广东省湛江市2024-2025学年高一下学期4月期中联盟考试数学试题

湛江高一期中联盟考试 数学参考答案 1.B由题意可得A={x|x>2,B={x|0<x<e),则A∩B={x|2<x<e}. 2.A由题意可得ka一b=(一k-2,k-1).因为(ka一b)⊥b,所以(ka一b)·b=2(-k-2)十 k一1=0，解得k=一5. 3.C由题意可得AB=A'B'=2,AC=2A'C=42,∠BAC=90°，则BC=√(42)+22=6. 4.D当a=-2,b=-3,c=一4时，满足a>b>c,此时a十b<c:当a=1.b=2,c=一1时，满 足a十b>c,此时b>a>c.故“a>b>c”是“a十b>c”的既不充分也不必要条件. 5.B由题意可得满足2<|z<3的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径 的两个圆所夹的圆环，则其面积为9π一4π一5π. 6D由题意可得u+b-2则子+8a+6)(层+8)-空++1o)≥9.当且仅当 台号即6=2a-时，等号成立 7A因为xE0x.所以ar+号∈（停w十》，所以受<wx+吾<受解得m<品 8.C如图，将平面PAB,平面PBC,平面PCD,平面PDA展开到一个 平面内.由题意可知PA=PB=PC=PD=PA'=4,AB=BC=CD =DA'=22,设∠APB=∠BPC-∠CPD=∠DPA'=0,则cos0= 1驶-号所以ms20=20-1-石所以ms0=2s20 1=一2由余弦定理可得AA=+-2X4×4×(一》 31 =63,则 A'A=3√7，即细绳的最短长度为3√7 9.ABC由棱台的定义可知棱台的侧面一定是梯形，则A正确.绕直角三角形的一条直角边所 在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则B正确.因为棱台是由棱锥截成的，所以棱台的所有 侧棱所在直线一定交于同一点，则C正确.当三点共线时，有无数个平面，则D错误 10.ACD若点P与点A重合，连接PO并延长，与圆O的另一个交点为H(图略).当点M与 点H重合时，PM取得最大值7，则A正确.当P是线段AB的中点时，PM·AB=一P· AB,则B错误.因为PM-PO+OM,PN-P+ON-PO-OM,所以PM·PN-PO -O=(2√/3)2-3=3，则C正确.因为PM.PV=P0-OM=P02-32,且Pò1≤ 4,所以PM.PV-P0-3≤7，则D正确. 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 11.BCD由题意可得三棱柱ABC-A,B,C1的高为2√⑤一3=8.设AC=a,BC=b,则a+ )=36.三棱柱ABCA,B,C,的体积V-2ab×8=4ab.因为36=a2+b2≥2ab,所以ab≤ 18,当且仅当a=b时，等号成立，则V=4ab≤72，故A错误，B正确.三棱柱ABC-A1B,C 的侧面积S1=(a+b+6)×8=8(a+b)+48.因为36=a2+b2=(a+b)2-2ub,所以(a+ byP-36=2a6≤2×（生芒）'=2a+b),解得a+6≤6反，则S,=8a+6)+8≤48万 +48,当且仅当a=b时，等号成立，故C正确.三棱柱ABC-A,B,C1的上、下底面的面积之 和S2=ab≤≤18，当且仅当a=b时，等号成立，则三棱柱ABC-A,B,C1的表面积S=S1十S2 ≤48√2+66，当且仅当a=b时，等号成立，故D正确， 12.2因为1+iDa+2D=a-2+(a+2i是纯虚数.所以a+2≠0. a-2=0, 解得a=2. 13.20设OP=h米，则OB=h米，OA=√3h米.在△ABO中，由余弦定理可得AO2-AB +BO2-2AB·BOcos.∠ABO,则3h2=402+h2-40h,即2h2+40h-402=(2h-40)(h+ 40)=0,解得h=20. 14.2如图，设店=a,BC=b,则AC=a+b,∠BAC=T.过B作BD ⊥AC,垂足为D,则IBC1m-Bd1-|AB1sin∠BAC-2,即b1的最 小值是2. 15.解：(1)当以=1时，g2=2十i,…1分 则9-3二i_3-4(2-D_6-3i-8i+4211 22+i(2+i)(2-i) 4-招 551 …5分 (2)因为x1=3-4i,z2=2十ai,所以x1z2=(3-4i)(2十ai)=6+4a十(3a一8)i.…8分 6+4a0, 因为1：2在复平面内所对应的点位于第三象限，所以 ……10分 3a-80. 解得a<一号，即a的取值范围是(-○，-2) …13分 16.解：(1)由题意可得正方体ABCD-A,B1C1D1的体积V1=603=216000立方厘米，… …2分 四面体A,E切的体积V:=号×号×302X30=450立方厘米，…4分 则该石凳的体积V=V1一4V2=216000一4×4500=198000立方厘米.…6分 (2)由题意可得△EIJ,△FJK,△GKL,△HL1均为边长为30√2厘米的等边三角形，四边 形JKL是边长为302厘米的正方形，…7分 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 △E刃的面积S二5X(302)2=450/3平方厘米，………9经 正方形1JKL的面积S2=(30√2)2-1800平方厘米，…11分 五边形ABFJE的面积S,=60×60-30×30=2700平方厘米，…13分 故该石凳的表面积S=4S1十S2十4S3=(18003十12600)平方厘米.…15分 17.解：1)由题意可得f(x)=3sim2x十os2x十1=2sin(2x+)+1. …2分 令2kx+号<2x+晋<2kx+经，kEZ. …3分 解得k元十不c≤kπ十3，k∈Z, 6 …4分 则了)的单调递减区间是[kx+看kx+]k∈ZD …5分 (2因为x∈[子]，所以2x+看∈[管 …6分 当2x+晋-誓，即x=时x)取得最大值/（号）=2： …7分 当2x+吾-警：即x一受时，)取得最小值(）-1 …8分 故f)在[手，]上的值蚊为机-1,2 …9分 (3)因为fa)=2,所以2sin(2a+)+1=号，所以sim(2a+）=- …10分 因为e是锐角，所以后<2a+音<得 因为n2a+若)-<0，所以x<2a+号<5所以co(2a+》=-年 …12分 期osa=o[（(2a+）-]-a(2a+号)os吾+sin(2a+君)n吾-年x 35+1 8 …15分 18.(1)解：因为AC-3A它，所以A正-AC,则B驼-A正-A店=C-A成 …2分 因为CD=3DB,所以BD=BC 则Ad-A店+BD=A丽+B配-A店+AC-A)-子A+AC …4分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 (2)证明：由1)可得i.腕=(A+A)·(号AC-)=AC-.… …6分 因为AB=2AC=6,所以市·B驼-2AC-子店=2×36-是×4=0， …8分 则AD⊥BE.… …9分 (3)证明：因为A,F,D三点共线， 所以脉=B+(1一)励=一+气C-气AC3张中 A .…11分 因为B,F,E三点共线，所以B成-XB配=}AC-A成， …13分 3k+1 一入， 则 解得λ= 2 …15分 4 即B序-号B正，故F是线段BE的中点. …17分 19.解：(1)在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2一2AD·CDcos.∠ADC=7 则C=万.…1分 因为△MBC是等边三角形.所以△MBC的面积S-AC-7日 4 …3分 (2)在△ACD中，由余弦定理可得AD=AC2+CD2一2AC·CDcos,∠ACD, 侧cos∠ACD=AC+CD-AD23 2AC·CD 4 …4分 故sin∠ACD=Z …5分 因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°， 所以sin∠BCD=sin(∠ACD+60)=sin∠ACDeos60+cos∠ACDsin60°-万+3E 8 …7分 则△BCD的面积为2BC·CDsin∠BCD=}×2X3×F+35_3V7+9面 8 …8分 8 (3)设∠ACD=0,∠ADC=a. 在△ACD中，由正弦定理可得AD=AC sin 0 sin a ,则ACsin0=2sina.…9分 由余弦定理可得AC2=AD2十CD2-2AD·CDcos a=13-12cosa,…10分 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 AD-AC+CD-2AC CDcos0,ACcos0=C5-1-12c3-2cos 6 6 …12分 所以△BCD的面积S=合BC·CDsin∠BCD=多ACsin(0+60=-ACsin0+ 33 4■ ACC0S0.…14分 因为ACsin0=2sina,ACcos0-3-2cosa, 所以S=多 3 2 sin a- 3 2 cos a+ …16分 4 =3sin(a-60)+9 4 当a=150时，S取得最大值3+9后，即△BCD的面积的最大值为3+95 4 4 …17分 ▣ 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】湛江高一期中联盟考试 数 学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第一册,必修第二册第六章至第八章第4节 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 知 1.已知集合A-x3-c<1,B-xlnx 1,则A0B A.(一2) B.(2,e) C.(0,2) 盖 D.(o.e) 2.已知向量a-(-1,1),b-(2.1),若(ka-b)|b,则 - A.-5 B.0 C.4 K D.5 3.如图,△AB'C'是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图,其中A'C E /y轴,A'B'/:轴,且A'B'-B'C'-2,则△ABC的边BC A.2 B.4 C.6 D.2/2 4.“abc”是“a十bc”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 将 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知复数;在复平面内对应的点为Z,则满足2<z<3的点的集合组成的图形的面积是 A.4r B.5t C.6t D.9n 6.已知函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,且f(x)在(1.十oo)上单调,若a0,6>0,且 A.4 C.8 D.9 7.已知函数/(x)-5cos(axx十)(>0)在(0.x)上恰有3个零点,则的取值范围是 A.(7 B.32_40 C.(20 D.2020 【高一数学 第1页(共4页)】 8.如图,在正四锥P-ABCD中,PA-4.AB-2v2.从A拉一条细绳 绕过侧梭PB,PC,PD回到A点,则细绳的最短长度为 A.2/2十2/7 B.2/7+2 C.3/7 D.8/2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项 中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分 分,有选错的得0分 9. 下列命题是真命题的是 A.校台的侧面一定是梯形 B.直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C.校台的所有侧校所在直线一定交于同一点 D.过空间内不同的三点有且仅有一个平面 10.六角甥帽也叫六角蝶母,是一种常见的紧固用零件,与蝶丝、蟋铨、蝈 钉相互配合使用,起连接紧固机件的作用,如图,这是某六角甥帽的 截面图,O是正六边形的中心,也是圆O的圆心,M,N是圆O上的 动点,且线段MN经过点O.已知AB=4.MN一6.P是六边形边上 的动点,则下列结论正确的是 A.若点P与点A重合,则PM|的最大值是7 B.若P是线段AB的中点,则PM·AB-PN·AB C.若P是线段AB的中点,则PM·PN-3 D.PM·PN的最大值是7 11.已知直三校柱ABC-A.B.C 的外接球的半径为5.△ABC是以AB为斜边的直角三角形 且AB-6,则 A.三校柱ABC-AB.C. 的体积的最大值是24 B.三校柱ABC-A.B.C:的体积的最大值是72 C.三校柱ABC-A.B.C.的侧面积的最大值是48/②+48 D.三校柱ABC-A.B.C 的表面积的最大值是48v2+6 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若(1十i)(a+2i)(aER)是纯虚数,则a=△ 13.某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动,如图,这是要测 量的一建筑物的高度OP,选择与该建筑物底部O在同一水平面上的 A.B两点,测得AB-40米, PAO-30{*},PBO-45{.ABO 60{,则该建筑物的高度OP=△米. 14.若向量a,b满足a-2/2,且向量a与向量a十b的夹角为,则 b的最小值是△ 【高一数学 第2页(共4页)】 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知复数.-3-4i,z。-2+ai,其中aR (2)若复数z:z:在复平面内所对应的点位于第三象限,求a的取值范围 16.(15分) 石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅,是一种常见的户外休闲设施,如图,这是某 广场的石凳直观图,它是由正方体ABCD-A.B.C.D:截去四面体A.EIJ,B.FJK. C.GKL,D.HLI得到的,其中E,F,G,H,I.1,K,L均为各校的中点,且AB-60厘米 (1)求该石凳的体积; (2)求该石凳的表面积(不包含底面ABCD). 17.(15分) 已知函数f(x)-v3sin2x+2cosx. (1)求f(x)的单调递减区间; (2)求(2)在3上的值域; (3)若a是锐角,且/(a)-,求cos2a的值. 【高一数学 第3页(共4页)】 18.(17分) 如图,在△ABC中,AB-2,AC-6,且CD=3DB,AC-3AE,F是AD和BE的交点 (1)用AB,AC表示BF,AD (2)证明:AD1BE. (3)证明:F是线段BE的中点. 封 线 19.(17分) 内 如图,在四边形ABCD中,AD-2,CD=3,△ABC是等边三角形 (1)若/ADC=60*,求△ABC的面积; 不 (2)若BC-2,求△BCD的面积; (3)求△BCD的面积的最大值 要 答 题 【高一数学 第4页(共4页)】