精品解析：北京市朝阳区青苗学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024—2025学年第二学期期中考试试卷 出题人：王恩广 审题人：刘叔才 考试说明：本考试为笔试，时间为90分钟； 备注：本试卷共 3大题，共 4页，满分 100分，请作答所有问题. 一、单选题（每题只一个正确答案，每题4分，共计40分） 1. 某女生有件不同颜色的衬衣，件不同花样的裙子，另有套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有种选择； 所以共有种选择. 故选：B. 2. 已知函数，则的导函数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数四则运算的乘法法则求导即可. 【详解】由可得， 即. 故选：B 3. 4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，则不同的报名方式有（ ）种 A. 81 B. 64 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】利用分组分配方法求解即可. 【详解】将4名学生分成3个组有种方法， 再将3个组分配到3个兴趣小组有种方法， 故选：C 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】，解得：或， 所以函数的单调递增区间是和. 故选：D 5. 设A，B为两个事件，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件公式直接代入运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 6. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案. 【详解】因为随机变量X的分布规律为（）， 所以，解得， 所以. 故选：A 7. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. 480 B. 240 C. 120 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用通项公式可得常数项. 【详解】因为的通项公式为， 令得，所以常数项为. 故选：B 8. 已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的概率即可得解． 【详解】由已知命中的概率为，不命中的概率为，射击4次，命中两次， 故概率. 故选：D. 9. 如图所示是的导函数的图象，下列4个结论： ①在区间上是增函数； ②是极小值点； ③在区间上是减函数；在区间上是增函数； ④当时，在区间上取得最大值. 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象首先判断函数的单调区间，然后结合选项逐项分析即可得到答案. 【详解】由图象可知，时，，则单调递减；时，，则单调递增；时，，则单调递减；时，，则单调递增；故①错，③正确； 在处取得极小值，则是的极小值点，故②正确； 因为在上单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，则在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值，但不确定的大小关系，所以不确定是否在处取得最大值,故④错误， 故选：B. 10. 已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布密度函数图像的性质，观察图像可得结果. 【详解】解：由正态分布密度函数图像的性质可知：越大，图像对称轴越靠近右侧；越大，图像越“矮胖”，越小，图像越“瘦高”.所以由图像可知：，. 故选：A. 二、填空题（每小题4分，共计20分） 11. 已知随机变量的分布列如下表；且，则________，_____________. 0 2 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】 根据，求得p, 再由，求得a，然后利用方差公式求解. 【详解】因为， 所以. 因为， 所以， . . 故. 故答案为：，4 12. 若函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数求得即为切线斜率，写出直线点斜式方程，整理得到结果. 【详解】由，得， 则点处的切线的斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为：． 13. 如果，那么等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法分别令，，化简求值即可. 【详解】令，则原式， 令，则原式， 所以 故答案为： 14. 设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 __________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据随机变量的概率非负不大于，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于，列出方程和不等式，解方程组即可． 【详解】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于， 所以， 解得或， 又因为随机变量的概率非负不大于， 所以，， 解得， 综上， 故答案为：##． 15. 将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论： ①； ②； ③当时，； ④. 其中，所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③. 【详解】当时，，①正确； 当时，出现连续3次正面情况可能是：正正正反、反正正正， 所以，②错误； 要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率， 分类进行讨论， 若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可； 若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表： 第n次 n-1次 n-2次 概率 反面 正面 反面 正面 正面 反面 所以，④正确； 由上式可得 ， 所以， 又，满足当时，，③正确. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到第n次和第n-1和第n-2次的关系，通过分类讨论及列表格的形式得到，属于难题. 三、解答题（每题10分，共计40分） 16. 已知函数 的图象在点处的切线方程是 （1）求函数的解析式; （2）求函数的单调区间与极值. 【答案】（1） （2）单调增区间为和，单调减区间为；极大值为 ，极小值° 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导函数，由切线方程可得，，进而可求函数解析式； （2）求函数的导函数，令，，求得函数的单调区间，进而可求极值. 【小问1详解】 由题意可知， 由，则， 已知函数图像在处的切线方程是， 即， 所以， 解得， ∴的解析式为：， 综上所述，的解析式为； 【小问2详解】 由（1）可知，的解析式为 则 ， 令， 解得或， 令，解得 或， 则函数在和上单调递增 令，解得，则函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，；在处取得极小值，， 综上所述的单调增区间为和，的单调减区间为， 极大值为，极小值为. 17. 抽样检查是日常检测中常用的方法．某商场进了一种商品20件，其中有4件次品，若从中抽取3件． （1）抽出的商品中无次品的抽法有多少种？ （2）抽出的商品中全是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的商品中至多有2件次品的抽法有多少种？ 【答案】（1）560种； （2）4种； （3）1136种. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据已知并应用组合数求抽出的商品中无次品、全是次品、至多有2件次品的抽法数. 【小问1详解】 由题意，共有16件非次品，则抽出的商品中无次品的抽法有种； 【小问2详解】 由题意，抽出的商品中全是次品的抽法有种； 【小问3详解】 由题意，抽出的商品中至多有2件次品的抽法有种. 18. 已知，. （1）求的值； （2）求值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，可得出的值； （2）分别令、，两式相加可得出的值. 【小问1详解】 因为，， 令得，. 【小问2详解】 因为，， 令得，， 令得，， 上述两个等式相减得，故. 19. 某工厂生产一种产品，产品等级分为一等品、二等品、普通品，为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示． 产品等级 一等品 二等品 普通品 样本数量（件） 80 80 40 （1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率； （2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中一等品的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）为拓宽市场，工厂决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了a元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，，比较，的大小．（请直接写出结论） 【答案】（1）0.4； （2）随机变量分布列见解析，1.2； （3）. 【解析】 【分析】（1）求样本空间中随机抽取一件产品为一等品的频率作为概率即可； （2）由题意得X~B ( 3, 0.4)，从而求分布列及数学期望； （3）由方差的定义可判断. 【小问1详解】 在样本空间中，随机抽取一件产品为一等品的频率为. 故从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率为. 【小问2详解】 由题意知， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 . 【小问3详解】 每件产品的销售价格均降低了a元，产品的平均销售价格也降低了a元, 故由方差的定义知，降价前后这200件样本产品的利润的方差不变, 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期中考试试卷 出题人：王恩广 审题人：刘叔才 考试说明：本考试为笔试，时间为90分钟； 备注：本试卷共 3大题，共 4页，满分 100分，请作答所有问题. 一、单选题（每题只一个正确答案，每题4分，共计40分） 1. 某女生有件不同颜色的衬衣，件不同花样的裙子，另有套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 已知函数，则的导函数为（ ） A. B. C. D. 3. 4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，则不同的报名方式有（ ）种 A. 81 B. 64 C. 36 D. 72 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 5. 设A，B为两个事件，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量X分布规律为（），则（ ） A B. C. D. 7. 二项式展开式中的常数项为（ ） A. 480 B. 240 C. 120 D. 15 8. 已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示是的导函数的图象，下列4个结论： ①在区间上是增函数； ②是极小值点； ③在区间上是减函数；在区间上是增函数； ④当时，在区间上取得最大值. 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（每小题4分，共计20分） 11. 已知随机变量的分布列如下表；且，则________，_____________. 0 2 12. 若函数，则曲线在点处的切线方程为________． 13. 如果，那么等于____________． 14. 设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 __________． 15. 将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论： ①； ②； ③当时，； ④. 其中，所有正确结论的序号是__________. 三、解答题（每题10分，共计40分） 16. 已知函数 的图象在点处的切线方程是 （1）求函数的解析式; （2）求函数的单调区间与极值. 17. 抽样检查是日常检测中常用的方法．某商场进了一种商品20件，其中有4件次品，若从中抽取3件． （1）抽出的商品中无次品的抽法有多少种？ （2）抽出商品中全是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的商品中至多有2件次品的抽法有多少种？ 18. 已知，. （1）求的值； （2）求的值； 19. 某工厂生产一种产品，产品等级分为一等品、二等品、普通品，为了解各等级产品比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示． 产品等级 一等品 二等品 普通品 样本数量（件） 80 80 40 （1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率； （2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中一等品的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）为拓宽市场，工厂决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了a元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，，比较，的大小．（请直接写出结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$