精品解析：广东省肇庆市第六中学2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题

肇庆市第六中学2024-2025学年第二学期高一级期中检测 数学 命题人：麦剑辉 审核人：蒙庆爱 一、单选题（共8题，共40分） 1. 下列关于向量说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 所有的单位向量都相等 C. 若，，则 D. 若，则或 【答案】C 【解析】 【分析】根据零向量以及单位向量的相关概念，可得AB的正误；由题意作图，根据数形结合思想，可得CD的正误. 【详解】对于A，根据零向量的概念可得零向量的方向是任意的，故A错误； 对于B，所有的单位向量长度相同，方向不一定相同，故B错误； 对于C，由题意可作图如下： 由图及三角不等式得，故C正确； 对于D，由题意可作等腰直角三角形，，如下图： 当，时，显然，但，故D错误. 故选：C. 2. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，利用倍角公式可得答案. 【详解】因为角的终边过点，所以，， 所以. 故选：C 3. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（ ） A. 45° B. 105°或15° C. 15° D. 135°或45° 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则,(或因)，故角为135°或45°. 故选：D. 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数图象变换后的性质求得周期. 【详解】由题意，， 将正弦函数的图象向右平移个单位可得到， 再将所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）得到， 再将轴下方的图象翻折到轴上方得到， 所以函数的最小正周期为. 故选：C. 5. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据，利用向量共线的坐标运算求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得. 故选：C. 6. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，从而可得，再由三点共线，即可得答案. 【详解】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线， 所以. 故选：A. 7. 如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（ ） A. 60 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用锐角三角函数，得到，，进而利用，即可得到答案. 【详解】由已知得，得到，，所以. 故选：A 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，结合题意，可得边的等量关系与角的不等关系，根据余强定理，可得答案. 【详解】因为，，所以，， 所以，，易知，即， 设，则，，则， 可得，所以是锐角三角形. 故选：C. 二、多选题（共3题，共18分） 9. 如图，在正六边形中，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量与向量是平行向量 【答案】AD 【解析】 【分析】由平面向量加、减法的运算，结合平行向量的定义以及向量模的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，，由正六边形的性质可知，即，故A正确； 对于B，设正六边形每条边长为，则，故B错误； 对于C，根据平行四边形法则有，与共线但方向相反，故C错误； 对于D，根据平行四边形法则有，与方向相同，故D正确. 故选：AD. 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像可由的图象向左平移个单位得到 C. 的对称轴为 D. 在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．再根据的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：根据函数的部分图象，可得，. 再根据五点法作图可得，，因为，， 又最大值为，∴. 的最小正周期为，故A正确； 的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确； 令，则，所以的对称轴为，故C不正确； 时，，在区间上单调递增，故当时，，故D正确， 故选：ABD． 11. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角形大边对大角和正弦定理判断A，利用正弦定理边化角得出角的关系判断B，利用正弦定理求出的值判断C，利用正弦定理可得，再利用余弦定理判断D. 【详解】选项A，在中由大边对大角可知若，则， 又由正弦定理可得，故A说法正确； 选项B，若，则由正弦定理边化角可得， 即，所以或，整理得或， 所以是等腰三角形或直角三角形，B说法错误； 选项C，因为，所以由正弦定理可得， 所以角有两个值，此时符合条件的有两个，C说法正确； 选项D，若，则由正弦定理角化边可得， 所以，即角是钝角，所以是钝角三角形，D说法错误； 故选：BD 三、填空题（共3题，共15分） 12. 已知，，则的值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据正弦以及角的范围，先求出余弦，得到正切，再根据两角和的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，则， 所以. 故答案为：3 13. 已知向量的夹角为，若在方向上的投影向量为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由投影向量的定义, 在方向上的投影向量, 所以. 故答案为：. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，故， 则的面积为， 即即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知向量，. （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模； （2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角. 【小问1详解】 由题知，，， 所以， 所以. 【小问2详解】 由题知，，， 设向量与向量的夹角为， 所以，即， 解得，因为，所以 所以向量与向量的夹角为. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的最大值，并求此时的值． 【答案】（1） （2）时，函数最大，最大值为. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，由此得到的值，即可求出函数的最小正周期； （2）由的范围即可求出的取值范围，从而得到函数的最大值，并求出对应的的值. 【小问1详解】 ， ， ， ∴，∴最小正周期. 【小问2详解】 当时，， ∴当时，即时，函数最大，最大值为. 17. 已知在中，． （1）求的大小； （2）若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）利用余弦定理求出，再由及面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理得， 即，解得. 为角的角平分线，， ∵， ∴， ∴，得. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式； （2）利用图象变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间. 【小问1详解】 由图形可知，，得 过点，，即， ， 函数的解析式 【小问2详解】 将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍， 得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度， 得到的图象， 即， 由，得 所以的对称中心为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得 ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市第六中学2024-2025学年第二学期高一级期中检测 数学 命题人：麦剑辉 审核人：蒙庆爱 一、单选题（共8题，共40分） 1. 下列关于向量说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 所有的单位向量都相等 C. 若，，则 D. 若，则或 2. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（ ） A. 45° B. 105°或15° C. 15° D. 135°或45° 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 5. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 7. 如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（ ） A. 60 B. C. 30 D. 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 二、多选题（共3题，共18分） 9. 如图，在正六边形中，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量与向量是平行向量 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像可由的图象向左平移个单位得到 C. 的对称轴为 D. 在区间上的最大值为 11. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 三、填空题（共3题，共15分） 12. 已知，，则的值为__________. 13. 已知向量的夹角为，若在方向上的投影向量为，则_____． 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知向量，. （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的最大值，并求此时的值． 17. 已知在中，． （1）求的大小； （2）若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $