可； 解：由题中表格数据，得， ∴， 由题意，得， 把代入，得， 解得， 经检验，是该方程的根， 所以其售价应定为300元/双． 故答案为：. 【题型5】反比例函数与几何综合应用 【例5】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接，连接．   （1）求点的坐标； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，则可求出点B坐标，进而求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标； （2）根据，求出对应图形面积即可得到答案． 解：（1）解：如图所示，过点B作轴，交x轴于点D，    ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴点； 将点代入中得，解得， ∴反比例函数解析式为． 在中，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【变式1】（24-25九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过顶点A，若，，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及反比例函数k的几何意义． 过点A作轴于点C，根据等腰三角形的性质以及反比例函数k的几何意义，可得，即可求解． 解：如图所示，过点A作轴于点C，   ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，对称的性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先求出一次函数解析式为，作于，于，由反比例函数，一次函数都是关于直线对称，则，，，记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为，又由对称性可知：，，，，通过性质求出点坐标，然后代入，最后解方程即可． 解：∵点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，即点的坐标为， 令一次函数中，则， ∴，即， ∴一次函数解析式为， 作于，于，如下图所示， ∵反比例函数，一次函数都是关于直线对称， ∴，，， 记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为， ∴， 由对称性可知：，，，， ∴， ∴， ∴点坐标，代入直线得， 整理得， ∴或， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型6】直通中考 【例1】（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示． （1）当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）； （2）请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 【答案】（1）气球的半径至少为时，气球不会爆炸；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 解：（1）设函数关系式为， 根据图象可得：， ， 当时，， ， 解得：， ， 随的增大而减小， 要使气球不会爆炸，，此时， 气球的半径至少为时，气球不会爆炸； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【点拨】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式． 【例2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． （1）求和的值； （2）已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 解：（1）解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 【题型7】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． （1）直线的函数关系式为______． （2）①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． （3）为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 【答案】（1）；（2）①  ②；（3）接通电源的时间可以是当天上午的，理由见分析 【分析】（1）设直线的函数关系式为，利用待定系数法解答即可． （2）①根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可； ②根据解析式为，，分别计算当时的x的值，即可得到范围． （3）根据解析式为，，当时，；当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 解：（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以． （2）解：①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：； ②解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为60摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为50摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源． 【例2】（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： （1）求与的函数关系式； （2）观察图象，当时，与的函数关系式为_______． （3）第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ （4）在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）元；（4）存在，不变的值为240 【分析】本题考查了一次函数的应用，，正比例与反比例的应用； （1）通过待定系数法求函数关系式． （2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解． （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为，列出函数关系式，将代入，即可求解； （4）先求得当时，与的函数关系式为，根据分段表示出的函数关系式，即可求解． 解：（1）解：当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 即：， 与的函数关系式为； （2）解：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，设与的函数关系式为， 故答案为：； （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为， 当时， 当时，千元 即元 （4）存在，不变的值为， 由函数图像得：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，与的函数关系式为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$