专题04 三角形中的范围与最值问题5种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第四册）

专题04 三角形中的范围与最值问题 5种常考压轴题归类 一、三角形中的有关角最值问题 通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 二、三角形中的有关边或者周长最值问题 （1）通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 （2） 常用的处理方式 ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、解三角形中有关面积的取值范围 解题思路：（1）根据条件选择合适的公式：①（为三角形的底，为对应的高） ②，③④由正弦定理可得； ⑤海伦公式：，其中 （3） 通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 压轴题型一：角的最值范围问题 √满分技法 1.利用三角函数性质：通过正弦定理或余弦定理将角的关系转化为三角函数表达式,结合三角函数的值域、单调性求解。例如,已知,若、存在某种关系,可将表示为的函数,再根据、是三角形内角(,),确定角的取值范围。 2.结合三角形内角和定理与边角关系：依据三角形内角和为,以及大边对大角等性质。如已知三边关系,可通过余弦定理求出某角的余弦值,根据余弦函数在上的单调性判断角的最值。若,当变化时,分析变化,进而得到的范围。 3.利用不等式放缩：在涉及边的关系时,利用基本不等式得到边的取值范围,再代入余弦定理,得出角的余弦值范围,从而确定角的范围。比如,将其代入,可对进行范围推导。 1．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）在中，，则最大角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】由条件结合正弦定理可得，再利用余弦定理求角，利用同角关系求结论. 【详解】∵， ∴由正弦定理化简得， 分别设，则最大角为C， ∴， 所以， 所以， 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知的三个内角、、满足，则当的值最大时，的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据已知条件得，利用余弦定理得，判断出，将的值最大转化为最小，由基本不等式求解即可. 【详解】设的三个内角、、的对边分别为、、， ， 由余弦定理知， 因为，所以，所以， 由正、余弦函数在上的单调性可知要使最大，则最大，最小， 所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立，此时． 故答案为：. 3．（24-25高一下·湖南·阶段练习）锐角三角形的三个内角的对边分别是，若，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理可得，由锐角三角形，可求得的范围. 【详解】由正弦定理得：，所以. 又锐角三角形中，，则，即. 所以，由于锐角三角形，所以， 解得. 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，由利用正弦定理边化角结合两角和的正弦求得，进而得，再根据利用两角差的正弦公式结合辅助角公式得到并求值域即可. 【详解】在中，因为， 所以，，所以 因为， 由正弦定理得, 所以，即， 所以, 由，解得 所以， 所以的范围是. 故选：B. 5．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知为锐角三角形，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设，应用边角关系及，得到关于的不等式组求解集，即可得答案. 【详解】因为，由正弦定理可得， 由题设，所以，即， 而，则，显然恒成立， 所以，可得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据题设得为关键. 压轴题型二：边的最值范围问题 √满分技法 1.正弦定理转化：若已知角的关系,利用正弦定理(为外接圆半径),将边表示为角的正弦函数,结合角的范围,根据正弦函数的值域确定边的范围。例如,已知、的关系及,,通过的范围求的范围。 2.余弦定理结合不等式：由余弦定理建立边与边的关系,再结合基本不等式或三边关系求解。如,利用,得到的范围,进而求出的范围；同时,根据三角形三边关系进一步限定边的取值。 3.函数思想：将边表示为其他变量(如角或边)的函数,通过求函数的最值确定边的最值范围。例如,若为定值,与角有关,构建的函数,利用函数的单调性等性质求解。 6．（24-25高一下·湖南·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件及正弦定理可得，结合为锐角三角形，解得角的范围即可求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理可知. ∵为锐角三角形， ∴，解得， ∴，. 故选：D. 7．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答. 【详解】因是钝角三角形，，且是最大边， 则由余弦定理得：， 于是得，，解得， 又有，即， 所以最大边的取值范围是：. 故选：D 8．（2025高一·全国·专题练习）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将统一成角的形式，然后化简可求出角，再利用正余弦定理将统一成边的形式，化简可求出，则可得，化简后，再求出角的范围，然后利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】由得：， ，又，，， 又，， 则由得：， ， 解得； 由正弦定理得：， ∴， ； ，， ，， ，即的取值范围为. 故选：A. 9．（24-25高一下·河南·阶段练习）记钝角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则线段BD的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据钝角三角形的性质以及余弦定理求出边的取值范围，再利用向量关系和余弦定理得出关于的表达式，最后根据的取值范围求出的取值范围. 【详解】由是钝角三角形且可得，，故， 由题意知，，故，；由得，，故． 由得，，则， 故，由知，线段BD的取值范围是． 故选：C． 10．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求最大边为，再利用以及求得c的取值范围. 【详解】因，则，若为钝角三角形， 则，得， 又因，则，得，故 故选：A 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦及平方关系求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：中，， 即，得， 又，， 所以， 化简得， 解得，或（不合题意，舍去），则， 所以， 由，且，，解得， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以， 由对勾函数在上单调递减， 可得：在单调递减； ，， 所以． 故选：A． 12．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得,在锐角三角形中，可得.由锐角中，可得角B的范围，可得的范围，再由正弦定理可得的范围. 【详解】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 故选：B. 13．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合两角差的余弦公式化简，应用锐角三角形得出角的范围，再应用正切的值域求出高的范围. 【详解】在中，由正弦定理，可得， 由可得：，所以，所以， 又因为，所以，所以，， 又因为三角形为锐角三角形，所以，所以， 在中，由正弦定理可得：，即，故有， 因为，所以，，所以， 所以，又因为边上的高，所以． 故选：B. 14．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 所以，则，即，解得. 故选：C. 压轴题型三：周长的最值范围问题 √满分技法 1.转化为边的问题：三角形周长,可通过正弦定理将三边转化为角的正弦函数,结合角的范围求周长范围；或利用余弦定理建立边的关系,再结合基本不等式、三边关系求解。如已知、、的关系,,,,则,根据三角函数性质求解。 2.利用特殊三角形：对于一些特殊情况,可通过分析等边三角形、直角三角形等特殊三角形的周长情况,结合已知条件判断周长的最值。例如,在锐角三角形中,当三边接近相等时,周长可能取得最值,通过设边的关系,结合条件求解。 3.函数构建与优化：将周长表示为一个变量的函数,利用函数的导数、单调性等方法求最值。如已知与的关系,将用、表示后,得到周长关于(或)的函数,进而求解。 15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在锐角三角形ABC中，，，则周长的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助三角形面积公式和余弦定理化简已知，可求出角，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【详解】根据题意，， 由三角形面积公式和余弦定理可得， ， 即， 整理得，，即， 在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以 ， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 16．（2025·内蒙古赤峰·一模）锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知结合余弦定理可得，根据正弦定理结合三角恒等变换可得，由角的范围结合三角函数的性质即可求解. 【详解】由已知得，所以， 解得， 由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以锐角周长的取值范围是. 故答案为：. 17．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，，且最短边的长为2，则周长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用正弦定理化边为角，可得得关系，再结合余弦定理可得，再利用正弦定理将用表示，再根据三角函数的性质即可得解. 【详解】由及正弦定理，得， 故， 因为，所以，即， 由，得，，且， 所以， 所以，所以， 由，，得， 因为，所以，， 所以，， 所以的周长为， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 故周长的取值范围是． 故答案为： 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 18．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求角，再结合基本不等式和余弦定理可求三角形周长的取值范围. 【详解】由， 因为为三角形内角，所以，所以，所以. 由余弦定理：，即. 所以，所以，所以. 又，所以. 故答案为： 19．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理可得，求出，再由余弦定理结合三角形面积公式可得，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，因为， 所以，即， 因为，所以，解得 因为的面积等于，则，得， 在中，由余弦定理得 的周长为， 当且仅当时等号成立， 综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时， 的周长取到最小值，且最小值为． 故答案为：. 20．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助正弦定理结合所给条件可将周长用表示，结合锐角三角形的性质可得的范围，即可得解. 【详解】由正弦定理可得， 则，， 则周长为 ， 由为锐角三角形，则，解得， 故，则， 即周长的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助正弦定理结合所给条件将边用角表示出来后，可用表示周长，从而可由的取值范围得到周长的取值范围. 压轴题型四：面积的最值范围问题 √满分技法 1.面积公式结合边角关系：根据三角形面积公式,结合正弦定理、余弦定理将面积表示为边或角的函数。若已知边的关系,代入面积公式后,利用基本不等式或函数性质求最值；若已知角的关系,通过正弦定理转化边的关系再求解。 2.三角函数值域求解：将面积表达式化为三角函数形式,如,根据角的范围,结合三角函数的值域求面积的最值范围。例如,已知、、的关系,将面积表示为关于某一角的三角函数,根据该角的取值范围确定面积范围。 3.几何意义辅助：从几何角度分析,如三角形的高、底的变化对面积的影响。在一些图形中,通过固定某些边或角,观察其他边或角变化时面积的变化趋势,结合代数方法求解最值。 21．（2025·新疆·二模）在中，，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】先把向量转化成三角形的有关性质，再求三角形面积的最大值. 【详解】如图：取、的中点、，连接、，交于点. 由，由. 又为的重心，所以. 设四边形的面积为，则. 设，则，所以当时，取得最大值1. 此时的面积也取得最大值：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：该方法的关键在于根据向量运算的几何意义，把向量问题转化成三角形的边角关系. 22．（24-25高三上·山东滨州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先得到，设，由正弦定理表示出，再把的面积表示出来，最后转化为三角函数值域问题，利用三角恒等变换即可求解. 【详解】因为，，所以，设，则， 在中由正弦定理可得，即， 所以， 因为，所以，显然当，即时，最大值为. 故答案为： 23．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理可得，从而求得的外接圆半径，再利用正弦定理和三角形面积公式，将边化成角，替换掉，根据锐角三角形求出的范围即可求解. 【详解】由得，， 所以，即， 所以，所以. 设的外接圆半径为，由正弦定理得. 所以， 又，所以 由是锐角三角形得，，解得， 所以，所以. 故答案为：. 24．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为 【答案】12 【分析】设，，则，结合正弦定理表示得，由余弦定理可得与的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解. 【详解】设，，则对，由正弦定理可得①， 对，由正弦定理可得②， 又，所以，又， 联立①②式可得，则， 则， 对，由余弦定理可得， 则 ， 当时，有最大值，，所以. 故答案为：12 25．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知的内角的对边分别为，且为锐角三角形，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理求得，利用正弦定理和三角恒等变换的化简可得，结合和正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】由，，则， 即，又， 又，所以. 由正弦定理得， 所以， 又，，，所以， 则，得，所以， 所以. 即的面积的取值范围为. 故答案为： 26．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .    【答案】10 【分析】设，利用余弦定理求出，进而可求出，再根据换元，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】设， 则， 而， 则， 所以， 令，则， 则 ，其中， 当且仅当时取等号， 此时，即， 所以四边形面积的最大值为10. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 27．（23-24高二上·四川成都·期末）已知某平面内三角形为等腰三角形， ， 点为中点， 且， 则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】根据向量的模长公式可得，即可利用面积公式得，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设 由于,所以, 故, 故当时，此时取最大值36，故面积的最大值为6， 故答案为：6 压轴题型五：与具体表达式有关的最值问题 √满分技法 1.化简表达式：对给定的表达式进行化简,通过正弦定理、余弦定理将表达式中的边化为角或角化为边,再利用三角函数公式、代数运算进行化简,使其形式更便于分析最值。例如,将通过正弦定理化为,再利用三角函数和差化积等公式化简。 2.确定变量范围：分析表达式中变量(边或角)的取值范围,结合三角形内角和定理、三边关系等条件,为求最值奠定基础。如已知、的范围,以及、、的关系,确定表达式中相关变量的准确范围。 3.选择合适方法求最值：根据化简后的表达式形式,选择函数单调性、基本不等式、三角函数性质等方法求最值。若表达式为二次函数形式,可利用二次函数的顶点坐标求最值；若为三角函数形式,根据三角函数值域求解。 28．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】法一：应用正弦边角关系得，再由余弦定理、锐角三角形内角性质及二倍角余弦公式可得，进而有，，即可得，即可求范围；法二：应用正余弦定理有，结合锐角三角形内角性质得，后续同法一. 【详解】法一：由正弦定理角化边得， 由， 所以. 由， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，则，， 因为为锐角三角形，，解得， 设，则，. 法二：由正弦定理角化边得. 由余弦定理，则. 由正弦定理，则. 则， 由为锐角三角形，得，. 所以，即，后续同法一. 故答案为： 29．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是2，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理结合题设可得，进而求出的范围，的范围，结合的面积是2可得，进而求解即可. 【详解】由， 由正弦定理可得：， 化为：， 是锐角三角形，，即． ，，解得． ，， 又，则， ， 又的面积是2，，化为：． 则 . 故答案为：. 30．（2025高一下·全国·专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合正余弦定理将化为，再利用两角和差的正弦公式得，进而得，根据化切为弦及两角差的正弦公式得，最后根据正弦函数性质求解范围即可. 【详解】因为，由余弦定理得， 所以，即， 由正弦定理得， 所以， 因为为锐角三角形，所以，则，， 由，得，， 所以 ， 因为，所以． 故答案为：． 31．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且．设的中点为，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和与差的正弦公式及辅助角公式化简求得，再设，则，由正弦定理得到， 进而结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由， 根据正弦定理，可得， 即， 则， 因为，所以，则， 则，即， 又，所以， 设，则，， 根据正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 则， 故的取值范围为． 故答案为：. 32．（24-25高一下·吉林延边·阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理和余弦定理的应用求出的值，再由正弦定理，结合三角函数恒等变换把变形成正弦型函数，利用正弦函数的性质求解. 【详解】锐角中，由正弦定理及，得，整理得， 由余弦定理得，而，则， 又，由正弦定理，得， 又为锐角三角形，则， 因此 ， 由，得，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 33．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式求出，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及三角函数性质求出范围. 【详解】在中，由及三角形面积公式，得， 由余弦定理得，则， 而，解得，， 由正弦定理得 ，锐角由确定， 而为锐角三角形，则，即，， 显然，而， ，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求三角形边长比的范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解. 34．（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，已知角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理先进行化简，再由和差角公式及同角基本关系化简可求，进而可求，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】由已知得，由余弦定理及正弦定理得： ，所以， 又，所以， ，所以， ， 因为， 且，所以， 所以，所以． 则的取值范围为． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，再由三角形有两解可得角的范围，从而得到结果. 【详解】由正弦定理可得，则， 因为，且满足条件的有两个， 所以，且（当时，三角形只有一解）， 此时，则. 故选：B 2．（2023·河南周口·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，结合余弦定理可得，进而结合余弦定理和三角形三边关系可求结果. 【详解】由正弦定理及，可得， 所以， 所以，所以，因为，所以， 因为外接圆的半径为，所以， 又由余弦定理可得， ，当且仅当时取等号，所以，又， 所以的取值范围为. 故选：C. 3．（24-25高二上·云南昭通·期中）的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式及余弦定理，结合辅助角公式和三角函数性质即可求解. 【详解】在中，由，得，由余弦定理得， 则，因此， 由知的边上的高为，则点在与平行，且距离为的直线上， 如图，以为直径画半圆，则该半圆与直线相切，当为切点时，，此时角最大， 即，，因此， 的取值范围是. 故选：C 4．（24-25高二上·浙江·期中）已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得B的大小.再利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围. 【详解】由题设知，， 由正弦定理得， 即, 又，所以，所以，得，所以， 又， 即，又锐角，所以，所以， 所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A 5．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在中，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，再利用余弦定理及基本不等式求出范围. 【详解】由，得， 在，由余弦定理得：， 即，则， 即，当且仅当时等号成立，因此，即， 所以的取值范围为. 故选：B 6．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意得出；再利用正弦定理、三角恒等变换和同角三角函数基本关系对三角形面积公式进行化简变形得出；最后结合即可得出结果. 【详解】因为在中， ，， 所以. 又因为为锐角三角形， 所以，解得. 又因为， 所以由正弦定理可得：， 由三角形面积公式可得： . 又因为， 所以， 则. 故，即. 所以面积的取值范围是. 故选：B. 7．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 整理得：， 因为， 所以， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 由，解得：， 因为， 所以， 解得：， 故选：C 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合三角形形状可得，将所求表达式化简并利用对勾函数性质计算可得结果. 【详解】依题意，由正弦定理可得，即； 所以， 又因为为锐角三角形，所以，即， 又，且， 可得，； 易知 ； 显然，由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以可得. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理角化边得，结合余弦定理和二倍角公式可得，可判断A；根据三个角为锐角列不等式组，求解可判断B；利用商数关系和和差公式，结合化简，运用基本不等式可判断C；边化角，利用二倍角公式化简，结合角A的范围可判断D. 【详解】对A，由正弦定理角化边得，由余弦定理有 ， ， 因为△ABC为锐角三角形，所以 所以 所以,所以，故A 正确； 对B， 由上知，， 因为为锐角三角形， 解得 所以，故B正确； 对C， 当且仅当时，得 因为，，所以等号不成立，故C错误； 对 D， 因为所以 所以 所以即 故 D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为3π B．若，且有一解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，由正弦定理得到，再结合正弦函数的值域求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，故选项A正确； 选项B：由正弦定理可得， 故，因为有一解，且，所以， 故或，即b的取值范围为，故选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为，     所以的面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则有两解 C．面积的最大值为 D．若是锐角三角形，则的取值范围为. 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理，即可判断AB，根据余弦定理，面积公式，结合基本不等式，即可判断C，根据正弦定理，转化为三角函数问题，即可判断D. 【详解】A.根据正弦定理，，即，得, 且，则，则有一解，故A正确； B.若，则，可得，得，则有一解，故B错误； C.由余弦定理，，当时等号成立， 所以，所以面积的最大值为，故C正确； D.由，则，，且，得， 所以，, 所以的范围是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，利用补形可得，结合面积公式可求范围. 【详解】 如图，过作，过作交的延长线于， 则四边形、四边形为平行四边形，连接， 则互相平分，故共线且为的中点， 而，故，故， 中，，，， 故， 故， 故答案为： 13．（2025高三·全国·专题练习）已知在锐角三角形中，内角，，，所对应的边分别为，，，且是，，则中线长的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用和余弦定理可得，进而得，结合是锐角三角形，得，进而可得. 【详解】在中，. ，为的中点，所以. 由正弦定理得. 又，设， 由余弦定理知，得， 代入，整理得. 因为是锐角三角形，所以 ， ， ， 解得. 当时，取最小值为；当或时，取最大值为. 因为，所以. 14．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知是锐角三角形，内角所对的边分别为．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理化简题给条件得到角的关系，得到角范围.再利用正弦定理边化角化简，再换元根据二次函数性质即可得解. 【详解】因为，，由余弦定理， 所以，化简得. 由正弦定理得， 又，， ，即. 因为是锐角三角形，所以，. 又因为在上单调递增， 所以，即，所以. 由可得且，得. 由正弦定理 ， 令，则，在上递增， 因时，；时，. 所以. 故答案为：. 15．（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理和三角形的性质即可求解. 【详解】由正弦定理有：，所以， 又有两解，所以,即， 综上有， 故答案为：. 16．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，．且．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合锐角三角形列式求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得， 又因为，则， 可得，即， 因为为锐角三角形，则， 可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，． (1)求A； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换求出，即可得解； （2）由正弦定理可将周长的范围转化为正弦型函数的值域问题，计算即可得； （3）由三角形内切圆的性质可得，结合余弦定理计算即可得解. 【详解】（1）由，可得, ， , ，又，则, ，又， . （2）由（1），由正弦定理得，， ， 因为为锐角三角形，所以， ，则， ， 所以的周长范围为. （3）由， ，即， 由余弦定理得，得， ，即， 解得或（舍去）， 所以. 18．（2025·重庆·二模）在中，角所对的边分别 ，且  . (1)求角 的值； (2)若为锐角三角形，且 ，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理可得，进而可得，可得； （2）由为锐角三角形可得，根据正弦定理可得，进而可得，，进而可得. 【详解】（1）由及正弦定理可得， 得， 得， 得， 因，故，故，即， 又，故. （2）由得， 由为锐角三角形可得得， 由正弦定理可得，故， 即， 因，故，故， 故， ，故， 故面积的取值范围为 19．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，的面积为，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正余弦定理和三角形面积公式化简可得结果； （2）由正弦定理边化角，结合正切函数的单调性分析即可. 【详解】（1）由三角形面积公式得，， 由余弦定理得，则，解得， 再由余弦定理，， 代入得，解得，， 所以为等边三角形，面积为． （2）由正弦定理，， 由为锐角三角形，则，， ，，， 所以的取值范围是． 20．（24-25高一下·广东·期中）已知是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，在所在平面内以AC为边向外作如图所示，，，.    (1)求B； (2)求的内切圆半径r； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化得，再根据余弦定理，得，进而得到B； （2）根据数量积公式得，结合面积，求得，进而得到，，再利用余弦定理求出，以后利用求得的内切圆半径r； （3）利用面积公式得，根据，求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 又由余弦定理，得，所以，得. 因为，所以. （2）在中，，得，① 又，得.② 联立①②得，因为，所以，. 由余弦定理得，得. 又，解得. （3）由（2）知，所以的外接圆半径， 所以，， 所以的面积 ， 因为是锐角三角形，所以得， 所以，， 所以， 所以面积的取值范围是. 21．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，求的值； (2)若，平分，求的值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解； （2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算； （3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域. 【详解】（1）由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． （2）由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． （3）在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 因为为锐角三角形，则，且， 则，，解得，则， 所以， 所以周长的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形中的范围与最值问题 5种常考压轴题归类 一、三角形中的有关角最值问题 通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 二、三角形中的有关边或者周长最值问题 （1）通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 （2） 常用的处理方式 ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、解三角形中有关面积的取值范围 解题思路：（1）根据条件选择合适的公式：①（为三角形的底，为对应的高） ②，③④由正弦定理可得； ⑤海伦公式：，其中 （3） 通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 压轴题型一：角的最值范围问题 满分技法 1.利用三角函数性质：通过正弦定理或余弦定理将角的关系转化为三角函数表达式,结合三角函数的值域、单调性求解。例如,已知,若、存在某种关系,可将表示为的函数,再根据、是三角形内角(,),确定角的取值范围。 2.结合三角形内角和定理与边角关系：依据三角形内角和为,以及大边对大角等性质。如已知三边关系,可通过余弦定理求出某角的余弦值,根据余弦函数在上的单调性判断角的最值。若,当变化时,分析变化,进而得到的范围。 3.利用不等式放缩：在涉及边的关系时,利用基本不等式得到边的取值范围,再代入余弦定理,得出角的余弦值范围,从而确定角的范围。比如,将其代入,可对进行范围推导。 1．（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）在中，，则最大角的正弦值为 . 2．（2025高三·全国·专题练习）已知的三个内角、、满足，则当的值最大时，的值为 ． 3．（24-25高一下·湖南·阶段练习）锐角三角形的三个内角的对边分别是，若，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知为锐角三角形，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 压轴题型二：边的最值范围问题 满分技法 1.正弦定理转化：若已知角的关系,利用正弦定理(为外接圆半径),将边表示为角的正弦函数,结合角的范围,根据正弦函数的值域确定边的范围。例如,已知、的关系及,,通过的范围求的范围。 2.余弦定理结合不等式：由余弦定理建立边与边的关系,再结合基本不等式或三边关系求解。如,利用,得到的范围,进而求出的范围；同时,根据三角形三边关系进一步限定边的取值。 3.函数思想：将边表示为其他变量(如角或边)的函数,通过求函数的最值确定边的最值范围。例如,若为定值,与角有关,构建的函数,利用函数的单调性等性质求解。 6．（24-25高一下·湖南·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·河南·阶段练习）记钝角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则线段BD的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 压轴题型三：周长的最值范围问题 满分技法 1.转化为边的问题：三角形周长,可通过正弦定理将三边转化为角的正弦函数,结合角的范围求周长范围；或利用余弦定理建立边的关系,再结合基本不等式、三边关系求解。如已知、、的关系,,,,则,根据三角函数性质求解。 2.利用特殊三角形：对于一些特殊情况,可通过分析等边三角形、直角三角形等特殊三角形的周长情况,结合已知条件判断周长的最值。例如,在锐角三角形中,当三边接近相等时,周长可能取得最值,通过设边的关系,结合条件求解。 3.函数构建与优化：将周长表示为一个变量的函数,利用函数的导数、单调性等方法求最值。如已知与的关系,将用、表示后,得到周长关于(或)的函数,进而求解。 15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在锐角三角形ABC中，，，则周长的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 16．（2025·内蒙古赤峰·一模）锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是 . 17．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，，且最短边的长为2，则周长的取值范围是 ． 18．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 19．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 20．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为 . 压轴题型四：面积的最值范围问题 满分技法 1.面积公式结合边角关系：根据三角形面积公式,结合正弦定理、余弦定理将面积表示为边或角的函数。若已知边的关系,代入面积公式后,利用基本不等式或函数性质求最值；若已知角的关系,通过正弦定理转化边的关系再求解。 2.三角函数值域求解：将面积表达式化为三角函数形式,如,根据角的范围,结合三角函数的值域求面积的最值范围。例如,已知、、的关系,将面积表示为关于某一角的三角函数,根据该角的取值范围确定面积范围。 3.几何意义辅助：从几何角度分析,如三角形的高、底的变化对面积的影响。在一些图形中,通过固定某些边或角,观察其他边或角变化时面积的变化趋势,结合代数方法求解最值。 21．（2025·新疆·二模）在中，，，则面积的最大值为 ． 22．（24-25高三上·山东滨州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ． 23．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 24．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为 25．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知的内角的对边分别为，且为锐角三角形，，则面积的取值范围为 ． 26．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .    27．（23-24高二上·四川成都·期末）已知某平面内三角形为等腰三角形， ， 点为中点， 且， 则面积的最大值为 . 压轴题型五：与具体表达式有关的最值问题 满分技法 1.化简表达式：对给定的表达式进行化简,通过正弦定理、余弦定理将表达式中的边化为角或角化为边,再利用三角函数公式、代数运算进行化简,使其形式更便于分析最值。例如,将通过正弦定理化为,再利用三角函数和差化积等公式化简。 2.确定变量范围：分析表达式中变量(边或角)的取值范围,结合三角形内角和定理、三边关系等条件,为求最值奠定基础。如已知、的范围,以及、、的关系,确定表达式中相关变量的准确范围。 3.选择合适方法求最值：根据化简后的表达式形式,选择函数单调性、基本不等式、三角函数性质等方法求最值。若表达式为二次函数形式,可利用二次函数的顶点坐标求最值；若为三角函数形式,根据三角函数值域求解。 28．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为 . 29．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是2，则的取值范围是 . 30．（2025高一下·全国·专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 31．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且．设的中点为，且，则的取值范围为 . 32．（24-25高一下·吉林延边·阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，则的取值范围是 ． 33．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是 . 34．（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，已知角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为 ． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·河南周口·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南昭通·期中）的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江·期中）已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在中，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且，若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的取值范围是 10．（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为3π B．若，且有一解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 11．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则有两解 C．面积的最大值为 D．若是锐角三角形，则的取值范围为. 三、填空题 12．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是 ． 13．（2025高三·全国·专题练习）已知在锐角三角形中，内角，，，所对应的边分别为，，，且是，，则中线长的取值范围是 . 14．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知是锐角三角形，内角所对的边分别为．若，则的取值范围是 ． 15．（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是 . 16．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，．且．则的取值范围是 ． 四、解答题 17．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为b，c，且满足，． (1)求A； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 18．（2025·重庆·二模）在中，角所对的边分别 ，且  . (1)求角 的值； (2)若为锐角三角形，且 ，求面积的取值范围. 19．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，的面积为，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 20．（24-25高一下·广东·期中）已知是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，在所在平面内以AC为边向外作如图所示，，，.    (1)求B； (2)求的内切圆半径r； (3)求的面积的取值范围. 21．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，求的值； (2)若，平分，求的值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$