专题03 正弦定理与余弦定理的应用4种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第四册）

专题03 正弦定理与余弦定理的应用 4种常考压轴题归类 知识点01 实际测量中的有关名词、术语 1、基线 （1）定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。 （2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度高越高。 2、仰角与俯角： （1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 （2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 3、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 4、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 5、坡角与坡度（坡比）： （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数； （2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度与水平宽度的比值。 知识点02 正弦定理和余弦定理的应用 1、测量距离与高度问题的常见类型 （1）测量距离问题：主要是指水平面上两个位置A，B不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有关数据，构造三角形，应用正弦定理、余弦定理解决。例如当AB的长度不可直接测量时，AB的距离的求法分为以下三类. 两点间不可达又不可视 两点间可视但不可达 两点间都不可达 （2）测量高度问题：在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角（两个仰角或两个俯角）和一边或三角（两个方向角和仰角）和一边，如图所示． 2、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。 3、解三角形应用题的一般步骤 （1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 压轴题型一：测量距离问题 √满分技法 三角形中与距离有关的问题的求解策略： （1）解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解； （2）解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决. 1．（24-25高一下·吉林延边·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为 km 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】在中得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理得. 【详解】依题意，, ， 在中，，，则，又，则km， 在中，，，则， 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 所以该船行驶的距离km. 故答案为： 2．（2025·河南南阳·一模）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据速度得三角形边之间关系，再根据余弦定理求结果， （2）作垂线，根据直角三角形解结果. 【详解】（1）依题意，得 ， ，所以 ， ．在 中，， 余弦定理，得 ． 同理在 中，． 由于 ， 所以 ， 解得 ． （2）作 ，垂足为 ，在 中， ． 所以目标 到海防警戒线 的距离为 ． 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（    ） ①②③ ④ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题 【分析】根据题意，过M作于C，结合正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 由题意可知，，，过M作于C， 设，根据正弦定理可得，， 又因为时没有触礁危险， 即，故（1）正确， ，（4）正确， 故选：C 4．（24-25高一下·新疆昌吉·阶段练习）三国（220年一280年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2小时）能走30公里，一天走10个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（    ）（） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题 【分析】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为、、，可得出公里，公里，，利用余弦定理求出，再除以可得结果. 【详解】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为、、， 由题意可知，公里，公里，， 由余弦定理可得 公里， （天），故谋臣大约需要天才能到达目的地. 故选：C. 5．（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角余弦公式得，应用正弦定理求出，再应用余弦定理求距离. 【详解】由题设，，则，而， 所以，则， 由，，则，而， 又， 所以，则， 由 . 故选：C 压轴题型二：测量高度问题 √满分技法 1、测量高度问题的解题策略： （1）“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题； （3）“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路。 2、测量高度问题需要注意3个问题 （1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． （2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． （3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 6．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为 米    【答案】30 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】利用解直角三角形得到三边长，再利用余弦定理得到五边关系，从而可求解高度. 【详解】    设雕像高为，设雕像底部为点，根据直角三角形正切函数可得： 再由，结合两个三角形的余弦定理可得： 因为， 所以 即， 解得：， 故答案为：. 7．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与D，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解. 【详解】设，则，且， 在中，， ∴，即， ． 故选：D． 8．（24-25高一下·福建宁德·期中）如图1，汾阳文峰塔位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌社区，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位居中国砖结构古塔之首.如图2，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为（），则塔高（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】由余弦定理求出，再解直角三角形即可得解. 【详解】由余弦定理得， 即，解得， 因为在点处测得塔顶的仰角为， 所以. 故选：B 9．（24-25高一下·浙江·期中）衢州是孔子后裔的世居地和第二故乡，素有“东南阙里，南孔圣地”的美誉，孔子雕像坐落于孔子文化公园内．如图，选取与孔子雕像底部在同一平面内的三个测量基点，且在处测得雕像顶点的仰角分别为，米，则孔子雕像高为 米． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】设米，得到，结合及余弦定理求解. 【详解】设米，由题设有，又， 由， 所以，则，可得米. 故答案为： 10．（24-25高一下·河北唐山·期中）地面上有两座相距120米的塔，高塔的高为米，矮塔的高为米，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点处望两塔塔顶的仰角互为余角，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正切公式、高度测量问题 【分析】在直角三角形中分别表示出、的正切值，由二倍角公式建立关系，再分别表示、的正切值，利用互余建立关系，然后解方程组即得. 【详解】 设在O点望高塔塔顶的仰角为β，， 由二倍角的正切公式得，即， 由在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，得在O点望矮塔顶的仰角为， 由， ，而 则， 因此，解得，所以. 故答案为： 压轴题型三：测量角度问题 √满分技法 1、测量角度问题主要涉及光线（入射角、折射角)，海上、空中的追击与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念。解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中己知哪些量，然后解三角形即可. 2、测量角度问题需要注意3个问题 （1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； （2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； （3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 11．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？ 【答案】沿北偏东60°方向能最快追上. 【难度】0.65 【知识点】角度测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】根据题意作出示意图，利用正弦定理和余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，设乙同学需要用时在处追上甲同学，则，， 在△ABC中，，，， 由余弦定理，得， ，由正弦定理可得， ，则与正北方向成90°角． 在中，,由正弦定理， 得， ,即乙同学沿北偏东60°方向能最快追上甲同学． 12．（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 【答案】(1)30（海里） (2)救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°，1.75小时． 【难度】0.65 【知识点】角度测量问题、距离测量问题、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由题意可得三角形的角与边，根据正弦定理，可得答案； （2）由余弦定理，建立方程，可得答案. 【详解】（1）在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． （2）在中，，由余弦定理 ， ，（小时）， ，D为锐角， 所以，， 救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°． 13．（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】角度测量问题 【分析】由余弦定理解三角形可得. 【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得 海里， 故甲船至少需要航行的海里数为． 故选：C.    14．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【难度】0.65 【知识点】角度测量问题、高度测量问题 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 15．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 16．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【难度】0.65 【知识点】角度测量问题、距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 压轴题型四：综合应用问题 √满分技法 拿到实际问题后，首要任务是梳理题目中的关键信息，明确已知条件和待求解的量。通过分析实际情境，将其抽象为三角形模型，确定三角形的边和角与实际问题中的对应关系。 17．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题、正、余弦定理的其他应用 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【详解】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 18．（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【答案】(1)1小时 (2)3小时 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算、正、余弦定理的其他应用 【分析】（1）根据含直角三角形的性质即可得到路程，再除以速度即可； （2）设t小时后恰与货船在C处相遇，在中利用余弦定理即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； （2）由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇． 19．（2023·上海杨浦·一模）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）. (1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； (2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值. 【答案】(1)①平方米②平方米 (2)0.3米 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正、余弦定理的其他应用、三角函数与解三角形综合 【分析】（1）分别按照直线段与圆弧计算BC的长，代入面积公式即可得解； （2）根据正弦定理求出，再由三角恒等变换求最大值即可得解. 【详解】（1）①其为直线段且时， 米， 所以在中，，即（米）. 所以（平方米）； ②其为以为圆心的圆弧时，此时圆的半径为（米）， 圆心角，所以圆弧的长， 所以（平方米） （2）由题意，，， 由正弦定理可得：， 即 ，其中， 当，即时，（米）. 即有效遮挡区域高的最大值为米. 20．（23-24高三上·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 【答案】(1) (2)80万元 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正、余弦定理的其他应用 【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式； （2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值. 【详解】（1）在中，因为，可得， 在中，可知， 由正弦定理，可得， 所以. （2）由（1）可知： ， 因为，则， 令，则， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 所以在上单调递减， 当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元. 21．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） 【答案】(1)是，且定值为米 (2)元 【难度】0.65 【知识点】求15°等特殊角的正弦、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正、余弦定理的其他应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）求出，结合正弦定理可求得的长； （2）利用余弦定理结合（1）中的结论求出的最小值，再结合题意可求得建设步道总花费的最小值. 【详解】（1）解：因为四边形为等腰梯形，则， 在中，，，则， 由正弦定理可得，则， 同理可得， 因此， （米）. （2）解：在中，， 由余弦定理可得 ， 所以，， 当且仅当米，即当为的中点时，等号成立， 因此，建设步道总花费的最小值为（元）. 一、单选题 1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角度测量问题 【分析】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B 3．（2026高三·全国·专题练习）某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的两点，测得，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，则平凉大明宝塔的高度是（    ） A．25m B． C．30m D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】用分别表示，在中，利用余弦定理可得答案. 【详解】在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 解得. 故选：C. 4．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由， 可得： 解得： 故选：A 5．（2025·上海·模拟预测）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题、距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】由已知条件有两边，再结合三个角，可解两个直角三角形，求出高和斜边，然后再用余弦定理求第三边，这样可逐一分析判断，但对于B选项，可通过举反例判断即可. 【详解】记，，，，，，，，，，，，． 对于A选项：已知， 在中，由，可确定；同理，在中，即可确定， 在中，由，可确定； 在中，已知，由余弦定理可解三角形知， 再在中，由勾股定理，可确定； 再由直角梯形，结合勾股定理可得， 即可确定，故A正确； 对于C选项：已知， 在中，由，可确定；同理，在中，可确定； 在中，由及余弦定理，可确定，故C正确; 对于D选项：已知， 在中，由及余弦定理，可确定； 在中，由，可确定；同理，在中，即可确定， 由直角梯形，结合勾股定理可得，① 即可确定，故D正确； 对于B选项：已知，同C，D选项，可确定， 在中，由勾股定理，得， 在中，由余弦定理，得，② 联立①②，得解此关于的二元方程组， 可得，但此二元二次方程组可能有两解， 例如:若，得 解得或故B错误． 故选：B. 6．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过点时，发现北偏东方向，距离为的点处有毒贩正驾驶小船以的速度往北偏东的方向逃窜，缉毒船立即以的速度前往缉捕，则缉毒船经过（    ）恰好能抓获毒贩. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】结合题意，由余弦定理计算可得. 【详解】设缉毒船经过恰好能抓获毒贩， 由题意知， 由余弦定理可得， 即， 整理得，解得（负值舍去）. 故选：C 7．（24-25高一下·湖北·期中）一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题 【分析】作出示意图，在中，得，可由三角函数求的长，进而得到答案. 【详解】由题意知，在中，，， ， 所以为直角三角形，又， ，故（小时）， 故选：C. 二、多选题 8．（23-24高一下·湖南张家界·期末）如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（    ） A． B．之间的距离为海里 C．之间的距离为海里 D．两岛间的距离为海里 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据三角形的内角求得判定A；利用正弦定理求得判定B；利用等腰直角三角形性质求得判定C；利用余弦定理求得AB判定D. 【详解】由题意可知，，，，， 所以，故A正确； 在中，由正弦定理得，得 (海里)，故B正确； 在中，因为，，所以 (海里)，故C错误； 在中，， 由余弦定理 (海里)，故D正确. 故选：ABD 9．（22-23高一下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为，山脚A处的俯角为，已知，则下列选项中山的高度BC错误的是（    ）    A．700m B．640m C．600m D．560m 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题 【分析】利用正弦定理解三角形即可得解. 【详解】根据题意，可得在中，，， 所以； 因为在中，，， 所以， 由正弦定理得， 在中，． 故选：ABD. 10．（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】根据所给条件表示出、、，在中利用正弦定理表示出、，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】由题意可知，，，，， 分别在，中，，， 所以， 又， ， 在中，由正弦定理可得，， 即， 所以， 在中，，故A正确，B错误； 在中，由正弦定理可得，， 即， 所以， 在中，， 又， 所以，故C正确、D错误. 故选：AC 11．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．A处与D处之间的距离是24海里 B．灯塔C与D处之间的距离是海里 C．灯塔C在D处的西偏南 D．D在灯塔B的北偏西 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】角度测量问题、距离测量问题 【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可. 【详解】根据题意作出图形：    由货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里，得，， 又在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里，得，， 又货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，得， 所以在中，. 对于A：在中，由正弦定理得， 所以（海里)，故A正确； 对于B：在中，由余弦定理得， 即（海里)，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以灯塔在处的南偏西方向，即灯塔C在D处的西偏南，故C正确； 对于D：由，在灯塔的南偏东处，在灯塔的北偏西处，故D错误. 故选：ABC. 12．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ） A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，根据题意，由余弦定理列出方程，求得，得到，再由正弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合， 则， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去），所以， 又由正弦定理得，可得. 故选：BCD. 三、填空题 13．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 .（结果保留整数）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、高度测量问题、正弦定理解三角形、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用正弦定理及直角三角形边角关系求解；利用直角三角形边角关系及差角垢正切公式，结合基本不等式求出取得最大值，借助正切函数单调性求解. 【详解】依题意，， 在中，，则， 在中，， 所以山高； 依题意，且，， 在中，，在中，， 则 ， 当且仅当，即时取等号，正切函数在上单调递增， 而，则当且仅当取得最大值时，最大， 所以当时，观测基站的视角最大. 故答案为：； 14．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，已知在东西走向上有两座发射塔，且，一辆测量车在塔底的正南方向的点处测得发射塔顶的仰角为，该测量车向北偏西方向行驶了后到达点，在点处测得发射塔顶的仰角为，经计算，则两发射塔顶之间的距离为 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】先求出，连接，得为等边三角形，则，，由题意求得，再由余弦定理求得，即可求解． 【详解】在中，，，所以， 连接， 在中，， 又，所以为等边三角形，得到，， 在中，因为，，则， 在中，，，， 由余弦定理，得到， 解得或，过作于，则， 当时，， 当时，，所以两发射塔顶之间的距离是或． 故答案为：或. 15．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】过作于，设，则有，从而可得，，在中，可得，从而解得，再由求解即可. 【详解】解：过作于，如图所示： 设， 由题意可知设， 则有，, 所以， 解得， 所以， 在中，， 所以， 所以. 故答案为： 16．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图所示，小明在D处观测到A岛屿和B岛屿分别在D处的北偏西15°和北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测到B岛屿在C处的正北方向，A岛屿在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 海里.    【答案】10 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据题意分别在中，利用正弦定理，勾股定理和余弦定理求解即可． 【详解】由题可知，， ， 在中，，， 在中，， 在中，， 故， 故答案为：. 17．（24-25高一下·福建·期中）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10海里的C处的乙船.乙船立即沿着方向前往救援.则 .    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据方位角得，由余弦定理求得，再利用正弦定理求得即可. 【详解】由题可知， 在中，由余弦定理可得 海里， 由正弦定理可得即，解得. 故答案为：. 四、解答题 18．（21-22高一下·江西抚州·阶段练习）如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且． (1)若M在距离A点处，求的长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积． 【答案】(1) (2)时面积最小，最小值为 【难度】0.65 【知识点】求三角形面积的最值或范围、正、余弦定理的其他应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）由条件推出，根据余弦定理求得； （2）利用正弦定理表示出的长，利用三角形面积公式表示出的面积，化简并结合三角函数性质求得答案. 【详解】（1）在中，其中， ， 在中，， 则. （2）， 在中，， 在中，， ， 因为，所以时面积最小，最小值为 19．（22-23高三上·四川绵阳·阶段练习）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米. (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与所围成的面积的最大值. 【答案】(1)3千米 (2)平方千米 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理的其他应用、距离测量问题、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解； （2）设，则，在中，由正弦定理可得，，则由整理可得，结合的范围，即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ， 所以， 所以线段的长度为3千米. （2）设，因为，所以， 在中，由正弦定理得， ， 所以，， 因此 ， 因为，所以. 所以当，即时，所围成的面积的最大值为. 所以两条观光线路与所围成的面积的最大值为平方千米． 20．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在某海域A处的巡逻船发现南偏东方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇． (1)求a，b的值； (2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能够拦截成功拦截，时间为2小时 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理的其他应用、几何图形中的计算 【分析】（1）设1小时后两船相遇于点C，根据关于y轴对称，且，即可求解； （2）设t小时后两船相遇于点D，利用余弦定理列出方程，即可求解. 【详解】（1）若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C， 如图所示，则轴，，且关于y轴对称， 所以， 所以. （2）若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示， 则，，，， 因为， 可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以能够拦截成功拦截时间为2小时. 21．（24-25高三上·湖南·阶段练习）某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点. (1)求建造中的建筑物已经到达的高度； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】（1）设，根据条件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解； （2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解. 【详解】（1）如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，， 所以，又，是的中点， 在中，由余弦定理得到， 在中，由余弦定理得到， 又，所以， 整理得到，解得，所以. （2）在中，由正弦定理知①， 在中，由正弦定理知②， 由（1）知， 由②①得到. 22．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）如图所示，在路边安装路灯，路宽23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱OB成角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆垂直．当灯柱高约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?，精确到0.01m）.    【答案】米． 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题 【分析】如图，作于，作于，在直角和直角中求得即得． 【详解】如图，作于，作于， 由于，，则， ，因此，， 易知，而，， 又，所以， 所以， 所以（米）．      23．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 【答案】(1)300米； (2)为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、高度测量问题、距离测量问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据已知有，即可求的高度； （2）由，根据已知及差角正切公式、基本不等式求的最值，确定取值条件即可得结论. 【详解】（1）由题设， 所以米； （2）设米，则，， 由，则 ， 当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 24．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.    (1)求与两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）在中，根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】（1） 在中，，由正弦定理得 ， . （2）由（1）知， 中， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 正弦定理与余弦定理的应用 4种常考压轴题归类 知识点01 实际测量中的有关名词、术语 1、基线 （1）定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。 （2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度高越高。 2、仰角与俯角： （1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 （2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 3、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 4、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 5、坡角与坡度（坡比）： （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数； （2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度与水平宽度的比值。 知识点02 正弦定理和余弦定理的应用 1、测量距离与高度问题的常见类型 （1）测量距离问题：主要是指水平面上两个位置A，B不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有关数据，构造三角形，应用正弦定理、余弦定理解决。例如当AB的长度不可直接测量时，AB的距离的求法分为以下三类. 两点间不可达又不可视 两点间可视但不可达 两点间都不可达 （2）测量高度问题：在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角（两个仰角或两个俯角）和一边或三角（两个方向角和仰角）和一边，如图所示． 2、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。 3、解三角形应用题的一般步骤 （1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 压轴题型一：测量距离问题 满分技法 三角形中与距离有关的问题的求解策略： （1）解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解； （2）解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决. 1．（24-25高一下·吉林延边·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为 km 2．（2025·河南南阳·一模）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（    ） ①②③ ④ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 4．（24-25高一下·新疆昌吉·阶段练习）三国（220年一280年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2小时）能走30公里，一天走10个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（    ）（） A．七 B．八 C．九 D．十 5．（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．10 压轴题型二：测量高度问题 满分技法 1、测量高度问题的解题策略： （1）“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题； （3）“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路。 2、测量高度问题需要注意3个问题 （1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． （2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． （3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 6．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为 米    7．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与D，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·福建宁德·期中）如图1，汾阳文峰塔位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌社区，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位居中国砖结构古塔之首.如图2，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为（），则塔高（   ）    A． B． C． D． 9．（24-25高一下·浙江·期中）衢州是孔子后裔的世居地和第二故乡，素有“东南阙里，南孔圣地”的美誉，孔子雕像坐落于孔子文化公园内．如图，选取与孔子雕像底部在同一平面内的三个测量基点，且在处测得雕像顶点的仰角分别为，米，则孔子雕像高为 米． 10．（24-25高一下·河北唐山·期中）地面上有两座相距120米的塔，高塔的高为米，矮塔的高为米，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点处望两塔塔顶的仰角互为余角，则 . 压轴题型三：测量角度问题 满分技法 1、测量角度问题主要涉及光线（入射角、折射角)，海上、空中的追击与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念。解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中己知哪些量，然后解三角形即可. 2、测量角度问题需要注意3个问题 （1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； （2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； （3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 11．（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？ 12．（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 13．（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 14．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 15．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 16．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 压轴题型四：综合应用问题 满分技法 拿到实际问题后，首要任务是梳理题目中的关键信息，明确已知条件和待求解的量。通过分析实际情境，将其抽象为三角形模型，确定三角形的边和角与实际问题中的对应关系。 17．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 18．（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 19．（2023·上海杨浦·一模）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）. (1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； (2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值. 20．（23-24高三上·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 21．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） 一、单选题 1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．（2026高三·全国·专题练习）某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的两点，测得，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，则平凉大明宝塔的高度是（    ） A．25m B． C．30m D． 4．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（2025·上海·模拟预测）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过点时，发现北偏东方向，距离为的点处有毒贩正驾驶小船以的速度往北偏东的方向逃窜，缉毒船立即以的速度前往缉捕，则缉毒船经过（    ）恰好能抓获毒贩. A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一下·湖北·期中）一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 8．（23-24高一下·湖南张家界·期末）如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（    ） A． B．之间的距离为海里 C．之间的距离为海里 D．两岛间的距离为海里 9．（22-23高一下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为，山脚A处的俯角为，已知，则下列选项中山的高度BC错误的是（    ）    A．700m B．640m C．600m D．560m 10．（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．A处与D处之间的距离是24海里 B．灯塔C与D处之间的距离是海里 C．灯塔C在D处的西偏南 D．D在灯塔B的北偏西 12．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ） A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 三、填空题 13．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 .（结果保留整数）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，. 14．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，已知在东西走向上有两座发射塔，且，一辆测量车在塔底的正南方向的点处测得发射塔顶的仰角为，该测量车向北偏西方向行驶了后到达点，在点处测得发射塔顶的仰角为，经计算，则两发射塔顶之间的距离为 15．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 . 16．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图所示，小明在D处观测到A岛屿和B岛屿分别在D处的北偏西15°和北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测到B岛屿在C处的正北方向，A岛屿在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 海里.    17．（24-25高一下·福建·期中）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10海里的C处的乙船.乙船立即沿着方向前往救援.则 .    四、解答题 18．（21-22高一下·江西抚州·阶段练习）如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且． (1)若M在距离A点处，求的长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积． 19．（22-23高三上·四川绵阳·阶段练习）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米. (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与所围成的面积的最大值. 20．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在某海域A处的巡逻船发现南偏东方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇． (1)求a，b的值； (2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由． 21．（24-25高三上·湖南·阶段练习）某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点. (1)求建造中的建筑物已经到达的高度； (2)求的值. 22．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）如图所示，在路边安装路灯，路宽23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱OB成角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆垂直．当灯柱高约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?，精确到0.01m）.    23．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 24．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.    (1)求与两点间的距离； (2)求塔高. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$