数学（含PDF，可直接打印）-2025年高考考前最后一课

学科网（北京）股份有限公司 目 录  致2025年高考学子的一封信：以坚韧为笔，书写青春答卷 - 3 -  1.集合与常用逻辑用语★★★★★ - 4 - 2.复数★★★★★ - 6 - 3.基本初等函数★★★★★ - 8 - 4.导数★★★★★ - 12 - 5.平面向量★★★★★ - 15 - 6.三角函数★★★★★ - 18 - 7.数列★★★★★ - 22 - 8.立体几何★★★★★ - 25 - 9.直线和圆★★★★★ - 32 - 10.圆锥曲线★★★★★ - 35 - 11.计数原理★★★★★ - 40 - 12.概率小题★★★ - 42 - 13.统计★★★★ - 46 -  1.新高考数学五年考点热度大揭秘 - 50 - 2.新高考又热起来的表面积和体积 - 54 - 3.新高考函数压轴---抽象函数 - 59 - 4.折展乾坤，向量破题---立体几何经典解答题 - 63 - 5.今年的19题还是新定义创新问题吗？ - 77 - 6.高考前的终极拷问：2025年考生必看！（8大必考板块150个易错问点！★） - 82 -  1.高考倒计时30天，还能干点啥提升自己呢？ - 106 - 2.高考数学核心考点解题方法与策略 - 111 - 3.高考数学临场解题策略 - 117 - 4.新高考数学多项选择题的解题策略与技巧 - 121 - 5.高考数学阅卷和答题卡确注意事项 - 126 - 6.解答题解题模型 - 130 -   考前注意篇 1.考前考生需要做哪些准备 - 133 - 2.高考前一天需要做哪些准备 - 135 -  考场注意篇 1.高考遇到不会的题怎么办？ - 136 - 2.如何克服丢失不该丢的分 - 138 -  考后注意篇 1.高考结束后要注意什么？ - 140 - 2.高考志愿填报十大铁律 - 141 -  2025年新高考数学终极押题卷（试卷） - 143 - 2025年新高考数学终极押题卷（答案） - 148 - · · 致2025年高考学子的一封信：以坚韧为笔，书写青春答卷 亲爱的同学们： 寒窗数载，今朝砺剑；山海远阔，未来可期。在你们即将踏上高考战场的时刻，请收下这份饱含期许的祝福，愿你们以知识与信念为翼，飞向理想的星辰大海。 以“三基”为剑，破题海迷障 “基础不牢，地动山摇。”正如备考研究强调的“深化基础性考查”，高考从不是偏题怪题的竞技场，而是扎实功底与核心素养的试金石。 筑牢知识根基：回归教材例题，梳理定理本质，如立体几何中“垂直关系”的桥梁作用，需通过思维导图构建体系，方能以不变应万变。 规范为舟，精准为桨：谨记“答题过程的规范性”，每个步骤都是得分点；如证明题中“无线面垂直则扣两分”，唯有严谨逻辑，方显思维光芒。 通性通法胜技巧：少一些机械刷题，多一分深度学习，正如压轴题常考的数列与导数，重在理解通法而非套路，做到“一题一悟，触类旁通”。 以思维为帆，驭创新风浪 “运算能力决定下限，思维能力决定上限。”新高考命题趋势倡导“多思少算”，需将数学抽象、逻辑推理化为破局利器。 跳出题海，激活思维：如函数与不等式交融题，需从几何意义或构造模型切入，而非硬算；立体几何动态问题，可用向量法与纯几何分析双路径突破。 创新题不惧，本质为盾：若遇“新定义试题”，如“可分数列”，请冷静拆解题干，将陌生情境转化为熟悉模型，以“转化与化归”思想拨云见日。 以心态为甲，守初心热望 高考是一场知识与心态的双重较量。考前需： 合理规划，张弛有度：45分钟攻克选填，中档题稳扎稳打，压轴题“分段抢分”，终场前15分钟回头检视，不留空白。 不畏失误，轻装上阵：易错点提醒的“逻辑链混乱”“坐标建系不当”，皆可成为考前自查清单；考场上若遇阻滞，果断标记跳题，留得青山方能薪火相传。 以青春为名，赴理想之约 “教育的本质是生长，而非模仿。”高考不是终点，而是探索真理的起点。无论结果如何，你们已在数学的对称之美、逻辑之妙中，锤炼出理性思辨的智慧与直面挑战的勇气。 愿你们合上笔盖的刹那，有侠客收剑入鞘的骄傲；愿你们拆开录取信的瞬间，有星辰大海扑面而来的壮阔。2025的盛夏，注定因你们的拼搏而璀璨！ 谨祝： 笔下生花，圆梦今夏！ 一位与你并肩的助考者 2025年6月 · · 1.集合与常用逻辑用语★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 1 1 并集的概念及运算 20202 1 1 交集的概念及运算； 20211 1 1 交集的概念及运算； 20212 1 2 交集的概念及运算；补集的概念及运算； 20221 1 1 交集的概念及运算； 20222 1 1 交集的概念及运算；公式法解绝对值不等式； 20231 2 1 交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式； 7 充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列； 求等差数列前n项和； 20232 1 2 根据集合的包含关系求参数； 20241 1 1 交集的概念及运算；由幂函数的单调性解不等式 20242 1 2 判断命题的真假；全称命题的否定及其真假判断； 特称命题的否定及其真假判断 此考点在每年的考试中均占据重要地位，第一题的掌握尤为关键。从考查内容来看，主要涉及交并补运算，并常与解不等式等知识点相结合。虽然新定义的运算也可能出现，但其难度通常不高。综合历年经验，预计命题小组对集合部分的考题进行大幅度调整的可能性较小。因此，考生应重点掌握交并补运算的基础知识，并熟悉其与其他知识点的交汇点，以确保在考试中能够稳定得分。此外，排除法（特殊法）也是解决此类问题的优选方法。 常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x还是y。“充要条件”的判断要先区分清楚条件和结论，充分性“条件⇒结论”，必要性“结论⇒条件”。要注意“三角与充要条件”结合的考题 2025年高考预测： 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 3．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设可得，故 4．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，则. 5．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4. 6．设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：. 7．已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 8．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是． 9． “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数，例如当时，.所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件. 10．已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，若，则或，不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件. · 2.复数★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 1 2 复数的基本概念及除法计算； 20202 1 2 复数代数形式的乘法运算； 20211 1 2 复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算； 20212 1 1 在各象限内点对应复数的特征；复数的除法运算； 20221 1 2 共轭复数的概念及计算； 20222 1 2 复数代数形式的乘法运算； 20231 1 2 复数的除法运算；共轭复数的概念及计算； 20232 1 1 在各象限内点对应复数的特征；复数代数形式的乘法运算； 20241 1 2 复数的乘方；复数的除法运算 20242 1 1 求复数的模 每年一题，稳得不得了，我觉得这也是送分题之一，但九省联考，不再是以选择题的方式来考，而是放在了填空题的位置。说明考试题型有可能会变，但我认为不管怎么变，这仍然是一道送分题，大家要细心，确保拿下。考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.无法直接计算时可以先设z=a+bi。 重要提示：不管考察的是什么问题，一定要先把复数转化为标准模式z=a+bi！ 二、2025年高考预测： 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，. 3．若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题设有，故，故 4．在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限. 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 6．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，由共轭复数的定义可知，. 7．已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】, 由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等， 得,即 8．已知复数（其中为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故. 9．复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以复数的虚部为. 10．（多选题）已知复数均不为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】设、； 对A：设，则， ，故A错误； 对B： ，又，即有，故B正确； 对C：，则， ，，则， 即有，故C正确； 对D： ， ， 故，故D正确. · 3.基本初等函数★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 3 8 函数奇偶性的应用；根据函数的单调性解不等式 6 对数的运算性质的应用；指数函数模型的应用（2）；利用给定函数模型解决实际问题 12 对数的运算；利用随机变量分布列的性质解题 20202 2 7 对数型复合函数的单调性； 8 函数奇偶性的应用；根据函数的单调性解不等式； 20211 2 7 求过一点的切线方程；利用导数研究函数图象及性质； 13 由奇偶性求参数； 20212 4 7 比较对数式的大小； 8 函数奇偶性的应用；函数的周期性的定义与求解； 14 函数奇偶性的定义与判断；基本初等函数的导数公式； 16 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；直线的点斜式方程及辨析； 20221 3 7 比较指数幂的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性；比较对数式的大小； 10 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点；求极值点； 12 抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系； 20222 2 8 函数奇偶性的应用；由抽象函数的周期性求函数值； 9 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心； 利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性； 20231 4 4 根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性； 已知二次函数单调区间求参数值或范围； 10 对数的运算性质的应用；对数函数模型的应用（2）；由对数函数的单调性解不等式； 11 函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析； 15 根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用； 20232 3 4 函数奇偶性的应用；由奇偶性求参数； 6 由函数的单调区间求参数； 11 根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数； 20241 5 1 交集的概念及运算；由幂函数的单调性解不等式 6 判断指数函数的单调性；研究对数函数的单调性；根据分段函数的单调性求参数 7 正弦函数图象的应用；求函数零点或方程根的个数 8 求函数值；比较函数值的大小关系 13 已知切线（斜率）求参数；两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 20242 3 6 函数奇偶性的定义、判断及应用；根据函数零点的个数求参数范围；求余弦（型）函数的奇偶性 8 由对数函数的单调性解不等式；函数不等式恒成立问题 9 求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求函数零点或方程根的个数 牢记周期性和对称性的结论；注意单调性和奇偶性的关系；学会用特殊点巧解；隐藏性质：奇函数在原点处有定义时，；常见奇偶函数的特殊形式（总结过的）；比较大小单调性和中间变量相结合，构造函数是底线。图像选择四部曲：定义域奇偶性特殊点单调性（求导数），特殊点最关键。 二、2025年高考预测： 1．下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，A不是；对于B，函数在R上单调递增，B是； 对于C，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，C不是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 2．已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】∵，∴ 3．已知函数，若函数与的图像有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数与的图像有三个交点，所以， 当时，方程必然成立，当时，分离参数可得，则与有两个交点，若，则，若，则，如图所示，    结合图像，要与有两个交点，需满足. 4．已知函数，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，的图像关于直线对称，且在上单调递减， 又，且，即； 且，即， 由函数的对称性知， 又， 故，即 5．大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 6．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，，，， 又函数对称轴为， 在同一平面直角坐标系中画出与的图像， 因为方程有四个不同的解，，，，且， 即与有四个交点，所以， 由图可知， 又，关于对称，即， 又，且， 即，则， 所以，则； 所以， 令，， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 又，，所以，即． 7．（多选）已知实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，D，，满足，此时，，故A，D错误.（判断一个结论错误时，举反例即可）对于B，，，得，故B正确. 对于C，由得，又，所以，故C正确. 8．（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D．当最小时， 【答案】BCD 【详解】对于A中，当时，，所以A错误； 对于B中，由，可得，所以B正确； 对于C中，因为，所以， 又因为，所以等号不成立，，所以C正确； 对于D中，由的最小值，即为数轴到和的距离之和最小， 当且仅当时最小，此时，所以D正确. 9．已知是奇函数，则实数 ． 【答案】2 【详解】由题意得，所以，解得． 10．已知有实数解，求的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以有实数解， 令，则， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，，当时，，所以，则的最大值是. · 4.导数★★★★★ 一、近五年考情分析： 考察热点 热度（2020-2024） 典型题型及特点 切线问题 ★★★★★ 求曲线在某点处的切线方程 三次函数性质 ★★★★☆ 分析极值点、零点、对称性 含参不等式恒成立 ★★★★☆ 参数范围求解 函数单调性与极值 ★★★★☆ 利用导数判断单调性、求极值 比较大小（构造函数） ★★★☆☆ 通过导数比较对数/指数式大小 抽象函数与导数综合 ★★★☆☆ 结合奇偶性、周期性等性质 零点存在性问题 ★★☆☆☆ 证明或判断零点个数 数学文化背景下的导数应用 ★★☆☆☆ 结合斐波那契数列等背景 这几年的新高考试卷中，导数出现在小题已经是一种常态，而且一出就是两题或者更多，有单独成题，也有出现在多选题中的一个选项。考察的面很广，初等函数求导、简单复合函数的求导、切线方程、单调性、极值点、零点等都有考察。其中重点考察了切线方程，利用导数研究函数的单调性。 二、2025年高考预测： 1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得在上恒成立，则，因为，则. 2．设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（    ）    A．B．C． D． 【答案】D 【详解】由的图像可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图像是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B 3．已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的定义域为，且是奇函数， 则，即，解得， 于是，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线的方程为：，即. 4．已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】因为，则， 令，则，所以在上单调递增. ， 所以“”是“”的充分不必要条件 5．已知实数a，b，c满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以， 又当时，，当，， 由此作出函数的大致图像如图所示， 因为且， 则由图可知， 所以. 6．已知函数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．e C． D． 【答案】A 【详解】由，得，化简整理得， 因为g（x）的值域，f（x），g（x）的定义域均为R，所以的取值范围也是R， 令，令，解得. 当时，，即h（x）在（-∞，0）上单调递减； 当时，，即（x）在（0，+∞）上单调递增； 所以，故 7．（多选）已知命题“，”为真命题，则实数m的可能取值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】AB 【详解】因为命题“，”为真命题，所以，， 令，，则， 可知为增函数，当时，有最小值， 故实数m的取值范围为 8．（多选）已知函数的极值点分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．过仅能做曲线的一条切线 【答案】ACD 【详解】，， 因为函数的极值点分别为， 所以有两个不相等的实数根，所以，故A正确. 对选项B，因为，所以， 令，则，， 所以，，为增函数， ，，为减函数， ，，为增函数， 所以，为函数的极值点. 所以，故B错误. 对选项C，， 化简得：，解得，故C正确. 对选项D，设切点为，，切线过， 所以，即，解得， 所以过仅能做曲线的一条切线，故D正确. 9．曲线在处的切线的方程为 . 【答案】 【详解】，∴，因此切线的斜率为； 又，∴f(x)在处的切线方程为，即． 10．已知函数与，若曲线和恰有一个公切点，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】，. 设公切点为，则，， 即. 因此， 其中， 因为，所以为第一象限的角； 不妨设，因为，所以， 当且仅当时，取到最大值， 所以的最大值是，且有唯一解. · 5.平面向量★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 1 7 用定义求向量的数量积 20202 1 3 向量加法的法则；向量减法的法则； 20211 1 10 逆用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式； 数量积的坐标表示；坐标计算向量的模； 20212 1 15 数量积的运算律； 20221 1 3 用基底表示向量； 20222 2 4 平面向量线性运算的坐标表示；向量夹角的坐标表示； 10 数量积的坐标表示；已知两点求斜率；抛物线定义的理解；求直线与抛物线的交点坐标； 20231 1 3 平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示；利用向量垂直求参数； 20232 2 13 数量积的运算律； 17 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；数量积的运算律； 20241 1 3 平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示 20242 2 3 数量积的运算律；已知数量积求模；垂直关系的向量表示 19 由递推关系证明等比数列；求直线与双曲线的交点坐标；向量夹角的坐标表示 向量每年一题或两题，单选题4题，多选题2题，填空题2题，解答题1题，覆盖了所有的题型。考察的比较基础,难度不大,很少与其他知识交汇,重点考查向量的基本运算。数量积问题有坐标按照坐标算，没有坐标按照模运算；可以建系的建系（直角三角形、等腰、等边、矩形、正方形、直角梯形等）、投影向量问题考的可能性不大. 几何运算注意利用三角形法则和平行四边形法则转化（注意用好作图法）；单位向量要看清，模为1；向量夹角为锐角，数量积大于0且向量不能同向（夹角为0）；向量夹角为钝角，数量积小于0且不能反向（夹角为π）；两个向量不共线才可以作为基底；多个向量和差带模先平方后开方. 二、2025年高考预测： 1．已知，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，所以，解得. 2．已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为，所以. 3．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得：. A：因为，所以本选项不符合题意； B：因为，所以本选项不符合题意； C：因为，所以本选项不符合题意； D：因为，所以本选项符合题意. 4．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，，得，则，．故选C． 5．已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，为单位向量，由， 所以，即， 设与夹角为，则， 又，所以 6．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，而， 所以. 7．已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确 8．已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】,,即,解得 9．在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 10．设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. · 6.三角函数★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 3 10 由图象确定正（余）弦型函数解析式 15 三角函数在生活中的应用 17 正弦定理解三角形；余弦定理解三角形 20202 3 11 由图象确定正（余）弦型函数解析式； 16 三角函数在生活中的应用； 17 正弦定理解三角形；余弦定理解三角形； 20211 4 4 求sinx型三角函数的单调性； 6 正、余弦齐次式的计算；二倍角的正弦公式；给值求值型问题； 10 逆用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式； 19 正弦定理边角互化的应用；几何图形中的计算； 20212 1 18 正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形； 20221 2 6 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）； 18 正弦定理边角互化的应用；基本不等式求和的最小值； 20222 3 6 用和、差角的余弦公式化简、求值； 9 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心； 利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性； 18 正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形； 20231 4 6 给值求值型问题；余弦定理解三角形；已知点到直线距离求参数；切线长； 8 用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；给值求值型问题； 15 根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用； 17 用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用； 20232 3 7 半角公式；二倍角的余弦公式； 16 特殊角的三角函数值；由图象确定正（余）弦型函数解析式； 17 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；数量积的运算律； 20241 3 4 三角函数的化简、求值—同角三角函数基本关系；用和、差角的余弦公式化简、求值 7 正弦函数图象的应用；求函数零点或方程根的个数 15 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦；正（余）弦定理解三角形；面积公式； 20242 4 6 函数奇偶性的定义与判断；函数奇偶性的应用；根据函数零点的个数求参数范围；求余弦（型）函数的奇偶性 9 求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求函数零点或方程根的个数 13 用和、差角的正切公式化简、求值 15 辅助角公式；正弦定理解三角形；正弦定理边角互化的应用 三角函数的定义式:会巧妙利用定义求解 sin、cos、tan,特别要注意正负;熟练诱导公式、两角和与差公式、倍角公式、辅助角公式,符号问题太重要;牢记 sin、cos、tan 的图像性质;注意利用整体思想解决问题。出现等的时候记着用诱导公式,其他角的形式用两角和与差公式展开或合并;用降幂公式的较多;巧妙选择倍角公式进行凑角和转化;巧妙选择两角和与差公式进行凑角和转化。 余弦定理、正弦定理、面积公式要熟记；对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角互化，如果是化成角的话，下一步按三角→两角→一角进行；如果转化成边，就努力往余弦定理靠。如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路。三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇。 二、2025年高考预测： 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，. 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 3．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故，又，所以. 4．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图像，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图像，根据已知得到了函数的图像，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图像， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像，即为的图像，所以. 5．设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即，且，所以. 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，， 所以 8．在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故. 9．的内角的对边分别为.若，则的面积为 . 【答案】 【详解】由余弦定理得，所以，即 解得（舍去），所以， 10．已知函数的部分图像如图所示，则 . 【答案】 【详解】由题意可得：， 当时，， 令可得：， 据此有：. · 7.数列★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 2 14 求等差数列前n项和 18 求等比数列前n项和 2020 2 15 求等差数列前n项和； 18 写出等比数列的通项公式；求等比数列前n项和； 20211 2 16 错位相减法求和；数与式中的归纳推理； 17 由递推数列研究数列的有关性质；求等差数列前n项和；利用定义求等差数列通项公式； 20212 2 12 求等比数列前n项和；数列新定义； 17 等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和；解不含参数的一元二次不等式； 20221 1 17 裂项相消法求和；累乘法求数列通项；利用an与sn关系求通项或项； 利用等差数列通项公式求数列中的项； 20222 3 3 等差数列通项公式的基本量计算；已知斜率求参数； 17 等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算； 数列不等式能成立（有解）问题； 22 利用导数研究不等式恒成立问题；裂项相消法求和；含参分类讨论求函数的单调区间； 20231 2 7 充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前n项和； 20 等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前n项和的基本量计算； 20232 2 8 等比数列前n项和的基本量计算；等比数列片段和性质及应用； 18 利用定义求等差数列通项公式；等差数列通项公式的基本量计算； 求等差数列前n项和；分组（并项）法求和； 20241 1 19 等差数列通项公式的基本量计算；数列新定义 20242 2 12 等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和 19 由递推关系证明等比数列；求直线与双曲线的交点坐标；向量夹角的坐标表示 等差等比用通项公式和前n项公式，等比问题学会作比值化简；累加法、累乘法、构造法求通项，裂项相消、错位相减、分组求和求前n项和要掌握类型特点。 特别注意Sn和an的关系, ,两个方向都可以转化;分组求和、裂项相消法和错位相减法要看清通项的形式;等基本量的求解很重要,多解问题要多次验证进行取舍。 二、2025年高考预测： 1．等比数列满足，，则（   ） A．30 B．62 C．126 D．254 【答案】C 【详解】由题意知，设等比数列的公比为，则，得，所以，所以. 2．设等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】因为，由等差数列的性质和求和公式得，即， 则. 3．记为非零数列的前项和，若，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】，则.即. ,， .故. 4．若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，所以， 解得，所以， 所以，所以， 所以， 所以数列的前4项的和的值为. 5．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．75 B．78 C．81 D．84 【答案】C 【详解】因为，，所以，解得，， 因此． 6．记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，又，等差数列的公差； 对于A，，，，符号不确定，则符号不确定，A错误；对于B，符号不确定，，符号不确定，B错误； 对于C，，又符号不确定，大小不确定，C错误； 对于D，， 7．（多选）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（    ） A．= B．当n = 6或7时，取得最小值 C．数列的前10项和为50 D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数． 【答案】ACD 【详解】对于A，等差数列中，，公差，则，，故A正确； 对于B，由A的结论，，则，由d = −2当时，，，当时，，则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误； 对于C,,故C正确， 对于D，由，则， 则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为： ，，，，，， 可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则， 若，解可得，即两个数列共有671项互为相反数，D正确． 8．（多选）已知等差数列与等比数列的前项和分别为，则下列结论中正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．可能为 C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 【答案】ABD 【详解】由题设为定值，则且为定值，A对； 若是首项为1，公比为2的等比数列，则，B对； 对于数列，时无意义，故不可能为等差数列，C错； 若的公比为，则是首项为，公比为的等比数列，D对. 9．在正项等比数列中，，，则 ． 【答案】24 【详解】因为为等比数列，则，且，所以. 10．函数，若成等比数列且，则值域为 . 【答案】 【详解】由已知得，，由a，b，c成等比数列，则，， 所以有最大值，为， 所以值域为. · 8.立体几何★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 3 4 球的截面的性质及计算 16 球的截面的性质及计算 20 线面角的向量求法 20202 3 4 球的截面的性质及计算； 13 锥体体积的有关计算； 20 证明线面垂直；线面角的向量求法； 20211 3 3 圆锥中截面的有关计算； 12 求空间向量的数量积；空间向量的坐标表示； 20 锥体体积的有关计算；线面垂直证明线线垂直； 面面垂直证线面垂直；由二面角大小求线段长度或距离； 20212 4 4 球的表面积的有关计算； 5 棱台的结构特征和分类；台体体积的有关计算； 10 求异面直线所成的角；证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直； 19 证明面面垂直；面面角的向量求法； 20221 4 4 台体体积的有关计算； 8 由导数求函数的最值（不含参）；锥体体积的有关计算； 球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题； 9 求异面直线所成的角；求线面角； 19 求点面距离；面面角的向量求法； 20222 3 7 球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题； 11 锥体体积的有关计算；证明线面垂直； 20 证明线面平行；面面角的向量求法； 20231 3 12 正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问题； 14 台体体积的有关计算 18 空间位置关系的向量证明；面面角的向量求法；已知面面角求其他量； 20232 3 9 圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；二面角的概念及辨析；由二面角大小求线段长度或距离； 14 正棱台及其有关计算；锥体体积的有关计算；台体体积的有关计算； 20 证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法； 20241 2 5 圆柱表面积的有关计算；圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算 17 证明线面平行；证明面面垂直；由二面角大小求线段长度或距离 20242 2 7 锥体体积的有关计算；台体体积的有关计算；求线面角 17 证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直；求平面的法向量；面面角的向量求法 新课标卷的小题主要集中在几何体的表面积和体积问题上，这一点是明确且不容忽视的。对于考生而言，必须对此给予特别的关注。深入理解并熟练掌握空间几何体的结构特征是解答这类问题的关键，这包括能够准确计算长度、表面积和体积等。在实践中，常采用的方法包括分割法、补体法，还台为锥法以及等积变换法等，这些方法在处理不规则几何体体积计算时尤为有效。 此外，球与几何体的切接问题也是高考中的重要考点，通常作为客观题中的难点出现。这类问题主要考察几何体的外接球，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力。在选择题和填空题中，图形通常不会直接给出，这就要求考生不仅要具备解题所需的数学技能，还需要有读题画图的能力。 总的来说，对于空间几何体的表面积和体积问题，考生需要深入理解其结构特征，掌握相关计算方法，并具备空间想象能力和精确的计算技巧，才能顺利应对各种考查。 二、2025年高考预测： 一、单选题 1．下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线 【答案】D 【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误； 由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误； 两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误； 由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确． 2．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以AB、AD、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，则 因为 所以异面直线与所成角的余弦值为. 3．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【答案】C 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，， 则，所以，故A正确； 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 若与平行，则存在唯一实数使得， 所以，无解，所以与不平行，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以平面，故D正确. 4．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设卫星乙的运行轨道半径为，因为，且，所以， 设地球的球心为，则，当且仅当与共线且位于两侧时取得等号， 5．三棱锥中，平面，．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（    ） A． B． C．18 D．36 【答案】C 【详解】因为平面，平面，所以，， 故， 因为，所以，故， 则该三棱锥的最长的棱为，故，最短的棱为或， 当最短的棱为，即时， 由勾股定理得， 故，故， 当且仅当时，等号成立， 故三棱锥体积为， 当最短的棱为，即时， 设，则，则， 故， 三棱锥体积为， 当且仅当，即时，等号成立， 当最短的棱为，即时， 设，则，则， 故， 三棱锥体积为， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，该三棱锥的最大体积为18. 6．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在三棱锥中，如图，，则，同理， 而平面，因此平面， 在等腰中，，则，， 令的外接圆圆心为，则平面，， 有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即， 从而，四边形为平行四边形，，又， 因此球O的半径， 所以球的表面积. 7．（多选）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（    ） A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 【答案】AC 【详解】设图1中水的高度，几何体的高为，底面正方形的边长为； 则图2中水的体积为，即，解得， 所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误． 对于A，往容器内再注入升水，水面将升高，则，容器恰好能装满，A正确； 对于C，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，占容器内空间的一半， 所以水面也恰好经过点，C正确； 对于D，任意摆放该容器，当水面静止时，点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，所以水面都恰好经过点，D正确． 对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为， 可得，由，可得，可得， 所以的体积为， 可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确. 8．（多选）在三棱锥中，与均是边长为2的正三角形，为的中点．若，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的表面积为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意得， 阿，故A错误； 对于B，因为与均是边长为2的正三角形，为的中点， 所以， 又平面，所以平面， 过点作交的延长线于点， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 则点到平面的距离为， 所以三棱体的体积为，故B正确； 对于C，在中，点到的距离为， 所以三棱体的表面积为，故C正确； 对于D，因为，且， ，，， 所以 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确．    9．如图，在矩形中，，点为线段的中点.沿直线将翻折，点运动到点的位置.当平面与平面所成角为时，三棱锥的体积为 .    【答案】 【详解】 如图，取的中点，连接，与交于点. 由翻折前后的不变性可知，.由已知，四边形为正方形，则 所以（或其补角）为平面与平面所成角的平面角，故或； 由于平面,所以平面，平面， 故平面平面，即在平面上的射影在直线上（点在线段或上均可）. 由题意可知，在Rt中，，则 ，又，则. 10．降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）．气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表： 日降雨量 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为 ． 参考公式：圆台的体积，其中h为圆台的高，，分别为圆台的上底面、下底面的面积． 【答案】大雨 【详解】由题意知，水桶的上底面半径为，下底面半径为，桶深为， 则水面半径为，水深为， 所以水桶水中的体积为， 得当日降雨量为，所以当日的降雨量等级为大雨. · 9.直线和圆★★★★★ 一、近五年考情分析： 热点内容 热度 典型考查方式 直线与圆的位置关系 ★★★★★ 切线性质、弦长计算、距离公式应用 圆的方程与几何性质 ★★★★☆ 求圆的方程、圆心与半径、对称性 距离公式与最值问题 ★★★★ 点到直线距离、圆上点与直线距离的最值 直线斜率和倾斜角 ★★★☆ 斜率公式、倾斜角范围、两直线平行/垂直条件 对称问题 ★★★ 圆或直线关于直线对称、反射问题 代数与几何的综合应用 ★★★ 结合向量、不等式或函数最值问题 创新情境（文化/生活） ★★☆ 以实际背景（如建筑、物理）为载体的直线与圆问题 直线的考察基本上没有单独成题，而是作为一个条件或者一个选项出现在某一道题当中。我们熟悉掌握基本知识即可。直线与圆的位置关系这几年出现的次数显著增加，值得我们重视。直线与圆相交的弦长问题要结合点线距离和勾股定理（垂径定理）。 二、2025年高考预测： 1．已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】直线的斜率为，所以，解得. 2．已知直线和圆，那么圆心到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆心为，故圆心到直线的距离是. 3．已知直线，圆，则“与有公共点”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】圆，即，圆心为，半径， 若与有公共点，则，解得， 所以由“与有公共点”推不出“”，故充分性不成立； 由推得出与有公共点，故必要性成立； 所以“与有公共点”是“”的必要不充分条件. 4．已知圆，直线与圆C（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】D 【详解】根据题意，直线的方程为，恒过定点， 设为，又由圆，即， 其圆心为，半径，由，则在圆上， 则直线与圆相交或相切. 5．若点在圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得； 由点在圆的外部可知：，得. 故. 6．已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，直线的斜率为． 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 即当直线的斜率取最大值时，，所以，故． 7．（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线始终过定点 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A正确；对于B，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，，当时，所以直线恒过，故D正确. 8．（多选）若实数x，y满足，则下列说法正确的是（    ） A．x的最小值是4 B．x的最大值是20 C．若关于y的方程有一解，则x的取值范围为 D．若关于y的方程有两解，则x的取值范围为 【答案】BD 【详解】当时，解得，符合题意；当时，令，则，又，则，即，则原方程可化为．设，，，则的图像是斜率为的直线的一部分，的图像是以原点为圆心，半径为的四分之一圆，则问题等价于的图象和的图像有公共点，观察图形可知， 当直线与圆相切时，由，解得；当直线过点时，，解得；当直线过点时，，解得．因此，要使直线与圆有公共点，则有，综上，，故x的最大值为20，最小值为0．显然当或或时，y有一解；当时，y有两解． 9．若直线的一个方向向量，则的倾斜角等于 . 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，则，，则. 10．设直线和圆相交于，  两点，若，则 . 【答案】 【详解】方法一：    如图所示，由已知，即， 可得，半径， 又，所以，即为等腰直角三角形， 所以圆心到直线得距离， 即，解得； 方法二：设，， 又，在直线上，则， 由，即， 可得，联立圆与直线方程，得， ，即或， 且，， 又，，且， 则， 即，解得 · 10.圆锥曲线★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 3 9 二元二次方程表示的曲线与圆的关系；判断方程是否表示椭圆；双曲线定义的理解 13 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 22 根据椭圆过的点求标准方程；椭圆中存在定点满足某条件问题；椭圆中的定值问题 20202 3 10 二元二次方程表示的曲线与圆的关系；判断方程是否表示椭圆；双曲线定义的理解； 14 求直线与抛物线相交所得弦的弦长； 21 根据椭圆过的点求标准方程；求椭圆的切线方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；求椭圆中的最值问题； 20211 4 5 基本不等式求积的最大值；椭圆定义及辨析； 11 切线长；直线与圆的位置关系求距离的最值； 14 根据抛物线方程求焦点或准线；根据抛物线上的点求标准方程； 21 求双曲线的轨迹方程；双曲线中的定值问题； 20212 5 3 已知点到直线距离求参数；根据抛物线方程求焦点或准线； 11 点与圆的位置关系求参数；判断直线与圆的位置关系； 13 由双曲线的离心率求参数的取值范围；根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程； 16 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；直线的点斜式方程及辨析； 20 根据离心率求椭圆的标准方程；求弦长；椭圆中的直线过定点问题；根据弦长求参数； 20221 4 11 根据抛物线方程求焦点或准线；判断直线与抛物线的位置关系；求弦长； 14 判断圆与圆的位置关系；圆的公切线方程； 16 椭圆中焦点三角形的周长问题；根据离心率求椭圆的标准方程； 21 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题；根据韦达定理求参数； 20222 5 3 等差数列通项公式的基本量计算；已知斜率求参数； 10 数量积的坐标表示；已知两点求斜率；抛物线定义的理解；求直线与抛物线的交点坐标； 15 求点关于直线的对称点；直线关于直线对称问题；由直线与圆的位置关系求参数； 16 根据弦长求参数；由弦中点求弦方程或斜率； 21 根据双曲线的渐近线求标准方程；求双曲线中的弦长； 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数；根据韦达定理求参数； 20231 3 5 求椭圆的离心率或离心率的取值范围；由椭圆的离心率求参数的取值范围； 16 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围； 22 由导数求函数的最值（不含参）；基本（均值）不等式的应用；求平面轨迹方程； 求直线与抛物线相交所得弦的弦长； 20232 3 5 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；椭圆中三角形（四边形）的面积； 求椭圆中的参数及范围； 10 抛物线定义的理解；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程；求直线与抛物线的交点坐标； 与抛物线焦点弦有关的几何性质； 21 直线的点斜式方程及辨析；根据a、b、c求双曲线的标准方程；双曲线中的动点在定直线上问题； 20241 3 11 由方程研究曲线的性质；求平面轨迹方程 12 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 16 根据椭圆过的点求标准方程；求椭圆的离心率或离心率的取值范围； 椭圆中三角形（四边形）的面积；根据韦达定理求参数 20242 3 5 求平面轨迹方程；轨迹问题——椭圆 10 切线长；根据抛物线方程求焦点或准线；直线与抛物线交点相关问题 19 由递推关系证明等比数列；求直线与双曲线的交点坐标；向量夹角的坐标表示 抓牢定义与几何性质，强化直线与曲线联立，数形结合很重要。椭圆的定义、标准方程、通径、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法。 二、2025年高考预测： 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为. 2．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程可知，，所以，椭圆的离心率. 3．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得，故实数的取值范围是. 4．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得渐近线的斜率满足， 所以离心率. 5．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立． 6．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的焦点弦公式为：，由抛物线方程可得：，则弦的长为. 7．（多选）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程为 B．焦点坐标 C．点的坐标为 D．的长为3 【答案】BC 【详解】由抛物线方程为，焦点坐标，准线方程为，A错B对； 直线的斜率为，直线的方程为， 当时，，， ，为垂足， 点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对； 根据抛物线的定义可知，D错. 8．（多选）已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的有（    ） A．当时，的周长为 B．若的中点为，则（为坐标原点，与不重合） C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若的最小值为，则椭圆的离心率 【答案】ABD 【详解】因为弦过椭圆的左焦点，所以的周长为，所以A正确； 设，，则，有，，所以， 由作差得：，所以， 则有，所以B正确； 设，，， 所以， 则有，可得，所以C错误； 由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为，则有，即，解得，所以，故D正确． 9．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】因为以原点为中心，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以, 所以． 10．双曲线的左､右焦点分别为､，过的直线与的左､右两支分别交于两点，点在轴上，，平分，则的离心率为 . 【答案】 【详解】由，平分， 得， ，故， 又由，得，不妨设， 根据双曲线定义，得，，故，. ∴，∴ 是等边三角形， 在中，，，，， 由余弦定理可得，解得. · 11.计数原理★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 4 3 排列组合综合 5 容斥原理的应用 12 对数的运算；利用随机变量分布列的性质解题 19 完善列联表 20202 4 5 事件的运算及其含义； 6 分组分配问题； 9 根据折线统计图解决实际问题； 19 完善列联表； 20211 3 8 独立事件的判断； 9 众数、平均数、中位数的比较；计算几个数据的极差、方差、标准差； 18 写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值； 20212 3 6 正态分布的实际应用； 9 计算几个数的众数、中位数、平均数、极差、方差、标准差； 21 利用导数研究方程的根；求离散型随机变量的均值；均值的实际应用； 20221 3 5 实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率； 13 两个二项式乘积展开式的系数问题； 20 独立性检验解决实际问题；计算条件概率； 20222 3 5 元素（位置）有限制的排列问题；相邻问题的排列问题； 13 指定区间的概率； 19 频率分布直方图的实际应用；由频率分布直方图估计平均数； 利用对立事件的概率公式求概率；计算条件概率； 20231 3 9 计算几个数的中位数、平均数、极差、方差、标准差； 13 分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题； 21 求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率； 20232 3 3 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算； 分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题； 12 利用互斥事件的概率公式求概率；独立事件的乘法公式；独立重复试验的概率问题； 19 频率分布直方图的实际应用；总体百分位数的估计； 20241 2 9 指定区间的概率；正态分布的实际应用 14 计算古典概型问题的概率；求离散型随机变量的均值；均值的性质 20242 3 4 计算几个数的中位数、平均数、极差、方差、标准差 14 全排列问题；写出基本事件 18 利用对立事件的概率公式求概率；独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值 排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），注意掌握好基本题型，处理好分配问题，排列问题，以及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多。赋值法不要忘记。 二、2025年高考预测： 1．展开式中第3项的系数是（    ） A．90 B．-90 C．-270 D．270 【答案】A 【详解】展开式的第3项为，故第3项系数为90， 2．某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（    ） A．36种 B．24种 C．18种 D．12种 【答案】C 【详解】当教师甲与2名学生去北京时，分配方案共有（种）； 当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，分配方案共有（种）， 综上，分配方案共有（种）. 3．1至10中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为（    ） A．4 B．12 C．24 D．64 【答案】D 【详解】1至10中的质数有2，3，5，7， 由2，3，5，7组成的没有重复数字的整数可以为一位数、两位数、三位数、四位数， 这4个数字可组成的一位数有（个）， 可组成的没有重复数字的两位数有（个）， 可组成的没有重复数字的三位数有（个）， 可组成的没有重复数字的四位数有（个）， 则1至10中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为． 4．甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻， 则不同排法共有（    ） A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．72 种 【答案】B 【详解】甲乙捆绑在一起看成一个整体，与丙以外的2人全排列，有种， 又因为乙丙不相邻，所以把丙放入一共有3种，所以一共有种 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知 . 6．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（      ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】B 【详解】当按照进行分配时，则有种不同的方案；当按照进行分配，则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案 7．（多选）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256 C．常数项为84 D．有理项有2项 【答案】BC 【详解】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误； 由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等， 所以奇数项的二项式系数和为，故B正确； 展开式的通项为 ，令，解得． 故常数项为，故C正确； 有理项中x的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误． 8．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，则，即，故A正确； 令，则， 令，则， 则，故B正确； ，则，令，则，故C错误； 由两边求导， 得， 令，则，故D正确. 9．若的展开式中的系数为9，则实数 ． 【答案】1 【详解】展开式的通项公式为：，则，，所以展开式中的系数为，解得．（记住我教大家的方法，关键是明确取“a”和“b”的个数。 10．图中平行四边形有 个（用数字作答）. 【答案】90 【详解】由平行四边形有两组对边分别平行相等，所以分别从四条横线中取两条和从六条斜线中取两条即可，即. · 12.概率小题★★★ 一、近五年考情分析： 考查热点 出现频率 典型年份/卷别/题号 核心内容与特点 古典概型 高频 2022全国甲卷文6/理15；2021全国甲卷理3；2024新课标II卷14 基本事件计数、枚举法，常结合排列组合或实际情境（如抽卡、出场顺序等） 条件概率 中高频 2022新高考I卷20；2021新高考II卷21 独立性检验、全概率公式的应用，强调对概率模型的理解与转化 概率与统计综合 中频 2024新课标II卷18；2023全国乙卷理19 结合二项分布、离散型随机变量（如投篮比赛、保险理赔），考查分布列、期望及实际应用 正态分布 中频 2024新课标I卷9；2023新课标II卷13 利用对称性计算概率，结合生活或职业情境（如收入分布、产品质量） 随机事件的概率与性质 低频 2020新高考I卷19；2021全国乙卷理8 事件关系（互斥、独立）、概率加法与乘法公式 几何概型 低频 2020年部分地方卷（如北京卷） 长度、面积比计算，近年逐渐淡化 概率题近年来在数学考试中频繁出现，凸显了概率论的重要性及对学生逻辑思维和问题解决能力的重视。概率题主要涉及古典概型、条件概率、相互独立事件的概率和全概率公式等。古典概型要求确定样本空间和满足条件的事件数，进而计算概率。条件概率涉及在某一事件已发生的条件下，另一事件发生的概率。相互独立事件的概率是指多个事件互不影响，计算时可将各事件概率相乘。全概率公式用于计算某事件在所有可能原因下的总概率，体现概率的加法原理。难度不算大，相信同学们一定能拿得下来. 二、2025年高考预测： 1．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒.则这批米内夹谷约为（    ） A．134石 B．156石 C．169石 D．238石 【答案】C 【详解】因为254粒内夹谷28粒，所以这批米内夹谷的概率为， 所以这批米内夹谷为 2．甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲、乙两人分别从6个出口中选择1个出口有6种不同的选法， 故共有种不同的基本事件，又他们离开的出口编号之和为8的包含的基本事件有共5个，所以他们离开的出口编号之和为8的概率为. 3．设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件“中靶”，事件“击中环数大于5”，事件“击中环数大于1且小于6”，事件“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（    ） A．B与C互斥 B．B与C互为对立 C．A与D互为对立 D．A与D互斥 【答案】A 【详解】对于AB，事件和不可能同时发生，但一次射击中有可能击中环数为1，所以B与C互斥，不对立，所以A正确，B错误，对于CD，事件A与D有可能同时发生，所以A与D既不互斥，也不对立，所以CD错误 4．已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则，相互独立 B．若，相互独立，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A：因为，所以与不独立，故A错误； 对于B：若，相互独立，则，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：若，则，所以，故D正确. 5．江南的周庄、同里、用直、西塘、号镇、南浔古镇，并称为江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴，清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴依软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处，某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，共有种不同的选择方式， 则至少选一个苏州古镇，有种不同的选择方式，所以至少选一个苏州古镇的概率为. 6．某学校高三1班至4班举办研学游活动，有4个地方可供选择，且每班只能去一个地方．设事件“4个班去的地方各不相同”，“1班独自去一个地方”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】班独自去一个地方，则有个地方可选，其余个班只能在班剩下的个地方中选择，可能性为种， 所以班独自去一个地方的情况有种， 因为个班去的地方各不相同的情况有种，所以． 7．（多选）下列命题中正确的是（    ）． A．已知随机变量，则 B．已知随机变量，且，则 C．已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为10.5 【答案】ABD 【详解】对于A，随机变量，，则，故A正确；对于B，随机变量，且，则根据正态分布曲线的对称性可知，故B正确；对于C，依题意，这组数据共8个，从小到大排列为5，6，7，7，8，8，8，9，因为，所以第30百分位数是7，故C错误；对于D，依题意，设5名男生为，5名女生为， 这10名学生的平均成绩， 这100名学生数学成绩的方差，故D正确. 8．（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B．若，，且，则C，D相互独立 C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D．若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20 【答案】BD 【详解】对于A选项，将数据从小到大排列为3，4，6，7，8，9，10，11，共8个数， 则，则上四分位数为，故A错误； 对于B选项，，， 由条件概率公式得，得到， 即C，D相互独立，故B正确；对于C 选项，，， 由对称性可知在的概率等于在的概率的2倍， 当越大，数据越离散，其概率越小，故C错误； 对于D选项，由样本数据，，，，的平均数为4， 得，，，，，4的平均数为4， 由，，，，的平均数为22，得， 因此，，，，，4的方差为， ，，，，，9的方差为，故D正确. 9．某市高三年级男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，随机选择一名本市高三年级的同学，则 ． 【答案】0.5 【详解】由题意得，，所以． 10．已知随机事件满足，则 . 【答案】 【详解】. · 13.统计★★★★ 一、近五年考情分析： 考点 热度 典型题例 用样本估计总体 高频 2024新课标Ⅱ卷4题（中位数、平均数） 概率与统计综合 高频 2021新高考Ⅰ卷8题（概率决策） 正态分布 中高频 2024新课标Ⅰ卷9题（正态分布应用） 古典概型 中频 2022全国甲卷文科15题 条件概率 中频 2022新高考Ⅰ卷20题（指标R分析） 排列组合 中频 2024新课标Ⅱ卷14题（排列组合应用） 二项式定理 低频 2021北京卷/浙江卷 随机变量分布列 低频 2022全国乙卷理科13题 近年来，统计小题在考试中频繁出现，今年再次出现此类题目的概率极高。考察的内容涵盖了多个方面，如频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、中位数、众数、百位数、方差、标准差、散点图、回归分析、独立性检验等。此外，还包括正相关、负相关、完全相关、相关系数、样本中心点以及频率分布直方图和频数分布表中的平均数和中位数等概念。虽然考察的内容较多，但考试难度并不大，主要考查学生对相关考点的基本理解。因此，希望同学们能够充分掌握这些基本概念，以免在考试时因不熟悉基本概念而失分。 二、2025年高考预测： 1．第29届全国摄影艺术展览暨首届厦门影像艺术周在厦门举办，本届作品体现了摄影根植现实洞察思考的魅力，显示出中国摄影人日益拓宽的视野与逐渐深化的实践．某校举行了第29届全国摄影艺术展览的参观活动，并在活动结束后让学生对此次活动进行打分（满分150分），得到如图所示的频率分布折线图，则估计学生对此次活动打分的平均值为（    ）    A．110分 B．109分 C．113分 D．105分 【答案】C 【详解】由频率分布折线图可知，解得． 故估计学生对此次活动打分的平均值为 （分）． 2．某公司研发新产品投入（单位：百万）与该产品的收益（单位：百万）的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（    ） 5 6 8 9 12 16 20 25 28 36 A．与有正相关关系 B．回归直线经过点 C． D．时，残差为0.2 【答案】C 【详解】对于A，由表格可知，越大，越大，所以与有正相关关系，故A正确； 对于B，，， 则样本点中心为，所以经验回归直线经过点，故B正确； 对于C，将样本点中心代入直线方程，得，所以，故C错误； 对于D，，当时，， 则残差为，故D正确. 3．某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：），绘制了下面频率分布直方图.根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为，标准差分别为，则于（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】根据频率分布直方图可知， ， ，所以，. 4．为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第70百分位数为（    ）    A．89.09 B．86.52 C．84.55 D．81.32 【答案】C 【详解】由题意得，解得， 因为前4组数据的频率之和为， 前5组数据的频率之和为， 则分位数在内，设分位数为x， 则，解得，所以分位数约为． 5．假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 上式是关于的二次函数，因此要使取得最小值，当且仅当的取值为. 6．某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时）， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为：. 7．（多选）下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为（    ） A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】BCD 【详解】可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为平均数、中位数、众数； 方差反映的是总体数据的离散程度. 8．（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若样本数据的样本方差为3，则数据的方差为7 B．经验回归方程为时，变量和负相关 C．对于随机事件与，若，则事件与相互独立 D．若，则取最大值时 【答案】BC 【详解】对于A，已知样本数据的样本方差为3，则数据的方差为，不正确； 对于B，因为经验回归方程为的斜率小于，所以变量x和y负相关，正确； 对于C，若，根据条件概率公式有，变形可得，则事件与相互独立，正确； 对于D，因为随机变量，所以. 所以要使最大，只需最大，由二项式系数的性质得：当或4时最大，不正确； 9．某学习兴趣小组的某学生的10次测试成绩如下：130，135，126，123，145，146，150，131，143，144，则该学生的10次测验成绩的45百分位数是 ． 【答案】135 【详解】10个数据从小到大排序123，126，130，131，135，143，144，145，146， 150，，∴45百分位数是135． 10．已知a，b，c是正整数，且，，，当a，b，c方差最小时，写出满足条件的一组a，b，c的值 ． 【答案】或（其中一组即可） 【详解】设， 则 ， 要使方差最小，三个数据应尽量靠近，故，， 则， 关于的二次函数的对称轴为，又且为正整数， 所以当或时，方差最小，最小值为. 故满足条件的为或. 故答案为：或（其中一组即可） · · 1.新高考数学五年考点热度揭秘 最近，我对五年新高考数学真题考点进行分类统计，得出了各个考点的考频。并对5年10套卷子考察比较多的考点进行红色标注，确定为高频考点。希望这些高频考点能对大家接下来的二轮复习起到一定的参考作用。 01.集合与常用逻辑用语 考点1集合间的基本关系(5年10卷1考) 考点2交集(5年10卷7考) 考点3并集(5年10卷1考) 考点4补集(5年10卷1考) 考点5充分条件与必要条件(5年10卷1考) 考点6全称量词与存在量词(5年10卷1考) 02:复数 考点1复数的的运算(5年10卷10考) 考点2共轭复数(5年10卷3考) 考点3复数的几何意义(5年10卷2考) 考点4复数的模(5年10卷1考) 考点5求复数的实部与虚部(5年10卷0考) 考点6复数相等(5年10卷0考) 考点7复数的分类(5年10卷0考) 03：等式与不等式综合 考点1基本不等式(5年10卷5考) 考点2解不等式(5年10卷3考) 考点3不等式的性质(5年10卷1考) 04:平面向量 考点1求平面向量数量积(10年7考) 考点2平面向量的坐标运算(5年10卷5考) 考点3平面向量垂直求参数(5年10卷3考) 考点4平面向量的基本定理及其应用(5年10卷2考) 考点5平面向量的模长(5年10卷2考) 考点6求平面向量的夹角(5年10卷2考) 考点7平面向量平行求参数(5年10卷0考) 05:三角函数 ①三角函数的图象与性质小题综合 考点1任意角和弧度制及求扇形的弧长、面积计算(5年10卷1考) 考点2任意角的三角函数(5年10卷0考) 考点3同角三角函数的基本关系(含弦切互化)(5年10卷5考) 考点4诱导公式及其化简求值(5年10卷0考) 考点5三角函数的图象与性质(5年10卷9考) 考点6三角函数的伸缩平移变换(5年10卷0考) ②三角恒等变换与解三角形小题综合 考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用(5年10卷4考) 考点2二倍角公式的应用(含升幂公式与降幂公式)(5年10卷3考) 考点3辅助角公式的应用(5年10卷1考) ③解三角形大题综合(5年10卷10考） 考点1求面积的值及范围或最值(5年10卷2考) 考点2求边长、周长的值及范围或最值(10年4考) 考点3求角和三角函数的值及范围或最值(5年10卷6考) 考点4求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长(5年10卷1考) 考点5三角形中的证明问题(5年10卷3考) 06:数列 ①数列小题综合 考点1数列的增减性(5年10卷0考) 考点2递推数列及数列的通项公式(5年10卷0考) 考点3等差数列及其前n项和(5年10卷3考) 考点4等比数列及其前n项和(5年10卷1考) 考点5数列中的数学文化(5年10卷2考) 考点6数列求和(5年10卷2考) ②数列的通项公式及数列求和大题综合(5年10卷10考） 考点1等差数列的通项公式及前n项和(5年10卷4考) 考点2等比数列的通项公式及前n项和(5年10卷3考) 考点3等差等比综合(5年10卷0考) 考点4数列通项公式的构造(5年10卷3考) 考点5数列求和(5年10卷4考) 考点6数列中的不等式、最值及范围问题(5年10卷3考) 考点7数列与其他知识点的关联问题(5年10卷3考) 07:立体几何 ①立体几何的基本概念、点线面位置关系，及表面积、体积的计算小题综合 考点1点线面的位置关系及其判断(5年10卷3考) 考点2求几何体的体积(5年10卷10考) 考点3求几何体的侧面积、表面积(5年10卷2考) 考点4立体几何（球）的截面问题(5年10卷5考) ②球体的外接与内切小题综合 考点1直接求球的表面积与体积及相关应用(5年10卷3考) 考点2正方体与长方体中的球体切接问题(5年10卷1考) 考点3圆锥与圆柱中的球体切接问题(5年10卷1考) 考点4棱锥与棱台中的球体切接问题(5年10卷1考) 考点5球体切接问题中的最值及范围问题(10年5考1） ③立体几何的空间角与空间距离及其综合应用小题综合 考点1异面直线所成角及其应用(5年10卷1考) 考点2线面角及其应用(5年10卷2考) 考点3二面角及其应用(5年10卷1考) 考点4点面距及其应用(5年10卷0考) ④立体几何大题综合(5年10卷10考) 考点1空间中的平行关系(第一问)(5年10卷3考) 考点2空间中的垂直关系(第一问)(5年10卷7考) 考点3求空间中的线段长度、点面距的值及最值或范围(5年10卷1考) 考点4求线面角及最值或范围(5年10卷2考) 考点5求二面角及最值或范围(5年10卷5考) 考点6已知异面直线所成角、线面角、二面角求值或范围(5年10卷3考) 08：计数原理与概率统计 ①排列组合与二项式定理 考点1排列组合综合(5年10卷7考) 考点2二项式定理综合(5年10卷1考) ②统计与概率小题 考点1样本的抽样方法(5年10卷1考) 考点2样本的数字特征(5年10卷3考) 考点3独立事件、积事件(5年10卷3考) 考点4正态分布指定区间的概率(5年10卷3考) 考点5图表类统计图综合(5年10卷1考) 考点6互斥事件的概率计算(5年10卷1考) 考点7古典概率(5年10卷1考) 考点8随机抽样(5年10卷0考) 考点9变量间的相关关系(5年10卷0考) 考点10条件概率(5年10卷0考) ③概率与统计大题(5年10卷10考) 考点1赛事类(分配类)的分布列及期望方差(5年10卷4考)) 考点2条件概率、全概率公式、贝叶斯公式(5年10卷3考) 考点3概率统计与其他知识的杂糅问题(5年10卷3考) 考点4独立性检验为载体及其应用(5年10卷2考) 考点5概率统计的实际应用与决策问题(5年10卷2考) 考点6求解数字样本特征及应用(5年10卷1考) 考点7线性回归直线方程为载体及其应用(5年10卷0考) 09:函数与导数 ①指数、对数、幂函数、函数图象、函数零点及函数模型的应用 考点1指数函数及其应用(5年10卷2考) 考点2对数函数及其应用(5年10卷1考) 考点3幂函数(5年10卷1考) 考点4指对幂函数值大小比较(5年10卷5考) 考点5函数图象(5年10卷0考) 考点6函数零点及其应用(5年10卷5考) 考点7函数模型(5年10卷1考) ②函数及其基本性质 考点1直接求函数值(5年10卷0考) 考点2求函数的定义域与值域(5年10卷0考) 考点3函数单调性的判断及其应用(5年10卷8考) 考点4函数的奇偶性及其应用(5年10卷7考) 考点5函数的周期性及其应用(5年10卷2考) 考点6函数的对称性及其应用(5年10卷1考) 考点7比较大小关系(5年10卷5考) 考点8抽象函数(5年10卷7考) ③导数及其应用小题综合 考点1求切线方程及其应用(5年10卷5考) 考点2公切线问题(5年10卷1考) 考点3利用导数判断函数单调性及其应用(5年10卷2考) 考点4求极值与最值及其应用(5年10卷5考) ④导数及其应用大题综合(5年10卷10考) 考点1切线方程及其应用(5年10卷2考) 考点2具体函数及含参函数的单调性(5年10卷5考) 考点3极值最值及其应用(5年10卷3考) 考点4证明不等式(10年3考) 考点5恒成立与能成立(有解)问题(5年10卷2考) 考点6零点问题(5年10卷2考) 10:平面几何 ①直线与圆小题综合 考点1直线方程与圆的方程(5年10卷1考) 考点2直线与圆的位置关系及其应用(5年10卷2考) 考点3圆中的切线问题(10年3考) 考点4直线与圆中的最值及范围问题(5年10卷1考) ②圆锥曲线小题综合 考点1椭圆方程及其性质(5年10卷2考) 考点2双曲线方程及其性质(5年10卷2考) 考点3抛物线方程及其性质(5年10卷7考) 考点4椭圆的离心率及其应用(5年10卷2考) 考点5双曲线的离心率及其应用(5年10卷1考) 考点6直线与圆锥曲线的位置关系及其应用(5年10卷3考) 考点7曲线方程及曲线轨迹(5年10卷1考) 考点8圆锥曲线中的最值及范围问题(5年10卷1考) ③圆锥曲线大题(5年10卷10考) 考点1求轨迹方程(5年10卷7考) 考点2求斜率值或范围(5年10卷6考) 考点3离心率求值或范围综合(5年10卷3考) 考点4弦长类求值或范围综合(5年10卷2考) 考点5定值定点定直线问题(5年10卷3考) 考点6其他证明综合(5年10卷3考) 考点7圆锥曲线与其他知识点杂糅问题(5年10卷1考) · 2.体积、表面积与空间几何体全攻略 一、考情分析 1. 考查内容覆盖广泛 新高考全国卷的简单几何体考察主要集中在棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球等几何体的表面积与体积计算上。这些考点几乎涵盖了所有常见的简单几何体，体现了对基础知识的全面考查。 1. 题型多样化 试卷中涉及的题型包括选择题、填空题和解答题。其中，选择题和填空题多为基础性问题，主要考查公式的记忆和应用；解答题则通常要求考生进行较为复杂的计算或推导，考查逻辑推理和综合运用能力。 1. 难度逐年变化 从2020年至2024年，简单几何体的考查难度逐渐增加。2020年和2021年的题目相对简单，主要集中在基础公式的直接应用；而2022年及之后的试卷中，题目开始引入更多的情境化问题，要求考生在实际应用中进行建模和推理，难度有所提升。 1. 情境化考查 近年来，试题设置越来越注重与实际生活的结合。例如，涉及水库体积计算、建筑物的几何体积等实际问题，考生需要在理解几何体特性的基础上，进行合理的数学建模和计算。 1. 知识交叉与综合能力考查 新高考卷在简单几何体的考查中，越来越多地融合了其他数学知识，如空间向量、平面几何等，体现了对学生综合能力的要求。考生不仅需要掌握几何体的基本性质，还须具备一定的逻辑推理能力和空间想象能力。 二、解答空间几何体表面积与体积问题的基本方法 1. 空间几何体表面积的求法 ①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． ②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 2. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ①直接利用公式进行求解． ②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 三、核心考点 考点1 柱、锥、台的表面积 Ⅰ、柱、锥、台的表面积： Ⅱ、圆柱的表面积 ①圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr． ②圆柱的表面积：． Ⅲ、圆锥的表面积 ①圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． ②圆锥的表面积：S圆锥表． Ⅳ、圆台的表面积 ①圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． ②圆台的表面积：． 1．在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】 设，因为，所以由棱柱的性质可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 点P在四边形内（含边界）运动，当时， ，这意味着点是在以为圆心为半径的圆弧上运动， 该圆弧弧长是圆周周长，由题意，解得， 所以该三棱柱的表面积为. 2．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．24 B．32 C．96 D．128 【答案】C 【详解】   如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题意球O的半径， 所以，，则， 故中，边AB的高为， 所以该正四棱锥的侧面积为. 3．已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（    ） A． B． C． D．18 【答案】A 【详解】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为和， 设在底面内的射影为，作于， 平面，平面，则有， 又，，平面，所以平面， 平面，所以， 由，，，则， 又，所以，则， 故三棱台的侧面积为，表面积为. 考点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 Ⅰ、柱体的体积公式：V棱柱=Sh． Ⅱ、锥体的体积公式：． Ⅲ、台体的体积公式． Ⅳ、圆台的体积公式 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 4．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为， 则，，所以，所以， 所以该圆锥的体积为. 5．在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 6．如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形， 由台体的体积公式可得，解得， 故容器的高为，容器的容积为 考点3 球的表面积和体积 7．已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的高为，其外接球的半径为， 因为圆台的体积为，可得，解得， 若球心在圆台的内部，可得，解得， 所以外接球的表面积为； 若球心在圆台的外部，可得，此时无解， 综上可得，外接球的表面积为. 8．在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平面，，，， 所以，即． 把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径． 根据长方体体对角线公式 ，则， 球的体积. 9．已知一个球形容器的容积为（容器壁厚度忽略不计），在球形容器内放入一个正三棱柱，则正三棱柱侧面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】设球形容器的半径为，则，得， 设正三棱柱的底面边长为，高为， 则正三棱柱的底面外接圆的半径， 当正三棱柱的所有顶点都在球形容器壁上时，正三棱柱的侧面积才可能取到最大值， 此时，当且仅当时取等号． 所以，即， 所以正三棱柱侧面积的最大值为． · 3.新高考函数压轴题突破---抽象函数 抽象函数问题是考查学生数学抽象素养的有效载体，这几年，新高考数学试卷中每年都出现了抽象函数问题，题目常涉及到函数的基本性质(奇偶性、周期性、对称性、单调性等)、函数图像、不等式、复合函数、导函数等基本内容，同时还蕴含着数形结合、函数与方程、化归等数学思想.由于抽象函数仅仅给出函数某种性质或满足某种关系，学生在解决此类问题时，常常感到束手无策、不知所措.因此，在考前我们有必要把这种抽象函数概括总结清楚。 一、 近几年抽象函数考情分析 年份 题号 详细知识点 类型 2020-1 8 函数奇偶性的应用； 根据函数的单调性解不等式； 函数的基本性质相互转化 2020-2 8 函数奇偶性的应用； 根据函数的单调性解不等式； 抽象函数与不等式的综合性问题 2021-2 8 函数奇偶性的应用； 函数的周期性的定义与求解； 常规赋值法与图像法 2022-1 12 抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用； 函数与导函数图像之间的关系； 常规赋值法与图像法 2023-1 11 函数奇偶性的定义与判断； 函数极值点的辨析； 抽象函数与导数的综合性问题 2024-1 8 求函数值；比较函数值的大小关系 抽象函数与不等式的综合性问题 二、必备知识 1.掌握基本性质与结论 对称性：理解轴对称（如 对称轴为 ）和中心对称（如 对称中心为 ）的常见形式。 周期性：熟记周期性结论，例如： → 周期 ； → 周期 ； → 周期 。 奇偶性：奇函数满足 ，偶函数满足 ，注意复合函数的奇偶性（如 的奇偶性需结合 分析）。 2. 赋值法与特殊值法 对抽象函数，通过赋值（如 等）简化问题。例如：若 ，可令 得 ；令 可能得到递推关系（如 ）。 通过特殊值验证选项，快速排除错误答案（如2022年新高考Ⅰ卷第12题可通过构造 验证）。 3. 函数模型化 将抽象函数具体化为熟悉的函数模型（如三角函数、多项式函数）辅助分析： 若 ，可联想余弦函数 ；若涉及导数，可考虑 或 等。 4.导数与函数性质结合 导函数与原函数的关系：若 关于 对称，则 关于点 对称；若 为偶函数， 为奇函数，反之亦然。 利用导数研究单调性、极值等（如2022年新高考Ⅰ卷第12题需结合导函数的对称性）。 5. 逻辑推理与归纳 通过递推关系（如 ）推导周期性；结合对称性和周期性简化计算（如求 时先确定周期后分组求和）。 6. 避免常见误区 定义域优先：抽象函数的定义域可能隐含限制（如对数函数需真数大于0）；多解验证：抽象函数的性质可能对应多个具体函数，需验证是否满足所有条件；避免机械刷题：注重理解本质，如对称性和周期性的推导逻辑，而非死记结论。 三、2025年预测题： 1.已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（    ） A． B． C． D．若，则周期为 【答案】A 【详解】由， 令，，有，可得或，A错； 当时，令，则，， 函数既是奇函数又是偶函数，， 当时，令，则，则， 函数是偶函数，，综上，B正确； 令，则，故， 由于，令，即，即有，C正确； 若，令，则，所以， 则，， 所以，则周期为，D正确. 2.已知函数满足，当，若在区间内，函数有两个不同零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，函数有两个不同零点，可转化为有两个交点，当， 故 作图如下，由于,若有两个交点 可得 3.记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数，且其中一个周期为8 D． 【答案】BC 【解析】由题意，函数与的定义域均为. 由求导可得，即， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 由求导可得， ， ，则（为常数）， 令，则有，所以，即， 所以，即函数的图象关于直线对称. 又由可得， 则有， ，，即， 所以函数的图象关于点对称. 所以函数是周期函数，周期.证明如下： 由可得， 由上述结论可知，所以. 则，即， 又由可得，所以. 所以是周期函数，且其中一个周期为8，故C正确； 对于A，因为，， 若，则，与矛盾.故A错误； 对于D，由求导可得， 则有，因为，所以 则（是常数），令，可得， 所以，即函数的图象关于直线对称. 所以，函数也是周期函数，周期. ，令，可得， 根据对称性可知，， 所以. 所以，不确定是否为0，故D错误. 4.已知函数满足：，且，那么（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A，令，， 因为，所以，故A正确； 设，则 显然满足条件，但是，故B错误； 对于C，令，，所以， 又，所以为偶函数，即，故C正确； 对于D，设，类似A中推导，可知满足题设条件， 但最小正周期是，故D错误 · 4.折展乾坤，向量破题——新高考立体几何及答题全解析 一、考情分析 二、基本知识点 【知识点1 空间几何体表面积与体积的常见求法】 1．求几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接代入公式求解. (2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. 2．求组合体的表面积与体积的一般方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【知识点2 几何法与向量法求空间角】 1．几何法求异面直线所成的角 (1)求异面直线所成角一般步骤： ①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角； ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； ④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．几何法求线面角 (1)垂线法求线面角(也称直接法)： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形. (2)公式法求线面角(也称等体积法)： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解. 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长. 4．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 5．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 6．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【知识点3 空间距离的求解策略】 1．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 2．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【知识点4 立体几何中的探索性问题的求解策略】 1．与空间向量有关的探索性问题的求解策略： 在立体几何中，与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角、二面角或点线面距离满足特定要求时的存在性问题． 解决这两类探索性问题的解题策略是：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断． 【知识点5 立体几何中的轨迹问题及其解题策略】 1．立体几何中的轨迹问题 立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即 点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养． 2．立体几何中的轨迹问题的求解方法 解决立体几何中的轨迹问题有两种方法： 一是几何法：对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、 球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义． 二是代数法：在图形中，建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解． 三、向规范答题拿分 高考数学评卷原则：给1分有理、扣1分有据、宽严适度、始终如一。为深入贯彻这一原则，前期强化培训、规范操作，认真听取技术组讲解网上评卷操作方法。强调《试题参考答案和评分参考》及《评分细则》的学习。按照要求，凡不参加评分参考和评分细则学习者不得正式评卷。再次，评卷老师要全部参与试评。在深入学习《评分细则》的基础上，拿出一整天的时间进行试评，强化评卷老师对评分细则的掌握情况。在试评过程中要对评分标准进行深入讨论和分析，质检员会集中大家的意见再次修订《评分细则》，正式评阅前报领导小组备案。这样严谨的评卷流程确保了评分的公正性和一致性。 正式评阅后，要严格按照评分标准评阅，不得自立评分标准，始终如一，宽严适度，防止偏宽、偏严和错评、漏评。有什么特殊情况必须向小组长题组长报告。对于特殊情况，小组长和题组长会进行及时讨论，并在必要时与全体评卷老师共同商榷，确保每一位评卷老师对特殊情况的处理都能够达成一致。 数学高考评卷流程分三部分：评卷、仲裁、质检。采用“双评”加“三评”再加“仲裁”，最后是“质检”的五重保险的评卷模式，确保了评卷的公平、公正、准确。每份答卷至少由两名评卷人员评分（双评），而且彼此看不到对方的分数，两名评卷人员不是固定组合，电脑随机派送，若两人所给分数误差不超过2分，那就是有效分数。如两人所给分数误差超过2分，由第三个人重新评阅（三评），若三评和其中一个误差不超过2分，就不进入仲裁了。若三人两两差距仍超过2分，就要进入仲裁，也就是由小组长裁定，最后给定分数。最后分数与评卷分数差，将记录评卷的两个或三个老师的有效率，如果误差超过2分，将记为无效分。误差的多少及比率将作为考评评卷老师的重要依据。 【2024年新高考2卷第17题】：如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【国标答案】 （1）由，得 又，在中，由余弦定理得 ……………………………………………2分 所以，则，即所以…………………………………4分 又，所以，又，故；……6分 （2）连接，由，则， 在中，，得，所以 由（1）知，又， 所以平面，又平面，所以，…………………………………………8分 则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得，……………………………………………………………………10分 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以，………………………………………………………………………13分 所以，……………………………………………………………14分 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为.………………………………………………………15分 【评分细则】第1问评分细则 思路一：由，得………………………………1分 【评析】见到中的一个即可得1分 又，在中， 由余弦定理得……………………………2分 【评析】见到，或即可得1分 所以，则，即……………………………………………………3分 【评析】见到之一即可得这1分 所以……………………………………………………………………………………………………4分 又，所以，……………………………………………5分 又，故；…………………………………………………………………………6分 【评析】只见到，没有得1分；没见到，只见到不得分 思路二：1～4分与解法1相同 因为，所以……………………………5分 故………………………………………………………………………………………………6分 【评析】见到，所以，即可得2分 【评析】若第一问用坐标法来证明，则第二问的7～10分放到第一问来赋分 第2问评分细则 思路一：空间直角坐标系+空间向量 （2）连接，由，则， 在中，，得，所以………………………7分 【在新高考的背景下，我要特别强调这一环节的重要性。今后立体几何大题预计仍将包含以下特点：相对比较容易发现以谁为原点进行建系，但题目条件中并不会直接提供三条直线两两互相垂直。在建系之前，必须经历一个简要的证明过程】 由（1）知，又， 所以平面，又平面，所以，……………………………………………8分 则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，……………………………………………9分 【评析】在图上做出直角坐标系即可的1分 则， 由是的中点，得，……………………………………………………………………………10分 【评析】有一个点的坐标对即可得1分 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 【评析】有列式求法向量即可得1分，用行列式也同样给分 令，得，所以，……………………13分 【评析】得一个法向量得2分，得两个法向量得3分 所以，……………………………………………………………………14分 【评析】有公式或结果对即可得1分 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为.…………………………………………………………15分 【评析】出现等公式错误情况，但结果对的情况下扣1分； 其他建系方式： 思路二: 纯几何+二面角定义 延长交于点 ,点 是平面与平面的公共点,所以面面 ,过点做 的垂线交于点 ,过点做的垂线交于点 ,连接 ,图中即为平面与平面的二面角的平面角。 因为 ,因此 面 ……………………………………………………………8分 在 中， 在 Rt 中, ，………………………………………9分 根据面积不变性，…………………………………………………………………10分 在 中， 在 中, ,余弦定理， 在 中，……………………………………………………11分 在 中, ,余弦定理，……………………12分 在 中,根据余弦定理，…………………………………………14分 平面 与平面 所成角二面角的正弦值为…………………15分 思路三：纯几何+三垂线 延长 交于点 ,点 是平面 与平面 的公共点,所以面 面 , 通过计算得 ，过点F做面PGD的垂线，垂足为M，过M作,连接FN 作于Q，则是平面PCD与平面PBF所成的二面角的平面角。…………………7分 ，EQ为点E到面PGD 的距离 .…………………………………………………………………………………………9分 在中, =……………………………………………………………………………………………10分 在中, 在中,PG 在中, …………………………………………………………13分 平面 与平面 所成角二面角的正弦值为………………15分 易错提醒： （1）逻辑关系混乱，分不清哪些是得分点；第一问的证明，学生对由线线垂直，得线面垂直，再得线线垂直掌握的不好，但本题中若无线面垂直，只有线线垂直则扣两分，课本中的重要定理和性质，平时教学中需重点强调； （2）在利用向量法求解中，第7～8分这两个得分点缺失的同学比较多，也就是建系前的需要证明三条直线两两互相垂直；同时建系强调右手系虽然其他建系法也正确，但会增加运算量，更容易导致运算错误； （3）运算能力差，点坐标求错，法向量解错，只得一分，后续也存在不少的运算问题，一般的学生需要重点加强求点、求法向量的训练。 （4）部分考生在选择的建系方式不恰当，进而导致了运算过程的复杂化，并最终未能获得准确的结果。 （5）部分考生运用纯几何法，但他们大多未能成功得出最终答案。通过对前述两种纯粹采用几何方法分析，我们发现，纯几何分析方法在应对此类问题时，对思维的要求相当高，且本题所蕴含的计算量亦相当庞大，比向量法还大。因此，在考试中，选择纯几何法可能并不构成显著的优势。 四、典例分析 典例1．如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，，平面． (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）由题意知四边形存在外接圆，故， 而，即， 所以，故， 由平面，平面，可得， 而，平面，平面， 故平面， 又因为平面，故平面平面． （2）如图，过点作，垂足为， 由（1）平面平面，又平面平面，平面， 所以平面． 设四边形的面积为， 则四棱锥的体积， 因为，，所以， 因为平面，平面， 所以，则点P在以AB为直径的圆上， 当时，PH最大，最大值为． 因为，所以点在以为直径的圆上，且， 当时，最大，最大值为，此时底面ABCD是正方形． 所以四棱锥体积的最大值为． （3）以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，过点A且与平面ABCD垂直的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图． 由（2）可知，，，． 所以，，． 设平面PBD的法向量为， 则， 取，则， 所以为平面PBD的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为. 典例2．座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.    (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）    连接， 因为底面为正八边形，所以， 又正八棱柱侧棱底面，底面， 所以，平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）    连接， 因为， 由正八边形的性质可得，，为到底面的距离，， 所以， 由勾股定理可得，， 又，所以， 又，所以， 因为，所以，即， 设点到平面的距离为， 则，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. 典例3．如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，且四棱锥的体积是． ①求的长； ②求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：∵平面，过的平面交平面于， ∴，又∵，∴四边形为菱形 ∴，∵平面，平面，∴平面. 又∵四边形为菱形，∴同理平面， ∵，平面，∴平面平面， 又平面，∴平面； （2）①连接交于点，连接， ∵，且，则为等边三角形， 又四边形为菱形，则为中点，∴ 又∵平面平面，且交线为 ∴平面 ∵，∴ ∴ ∴. ②建系：以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， ∴，，，，， ∴，，， 令平面的法向量为，则 ，，∴ 设与平面所成角为， ∴. 典例4．如图，四边形是圆所有内接四边形中面积最大的四边形，为平面外一点，且，，是的中点.    (1)证明平面； (2)求二面角的余弦值. 【详解】（1）设圆的半径为， 所以， 当且仅当时取等号． 所以当为正方形时，面积最大， 所以，交于点，连接， 因为为中点，E为中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）因为，，所以，，， 所以为正三角形， 所以， 又因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 又因为，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 连接，又，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以为的平面角， 又，，所以， 所以，所以二面角的余弦值为.    典例5．在平面四边形中，，，如图1所示.现将图1中的沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，如图2所示.    (1)求证：； (2)若，二面角的大小为，求的值. 【详解】（1）    作与， 平面平面，平面平面,平面， 平面,因为平面，, ,，平面, 平面，又因为平面，. （2）,, 又，,平面,平面, 设， 建立如图所示坐标系    则，，，， ，，,, 设平面的法向量， 即，取，则，， 设平面的法向量， 即，取，则，，, 二面角的大小为， ， 化简得：解得：即， · 5.新定义创新问题 一、考情分析 在近五年（2020—2024年）新高考全国卷中，“新定义题”逐渐成为考查的重点，体现了对学生综合能力和创新思维的重视。 考点名称 具体内容描述 热度 函数与图像 考查函数的性质、图像变换及其在实际问题中的应用。 ★★★★ 几何与空间 涉及空间几何体的性质、空间关系及其应用问题。 ★★★★ 概率与统计 统计数据分析、概率模型构建及其应用。 ★★★ 数列与极限 数列的性质、极限的计算及其在实际问题中的应用。 ★★★ 建模与应用 通过实际情境构建数学模型，解决现实问题。 ★★★★★ 逻辑推理 逻辑推理能力的考查，包括论证过程的规范表达。 ★★★★ 不等式与优化 不等式的性质及其在优化问题中的应用。 ★★★ 代数与方程 代数方程的解法及其在实际问题中的应用。 ★★★ 数形结合 数学与几何的结合，考查学生的空间想象能力。 ★★★ 探究与发现 强调学生的探究能力和自主学习品质。 ★★★★★ 二、突破策略 创新能力的培养对于考生而言是一个长期且持续的过程，无法在短期内一蹴而就。因此，在日常的训练中，我们必须有意识地加强对特定题型的练习。为了助力考生更好地应对创新能力解答题，我们特别挑选了三类题目：新定义型、知识交汇型和创新型。这些题目旨在帮助不同水平的考生进行有针对性的练习，从而实现在这类解答题上的突破。 三、典例分析 1．空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：①多面体顶点的曲率等于减去多面体在该点处所有面角之和；②多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之和，多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为． (1)如图1，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，，O为BD的中点，且平面ABCD，． ①求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值； ②求二面角的平面角的正弦值； (2)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著名的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足．请运用欧拉定理解决下列问题：碳60（）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料．它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图2所示．已知碳60（）的分子结构是一个由60个C原子构成的分子，这个多面体有60个顶点，试求碳60（）各顶点的平均曲率． 【详解】（1）①连接AC，由于底面ABCD是菱形，故BD，AC交于点O， 又，所以为正三角形， 因，则， 底面ABCD，底面ABCD，故，． 且，， 由余弦定理得， 由题意可知四棱锥的四个侧面三角形全等， 故有， 记四棱锥在点P处的曲率为，则， 所以 ． ②如图，以点O为原点，直线OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，， 所以，． 设平面PAB的一个法向量为， 则，令，得， 为平面ABCD的一个法向量，设二面角的平面角为， 由已知为锐角，则， 所以，即二面角的平面角的正弦值为． （2）设碳60（）共有F个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1，2，…，F号， 设第i号（）多边形有条边，则碳60（）共有条棱， 由题意，碳60（）共有个顶点， i号多边形的内角之和为， 所以碳60（）的所有多边形的内角之和为， 所以碳60（）的总曲率为 ． 由已知，所以碳60（）各顶点的平均曲率为． 2．已知数列的前n项和为，且，，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个行列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这个数的一个排列，将第行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作．若对，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为． (1)求数列的通项公式； (2)当数列的项数为时，求的值； (3)若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值． 【详解】（1）由题，，解得， 由得，两式作差得，即， 所以，，，……，， 累乘得：，即， 因为，符合上式，所以． （2）由（1）知，，所以， 当数列的项数为4时，可知，，，， 若数列为数列的“异位数列”，则：当时，，，；或，，；或，，共3种情况． 同理当或时，对应的排列各有3种情况，所以． （3）因为数列为数列的“异位数列”， 所以，即，所以，所以， 当，时，若对任意的，都有，取等号， 此时，，…，，， 所以当，时，的最小值为， 当，时，的不可能取到等号，因为存在，使得， 将，，，，分为组， 不妨为，，……，，时， 可以取到等号， 此时，，……，，，，，， 此时， 所以当，时，的最小值为， 综上，当为偶数时，的最小值为； 当为奇数时，的最小值为． 3．在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换.定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上. (1)求曲线的方程并确定点的位置； (2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为2的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点.记的坐标为. （i）求数列的前项和； （ii）记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上. 【详解】（1）依题意，得即 ，故曲线方程为. 点在曲线上，，故曲线方程为 由对称性可知，点为坐标原点 （2）（i）依题意，得， 得①， 又直线的斜率为2且， ②. 将②代入①中，得③， 将②和③相加，得， 从而是首项为1，公比为的等比数列， . （ii）点在定直线上. 证明如下： ， 直线的方程为， 令，得. 直线的方程为，直线的方程为， 联立解得. 直线的方程为，直线的方程为， 联立解得. 直线的方程为， 令，得， 直线与直线的交点坐标为， 故点在定直线上. 4．阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封.他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中. 阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题： (1)求出、、的值； (2)写出的泰勒展开式（至少有项）； (3)设，，，证明：. 【详解】（1）由题意可得，， . （2）设，则，，，， 以此类推可知，对任意的，，则， 所以， . （3）对任意的，要证明，即证， 即证， 令，其中， 则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即，故原不等式得证. · 6.高考前的终极拷问：2025年考生必看！ 序号 一、函数与导数 ✓或✕ 1 奇函数都过原点，对吗？ 2 函数在定义域上是减函数，对吗？ 3 设函数的定义域为，则“，使得”是“为偶函数”的充要条件，对吗？ 4 函数的最小值为2，对吗？ 5 若一个函数存在极大值和极小值，则极大值一定大于极小值，对吗？ 6 函数的零点是(1,0)，对吗？ 7 方程只有一个解，对吗？ 8 直线和函数有2个交点，对吗？ 9 将函数的图像向左平移2个单位后是，对吗？ 10 将函数的图像向下平移2个单位后的图像与的图像重合，对吗？ 11 将点向右平移1个单位后的坐标为，对吗？ 12 对于，直线和函数永远不会相切，对吗？ 13 若，则对数，对吗？ 14 对于正实数，且，恒有，对吗？ 15 对于定义域内任意，恒有，则函数关于对称，对吗？ 16 对于定义域内任意，恒有，则函数关于(1,2)对称，对吗？ 17 已知函数，则是函数的唯一极值点，对吗？ 18 函数的零点一个比1大，一个比1小，则的范围是，对吗？ 19 若是函数的零点，则也是函数的零点，对吗？ 20 若，则，对吗？ 21 函数与函数的值域一样，对吗？ 22 已知对勾函数，直线和相交于两点，则为定值，对吗？ 23 函数是定义域上的单增函数，对吗？ 24 增函数+增函数=增函数，增函数×增函数=增函数，对吗？ 25 过坐标原点作函数的切线，则切线的斜率为，对吗？ 26 对于，直线和函数永远不会相切，对吗？ 27 设，若对，且，都有成立，则的取值范围为，对吗？ 28 设函数满足：若对，且，都有，则是增函数，对吗？ 29 设，则，对吗？ 30 设，则，对吗？ 31 设，则，对吗？ 32 设是定义在上的偶函数，若且，则，对吗？ 33 设函数，则存在实数，使得函数存在唯一极值点，对吗？ 34 已知函数，则不等式的解集为，对吗？ 35 若，则，对吗？ 36 不等式的解集为，对吗？ 序号 二、向量 ✓或✕ 37 零向量和任意向量都平行，对吗？ 38 若向量，则，对吗？ 39 对于两个不共线的向量，若，则，对吗？ 40 对于两个非零向量，若，则，对吗？ 41 对于两个向量和的运算结果是一样的，对吗？ 42 将平方后展开得到，对吗？ 43 向量和向量共线，则有成立，对吗？ 44 向量的平方等于其模长的平方，复数也满足，即，对吗？ 45 若，若平面内任意向量，都存在实数，使得成立，则，对吗？ 46 45.已知,，则，对吗？ 47 在中，点在的延长线上，设，则，且,对吗？ 48 已知空间中四点坐标分别为，则时，点在平面内，对吗？ 49 设，若为钝角，则的取值范围是，对吗？ 50 设平面的法向量为是平面内任意一点，是平面外一点，则点到平面的距离公式为，对吗？ 51 已知是一个边长为2的等边三角形，则，对吗？ 52 设为等边三角形的中心，为的中点，则，且 ，对吗？ 序号 三、三角函数与解三角 ✓或✕ 53 若，则，对吗？ 54 已知，则一定成立，对吗？ 55 函数的一个对称中心是，对吗？ 56 函数的两条对称轴之间的距离最小值为，则，对吗？ 57 设函数，则函数关于对称，对吗？ 58 已知的图像如下，则或，对吗？ 59 ，使得，对吗？ 60 函数，则函数的最大值为，对吗？ 61 将函数的最小正周期为，对吗？ 62 设函数的最小正周期为，则，对吗？ 63 函数的最正周期为，对吗？ 64 函数的最正周期为，对吗？ 65 函数和函数的图像是重合的，对吗？ 66 点是函数和函数的共同的对称中心，对吗？ 67 函数和函数的最小正周期都是，对吗？ 68 将函数向左平移个单位后图形与重合，则的最小值为，对吗？ 69 已知函数，若对于任意实数，都有成立，则的最小值为1，对吗？ 70 存在，使得和同时成立，对吗？ 71 在中，是成立的充要条件，对吗？ 72 在中，是成立的充要条件，对吗？ 73 在中，若，则，对吗？ 74 在中，若，则，对吗？ 75 在中，若，则，对吗？ 76 若中满足，则为钝角三角形，对吗？ 77 若中满足，则为锐角三角形，对吗？ 78 一个腰长为1的等腰三角形，面积最大值为，对吗？ 79 若的面积满足，则，对吗？ 80 已知中，，则为钝角三角形，对吗？ 81 已知中，，则，对吗？ 序号 四、数列 ✓或✕ 82 存在等差数列的前项和也是等差数列，对吗？ 83 对于任意一个等差数列，都有成立，对吗？ 84 若数列的前n项和=2n²+3n+1，则该数列是等差数列。 85 对于任意，都有，则是等差数列，对吗？ 86 若是等差数列，则也是等差数列，且共有项，对吗？ 87 存在等比数列的前项和是等差数列，对吗？ 88 对于一个数列，每一项都是前一项的2倍，则数列为等比数列，对吗？ 89 对于等比数列满足：，则公比是2吗？ 90 等比数列中任意一项都不为0，且公比也不为0，对吗？ 91 等比数列如果是单调数列，则该等比数列的公比且，对吗？ 92 等比数列的前5项分别为，则，对吗？ 93 对于任意，都有，则是等比数列，对吗？ 94 设数列与数列均为等比数列，则也是等比数列，对吗？ 95 已知数列，则当时，取得最小值，对吗？ 96 若 成等比，且，则，对吗？ 序号 五、立体几何 ✓或✕ 96 正四面体一定是正三棱锥，对吗？ 97 异面直线是既不平行也不相交的直线，对吗？ 98 直线直线，且平面，则平面，对吗？ 99 如果一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则该直线平行于平面，对吗？ 100 若平面平面，直线平面，则平面，对吗？ 101 若平面平面，直线，且，则平面，对吗？ 102 一个三棱锥可以每一个面都是直角三角形，对吗？ 103 圆锥的侧面展开图是半圆时，其母线与底面夹角为60°，对吗？ 104 正方体的外接球体积与内切球体积之比为 ，对吗？ 105 棱台体积公式仅适用于正棱台，对吗？ 106 二面角的夹角与其法向量夹角的余弦值相等，对吗？ 序号 六、直线与圆的方程 ✓或✕ 107 直线是表示所有过点的直线，对吗？ 108 和X轴平行的直线的倾斜角一定是，对吗？ 109 两条直线平行，则斜率相等，对吗？ 110 两条直线垂直，则斜率之积为,对吗？ 111 原点(0,0)到直线的距离最大值为2，对吗？ 112 点到直线距离的最大值为3，对吗？ 113 一条直线的斜率为-1，则其倾斜角为或，对吗？ 114 过圆内一点作圆的弦长，最长的弦为直径，最短弦和直径垂直，且该点为弦中点，对吗？ 115 “”是“直线和直线垂直”的充要条件，对吗？ 116 设点是圆上的一个动点，则点的坐标可以写成： ，对吗？ 117 过点(2,4)作圆的切线，则切线方程为，对吗？ 118 设点在圆上，则过点作圆的切线只有一条，且切线方程为，对吗？ 119 在平面直角坐标系中，恰好存在三条不同的直线同时与圆和圆相切，则，对吗？ 序号 七、圆锥曲线 ✓或✕ 120 平面内到两个定点的距离之和为定值的轨迹为椭圆，对吗？ 121 平面内到两个定点的距离之差的绝对值为定值的轨迹为双曲线，对吗？ 122 椭圆上的点到焦点的距离最小值为，对吗？ 123 对于椭圆，若，则离心率的范围是，对吗？ 124 过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，设为坐标原点，则的面积可以表示为，对吗？ 125 斜率存在的直线与椭圆交于两点，则的长度可以用计算，且该公式在抛物线、圆、双曲线中均可以使用，对吗？ 126 若一条直线和双曲线无公共点，则该直线一定和渐近线平行或重合，对吗？ 127 双曲线的离心率的大小与的取值有关，对吗？ 128 双曲线的渐近线方程为，则离心率为2，对吗？ 129 设是双曲线的左右焦点，点，则，对吗？ 130 双曲线的焦点到渐近线的距离等于，双曲线的焦点到渐近线的距离也等于，对吗？ 131 抛物线 上点 到焦点距离等于到准线距离，对吗？ 132 抛物线的开口向上，焦点坐标为(0,1)，对吗？ 133 抛物线 的焦点弦长度为 （ 为倾斜角），对吗？ 序号 八、概率与统计 ✓或✕ 134 现有3本完全相同的数学书和5本不一样的小说书籍，从这8本书中抽出3本，则抽到的是1本数学2本小说抽法有30种，对吗？ 135 设正整数满足：，则，对吗？ 136 某人做三道不同的选择题，每一道做对的概率为，则恰好做对一道的概率为，对吗？ 137 一组数据的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为，对吗？ 138 二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，对吗？ 139 二项式的展开式中，所有项系数之和为1，对吗？ 140 设一组数据的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个新数据后，则新数据的方差会比原数据的方差要小，对吗？ 141 若随机变量，则，对吗？ 142 从含5件次品的20件产品中有放回地抽取3件，则抽到次品数服从超几何分布，对吗？ 143 若 事件 和 互斥，则，对吗？ 144 若 ，则 和 一定不互斥，对吗？ 145 若 ，则 和 为独立事件，对吗？ 146 将6人分为3组（每组2人），不同的分法总数为 ，对吗？ 147 从5人中选3人站队与选3人组委员会的方法数相同，对吗？ 148 正态分布N(μ,σ²)中，P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826与σ的具体大小无关，对吗？ 149 若离散型随机变量X满足,，则，对吗？ 150 你现在肯定觉得自己一定能拿到一个好成绩，对不对？ .高考前的终极拷问（解析版） 一、函数与导数 1.奇函数都过原点，对吗？ ✕，比如。但如果定义域内可以取0，则奇函数一定过原点。 2.函数在定义域上是减函数，对吗？ ✕，不符合减函数定义，可以说在上单减，但不能是定义域上。 3.设函数的定义域为，则“，使得”是“为偶函数”的充要条件，对吗？ ✕，题目前半句是指存在关于轴对称的点，需要改为“任意实数”才是偶函数。 4.函数的最小值为2，对吗？ ✕，因为可能为负数。 5.若一个函数存在极大值和极小值，则极大值一定大于极小值，对吗？ ✕，比如对勾函数。 6.函数的零点是(1,0)，对吗？ ✕，零点是数，不是点。 7.方程只有一个解，对吗？ ✓，转化为函数和函数只有一个交点即可。 8.直线和函数有2个交点，对吗？ ✕，函数有渐近线，如图，只有一个交点（别忘了数形结合）。 9.将函数的图像向左平移2个单位后是，对吗？ ✕，正确的平移结果为 10.将函数的图像向下平移2个单位后的图像与的图像重合，对吗？ ✓，平移后变为 11.将点向右平移1个单位后的坐标为，对吗？ ✕，函数的平移和点的平移有区别，向右平移一个单位后当然是. 12.对于，直线和函数永远不会相切，对吗？ ✓，因为，，所以不可能存在斜率为正数的切线。 13.若，则对数，对吗？ ✓，根据对数图像即可知道正确。 14.对于正实数，且，恒有，对吗？ ✓，这是公式（别忘了换底公式） 15.对于定义域内任意，恒有，则函数关于对称，对吗？ ✓，对称轴的定义式为： 16.对于定义域内任意，恒有，则函数关于(1,2)对称，对吗？ ✓，对称中心(a,b)的定义式为： 17.已知函数，则是函数的唯一极值点，对吗？ ✕,，原函数单增，无极值点。(不能单看) 18.函数的零点一个比1大，一个比1小，则的范围是，对吗？ ✓，判别式，根据图像知道即可，从而 19.若是函数的零点，则也是函数的零点，对吗？ ✓，即，变形为：，两侧取对数得，即 即，则也是函数的零点 其他思路：由，即，从而，即. 20.若，则，对吗？ ✓，构造函数，奇函数且单增，则 21.函数与函数的值域一样，对吗？ ✕，看图知：的值域为的值域为。 22.已知对勾函数，直线和相交于两点，则为定值，对吗？ ✓，即方程的根为，变形为：，即方程的根为，由韦达定理得，故为定值。 23.函数是定义域上的单增函数，对吗？ ✓，因为，设，所以在(0,1)上单减，在上单增，故，即，所以，因此单增。 24.增函数+增函数=增函数，增函数×增函数=增函数，对吗？ 前半句✓，后半句✕。比如，通过求导得到函数在上单减，在上单增。 25.过坐标原点作函数的切线，则切线的斜率为，对吗？ ✓，特别注意切点不是原点。（求切线方程时，一定要注意是“过”点，还是“在”点）设切点，因此：。 26.对于，直线和函数永远不会相切，对吗？ ✓，因为，，所以不可能存在斜率为正数的切线。 27.设，若对，且，都有成立，则的取值范围为，对吗？ ✕，特别注意本题没有说是二次函数，题意为函数在区间上为减函数，①若，则函数在定义域上都是单减函数，符合题意；②若，则该二次函数开口向下，且对称轴，故正确答案为： 28.设函数满足：若对，且，都有，则是增函数，对吗？ ✓，这是结论，证明如下：设，则有,引入，即当时，有，故为增函数。 同理时可得一致结论 总结提点：1.这类双变量的问题，可以尝试两个变量“各自占山为王” 2.题目中不等号改为<，则结论为减函数。 29.设，则，对吗？ ✓，方法一：高次方。不难得到均大于1.所以，所以 方法二:取对数。，同理得，结合上面的作差法即可得出结果。 30.设，则，对吗？ ✓，作差法。 31.设，则，对吗？ ✓，将弧度制转化成角度制,(要了解这里的约等于3.14) 32.设是定义在上的偶函数，若且，则，对吗？ ✕，和函数的周期性有关，比如：中有 33.设函数，则存在实数，使得函数存在唯一极值点，对吗？ ✕,是二次函数，①时，原函数单增无极值点；②时，原函数有2个极值点。不可能是1个。 34.已知函数，则不等式的解集为，对吗？ ✓，即是奇函数且是单增函数，，故正确。 35.若，则，对吗？ ✕，如，但是对的。(不等式加法) 二、向量 36.零向量和任意向量都平行，对吗？ ✓，这是教材规定。 37.若向量，则，对吗？ ✕，因为可能是零向量，则可能不平行 38.对于两个不共线的向量，若，则，对吗？ ✓，如果去掉“不共线”三个字，就是错的。 39.对于两个非零向量，若，则，对吗？ ✕，向量不能约分，由得到的是或 40.对于两个向量和的运算结果是一样的，对吗？ ✕,，因此不一样。 41.将平方后展开得到，对吗？ ✓，这是向量运算中常用到的公式。 42.向量和向量共线，则有成立，对吗？ ✕，共线是，虽然交叉相乘后结果一样，但是✕。比如 43.向量的平方等于其模长的平方，复数也满足，即，对吗？ 前半句✓，后半句✕。向量满足，复数不满足。比如，而 44.若，若平面内任意向量，都存在实数，使得成立，则，对吗？ ✓，平面向量基本定理，也就是是基底向量(不共线) 45.已知,，则，对吗？ ✕，首先审题看仔细，不要读成了“”，根据平方：，所以，别忘了开根号! 46.在中，点在的延长线上，设，则，且,对吗？ ✓，系数和为1是结论。 47.已知空间中四点坐标分别为，则时，点在平面内，对吗？ 对！（1）即存在实数，使得成立，化简推算可以分别求出; （2）求出平面的法向量，利用即可求出的值。 48.设，若为钝角，则的取值范围是，对吗？ ✕, （1）从画图层面看：找到直角时，反向时，所以且 （2）从运算层面看：钝角翻译为且不反向，所以且不反向(即) 49.设平面的法向量为是平面内任意一点，是平面外一点，则点到平面的距离公式为，对吗？ ✕。正确公式为： 50.已知是一个边长为2的等边三角形，则，对吗？ ✕.与的夹角为，不是!正确是： 51.设为等边三角形的中心，为的中点，则，且 ，对吗？ 对。这是结论(三角形重心，即有) 三、三角函数与解三角 52.若，则，对吗？ ✕，比如.根据,则或(注意：不能习惯性约分！) 53.已知，则一定成立，对吗？ ✕，由，应该是或，因此得到是或-1. 54.函数的一个对称中心是，对吗？ ✓，的对称中心为，所以是其中一个。注意到对称中心不一定在函数图像上哦，比如反比例函数关于原点对称。 55.函数的两条对称轴之间的距离最小值为，则，对吗？ ✕，两条对称轴之间的距离最小值应该是半个周期，即，正确的应该是. 56.设函数，则函数关于对称，对吗？ ✓，如果满足：，则函数关于对称 又 ，因此正确 57.已知的图像如下，则或，对吗？ ✕，带入点中，则 又，得或，看图知：位于减区间内 故，故舍去，因此答案为 58.，使得，对吗？ ✕，因为，所以最大为，不可能取得到2。 59.函数，则函数的最大值为，对吗？ ✓，方法一：拆分函数，函数前半部分的最大值为，后半部分的最大值为1，且可以找到同一个取得，因此正确。 方法二：换元法设，故 从而，根据二次函数即可求最值. 60.将函数的最小正周期为，对吗？ ✕，正切型函数的最小正周期公式为，故最小正周期为 61.设函数的最小正周期为，则，对吗？ ✕,，注意本题中应该是，此时. 62.函数的最正周期为，对吗？ ✓，，故 63.函数的最正周期为，对吗？ ✓，，又, 所以，故 64.函数和函数的图像是重合的，对吗？ ✓，简单粗暴将其展开，即 ，二者一模一样。(也可以运用诱导公式证明) 65.点是函数和函数的共同的对 称中心，对吗？ ✕，注意到的对称中心的纵坐标不是0，应该是-1 66.函数和函数的最小正周期都是，对吗？ ✓，由的最小正周期为，则将位于轴下方翻折到轴上方后得，故的最小正周期是，显然的最小正周期是 67.将函数向左平移个单位后图形与重合，则的最小值为，对吗？ ✓，因为函数的最小正周期为，向左平移最小正周期的整数倍个单位图像都是重合的。 68.已知函数，若对于任意实数，都有成立，则的最小值为1，对吗？ ✓，翻译后即：函数在处取得最大值，即,从而，所以，即，故正确。 69.存在，使得和同时成立，对吗？ ✕,,若，则，又，不可能成立，因此不存在这样的。 70.在中，是成立的充要条件，对吗？ ✓，根据大角对大边，则有，由正弦定理有 71.在中，是成立的充要条件，对吗？ ✓，根据的图像可以知道(减函数) 72.在中，若，则，对吗？ ✕，比如，严谨来讲，化简得到的是或 73.在中，若，则，对吗？ ✓，肯定成立。 74.在中，若，则，对吗？ ✕，比如，从本质来讲是，即，也就是这三种可能。(提醒：倒过来也不成立哦，比如) 75.若中满足，则为钝角三角形，对吗？ ✓，三角形中最多一个钝角，钝角tan值为负，锐角tan值为正，根据，因此中必有一负两正。 76.若中满足，则为锐角三角形，对吗？ ✓，在三角形中：钝角值为负，锐角值为正，根据，因此 tan中必然都是正，因此均为锐角。 77.一个腰长为1的等腰三角形，面积最大值为，对吗？ ✓，根据三角形面积公式，故等腰直角时取得最大值为. 78.若的面积满足，则，对吗？ ✕，根据面积公式，则，则或 79.已知中，，则为钝角三角形，对吗？ ✓，最大角为，且，因此是钝角三角形。 80.已知中，，则，对吗？ ✓，因为，即，根据在是减函数，所以 四、数列 81.存在等差数列的前项和也是等差数列，对吗？ ✓，比如时， 82.对于任意一个等差数列，都有成立，对吗？ ✕，等差性质的运用要保证等式左右项数一致才可以，如是正确的 83.对于任意，都有，则是等差数列，对吗？ ✓，不妨令，则，即常数。 84.若是等差数列，则也是等差数列，且共有项，对吗？ ✓，看下标的通项是，则第项是，因此共项。 85.存在等比数列的前项和是等差数列，对吗？ ✓，比如时，。 86.对于一个数列，每一项都是前一项的2倍，则数列为等比数列，对吗？ ✕,比如数列首项是0。 87.对于等比数列满足：，则公比是2吗？ ✕，看清楚，公比是。 88.等比数列中任意一项都不为0，且公比也不为0，对吗？ ✓，注意到公比是指数列后一项和前一项的比值 89.等比数列如果是单调数列，则该等比数列的公比且，对吗？ ✓，单增：或。单减：或。 90.等比数列的前5项分别为，则，对吗？ ✕.根据，且符号一致，故 91.对于任意，都有，则是等比数列，对吗？ ✕,比如全为0的数列。但如果首项不为0时，是对的，证明思路同上面。 92.设数列与数列均为等比数列，则也是等比数列，对吗？ ✓，因为按等比数列定义有：常数 93.已知数列，则当时，取得最小值，对吗？ ✕，注意到数列里，因此或时取得最小值。 五、立体几何 94.正四面体一定是正三棱锥，对吗？ ✓，正四面体是所有棱长都相等的三棱锥，正三棱锥是底面为等边三角形且定点在底面的投影是底面中心。因此正四面体是正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体。 95.异面直线是既不平行也不相交的直线，对吗？ ✓，异面直线的概念就是既不平行也不相交的直线。 96.直线直线，且平面，则平面，对吗？ ✕，因为l可能在平面内。（这是同学们在判断线面平时最容易犯的错！） 97.如果一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则该直线平行于平面，对吗？ ✕，因为直线也可能在平面内。 98.若平面平面，直线平面，则平面，对吗？ ✕，因为l可能在平面内。 99.若平面平面，直线，且，则平面，对吗？ ✓，一般的，若已知面面垂直，往往就是需要这一招转化成线面垂直。 100.一个三棱锥可以每一个面都是直角三角形，对吗？ ✓，如图所示。 101. 圆锥的侧面展开图是半圆时，其母线与底面夹角为60°，对吗？ ✓，展开图半圆对应母线长 ，夹角为 102. 正方体的外接球体积与内切球体积之比为 ，对吗？ ✓，外接球半径 ，内切球半径 ，体积比为 103.棱台体积公式仅适用于正棱台，对吗？ ✕，任何棱台均可使用 ，与是否正棱台无关 104.二面角的夹角与其法向量夹角的余弦值相等，对吗？ ✕，二面角的夹角余弦值等于法向量夹角余弦的绝对值。 六、直线与圆的方程 105.直线是表示所有过点的直线，对吗？ ✕，因为直线方程的形式确定了斜率一定存在，因此只能表示所有斜率存在的直线 106.和X轴平行的直线的倾斜角一定是，对吗？ ✓，任意直线的倾斜角范围是，水平线倾斜角定义为 107.两条直线平行，则斜率相等，对吗？ ✕，可能两条直线的斜率都不存在。 108.两条直线垂直，则斜率之积为,对吗？ ✕，可能一条直线的斜率为0，另外一条直线的斜率不存在。 109.原点(0,0)到直线的距离最大值为2，对吗？ ✕，通过画图应该是斜率不存在的时候距离刚好是2，但此直线不可能斜率不存在。 110.点到直线距离的最大值为3，对吗？ ✓，点在单位圆上，故只需要圆心到直线距离+半径即可。 111.一条直线的斜率为-1，则其倾斜角为或，对吗？ ✕，直线的倾斜角都是，因此不可能是负角，只能是 112.过圆内一点作圆的弦长，最长的弦为直径，最短弦和直径垂直，且该点为弦中点，对吗？ ✓，这是结论，自行证明。 113.“”是“直线和直线垂直”的充要条件，对吗？ ✕，不能只看斜率之积为-1，比如时直线也垂直。 114.设点是圆上的一个动点，则点的坐标可以写成：，对吗？ ✓，根据单位圆变换而来。即结论：圆上一点可以设为：，也叫圆的参数方程 115.过点(2,4)作圆的切线，则切线方程为，对吗？ ✕，答案不全。①若直线斜率不存在，即，通过图可以知道是切线②若直线的斜率存在，设，通过解得 116.设点在圆上，则过点作圆的切线只有一条，且切线方程为，对吗？ ✓，这是结论，可以运用点到直线距离来证明，此结论可以类比到椭圆 117.在平面直角坐标系中，恰好存在三条不同的直线同时与圆和圆相切，则，对吗？ ✕，通过圆和圆的位置关系可知：3条公共切线圆和圆外切，故(此处为两个圆心之间的距离)，即，所以提醒：看清楚半径不是 七、圆锥曲线 118.平面内到两个定点的距离之和为定值的轨迹为椭圆，对吗？ ✕.还需要满足定值大于两个定点之间的距离才是椭圆。即 如果到两个定点的距离之和为定值且等于两个定点之间的距离，则轨迹为线段。 119.平面内到两个定点的距离之差的绝对值为定值的轨迹为双曲线，对吗？ ✕.还需要满足定值小于两个定点之间的距离才是双曲线。即 如果到两个定点的距离之和为定值且等于两个定点之间的距离，则轨迹为两条射线。 120.椭圆上的点到焦点的距离最小值为，对吗？ ✓，如果不是焦点，那就另当别论了(感兴趣就去证明一下) 121.对于椭圆，若，则离心率的范围是，对吗？ ✕，离心率，范围为 122.过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，设为坐标原点，则的面积可以表示为，对吗？ ✕，注意计算面积时用的是长度，不能直接用纵坐标，正确结果为 123.斜率存在的直线与椭圆交于两点，则的长度可以用计算，且该公式在抛物线、圆、双曲线中均可以使用，对吗？ ✓，弦长公式是根据两点距离公式所得，与跟哪个轨迹相交无关。 124.若一条直线和双曲线无公共点，则该直线一定和渐近线平行或重合，对吗？ ✕，如直线;和渐近线平行的直线一定和双曲线有唯一交点 125.双曲线的离心率的大小与的取值有关，对吗？ ✓，①时，标准方程为，即，则离心率为; ②时，标准方程为，即，则离心率为 因此离心率与的正负有关系。(但渐近线方程与无关，自行证明) 126.双曲线的渐近线方程为，则离心率为2，对吗？ ✕，焦点在轴上，，所以离心率 127.设是双曲线的左右焦点，点，则，对吗？ ✕，因为在第二象限，因此，故.务必看清楚绝对值放在哪个位置！ 128.双曲线的焦点到渐近线的距离等于，双曲线 的焦点到渐近线的距离也等于，对吗？ ✓，这是结论，可以运用点到直线距离来证明 129抛物线 上点 到焦点距离等于到准线距离，对吗？ ✓，这是抛物线定义的基本性质。 130.抛物线的开口向上，焦点坐标为(0,1)，对吗？ ✓，化为标准方程即 131. 抛物线 的焦点弦长度为 （ 为倾斜角），对吗？ ✓， 抛物线的焦点弦长为 ，此处 ，故正确。 八、概率与统计 132.现有3本完全相同的数学书和5本不一样的小说书籍，从这8本书中抽出3本，则抽到的是1本数学2本小说抽法有30种，对吗？ ✕,3本完全相同的书中抽取1本只有一种抽法，所以答案为 133.设正整数满足：，则，对吗？ ✓，组合公式的性质： 134.某人做三道不同的选择题，每一道做对的概率为，则恰好做对一道的概率为，对吗？ ✕，正确的概率计算为. 135.一组数据的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为，对吗？ ✓，结论：一组数据的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为 136.二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，对吗？ ✓，二项式系数之和为，所以答案是 137.二项式的展开式中，所有项系数之和为1，对吗？ ✓，所有项系数之和只需要令，所以答案是 138.设一组数据的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个新数据后，则新数据的方差会比原数据的方差要小，对吗？ ✓，因为原始数据的方差，新数据方差为：，分子不变，分母变大，故方差变小了。 139.若随机变量X~N(2,σ²)，则P(X>2.5)=0.5-P(2<X≤2.5)，对吗？ ✓，正态分布对称性可知P(X>2)=0.5，再减去P(2<X≤2.5)即得。 140.从含5件次品的20件产品中有放回地抽取3件，则抽到次品数服从超几何分布，对吗？ ✕，有放回抽样为独立试验，应服从二项分布。易错点：混淆无放回（超几何）与有放回（二项）的情境。 141.若 ，则 和 一定不互斥，对吗？ ✕，独立事件可能互斥，当且仅当 或 。易错点：认为独立与互斥必然矛盾。 142.若 ，则 和 为独立事件，对吗？ ✕，仅当 时成立。反例：，，，此时 ，但 。 143.将6人分为3组（每组2人），不同的分法总数为 ，对吗？ ✓，均分组需除以组数的阶乘消除顺序影响。易错点：漏除重复计数。 144.卡方独立性检验中，若计算出的 ，临界值 ，则应接受原假设，对吗？ ✓，临界值 时无充分证据拒绝原假设。易错点：误将“接受原假设”等同于“证明独立”。 145.正态分布N(μ,σ²)中，P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826与σ的具体大小无关，对吗？ ✓，这是3σ原则的性质，仅与标准差倍数相关。 · · 1.高考倒计时30天，还能干点啥提升自己呢？ 在最后的30天里，既是复习的尾声阶段，大多数学校将时间主要分配给了学习E。除了考试和讲解，剩余时间均安排为自习和解答疑问。之前在一轮、二轮复习中感到压力巨大的你们，一直期待着自主学习的时刻，现在机会终于来临，却有许多同学感到迷茫。本文希望在考试前的最后30天，从“心态”“学习”“复习”三个方面帮助大家解决最后阶段的问题，即使不能确保有实质性的突破，至少也能获得相对他人的显著优势，确保你们能够承受住最后的压力。 1、 心态调整 1、破除“逆袭幻想” 你明白高考是一场公正的测验，这表明不存在“确保”你在短时间内迅速提高分数的途径。假若存在这样的途径，那么对于那些对此途径一无所知的同学来说，高考就失去了公正性。四十多年的高考历程绝不会允许这种情况出现。 这不是在浇冷水，而是通过严谨的逻辑分析得出的结论，这就是事实。因此，在最后的30天里，你能做的更多是回顾、补充和复习之前300天的学习内容，而不是妄想“一夜之间建起高楼大厦”。最后一个月或许能“锦上添花”，但绝不是“雪中送炭”。市场上那些声称“一个月内保证提高×××分”“一个月内绝对能逆袭×××”的课程和资料，你必须格外小心。他们所举的例子可能是真实的，但这些例子是从成千上万的学生中挑选出来的唯一一个。如果真的如此，那么那位学生的成绩提升显然更多地归功于学生本人，而不是他们所宣传的课程或资料。 只要将“公平性”这三个字铭记于心，稳扎稳打地完成手头的任务，而不是去关注那些投机取巧的捷径，这将是你最明智的选择。你会因此避免许多不必要的弯路，同时节省许多不必要的开支。在最后的30天里，不抱有“贪心”的幻想，放弃过高的期望，这能让你保持清醒，清晰的自我认识是顺利走完最后一段旅程的坚实基础。 2、破除“定型焦虑” 俗话说"说者无心，听者有意"，有时候真能惹出大麻烦，特别是对马上要高考的孩子们。有些大人嘴上让考生抓紧时间复习，话里话外却透着"最后这点时间也改变不了啥"的意思。这话对学霸和学渣可能没啥影响，可对那些憋着劲儿想在考前再冲一把的中间段学生，就像浇了盆冷水。高考这事儿本来就有运气成分，咱们拼命努力不图一定能提高多少分，而是哪怕只能进步一点点，咱们也得拼了命去抓住。说不定这点小进步在考场上就成了救命稻草。要是听见有人说"努力没用"，咱就得把"说不定还有机会"这个念想当成坚持的动力。就像乔布斯说的："只有那些觉得自己能改变世界的愣头青，最后还真把世界给改了。" 从时间角度看，全力以赴的30天并无不同。那么，为什么在最初和中间阶段相信自己能取得成果，而最后30天却听天由命呢？这在逻辑上是说不通的。有些进步你可能无法立即察觉，但这并不意味着它们没有发生。每一天的30天，你都有机会变得更好。既然有月逆袭的故事，就说明临考进步的可能性。虽然无法保证成为下一个他，但也不应阻止你去相信。 不要理会“努力无用，成绩定型”的言论，该努力的时候就继续努力，不管是30天还是300天。只因“我不甘心”!在接下来的30天，或许你能够发现自己以前未曾注意到的潜能。每个努力的瞬间，都是你进步的积累，最终可能在考场上发挥出不可预知的潜力。即便外界的声音让你动摇，记住，你的坚持和努力才是最真实的。 2、 学习策略 面对梦寐以求的事物突如其来，许多人会感到意外。自主安排的考前时间正是如此，当引导数百日的老师放手，许多学生便陷入了困惑，有的做出了不理智的决定，有的则完全放松，听任命运的安排。经过无数个日夜的辛勤努力，我们的成就来之不易。若欲超越周围的同学，我们必须制定合理的计划，并更高效地利用剩余的时间。 (1) 复习误区 首先是“缺乏计划性”。许多人信奉“题海战术必有成效”，因此埋头苦干于刷题和纠错，却不知不觉地陷入了“擅长的科目越做越多，不擅长的科目能拖就拖”的困境，同时也会遇到“不擅长的科目一个问题就要耗费半天，严重挤压了其他科目的学习时间”的问题。虽然每天看起来忙碌充实，但由于缺乏针对性，实际收获甚微，只能在睡前用完成的试卷数量来安慰自己，第二天反思不足，一切又回到了原点。 其次是“全面覆盖”。不愿放弃任何一科，结果却是什么都做不好。“样样都想抓，结果样样都抓不住”，时间有限，平均分配给每个科目的时间只会越来越少。因为擅长的科目只剩下难题需要攻克，需要大量时间；而不擅长的科目漏洞百出，同样需要大量时间，这种看似两全其美的“全面覆盖”实际上只会让你手忙脚乱。要想让有限的时间发挥最大效用，你必须学会做出选择。 一句话概括就是“复习目标不明确不适合最后30天”，我们需要更适用于临考冲刺的复习策略。选择一个或几个重点科目进行深度攻克，将精力集中在最有可能提分的地方。同时，不要忘记定期评估复习效果，及时调整计划，以确保复习的方向正确，方法高效。如此一来，你才有可能在最后阶段实现质的飞跃，让自己在考试中发挥出色，甚至超过自我预期。 （2）精准提分方法 在二轮复习阶段结束后，复习策略应转变为针对性的“带问题单点突破”，关键在于在紧迫时刻带着问题进行复习。自主学习时，若缺乏明确的计划，即便投入大量时间，效率也可能不尽人意。明确复习目标能够显著提升学习效率。高三初期的复习与临考前的复习存在差异，临考前应避免在已掌握的内容上浪费宝贵时间，而应专注于修补知识漏洞。 在明确问题之后，以解决问题的心态去复习，能够有效避免时间的浪费，并提升复习效率。保持稳定的复习节奏，解决问题后能够感受到进步的满足感，逐步完善应考的知识体系。发现需要解决的“好问题”是关键所在，这涉及到“学科融合思维”和“先提最容易提的分”。 “学科融合思维”指的是将各学科视为总分750分的一部分，而“先提最容易提的分”则强调优先解决基础和中档题目，以提高冲刺阶段的提分效率。 这两个要点超越了学科界限，从宏观视角为我们指出了前进的方向，并由此引出了“针对问题进行单点突破”的具体操作步骤。 步骤一：跨学科评估提分空间，以“跨学科思维”为核心，回顾以往的考试答题经历，评估自己当前的实际能力，确定在750分中，哪些分数的提升空间最大。注意，在这一步骤中，提升空间最大的那5分若在数学领域，则专注于数学，若在物理领域，则专注于物理。 步骤二：锁定目标题型，确定所选5分对应的题型或具体问题（例如，数学选择题中解三角形的余弦定理应用）。 步骤三：分析知识要点，深入分析题型或问题，明确其涉及的具体知识点、考查点以及重点和难点。 步骤四：系统复习教材资料，根据步骤三的分析结果，按照“教材→一轮复习资料→课堂笔记本→考试试卷”的顺序进行以“解决问题”为目标的知识复习。 步骤五：独立解题验证，尝试独立解决步骤二中选定的问题，若仍无法解答，则说明复习不够充分，请返回步骤三至四继续复习直至问题解决。 步骤六：同类题强化，训练从真题集或模拟题集中挑选5道与步骤二目标问题相似的题目进行练习，并完成订正工作。 步骤七：总结解题规律，对步骤一至六进行综合总结，包括题型的特点、解题思路、方法、切入点、重点难点以及易错点，特别注意步骤二和步骤六中问题的对比，从相似之处和差异之处总结出该类题型的解题规律。 当你能够一丝不苟地遵循这7个步骤，便有望在各个学科领域中，轻松提升那至关重要的5分。记住，为了确保分数的提升，这里的“一丝不苟地遵循”意味着极高的标准。也就是说，完成整个流程后，你应该从内心深处感到一种“再次面对你，我肯定能解决!”的自信。如果这种自信并未涌现，请回头审视这7个步骤，找出哪个环节做得不够完美，并进行改进。假如你认为每一步都执行得相当到位，那么就把第6步的练习题从5道增加到10道，或者重复练习已经做过的题目……直到你真正感到“再次面对你，我绝对能解决!”的自信为止。 想象一下，在最后阶段，每2小时提升5分意味着什么？假设每天自学14小时，那么7个2小时就是35分的提升。即使你在模拟考试中发现的漏洞不一定会出现在高考中，这也没关系。因为你知道，一旦这些难题在高考中出现，你已经彻底解决了它们，这将是你实实在在的进步。 只有目标明确、路径清晰、反馈明显、自信倍增的突破，才能称之为查漏补缺。这与老师反复强调却未具体指导的“重视基础”不同。在最后复习阶段，确实需要翻阅课本，但不是盲目地看；需要做试卷，但也不是机械地做。你应该做的是，为了解决问题，需要看课本就看，需要做试卷就做—“只有成为复习的主人，才能将所有资料的价值最大化地利用”。 我坚信，只要你不断积累“下次再遇到你我一定能解决!”的自信，最终对高考充满信心才是理所当然的。 三、复习策略 （1）看旧不看新：精研已做题目，巩固薄弱环节 在复习的最后阶段，建议同学们不要分散精力在大量新题上，而是应专注于已经练习、更正和总结过的题目，确保彻底掌握。这不仅因为新题目的练习会占用宝贵时间，而且考虑到高三已经进行了300多天，大家已经做了大量题目，额外的几十道新题对整体提升帮助有限。将练习新题目的时间转而用于复习数百甚至上千道旧题，唤醒遗忘的记忆，加深已理解的知识，从效率角度来说，这样做更为明智。 （2）看易不看难：根据实际水平，优先确保基础分 每位学生都应准确地评估自己的实际能力，并将宝贵的时间投入到适合自己难度的题目中。例如，数学成绩达到100分的学生，在复习的最后阶段，就不应再过多地钻研圆锥曲线和导数等难题，而应专注于如何确保前面的100分不丢失，并努力解决100至120分之间的中等难度问题。对于这些学生而言，在高考中能够保持前100分不失，同时尽力在100至120分的题目上获得10分，最终成绩达到110分，已经算是成功。放弃可以分为两种情况，主动和被动。前者代表智慧，后者则可能是崩溃。我期望你能选择前者——放弃是出于全局考虑的最佳选择，而非无奈之举。 (3)分类处理题目：按掌握程度分级（熟练/半熟/未掌握），针对性处理 在复习的最后阶段，你可以将之前完成的习题分为三个等级：①完全掌握且解题流畅；②基本掌握但解题不够熟练；③完全未掌握。在复习每道题目之前，先判断它属于哪个等级，然后采取相应的复习方法，这样可以显著提高复习效率。 ①完全掌握且解题流畅 对于这类题目，你已经掌握得相当好，无需再投入大量时间去复习。只需快速浏览题目，如果解题思路清晰，步骤能迅速在脑海中浮现，关键公式也记得牢固，甚至能直接得出答案……那么，大可放心地跳过，不必再浪费时间将已掌握的内容重复书写，将时间留给其他需要更多关注的题目会更有价值。 ②基本掌握但解题不够熟练 这是冲刺阶段复习的关键，题目基本掌握说明你有能力获得这些分数，但解题不够熟练意味着在考试时可能因状态波动或发挥失常而失分。为了尽可能避免这些偶然因素，进行有针对性的熟练度训练是至关重要的，这是确保你能拿到应得分数的有效方法。 对于这类题目，首先应正常完成一遍，若遇到问题应立即通过各种方式解决（查看答案、咨询同学或老师）；接着对题目进行详细梳理和总结，重点放在解题思路、方法和流程上；总结完毕后，独立完成第二遍，确保完全掌握；最后，反复练习这道题目，直至完成时间缩短至最初的一半，这表明你对这道题目的熟练度有了显著提升。 ③完全未掌握 对于未掌握的题目，复习时确实需要多花些时间，但这些题目也可以分为两类：一类是难度适中但知识点掌握不足；另一类是题目本身难度较大。对于第一类题目，可以参考之前提到的“带题单点突破”方法进行处理；而对于第二类题目，则需要考虑是否应该放弃——轻易放弃可能会失去一个查漏补缺的机会，但过分纠结又会降低整体复习效率。 这里可以借鉴之前提到的“如何在高三科学高效地刷题?”一节中的“2倍时间法则”来决定是否放弃对某个题目的长时间思考——在最后的复习阶段，面对一个已经做过的题目，先根据题型和难度评估它在真实考试中可能出现的位置，并据此确定这道题目在考试中应该分配多少时间来解决（例如立体几何题可能需要13分钟），将这个时间乘以2得到“2倍时间”，复习该题目时，如果在“2倍时间”内仍无解题思路，那么这道题目的难度就超出了你目前的能力范围，理性放弃是明智的；反之，如果在“2倍时间”内已有大致思路但细节上还需完善，那么在求助他人后，参考“带问题单点突破”的方法来完成题目的处理。 （4）集中解答疑问：积累问题批量请教，避免碎片化耗时 在复习的尾声，授课教师通常会在办公室等待，准备解答学生的疑问。务必充分利用这一机会。但切勿一遇到问题就急于求教，因为可能老师不在，或者你前面已有学生在排队。无论哪种情形，频繁往返于教室与办公室之间，都是对宝贵时间的极大浪费。 更明智的做法是，遇到问题先尝试独立思考，即便不能完全解决，也要弄清楚问题所在，而不仅仅是说“这题我不会”。然后，将疑问记录下来（无论是用符号标记还是专门的笔记本都可以）；待同样的疑问累积到五个后，选择一个无需排队的时刻，再向老师请教。这样不仅能高效利用时间，还能让老师在解答时更有针对性，避免因频繁打扰而影响他人学习。同时，集中解答的过程也是对知识点的再次梳理，有助于加深理解和记忆。 提问老师时，还有一点小提示：老师并非解答机器，因此无法立即回答所有问题是正常的。你应该依次向老师展示你准备的五个问题，老师能立即解答的就当场解决，而那些需要老师更多时间思考的问题，比如将试卷或练习册递给老师，并告知老师待他解答后再去找他。说完后，你应该返回教室继续自习，切勿因老师思考问题而浪费自己的复习时间傻等。 根据以往的经验，最后30天内提高30分并不罕见。如果你能切实执行上述建议，无疑也能获得显著的优势，请继续努力。特别提示：保持规律作息，合理安排各科时间，避免过度钻研难题。通过精准定位+高效执行，在最后阶段实现稳定提升。记住，清晰的目标规划与持续的信心积累，是冲刺阶段的核心竞争力。 · 2.高考数学核心考点解题方法与策略 一、历年高考数学试卷的启发 1.试卷上的参考公式，80%具有实用性，能为解题提供明确方向； 2.解答题各小问间存在阶梯关系，后问常需利用前问结论。若前问为证明题，即便无法证明结论，该结论在后问中仍可应用，但需考虑结论的独立性。 3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。 二、解题策略选择 1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。一般来说，选择题的后两题和填空题的后一题是比较难的题目，22和23是二选一的题目，相对比较容易，解答题的20和21题是难题（一般是入口容易，拿高分难，所以也不能完全放弃，应该是争取多拿分）。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，有的难题却可能是自己的容易题。所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1～2分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答。 2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择项也是已知条件，利用选择项之间的关系可能使你的答案更准确。要十分重视第一印象。 心理学表明，考生在接触试题时大脑皮质处于高度兴奋状态，对新事物的反应灵敏，容易迅速做出决定。 经验表明，第一感觉的正确率在80％以上。 因此，不要轻易改动第一次做出的选择。 在检查的时候，同学们不要按照第一次答题的角度去考虑，应该从另外一个角度去思考，没有充分、足够的理由不要推翻第一次的选择。 切记不要“小题大做”。 注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法，或是判断。即便无法完整解答，也应将思考过程和尝试的方法写在答题纸上。多写无害，或许能得分。 （1）直接法 直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择题．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解． 由于填空题和单选题相比，缺少选择项的信息，所以常用到直接法进行求解。直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果。 直接法的具体操作在于熟悉试题考察的知识点，以便迅速定位并应用相应的定理、性质和公式进行求解。例如，面对数列试题，首先要判断是等差数列、等比数列还是它们的综合。一旦确定是等差数列或等比数列，就应立即回顾并应用等差数列或等比数列的定义、性质（如公差、公比的关系）、通项公式以及前n项和公式，判断其适用性。如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行简化或转化了，也可快速进入状态。 （2）排除法 排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论。具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除。例如，可以尝试将一些简单的数值代入，若符合题目条件则保留相应选项，反之则排除包含该数的选项范围。具体来说，面对两个选项A（）和B（），可以选取数字1进行代入检验。若1符合题意，则排除B；若1不符合题意，则排除A。这种方法能迅速缩小选择范围，但需注意，选取的数值应考虑选项特征，避免选择所有选项共有或均不包含的数值。此外，还可以根据选项涉及的知识点进行论证排除。例如，若四个选项分别对应四个知识点，可以优先对熟悉的知识点进行验证，判断其是否符合题意，从而快速准确地锁定正确答案，避免因知识点掌握不牢固或理解模糊而导致误选。 而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部分高考选择试题从而节省时间的有效方法。那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除。所以，我们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！ （3）特例法 特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收到事半功倍的效果。 特例法，即特殊值验证法，可通过特殊数值、图形、位置替代普遍条件，导出特殊结论，进而检验选项，做出正确选择。尤其针对棘手的高考选择题或填空题，关注特殊情况，从特殊角度入手，常能迅速简捷解题。 常用特例包括特殊数值、点、数列、函数、图形、角、位置等。特例法是解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论。比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但前提是所取特例需符合题目所有条件。 特例法能简化运算和推理过程，尤其适用于包含字母或一般性结论的选择题和填空题，但在应用时需注意以下几点：（1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理；（2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选择另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；（3）若正确选项在题目的普遍条件下均成立，则应选取最简单的特殊值进行探究，以此快速、准确地得出答案。这种方法，即通过对特殊情况的考察来推断一般规律，是解答此类选择、填空题的优选策略。 近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！ （4）估算法 估算法，包括四舍五入法、估算范围法、数值特点估计法以及接近整十、整百、整千的估算等，是解决数学问题的快速方法，它不仅能够提高解题速度，还能帮助考生避免在计算过程中出现大的失误。 对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法。 当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时。估算法不仅能有效减少运算量，还能提升思维的深度与层次，因此，我们应熟练掌握并灵活运用这一技巧。 而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论。 （5）数形结合法 数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。 在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图像或者构造适当的几何图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图像的特征进行直观分析，从而得出结论。比如： ①在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 ②借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 ③处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 ④有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 ⑤数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。 ⑥解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。 ⑦立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算。 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合是数学解题中的一把利剑，它能让抽象的数学问题变得直观且生动，将抽象思维转化为形象思维，从而帮助我们更深刻地理解数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法。 三、解题思想方法 1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”； 2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.对于含有参数的初等函数，研究时应聚焦于参数未改变的那些恒定性质，例如函数所经过的固定点、二次函数的对称轴等。 4.选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法； 5.求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对方程或不等式进行变形处理时，优先考虑使用分离参数的方法来简化问题。 6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.在解答圆锥曲线的题目时，应优先考虑利用它们的定义来求解。对于直线与圆锥曲线的相交问题，如果涉及到弦的中点，可以选择设而不求的点差法；如果与弦的中点无关，则可以选择利用根与系数的关系公式法。在使用根与系数的关系公式时，务必先判断是否为二次方程，并考虑根的判别式。 8.在求解曲线方程的题目时，若已知曲线的形状，可采用待定系数法；若未知曲线的形状，则需按照建系、设点、列式、化简的步骤进行求解，同时要注意去掉不符合条件的特殊点。 9.要求解椭圆或双曲线的离心率，只需建立关于a、b、c之间的等式关系即可得出答案。 10. 求三角函数的周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列的题目与和有关，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何第一问若旨在辅助建系，则应采用传统方法解答；若非如此，可从第一问起即建立坐标系求解。需特别注意，向量角与线线角、线面角、面面角各不相同，应熟练掌握这些角度间三角函数值的转换方法。计算锥体体积时需注意相关系数，计算三角形面积时亦需关注其系数。涉及球的题目同样需谨慎对待，可通过连接“心心距”构造直角三角形来解题。 13.导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上； 14.概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；若存在分布列，则验证其概率和是否为1是检验答案正确性的关键步骤。 15.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，若式子为勾股定理型的，可使用三角换元来完成； 16.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范围或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等； 四、每分必争 1.答题时间共120分钟，而你要答分数为150分的考卷，算一算就知道，每分钟应该解答1分多的题目，所以每1分钟的时间都是重要的。试卷到手后，首先进行必要的检查，确认无印刷模糊之处，并完成填涂工作。随后，立即浏览试卷，熟悉可能用到的公式，做到胸有成竹。对于简单的题目，要用心计算，必要时动笔也无妨（无论是写名字还是字母，无人会细究）。 2.在分数上也是每分必争。正如参考资料所述，成绩合格率反映了达到基本要求的比例。因此，你得到89分与得到90分，虽然只差1分，但意义截然不同：一个是不合格，一个是合格。虽然高考中仅差1分，例如509分与510分，这可能在某些情况下影响录取结果，如接近录取分数线时，分数稍高者可能更易被录取。然而，高考成绩并非唯一评判标准，综合素质评价和面试成绩等其他因素也会影响录取。因此，1分之差虽然重要，但个人的综合素质和潜力同样关键。所以，在答卷的时候要精益求精。 对单选题的每一个选项进行评估，看与你选的相似的那个是不是更准确？ 多选题找到两个必选项了没？ 填空题的范围书写是不是集合形式，是不是少或多了一个端点？是不是有一个解应该舍去而没舍？ 解答题的步骤是不是按照公式、代数、结果的格式完成的，应用题是不是设、列、画（线性规划）、解、答？根据已知条件你还能联想到什么？把它写在考卷上，也许它就是你需要的关键的1分，为什么不去做呢？ 3.面对答题时间的紧迫感，是所有学生共同的体验。若要缓解这种压力，唯一的方法便是学会取舍，准确判断并放弃那些不必要的部分，从而为争取每一分创造条件。 4.稍作冷静，虽然表面上看似浪费了时间，但实际上却是在为自己争取机会，甚至可能因此创造出意想不到的奇迹。在头脑混乱的时候，不妨停下来，喝口水，深吸一口气，再慢慢呼出，就在呼出的同时，你就会得到灵感。 5.如果题目分析遇到困难，很可能是因为忽略了某个重要的已知条件，因此，需要重新审题，仔细阅读题目，才能有所发现，切勿局限于固定的思维模式。联想你做过的类似的题目的解题方法，把不熟悉的转化为你熟悉的也许就是成功。 6.高考只是人生众多重要考试中的一场，而人生则是由无数个一分钟组成的。只有珍惜并把握好每一分钟，才能真正掌控自己的人生。高考不过是一场平常的模拟考试，真正的高考其实是在我们生活的每一刻。 · 3.高考数学临场解题策略 高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考数学的重要内容之一，正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能运用科学的检索方法，建立神经联系，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。 一、调整大脑思绪，提前进入数学情境 考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”， 通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而稳定情绪、增强信心，减轻压力、轻装上阵，使思维单一化、数学化，以平稳自信、积极主动的心态准备应考。 二、“内紧外松”，集中注意力，消除焦虑怯场 　　集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。 三、沉着应战，确保旗开得胜，以振奋精神 良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。 四、“六先六后”，因人因卷制宜 　　在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金时间了。这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。 　　1.先易后难。即先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际情况，果断跳过“啃”不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。 2.先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定。对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较透彻、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中、高档题目的目的。 3.先同后异。即先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。 4.先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在解答大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础。 5.先点后面。近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。 　　6.先高后低。即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。 五、一“慢”一“快”，相得益彰 有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。应该说，审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。而思路一旦形成，则可尽量快速完成。 六、确保运算准确，立足一次成功 　　数学高考需要在120分钟时间内完成22道题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上的，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也毫无意义。 七、讲求规范书写，力争既对又全 考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。这就要求不但会而且要对，对且全，全而规范。会而不对，令人惋惜;对而不全，得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。因为字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬、“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”。“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理。 八、面对难题，讲究策略，争取得分 　　会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分，下面有两种常用方法： 1.缺步解答。对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分， 即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分。还有像完成数学归纳法的第一步，分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分。而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。 2.跳步解答。当解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径;如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底;另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答。也许后来由于解题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在相应题尾补上。 九、考前寄语 ①难易分明，决不耗时； ②慎于审题，决不懊悔； ③必求规范，决不失分； ④细心运算，决不犯错； ⑤提防陷阱，决不上当； ⑥愿慢求对，决不快错； ⑦遇新不慌，决不急躁； ⑧奋力拼杀，决不落伍. · 4.新高考数学多项选择题的解题策略与技巧 新高考改革取消文理科，对统考科目设新要求。2020年山东、海南采用新课程标准，依据《新课标考试纲要》命制试题。2022 年，广西也开始实行新高考改革，2024年是新高考改革的第一年高考，试题中多出多选题题型，考查容量大、知识面宽，解题思路广，数学思想丰富。本文通过对近年高考多项选择题进行研究，把握多选题命题特点，对多项选择题的解题方法进行了反思，掌握解答技巧。 一、多选题的考查性质和特点 多选题作为新高考改革中的一种重要题型，充分体现了对“四基”“四能”及核心素养的考查。这种题型主要侧重于学生的基础知识和基本技能的测试，通过合适的试题情境和相应的题目背景，能够实现对同一情境下多个结论的判断和选择。多选题并不是简单地将知识点拼凑在一起进行考查，而是更加注重考查学生在知识储备和技能掌握方面的综合运用能力。其主要特点表现为：题目设计灵活多样，能够有效地测试学生的思维能力、分析能力、判断能力和综合运用知识的能力；同时，多选题还能够引导学生更加注重知识之间的联系和贯通，从而提高学生的综合素质和未来发展潜力。 （1）无需解题过程 多选题与单选题类似，都要求学生从提供的选项中选择正确答案。不同之处在于，多选题需要学生选择多个正确答案，而不是仅选择一个。同样，多选题也不需要学生具体书写解题过程，只要选择出正确的答案，就能得到相应的分数。 （2）分值灵活 新高考的选择题由8个单选题和4个多选题组成，每题5分，共计60分。在多选题中，考生需全选对才能获得5分的满分，若只选对部分答案，只获得2分的得分，而如果考生有选错或未选的选项，该题将被判为0分。今年九省联考多选题的付分方式也有所改变，多选题为3题，每题6分，共计18分；考生全选对获得6分的满分，如果正确选项是两个的话，选一个正确的3分，全对，得6分；如果正确选项是3个的话，选一个正确的2分，选两个且正确的4分。 （3）考查知识内容多样化 新高考中的多选题涉及多个知识点，需要考生具备较为全面的数学素养。在解答多选题时，学生需要排除并验证每个选项的正确性，这不仅增加了对知识点的考查，同时对考生的能力也提出了更高的要求，从而提高了试题的难度。 （4）考查策略需选择 多选题允许学生利用已选答案作为已知条件进行推断，从而减少对每个选项的重复计算。这种解题思路的多样性和灵活性可以节省学生的时间，提高解题效率。 （5）考查创新思维 多选题鼓励学生运用创新思维和创造性解决问题的能力，题目可以是新的，也可以是旧的，但是解决问题的方法和思路需要有创新性。多个选项的数学问题可以涵盖多种不同的数学思想方法，这对学生的思维方式与能力提升均有显著的助益。 （6）能更好地区分学生的能力层次 多选题不仅测试学生对数学知识的掌握程度，同时亦对其综合素质进行考察，这些素质包括时间管控、心理素质以及应变能力等。多选题采用的多级得分模式对提高低水平学生的得分具有积极作用，同时也有助于区分出高水平的考生。因此，这种方法能够更为精准地评估不同能力层次的考生，从而有助于选拔优秀人才。 二、数学多选题的基本类型 数学多项选择题的设计方案，根据其选择支的差异化特性，可以大致划分以下六种基本类型： 1. 条件缺失型：此类题目是一种常见的数学问题类型，其特点是在生成干扰选项时会故意省略某些易于遗漏的条件。这种题型旨在测试学生的细心程度和考虑问题的全面性。在解决这类问题时，学生需要仔细审题，并尽可能将所有已知条件和限定条件都考虑到。否则，如果忽略了某个重要条件，就可能会得出错误的答案。因此，在面对条件缺失型题目时，学生需要保持高度警觉，并对每个条件进行认真分析和推理。 2. 实际背景忽视型：这种类型题目是一种非常具有挑战性的题目类型，它通过仔细地模拟学生在计算过程中可能出现的错误和失误，构造出具有较强迷惑性的干扰选项。这种类型的题目在提升试题的针对性和区分度方面具有显著的效果，因为它能够有效地测试学生对于基本计算技能的掌握程度，同时也能检测学生对于题目背后实际应用背景的理解程度。在模拟这种题目时，需要注意细节和精度，确保干扰选项的构造符合实际情况，并具有一定的迷惑性。这样才能使题目更加具有挑战性和区分度，从而有效地测试学生的实际水平。 3. 概念混淆型：此题型是一种常见的数学测试题型，旨在考查学生对于数学相关概念、性质的理解和掌握程度。这种类型的题目通常会设计一些干扰选项，以混淆学生的判断，让学生在进行选择时容易产生困惑和犹豫。在设计概念混淆型题目时，出题者通常会选择一些学生容易混淆的概念或者性质作为考点，例如相似三角形和全等三角形、函数和方程等等。 4. 题意误解型：这种题目是一种常见的干扰选项，通常是由于考生在考试过程中读题不严谨、审题不细致，导致对题目要求和意图产生误解，从而得出了错误的结论而设计的。这种干扰选项通常会利用考生对题目中某些关键词汇或细节的理解不足，或者利用考生对题目背景和知识点的掌握不全面等漏洞进行设计。 5. 推理错误型：这种类型题目是一种常见的逻辑推理题目，其特点在于题目中给出了不完整或不合逻辑的推理过程，而干扰选项则通常是由这个不正确的推理过程所产生的不正确结果。在解决这类题目时，需要考生认真阅读题目，理解推理过程，并从中找出推理错误，从而排除干扰选项，找到正确答案。常见的推理错误包括：偷换概念、前提不足、因果倒置、非黑即白等。 6. 思维定势型：这种类型题目是一种较为常见的题目类型，通常会以某种形式隐藏在看似熟悉的条件和相似的形式中。这些题目通常会利用人们习惯性的思维方式，通过巧妙地伪装和误导性的信息，来引发错误的类比和联想。在这种类型题目中，干扰选项往往是设计来诱使答题者陷入思维定势，从而忽略题目中的关键细节或隐含条件。对于这种题目，关键是要保持清醒的头脑，仔细阅读题目并审慎分析，以便突破思维定势的束缚，找到正确的答案。 三、多选题解题方法与技巧 多选题通常要求考生从四个选项中选择两个或以上正确答案，但所有选项都正确的极少出现。这类题目考查知识面广，要求考生对数学基础有深刻理解并全面掌握。考生面对多选题需熟悉并掌握几种解题策略，因为从四个选项中选一个答案转变为选多个答案，更具挑战性。 2.1求解对照法（直接法） 这种方法为同学们所熟知，解题时，首先要完整读取题目信息，既需阅读题干，亦需阅读四个选项。对关键的字眼应予以仔细辨识，以免出现误解或遗漏，从而造成不必要的失分。在理解题目条件的基础上，应迅速联想到相关的概念、公式、定理以及常见的思想方法。同时，还需找出题目中的隐含条件，深入理解题目的真实含义。由于高考的题量较大，若所有选择题均采用直接求解对照法（即直接法）进行解答，时间上将无法充分保障，甚至有些题目在短时间内可能无法得以妥善解决。因此，我们需要掌握并运用其他的方法进行解题。 2.2特值检验法 根据题干或选项的要求，为变量赋予特定值，是帮助选择正确答案的有力手段。此外，这种方法亦可用来识别错误答案。特别是针对多选题，答案往往含有多个正确选项，此时考生可通过预先设定特殊值，将其代入选项中进行检验。若某些选项与预设值不符，则可直接排除，从而缩小了答题的范围，有效节约了解题时间。 2.3逆推代入法 将选项中给出的答案，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，用时注意，考虑全面，避免遗漏。如求取值范围的问题可用这种方法，不但能节省繁杂的计算过程，而且可争取到更多的考试时间。 2.4排除法 排除法指的是可以通过排除错误选项，节省推导和计算时间.在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定是正确选项（至少存在两个正确选项）。经过对近年高考试题进行深入分析和研究，我们发现一个较为显著的模式：在四道多选题中，至少有两道的正确选项数量仅为两个。 2.5逻辑分析法 逻辑解析法：该方法通过剖析四个选项之间的逻辑联系，以否定错误选项，从而挑选出正确选项。举个例子，在多选题中，如存在两对内容互相对立的选项，我们应从两对对立选项中各自挑选一个选项作为正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD两组选项互相对立。此时，我们应从AB和CD两组中各选择一个答案。另外，如果存在两对内容相近或相似的选项，且这两对选项内容对立，那么其中一对相近或相似的选项应该是正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD的内容相近且对立。如果判断A项正确，则AB两组都正确；如果判断C项正确，则CD两组都正确。 2.6宁缺毋滥法 也称为“逃避策略”，源于中国古代兵法的三十六计“走为上”，是在有充分把握时的首选策略。有把握的选项应当被毫不犹豫地选择；而对于没有把握的选项，应坚决地放弃。猜对的概率最高仅为50%，若不幸猜错，本题将被判定为0分。在面对多项选择题时，应明确强烈的审慎原则，首先选出2个最有信心的选项，只有在确信还有其他正确选项时，才能继续筛选。否则，拒绝选择，以防止错误答案的出现。这样，才能保障基本得分。因此，在处理选项时，我们应坚持宁缺毋滥，这与单项选择题的处理方式存在显著差异。 总之，新高考中数学多项选择题的引入与设置，为数学知识的教学与考查提供了更多的平台，同时也为不同水平的学生提供了更多得分的机会，更加准确地评估和区分了学生不同层次的数学基础和能力水平。此外，不同类型的数学多项选择题和相应的解题策略也相继出现，这些策略在应用时并不是孤立的，而是相互交织和融合的。因此，学生在解题时需要综合考虑，并巧妙地运用这些策略。教师在教学过程中应着重巩固基础，注重概念讲解，平日教学中要灌输学生数形结合、分类讨论等解题方法。 · 5.高考数学阅卷和答题卡确注意事项 1、 扫描　　 1.如果不使用规定的2B铅笔，可能识别被误判为“空选”，造成失分。 2.答题要规范，否则若无法辨认，容易误判或不给分。 3.作图未使用规定铅笔，或下笔太轻，会造成扫描看不清楚，请慎重。 4.语言表述需简明扼要，勿超出答题区域。 二、阅卷 1.主观题和客观题 一般客观题为选择题，由电脑自动阅卷完成；主观题为填空题、解答题，划分区域后，由人工网上阅卷完成。改卷中存在争议的部分，往往都是主观题部分。 　2.正评和仲裁 每次考试，一般每道题由两位老师独立评分，即为正评。评卷前会在系统内设定一个允许误差，一般是2分，若两位老师评分不超过允许误差，则得分按均值计算；若评分超过允许误差，则试卷提交到第三位老师进行仲裁，作为最终结果。 3.评卷误差的产生 评卷误差的产生，主要有两个原因：一是解题过程的规范性，二是书写的规范性。 由于解题过程的不规范，其实是方法掌握得不够全面，各题迥异不具代表性，这里主要展示一些书写规范性的问题。 ①潦草的字迹，无法辨认，或容易引起歧义。 ②解答题未化简到最终结果可能会多扣分; ③填空题以下情况全扣; ④千万别和阅卷老师开玩笑，情节严重者，本题即使有部分正确依然0分处理。 建议同学们要注意平时作业和考试中的书写，一定要非常规范，养成良好的习惯，这样在高考中就会很自然地书写规范，考出自己满意的成绩！ 三、阅卷教师希望看到的是能够减轻阅读量的卷面，具体包括以下6点： 　 1.卷面清洁，这是最基本的要求； 2.书写工整，字迹清晰； 3.在规定的答题区域答题，否则做无用功； 4.表述是要根据分值思考要点，尽量细分，用分号或①②③④等符号清楚表述； 5.语言要简洁，答中要害； 6.语言表述要规范，尽量用专业术语。 如果卷面做到了以上6点，在“可给分可不给分的情况时，从宽给分”的高考评分原则下，将无形中增加了多得分的砝码。 四、以下是网上阅卷中发现的考生答题不规范的典型情况： 1.字迹潦草 问题一：字迹潦草、字迹过淡的情况不少。高考阅卷是在计算机中阅读扫描后的考生答题卡，没有平时纸质阅卷那么清晰易认，加上高考阅卷时间短、任务重，因此字迹不清楚的试卷是不受阅卷老师欢迎的。 【应对】书写差的学生应加强书法练习，不仅每个字要力争书写工整、大方，而且整个卷面要做到干净、清洁；答题卡答题范围设置是假定用三号字书写两倍正确答案字数的大小，考生无需担心字写大了书写空间不够；考试时统一要求学生使用配套的0.5mm考试专用水芯笔，避免笔迹过淡或过浓导致扫描不清晰。 2.题号填涂与作答不符 问题二：试卷中有选考题，要求考生除了答出所选题目的答案外，还要在答题卡中将相应的选择题号涂黑，而部分考生出现答题内容与所涂题号不一致的情况，这样做，该题0分。例如，考生涂的是9题题号，答的却是10题的内容，只能得零分。 【应对】答选考题时，一定要头脑清醒，选定要答的题目一定要涂 对题号，否则白费了工夫，还不得分。 3.超出规定区域答题 问题三：部分学生还没想好便匆忙答题，以至于格式没安排好，超 出了该题预留的答题位置。在网上阅卷中，超出规定区域的答案无效。 【应对】答大题时，想好了再动笔，先答什么，后答什么，要有条理，不能写了半天还没入主题，重要的东西没地方写了，再东找点地方，西找点地方写，结果不得分。 4.答案分块 问题四：有的学生答案布局不合理，内容分成了几块。“分块”现象容易导致阅卷老师漏阅得分点，造成赋分过少的现象。 【应对】高考试题中的非选择题一般是一个要点2分。因此，书写答案前先确定需要书写的要点个数，规划好答案的整体布局，在书写前对答案打好草稿，然后从左上角往右下角书写，这样就不会出现图示的“分块”现象；备考过程中加强对高考非选择题答案的揣摩，分析答案要点有几个，答案依据在哪，为什么只答这几个要点等。做到答题时条理分明，避免书写之后又补充答案的现象。 5.答案不分层次 问题五：不少考生答一道大题时，没有层次，一口气写了一大段，让阅卷老师很难查找知识点。 【应对】对于一道需要答出很多采分点的大题，考生作答时要尽可能做到有层次，这样能让阅卷老师感觉到该考生思路是清晰的，便于得高分。 6.作图不规范 问题六：部分学生在答题卡上作图不清晰，要不过淡，要不就东一条线、西一条线，擦又没擦干净，显得很脏，这让阅卷老师很难辨识清楚。 【应对】作图题要本着清晰、干净的原则，该用尺子的地方一定要用尺子，线条要重些，但又不能让其看起来显得很脏。 7.出现删除符号 问题七：部分考生匆忙答题，答错了一段，便用删除符号大面积删掉。 【应对】很多学生感觉答题出现错误时，往往使用删除符号划掉部分字词，这是一个极其错误的思维定势。 高考阅卷有一个“采点得分”原则，即只看对的答案。只要不是同一句话中前后矛盾，那么即使是错误的答案也不会影响考生应得分数。因此，在不允许“打补丁”的前提下，已经书写的答案就不要使用删除符号。 解决方案：1.如果答案中已经用数字标注①、②、③等，则无需进行修改。2.如果没有使用数字标注的习惯，则在认为要删除的答案前后标上句号，使其与别的答案存在并列关系。 5、 数学阅卷中给考生在考试中发挥提几点意见： 1.发挥最大潜能，让考分达到最大值，忽略其他一切与考试无关的东西。 2.立体几何第1问一般较为简单，用一般知识即可解决，不必用空间向量求解，但第2问一般都要建坐标系用向量求解。 3.由于每道大题答题框面积有限，故答题只能写必要关键步骤，有些课本上没有的常规结论直接使用。 4.如果将前面的过程写得过细，必然会导致后面拥挤，关键的内容没有写上。 5.大家知道，大题不能留空白，“会而不对”的题将涉及的知识套上去，必要时用“瑕疵”法求解。 6.大胆使用归纳、类比，赋值法。 7.熟知高考数学解答题的评分标准：解答题评分的大思想“踩点给分”，先由评卷全体老师把该题可能有的解法都解出来，每种解法，细化步骤，讨论哪一步给多少分，直到评卷组长通过为止。 · 6.解答题解题模型 概率条统计 · 考前注意篇 · 1.考前考生需要做哪些准备 一年一度的高考即将来临，又是千千万万学子寒窗苦读12年，怀揣大学梦，共挤独木桥的夏季，在离高考只剩下半个月的时间，高三的学生们该如何做好高考前的准备呢？这里不仅有文化课的准备，还有心态的准备，需要做到劳逸结合，保持好心态，保持好身体，高考才能正常发挥。现在就为正在努力备考的学生们分享一下高考前的准备工作。 知识准备 1.不做题海战术。距离高考时间越来越近，这时不能够再把时间花在题海战术上，可能有些同学说，如果不保持每天的做题量，锻炼自己的做题速度跟准确度，很难保证在考场上有正常的发挥。其实，我们应该把更多的时间分配到各科的基础复习当中，然后在每天复习完之后，适当选择一些题目出来练习，建议按照规定的时间完成每一道题目，也能达到考场中的那种紧张感。 2.注重课本基础知识点的复习。这时已经不是做难题做偏题的时候，在这么短的时间，想要有一个突破性的提高，基本已经很难，同学们应该把更多的精力放在课本基础知识点的掌握与复习当中，高考面向的是所有学生，试题大部分偏向于基础，而少部分的难题作为中高层学生的拉分机会。当然，题目难，得分也难；题目易，失分也容易，考场更需要胆大心细，做到易题不丢分，难题争得分。 3.分析自己的优势弱势环节。复习时，要客观理清自己的优势科目、弱势科目。如果理科是弱势，那么这时再强化做题基本已经来不及了，反而应该多看看课本上的基础性原理跟公式的应用，保证基础题目能够得分，而且是尽量拿满分，减少失误；如果弱势在于文科，那么在接下来的时间里面，还有机会进行一小段的提高，比如可以多花一些时间背诵名人警句，多看看优秀作文，多背背英语单词，听一听听力，培养自己的语感，一直持续到高考该科目的结束，相信会有一个不错的效果。 4.翻阅错题本。在复习时，将以前做过的试卷或者收集起来的错题本拿出来，多看看里面经常会犯错，而且容易忽略的基础性错误，避免在高考时又在同样的地方摔倒，尽量做到会做的题目，就拿满分，不会做的题目，分析一下哪些步骤会做，争取拿分，特别是理科题，不要因为是难题就完全放弃，而是在考试的时候，看哪些步骤会，就写上去，题目是按步骤给分，多争取一个步骤，就多争取一分，就相当于为上理想大学多向前迈进了一步。 5.适当做题，掌握技巧。在临近高考前，会发现越来越多的模拟题，特别是各个地方传来的所谓高考热点，这时候自己要有所针对性地做一些相应的模拟题，但切记过多，一个星期在规定的时间内完整做完2到3套模拟题即可，关键在于保持自己的作战心态，从做题中给自己一个宏观上的分析，可以找出自己在做题过程中所遇到的问题，避免在考场上的重现，提高自己的应试能力，做到知己知彼。 心理调整 1.给自己积极的心理暗示。每天早上起床，面对着镜子微笑，提升自信心，保持良好的心态，就算跟同学打招呼，也露出自信的微笑，一定要相信自己，只要努力付出了，就无怨无悔。高考只是学习之旅的一个驿站，考得好与不好只是暂时的一个经历而已，重要的是在这12年的学习中，培养的思考能力与学习能力，以后的人生之路还很长很长。 2.不跟学习成绩好的攀比。五指伸出有长短，每个人都有每个人的优缺点，有长处也有短处，而且每个人的学习方法不同、天赋不同、后天成长也不同，根本就不存在可比性，每天只要跟自己比就好，是否今天又发现了自己存在丢分的环节，是否又发现了自己可以在哪些环节上进行加分，只有不断地剖析挖掘自己，自然而然就能够更加客观地看待这次高考。 3.放松心情，别给自己太大压力。高考几乎是每个人都会经历的一次考试，当然心态看个人，主要靠自己调整，越是临近高考，越是要跟学长、老师或者家人进行心理上的沟通，把心中的烦闷跟他们讲，把遇到的心理压力释放出来。作为过来人，他们会给出当年高考是怎么一步步走过来的，这样有了一个借鉴性的经验，自然心情就会舒畅很多，切忌什么事情都往自己身上推，对自己过不去，就是对自己的未来过不去，多多沟通交流，才能不断解惑释压。 4.劳逸结合。在临近高考，学生切忌整天除了睡觉的时间，其余都花在课本上面。每天给自己定好一个复习计划，看完书就到外面走走、散散步、跑跑步、聊聊天或者打打球，让大脑休息一下，持续地看书做题，有时会让大脑处于一个紊乱状态，可能有一些题目其实并不难，但却总是解不出。不知道同学们自己有没有发现，当过了一两天之后，这些所谓的难题再拿出来做，会有一种豁然开朗的感觉，这就是需要劳逸结合的目的所在。而且通过适当的运动，还可以增强体质，保持一个健康的体魄，避免高考时身体不适，导致发挥失常，那才是前功尽弃，得不偿失。 · 2.高考前一天需要做哪些准备 高考对于考生和考生家长都是一次很重要的考试，考试中如果发生一点差错，就可能会对考生造成影响，那在考前应该做好哪些准备工作，让我们有备无患呢？ 1.考场踩点。在高考前，考生最好能够去考场踩点，以便在高考当天迅速找到考场，避免因考场找不到而造成的心理焦虑，我们去踩点时要注意考场在哪栋楼、哪一层、哪个教室，座位大约在哪，洗手间在教学楼的哪个位置，从我们的住处到考场需要多长时间，要使用什么交通工具，等等。这些如果考场不是在本校的，学校一般都会统一安排时间让考生提前到考场适应环境。 2.准备好考试用品。最重要的准考证、身份证，文具(包括签字笔、2B铅笔、橡皮、三角板、直尺、圆规等)，手表，着装，水和雨具。这些可以统一放在一个文件袋中，方便寻找。 3.调整作息时间。为了在高考时，能够有更好的发挥，在考前一天，复习的强度不宜过大，休息好大脑才能在考试时充分发挥。 4.记清考试规则。在考前一定要记住高考的规则，不要带考试禁止的东西进入考场，考号、姓名要写在规定处，不要带草稿纸等出考场。考号姓名以及答题卡涂写方式可以在平常的模拟考试中演练。 5.调整心态，积极面对高考。有一个良好的心态，对于高考无比重要，很多考生会因为高考的巨大压力寝食难安，在考前，考生可以通过自我暗示、与人沟通、转移注意力等方式调整自己，让自己带着最佳心态进入考场！ · 考场注意篇 · 1.高考遇到不会的题怎么办？ 考场上遭遇棘手难题该如何破局？难道要放任珍贵分数从指缝间溜走？绝不！纵然身处绝境亦要奋起突围！须知高考战场一分之差便可跨越千军万马，这绝非危言耸听。正因如此，我们必须在考前铸就万全之策，方能在试炼降临之际保持头脑清明如鉴，决策精准似刃，将每一个可能斩获的分数牢牢攥在手中。 不管你考前准备的如何充分，高考考场上，真正较量的已经是心态遇到不会做的题，一般都会有压力，情绪紧张。此时冷静下来，先别自己吓自己。 在考试中遇到不会做的题目是很正常的现象，但过度紧张只会削弱我们的判断力。正如专家所建议的，保持冷静的心态对于考试表现至关重要。紧张不仅容易导致错误，还可能使我们的时间感知变得扭曲，从而影响整体表现。自己以为才患考了一两分钟，其实慌慌忙忙的已经过了十分钟。一看表，妈呀更紧张了，于是只好放弃。 考了这么多年的试，每个人都会有自己处理紧张情绪调整心态的办法，但要是你还无法处理好，说明自己的方法不管用。 今天讲几个怎么在考场调整情绪的方法，希望能给大家一些启发， 第一招：直面紧张，解决问题 按照常理，我应该劝大家握紧拳头对自己说，我不紧张我一点都不紧张。我不知道对你有没有用！ 反正对我没什么帮助，就像试图用纸包住火焰，只会让事情更加明显。情绪需要发泄，考场上争分夺秒，与其花时间安慰着自己，不如承认事实。就是不会做就是很紧张，就让自己顺利发个抖呗，几秒就抖完了，抖完会发现，也没什么好紧张的。就好像发火一样，火气发完也就几秒的事，压着火可能几天心里都不舒服。正视问题，才能解决问题！直面紧张，才能克服紧张！ 第二招：放空情绪，一心考试 每次考试，我会有意识训练自己，这是在考试，考完了你可以紧张可以大哭，但考试这两个小时什么都不许想，只一心一意考试就好。做题都没时间好么，哪有时间紧张有任何情绪都直接忽略，就好像自己是在执行任务的代码一样，考试无非是把自己会做的掌满分，有任何情绪都直接忽略，就好像自己是在执行任务的代码一样，考试无非是把自己会做的拿满分不会做的拼命多掌分。看到简单的题，不高兴也就没有粗心的可能，看到不会做的题，先想到的不是紧张伤心，也就能全力以赴。 第三招：用好紧张情绪，或许超常发挥 紧张即压力，利用好了，压力就是动力。怎么把压力转化为动力，个人觉得一定要保持积极的心态。这一点好像和第二点有矛盾，但高考不是儿戏，谁也不想再来一次，总是要想办法做到最好。多年的考试历练，让大脑锻炼出了一种能力，只要运转正常，考试时便能如同拥有多个开关的机器，根据需要灵活切换状态。高考前仅剩的这几天，不需要想太多，高考，也不需要想太多。面对一张试卷，你的目标就是逐分攻克，将其一一收入囊中。这和打机的时候不是很像么，一关一关的闯下去，一级一级的升上去。为什么电脑运行这么高效还鲜少出错？因为每道程序只按部就班执行自己的任务就好了。 第四招：随机应变，忽略形式 先易后难，先把能掌的分掌下从来都是重点。不必固执于难题，要学会灵活应对。高考最终看的是总分，至于具体哪道题得分哪道题失分，并不重要。像数学最后一道大题最后两小结这种高难度，见好就收吧，把会做的步骤写完就好。不纠结了自然也就可以从容面对了。对于会做的题目，要确保拿满分。对于不会做的，要想方设法，灵活运用各种技巧。实在不行的，回去检查！但是记得改答案一定要确认又确认，别冲动。 · 2.如何克服丢失不该丢的分 每次考试，总会有很多的学生丢失本不该丢的20分——这些分数不是败给难题，而是输在草稿纸上跳错的数字，答题卡上错位的选项，审题时漏看的"不"字。下面，我们就来共同锻造这把名为"细心"的利剑。 一、认知突围：失误的本质是态度偏差 当我们反复强调"认真审题"却收效甚微时，就像对着雾中灯塔喊话。某重点中学追踪研究发现，习惯性失误者往往存在认知误区：把"马虎"归咎于偶然，将"粗心"美化为性格。殊不知，这恰如运动员轻视热身，医生忽略消毒，本质都是对专业精神的怠慢。唯有正视失误背后的态度问题，方能从根本上斩断粗心的根源。如同工匠雕琢璞玉，需耐心细致，步步为营。培养专注习惯，严谨对待每一处细节，让细心成为习惯，而非偶尔的闪光。如此，方能剑指高分，无往不利。 请记住，高考本质是精确度的极限测试。就像航天器对接容不得毫米误差，我们的答题系统也需要建立防错机制。从日常练习中嵌入细致入微的检查流程，到考场上的冷静自省，每一步都是对细心的锤炼。唯有如此，才能在关键时刻避免低级错误，让每一次落笔都精准无误，最终成就高分梦想。 二、双重自我：构建内在监督系统 想象考场中存在两个"你"：一个是执笔答题的战士，另一个是手持放大镜的监考。这种"双重自我员工法"已在飞行员训练中应用数十年。具体操作时，请在每个解题节点启动15秒速查程序：读题时标注题眼如同考古学家标记甲骨文，书写时笔尖轻点标点似雕刻家收刀，计算时复述过程像会计核对账目。如此，内外兼修，形成严密的自我监控体系，确保每一步都精准无误，让细心成为潜意识中的本能反应。久而久之，习惯成自然，失误自然遁形，高分亦如探囊取物。 某位清华学长分享的案例令人震撼：他专门训练"视线回扫"技能，像复印机扫描般在解题后自动回看关键数据。这种机械性的重复看似笨拙，却在高考数学中帮他挽回12分，相当于全省排名跃升15000位。 三、四维锚定：让技巧成为肌肉记忆 "读写解算"四步口诀犹如四把钥匙：读题时画出逻辑树状图，书写时实施"三秒延迟"策略，理解时建立知识点超链接，计算时启动逆向验证程序。就像钢琴家形成肌肉记忆，我们需要让这些动作成为解题的默认设置。 建议同学们在模拟考中创造"高压实验室"：故意设置干扰项训练专注力，用倒计时器制造紧迫感，甚至尝试在嘈杂环境中解题。这些刻意练习，终将锻造出在考场上稳如磐石的定力。 四、执行升华：从知道到做到的最后一公里 知道凌晨四点的洛杉矶不算什么，重要的是每个清晨准时响起的闹钟。建议建立"失误日志"，像科学家记录实验数据般追踪每个错误。某重点班实践表明，坚持21天记录的学生，失误率下降67%，这比任何励志标语都更具实证力量。 请将每次练习视为高考实景演练：从填涂答题卡时铅笔的倾斜角度，到草稿纸的分区策略，再到水杯摆放的位置，都要形成条件反射。记住，战场上没有临时起意，只有千锤百炼的肌肉记忆。 同学们，当你们走出考场时，最欣慰的不会是攻克了某道难题，而是在每个细节处都做到了极致。那些看似微不足道的15秒检查，终将汇聚成改变命运的洪流。让我们以工匠精神雕琢每个解题步骤，让细心成为刻进DNA的考试基因！ 如此，每一次练习都是对自我极限的挑战，每一次检查都是对完美细节的追求。 · 考后注意篇 · 1.高考结束后要注意什么？ 2025年高考总算考完咯，同学们眼瞅着就要迎来舒舒服服的“考后”小日子啦。在美滋滋享受假期的当儿，可千万得把“安全第一”记在心头呀！ 一、预防溺水 炎热夏季，我们应避免因追求凉爽而忽视安全，切勿前往不熟悉或缺乏安全措施的水域游泳。若不幸遇到溺水事故，我们不应仓促下水救援，而应先准确评估自己的救援能力，并采取科学合理的救援方法。 二、防雷雨、山洪 夏季暴雨等极端天气事件频发，提醒各位同学需提高警觉。建议密切关注天气预报信息，当遭遇台风、暴雨、雷暴等恶劣天气状况时，应尽量减少外出活动。在雷雨天气中，应避免靠近电线杆、变压器、户外广告牌、桥洞、下沉式立交桥、树木等潜在危险区域。若必须在积水中行走，请务必留意周遭环境，以预防不慎跌入窨井或坑洞等意外发生。 三、交通安全 高考结束后，众多学子倾向于选择参与外出聚会或旅游活动。在出行过程中，必须高度重视安全问题。特别需要指出的是，未成年人驾驶机动车辆不仅存在极大的安全隐患，而且违反了法律规定。因此，我们应当恪守交通法规，乘坐车辆时务必系好安全带，牢记“安全带等同于生命带”的重要性。 四、防诈骗 高考结束后，若接到自称来自高校、教育、财政等部门的工作人员的电话或信息，声称将发放“国家助学金”、“返还义务教育费”、“助学扶助款”，或进行非正规渠道的招生宣传，考生及家长应保持警惕，切勿轻信。应主动与当地教育部门或学校联系核实。请注意保护个人隐私信息，准考证、身份证、考生号和密码、成绩单或成绩查询页面、志愿填报信息等切勿随意公开。不要轻易点击不明链接，通过官方网站核实分数和录取信息。在参加暑期社会实践前，请务必深入了解实践单位的具体情况，明确相关的法律条款和规定，以防上当受骗。在外出游玩时，不轻信陌生人，不随意透露个人信息。 五、最迫切：放松心情，调整作息 请确保充分休息，并对个人物品进行有序整理。对于已使用的资料，应进行妥善分类处理，可以选择保存、出售或转赠给后辈。网络上流传的诸如撕毁书籍、试卷等极端宣泄行为，既不环保，亦非明智之举。考试结束后，在放松身心的同时，应及时调整心态，以积极的姿态迎接人生的新篇章。 放松身心并不等同于放纵自己：追剧、通宵打游戏、日夜颠倒等不良生活方式应坚决避免，备考期间养成的良好作息习惯需继续保持，并注重加强锻炼，以增强自身免疫力。 六、最理智：合理规划未来 在准备填报志愿的过程中，必须深入探究所选专业的课程内容、就业趋势及职业成长路径；对于个人感兴趣的专业领域，在掌握其学术背景与行业发展趋势的基础上，应积极向行业专家或教师寻求指导，审慎权衡其优劣，并进行深入的交流与讨论。 七、最感悟：回顾过去，展望未来 对高中三年的时光进行系统性的回顾，撰写文章。深思高中生涯，记录下那些珍贵的回忆，甚至可以尝试创作小说，重温那些曾经邂逅的人物与事件。回顾过去，展望未来，让青春的梦想与理想在心灵中飞翔，最终将它们转化为文字，这将成为我们未来珍贵的精神财富。 八、最走心：静心阅读 何不利用这个时机，遨游于书海，尽情领略阅读那些吸引你的书籍？特别是那些经典名著，它们能够拓展我们的思路，拓宽我们的眼界。 九、最感恩：向陪伴成长的人表达谢意 感恩之情永远都不会缺席。 高考结束之际，对默默奉献的父母道一句，“感恩你的关怀”。 六月时分，这既是告别的季节，也是表达谢意的时刻，感谢老师，感谢父母，感谢那些始终给予支持、守护和无声付出的亲朋好友。 · 2.高考志愿填报十大铁律 高考结束并非终点，而是人生关键的转折点！志愿填报得当，分数才能发挥最大价值；一旦失误，高分也可能遭遇“滑铁卢”。面对院校选择、专业设置和录取规则的复杂性，许多家庭容易感到困惑，甚至因盲目跟风或信息不对称而错失良机。今天，我们整理了高考志愿填报的十大原则，希望帮助大家在填报时更加理性、科学，为孩子的未来铺就一条明确的道路。 1、 普通家庭求稳：优先考虑医学、军校、师范生等专业，这些领域通常能提供稳定且有保障的职业发展。 2、 富裕家庭传承：选择金融、经济、管理等专业，有助于延续家族的商业传统和财富积累。 3、 追求高薪起点：选择名校的电子通信、计算机等专业，这些领域发展潜力大，薪资待遇优厚。 4、 人工智能、大数据方向：名校的师资和资源更具优势，普通院校在这些领域相对竞争力不足。 5、 非名校慎入经管：缺乏名校背景，在竞争激烈的经管领域可能会面临较大挑战。 6、 谨慎对待“生化环材”：这些专业需要深入的学术研究才能有良好发展，不打算读硕博不建议轻易选择。 7、 农林、地矿、石油和土建：这些专业通常需要在艰苦环境中工作，需做好心理准备。 8、 艺术类专业：需要天赋、资金和人脉支持，成功并非仅靠努力就能实现。 9、 医学、法学：道路漫长但前景广阔，医学需要长期学习，法学还需考取相关证书。 10、 认清自我最关键：天才追求改变世界，普通人应追求一份好工作，志愿填报需结合自身特点和目标。 志愿填报既是一场信息战，也是一场心理战。此外，还需综合考虑个人兴趣、能力、家庭背景等因素，科学分析院校录取数据，合理规划志愿梯度，避免盲目追求“热门专业”或“名校光环”。愿每位考生和家长都能在填报过程中保持冷静，理性选择，为孩子的未来奠定坚实基础。 可能这才是高考的真谛吧：它不一定能决定你未来的路，但绝对记录了你青春里最闪亮的瞬间。 · · 2025年新高考数学终极押题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．100 D．80 3．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则（ ）． A．2 B． C． D． 4．已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的分位数，则的展开式中 的系数为（   ） A．280 B． C．560 D． 5．函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   6．在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 7．已知函数的图象在点（其中）处的切线与圆心为的圆相切，则圆的最大面积 是（    ） A． B． C． D． 8．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC的边长为1，点P为的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（本题6分）若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C．的共轭复数为 D．在复平面内对应的点位于第三象限 10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（    ） A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 11．已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知平面向量，若，则 ． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为．为坐标原点，点在双曲线的一条渐近线上，且，若，则双曲线的渐近线方程为 . 14．某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（本题13分）某人工智能公司从某年起7年的利润情况如下表所示． 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)计算出y与x之间的相关系数（精确到0.01），并求出y关于x的回归直线方程． (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第8年和第9年的利润． 16．（本题15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，点D为边上一点，且，求的面积大小． 17．（本题15分）如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且.    (1)证明：四点共面； (2)求的长； (3)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本题17分）已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点. (1)求椭圆的标准方程; (2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由. 19．（本题17分）定义：，其中． (1)求证：当时，（当且仅当时取等号）． (2)对于任意正整数，是否存在正整数，使得不等式恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． (3)若正项数列满足，，，求证：． 确认过眼神，这就是你想要做的题！ · 2025年新高考数学终极押题卷（解析版） 大厦巍峨意似铁，三年苦干血汗彰。 定怀信念乘风进，稳操胜券写锦章。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且注意到， 从而. 2．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．100 D．80 【答案】B 【详解】因为，所以，又，所以，则， 所以 3．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则（ ）． A．2 B． C． D． 【答案】 【详解】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即， 所以，即. 4．已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的分位数，则的展开式中的系数为（   ） A．280 B． C．560 D． 【答案】D 【详解】由，得，则展开式中含的项为，所以所求的系数为. 5．函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【详解】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确. 6．在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】在中，由及正弦定理得，而， 整理得，即，而， 则，因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 7．已知函数的图象在点（其中）处的切线与圆心为的圆相切，则圆的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，切点，，， 所以切线为：，即， 因为切线与圆相切，所以， 所以，令， 则 ， 令，解得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以. 8．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC的边长为1，点P为的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，以为坐标原点，所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 因为正的边长为1，且点为的中点，所以， 点在以为圆心，为半径的圆上，则, 所以， 则，所以. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（本题6分）若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C．的共轭复数为 D．在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】BC 【详解】由，所以， 所以的虚部为2，故A错误；，故正确；的共轭复数为，故正确；在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误. 10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（    ） A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 【答案】ABD 【详解】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，其和为； 而第行第个数字就是，故A正确； 对于B：因为，， 所以，故B正确； 对于C：由图可知：第行有个数字， 如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大； 如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大， 所以第行的第个数最大，故C错误； 对于D：依题意：第行从左到右第个数为，第行从左到右第个数为， 所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确； 11．已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为 【答案】BCD 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，    则， 所以， 由平面，得，即， 化简可得：，所以动点P在直线上， 对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；对于选项C：，C选项正确； 对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确； 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知平面向量，若，则 ． 【答案】 【详解】，因为，所以，即，解得. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为．为坐标原点，点在双曲线的一条渐近线上，且，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】    由，不妨设，则 因为，由焦点到渐近线的距离就是，可知 在直角中， 在中，则解得 故，所以 综上，渐近线方程为 14．某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 【答案】 30 【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案，所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术”，先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式， 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（本题13分）某人工智能公司从某年起7年的利润情况如下表所示． 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)计算出y与x之间的相关系数（精确到0.01），并求出y关于x的回归直线方程． (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第8年和第9年的利润． 【答案】(1)0.99， (2)第8年的利润为6.3亿元，第9年的利润为6.8亿元． 【详解】（1）由表中数据可得 ， ， ， ， ， 所以，， 回归直线方程为． （2）在回归直线方程中令，得， 因此预测第8年的利润为6.3亿元． 在回归直线方程中令，得， 因此可预测第9年的利润为6.8亿元． 16．（本题15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，点D为边上一点，且，求的面积大小． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由正弦定理可得， 根据余弦定理得， 又，所以． $$ - 1 - - 2 - 目 录  致 2025 年高考学子的一封信：以坚韧为笔，书写青春答卷 .................................................................... - 3 -  1.集合与常用逻辑用语★★★★★ .................................................................................................................. - 4 - 2.复数★★★★★ .............................................................................................................................................. - 6 - 3.基本初等函数★★★★★ .............................................................................................................................. - 8 - 4.导数★★★★★ ............................................................................................................................................ - 12 - 5.平面向量★★★★★ .................................................................................................................................... - 15 - 6.三角函数★★★★★ ................................................................................................................................... - 18 - 7.数列★★★★★ ............................................................................................................................................ - 22 - 8.立体几何★★★★★ .................................................................................................................................... - 24 - 9.直线和圆★★★★★ .................................................................................................................................... - 32 - 10.圆锥曲线★★★★★ .................................................................................................................................. - 35 - 11.计数原理★★★★★ .................................................................................................................................. - 39 - 12.概率小题★★★ ........................................................................................................................................ - 42 - 13.统计★★★★ ............................................................................................................................................. - 45 -  1.新高考数学五年考点热度大揭秘 ............................................................................................................ - 49 - 2.新高考又热起来的表面积和体积 ............................................................................................................ - 53 - 3.新高考函数压轴---抽象函数 .................................................................................................................... - 58 - 4.折展乾坤，向量破题---立体几何经典解答题 ......................................................................................... - 62 - 5.今年的 19 题还是新定义创新问题吗？ ................................................................................................... - 76 - 6.高考前的终极拷问：2025 年考生必看！（8 大必考板块 150 个易错问点！★） ............................. - 81 -  1.高考倒计时 30 天，还能干点啥提升自己呢？ ..................................................................................... - 105 - 2.高考数学核心考点解题方法与策略 ...................................................................................................... - 109 - 3.高考数学临场解题策略 .......................................................................................................................... - 116 - 4.新高考数学多项选择题的解题策略与技巧 ........................................................................................... - 120 - 5.高考数学阅卷和答题卡确注意事项 ...................................................................................................... - 125 - 6.解答题解题模型 ...................................................................................................................................... - 129 -   考前注意篇 1.考前考生需要做哪些准备 ...................................................................................................................... - 132 - 2.高考前一天需要做哪些准备 .................................................................................................................. - 134 -  考场注意篇 1.高考遇到不会的题怎么办？ .................................................................................................................. - 135 - 2.如何克服丢失不该丢的分 ...................................................................................................................... - 137 -  考后注意篇 1.高考结束后要注意什么？ ...................................................................................................................... - 139 - 2.高考志愿填报十大铁律 .......................................................................................................................... - 140 -  2025 年新高考数学终极押题卷（试卷） ................................................................................................. - 142 - 2025 年新高考数学终极押题卷（答案） ................................................................................................. - 146 - - 3 - 致 2025 年高考学子的一封信：以坚韧为笔，书写青春答卷 亲爱的同学们： 寒窗数载，今朝砺剑；山海远阔，未来可期。在你们即将踏上高考战场的时刻，请收下这 份饱含期许的祝福，愿你们以知识与信念为翼，飞向理想的星辰大海。 以“三基”为剑，破题海迷障 “基础不牢，地动山摇。”正如备考研究强调的“深化基础性考查”，高考从不是偏题怪题的 竞技场，而是扎实功底与核心素养的试金石。 筑牢知识根基：回归教材例题，梳理定理本质，如立体几何中“垂直关系”的桥梁作用，需通过 思维导图构建体系，方能以不变应万变。 规范为舟，精准为桨：谨记“答题过程的规范性”，每个步骤都是得分点；如证明题中“无 线面垂直则扣两分”，唯有严谨逻辑，方显思维光芒。 通性通法胜技巧：少一些机械刷题，多一分深度学习，正如压轴题常考的数列与导数，重 在理解通法而非套路，做到“一题一悟，触类旁通”。 以思维为帆，驭创新风浪 “运算能力决定下限，思维能力决定上限。”新高考命题趋势倡导“多思少算”，需将数学抽 象、逻辑推理化为破局利器。 跳出题海，激活思维：如函数与不等式交融题，需从几何意义或构造模型切入，而非硬算；立 体几何动态问题，可用向量法与纯几何分析双路径突破。 创新题不惧，本质为盾：若遇“新定义试题”，如“可分数列”，请冷静拆解题干，将陌生情 境转化为熟悉模型，以“转化与化归”思想拨云见日。 以心态为甲，守初心热望 高考是一场知识与心态的双重较量。考前需： 合理规划，张弛有度：45 分钟攻克选填，中档题稳扎稳打，压轴题“分段抢分”，终场前 15 分钟回头检视，不留空白。 不畏失误，轻装上阵：易错点提醒的“逻辑链混乱”“坐标建系不当”，皆可成为考前自查清 单；考场上若遇阻滞，果断标记跳题，留得青山方能薪火相传。 以青春为名，赴理想之约 “教育的本质是生长，而非模仿。”高考不是终点，而是探索真理的起点。无论结果如何， 你们已在数学的对称之美、逻辑之妙中，锤炼出理性思辨的智慧与直面挑战的勇气。 愿你们合上笔盖的刹那，有侠客收剑入鞘的骄傲；愿你们拆开录取信的瞬间，有星辰大海 扑面而来的壮阔。2025 的盛夏，注定因你们的拼搏而璀璨！ 谨祝： 笔下生花，圆梦今夏！ 一位与你并肩的助考者 2025 年 6 月 - 4 - 1.集合与常用逻辑用语★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 1 1 并集的概念及运算 20202 1 1 交集的概念及运算； 20211 1 1 交集的概念及运算； 20212 1 2 交集的概念及运算；补集的概念及运算； 20221 1 1 交集的概念及运算； 20222 1 1 交集的概念及运算；公式法解绝对值不等式； 20231 2 1 交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式； 7 充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列； 求等差数列前 n项和； 20232 1 2 根据集合的包含关系求参数； 20241 1 1 交集的概念及运算；由幂函数的单调性解不等式 20242 1 2 判断命题的真假；全称命题的否定及其真假判断； 特称命题的否定及其真假判断 此考点在每年的考试中均占据重要地位，第一题的掌握尤为关键。从考查内容来看，主要涉及交并补 运算，并常与解不等式等知识点相结合。虽然新定义的运算也可能出现，但其难度通常不高。综合历年经 验，预计命题小组对集合部分的考题进行大幅度调整的可能性较小。因此，考生应重点掌握交并补运算的 基础知识，并熟悉其与其他知识点的交汇点，以确保在考试中能够稳定得分。此外，排除法（特殊法）也 是解决此类问题的优选方法。 常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、 对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画 数轴很重要；指数形式永远大于 0 不要忽记；特别注意代表元素的字母是 x 还是 y。“充要条件”的判 断要先区分清楚条件和结论，充分性“条件⇒结论”，必要性“结论⇒条件”。要注意“三角与充要条件” 结合的考题 2025 年高考预测： 1．若集合 { 4}, { 3 1}M x x N x x   ∣ ∣ ，则M N  （ ） A． 0 2x x  B． 1 2 3 x x        C． 3 16x x  D． 1 16 3 x x        【答案】D 【详解】 1 { 16}, { } 3 M x x N x x    ∣0 ∣ ，故 1 16 3 M N x x          2．已知集合 { | 3 1}M x x    ， { | 1 4}N x x    ，则M N （ ） A． 1 1x x   B． 3x x   C． | 3 4x x   D． 4x x  【答案】C 【详解】由题意得  | 3 4M x xN     . 3．设集合 {1,2,3, 4,5,6}, {1,3,6}, {2,3,4}U A B   ，则  UA B   （ ） A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3} 【答案】B 【详解】由题设可得  U 1,5,6B  ，故    U 1,6A B  - 5 - 4．设全集  0,1,2,4,6,8U  ，集合    0, 4,6 , 0,1,6M N  ，则 UM N  （ ） A． 0,2,4,6,8 B． 0,1,4,6,8 C． 1, 2,4,6,8 D．U 【答案】A 【详解】由题意可得  2,4,8U N  ，则  0,2,4,6,8UM N  . 5．已知集合 {( , ) | , , }A x y x y y x  *N ， {( , ) | 8}B x y x y   ，则 A B 中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】由题意，A B 中的元素满足 8 y x x y     ，且 *,x y N ，由 8 2x y x   ，得 4x  ，所以满足 8x y  的有 (1,7), (2,6), (3,5), (4,4) ，故 A B 中元素的个数为 4. 6．设集合  0,A a  ，  1, 2, 2 2B a a   ，若 A B ，则 a （ ）． A．2 B．1 C． 2 3 D． 1 【答案】B 【详解】因为 A B ，则有：若 2 0a   ，解得 2a  ，此时  0, 2A   ，  1,0,2B  ，不符合题意；若2 2 0a   ， 解得 1a  ，此时  0, 1A   ，  1, 1,0B   ，符合题意；综上所述： 1a  . 7．已知命题 p： x R ， | 1 | 1x   ；命题 q： 0x  ， 3x x ，则（ ） A．p 和 q 都是真命题 B． p 和 q 都是真命题 C．p 和 q 都是真命题 D． p 和 q 都是真命题 【答案】B 【详解】对于 p 而言，取 1x   ，则有 1 0 1x    ，故 p 是假命题， p 是真命题， 对于q 而言，取 1x  ，则有 3 31 1x x   ，故q 是真命题， q 是假命题， 综上， p 和q 都是真命题. 8．已知命题“ Rx  ，使 2 1 2 ( 1) 0 2 x a x    ”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A． ( , 1)  B． ( 1,3) C． ( 3, )  D． ( 3,1) 【答案】B 【详解】因为命题“ Rx  ，使 2 1 2 ( 1) 0 2 x a x    ”是假命题，所以 2 1 2 ( 1) 0 2 x a x    恒成立，所以 2 1Δ ( 1) 4 2 0 2 a      ，解得 1 3a   ，故实数a 的取值范围是 ( 1,3) ． 9． “ x 为整数”是“ 2 1x  为整数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当 x 为整数时，2 1x  必为整数；当2 1x  为整数时， x 不一定为整数，例如当2 1 2x   时， 1 2 x  . 所以“ x 为整数”是“ 2 1x  为整数”的充分不必要条件. 10．已知aR ，若集合  1,M a ，  1,0,1N   ，则“ 0a  ”是“ M N ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当 0a  时，集合  1,0M  ，  1,0,1N   ，可得M N ，满足充分性，若M N ，则 0a  或 1a   ， 不满足必要性，所以“ 0a  ”是“ M N ”的充分不必要条件. - 6 - 2.复数★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 1 2 复数的基本概念及除法计算； 20202 1 2 复数代数形式的乘法运算； 20211 1 2 复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算； 20212 1 1 在各象限内点对应复数的特征；复数的除法运算； 20221 1 2 共轭复数的概念及计算； 20222 1 2 复数代数形式的乘法运算； 20231 1 2 复数的除法运算；共轭复数的概念及计算； 20232 1 1 在各象限内点对应复数的特征；复数代数形式的乘法运算； 20241 1 2 复数的乘方；复数的除法运算 20242 1 1 求复数的模 每年一题，稳得不得了，我觉得这也是送分题之一，但九省联考，不再是以选择题的方式来考， 而是放在了填空题的位置。说明考试题型有可能会变，但我认为不管怎么变，这仍然是一道送分题， 大家要细心，确保拿下。考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时， 主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.无法直 接计算时可以先设 z=a+bi。 重要提示：不管考察的是什么问题，一定要先把复数转化为标准模式 z=a+bi！ 二、2025 年高考预测： 1． (2 2i)(1 2i)  （ ） A． 2 4i  B． 2 4i  C．6 2i D．6 2i 【答案】D 【详解】   2 2i 1 2i 2 4 4i 2i 6 2i        2．已知  21 i 3 2iz   ，则 z （ ） A． 3 1 i 2   B． 3 1 i 2   C． 3 i 2   D． 3 i 2   【答案】B 【详解】  21 i 2i 3 2iz z     ，  3 2i i3 2i 2 3i 31 i 2i 2i i 2 2 z              . 3．若 i(1 ) 1z  ，则 z z （ ） A． 2 B． 1 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题设有 2 1 i 1 i i i z     ，故 1+iz  ，故    1 i 1 i 2z z      4．在复平面内，   1 3i 3 i  对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为     21 3i 3 i 3 8i 3i 6 8i       ，则所求复数对应的点为  6,8 ，位于第一象限. 5．若 1 3iz    ，则 1 z zz   （ ） A． 1 3i  B． 1 3i  C． 1 3 i 3 3   D． 1 3 i 3 3   【答案】C 【详解】 1 3i, ( 1 3i)( 1 3i) 1 3 4.z zz           1 3i 1 3 i 1 3 3 3 z zz        - 7 - 6．在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 ( 1, 3) ，则 z 的共轭复数 z （ ） A．1 3i B．1 3i C． 1 3i  D． 1 3i  【答案】D 【详解】 z 在复平面对应的点是 ( 1, 3) ，根据复数的几何意义， 1 3iz    ，由共轭复数的定义可知， 1 3iz    . 7．已知 1 2z i  ，且 0z az b   ，其中 a，b 为实数，则（ ） A． 1, 2a b   B． 1, 2a b   C． 1, 2a b  D． 1, 2a b    【答案】A 【详解】 1 2z i  , 1 2i (1 2i) (1 ) (2 2)iz az b a b a b a            由 0z az b   ,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等， 得 1 0 2 2 0 a b a       ,即 1 2 a b     8．已知复数 3 i 1 2i z    （其中 i为虚数单位），则 z （ ） A． 5 5 B． 2 2 C． 2 D． 5 【答案】C 【详解】       3 i 1 2i3 i 3 2 i 6i 1 7 i 1 2i 1 2i 1 2i 5 5 5 z              ，故 2 2 1 7 2 5 5 z              . 9．复数 1 1 3i 的虚部是（ ） A． 3 10  B． 1 10  C． 1 10 D． 3 10 【答案】D 【详解】因为 1 1 3 1 3 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 10 i z i i i i         ，所以复数 1 1 3 z i   的虚部为 3 10 . 10．（多选题）已知复数 ,z w均不为 0，则（ ） A． 2 2| |z z B． 2 2| | z z zz  C． z zw w   D． zz w w  【答案】BCD 【详解】设 iz a b   , Ra b 、 iw c d   , Rc d  ； 对 A：设 iz a b   , Ra b ，则  22 2 2 2 2i 2 i 2 iz a b a ab b a b ab        ，  22 2 2 2 2| |z a b a b    ，故 A 错误； 对 B： 2z z z z z   ，又 2 z z z  ，即有 2 2| | z z zz  ，故 B 正确； 对 C：  i i ia b c dz a c dw b        ，则   ia cz w b d    ， iz a b  ， iw c d  ，则  i i iz w a b c d a c b d        ， 即有 z zw w   ，故 C 正确； 对 D：         2 2 i i ii i i i z cw a b c d ac bd ad bca b c d c d c d d            - 8 -   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2ac bd ad bc a c abcd b d a d abcd b c c d c d c d                       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 a c b d a d b c a c b d a d b c c dc d          ，   2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 a b c dz a b a b c d w c d c dc d           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b c a d b d c d      ， 故 zz w w  ，故 D 正确. 3.基本初等函数★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 3 8 函数奇偶性的应用；根据函数的单调性解不等式 6 对数的运算性质的应用；指数函数模型的应用（2）；利用给定函数模型解决实际问题 12 对数的运算；利用随机变量分布列的性质解题 20202 2 7 对数型复合函数的单调性； 8 函数奇偶性的应用；根据函数的单调性解不等式； 20211 2 7 求过一点的切线方程；利用导数研究函数图象及性质； 13 由奇偶性求参数； 20212 4 7 比较对数式的大小； 8 函数奇偶性的应用；函数的周期性的定义与求解； 14 函数奇偶性的定义与判断；基本初等函数的导数公式； 16 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；直线的点斜式方程及辨析； 20221 3 7 比较指数幂的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性；比较对数式的大小； 10 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点；求极值点； 12 抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系； 20222 2 8 函数奇偶性的应用；由抽象函数的周期性求函数值； 9 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心； 利用正弦函数的对称性求参数；求 sinx型三角函数的单调性； 20231 4 4 根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性； 已知二次函数单调区间求参数值或范围； 10 对数的运算性质的应用；对数函数模型的应用（2）；由对数函数的单调性解不等式； 11 函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析； 15 根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用； 20232 3 4 函数奇偶性的应用；由奇偶性求参数； 6 由函数的单调区间求参数； 11 根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数； 20241 5 1 交集的概念及运算；由幂函数的单调性解不等式 6 判断指数函数的单调性；研究对数函数的单调性；根据分段函数的单调性求参数 7 正弦函数图象的应用；求函数零点或方程根的个数 8 求函数值；比较函数值的大小关系 - 9 - 13 已知切线（斜率）求参数；两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 20242 3 6 函数奇偶性的定义、判断及应用；根据函数零点的个数求参数范围；求余弦（型）函数的奇偶性 8 由对数函数的单调性解不等式；函数不等式恒成立问题 9 求含 sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴 及对称中心；求函数零点或方程根的个数 牢记周期性和对称性的结论；注意单调性和奇偶性的关系；学会用特殊点巧解；隐藏性质：奇函 数在原点处有定义时，  0 0f  ；常见奇偶函数的特殊形式（总结过的）；比较大小单调性和中间变 量相结合，构造函数是底线。图像选择四部曲：定义域奇偶性特殊点单调性（求导数），特殊点最关 键。 二、2025 年高考预测： 1．下列函数为增函数的是（ ） A．  f x x B．   2xf x  C．   2f x x D．   0.5logf x x 【答案】B 【详解】对于 A，函数 , 0 ( ) , 0 x x f x x x x       ，函数 ( )f x 在 ( ,0] 上单调递减，在定义域 R 上不单调，A 不 是；对于 B，函数 ( ) 2xf x  在 R 上单调递增，B 是； 对于 C，函数 2( )f x x 在 ( ,0] 上单调递减，在定义域 R 上不单调，C 不是； 对于 D，函数 0.5( ) logf x x 在 (0, ) 上单调递减，D 不是. 2．已知函数   3logf x x ，则  9f （ ） A．1 B． 2 C．2 D．4 【答案】C 【详解】∵   3logf x x ，∴   39 log 9 2f   3．已知函数 3 2 2( ) , ( ) 2f x x ax g x ax x    ，若函数 ( )y f x 与 ( )y g x 的图像有三个交点，则 a 的取值范 围是（ ） ( , 2)  A． B． (2, ) C． ( , 2) (2, )   D． ( , 2] [2, )   【答案】C 【详解】因为函数 ( )y f x 与 ( )y g x 的图像有三个交点，所以 3 2 22x ax ax x   ， 当 0x  时，方程必然成立，当 0x  时，分离参数可得  1a x h x x    ，则 y a 与  h x 有两个交点，若 0x  ， 则   1 12 ? 2h x x x x x     ，若 0x  ，则   1 12 ? 2h x x x x x       ，如图所示， 结合图像， y a 要与  h x 有两个交点，需满足    , 2 2,a     . 4．已知函数   ln 1f x x   ，记  2log πa f ，  ln 4b f ，  ec f  ，则（ ） A．a b c  B．b c a  C．b a c  D． c a b  【答案】D 【详解】由题可知，  f x 的图像关于直线 1x  对称，且  f x 在  1, 上单调递减， 又 2log π 2 ，且 2 2log π log 2 2 1.5  ，即  2log π 1.5, 2 ； - 10 - ln 4 1 且 4 4 ln 4 1 ln 1 ln 1 ln1.6 1 ln 2.56 1 ln e 1.5 e 2.5            ，即  ln 4 1,1.5 ， 由函数的对称性知    e e 2c f f    ， 又 21 ln 4 1.5 log π 2 e 2      ， 故      2e 2 log π ln 4f f   ，即 c a b  5．大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记 p为实际声压，通常我们用声压级  L p （单位：分贝）来定 义声音的强弱，声压级  L p 与声压 p存在近似函数关系：   0 lg p L p a p  ，其中a 为常数,且常数  0 0 0p p  为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压 1p 为穿软底鞋走路的声压 2p 的100倍，且 穿硬底鞋走路的声压级为  1 60L p  分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级  2L p 的3倍.若住宅区夜间声压级超 过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为 p，则（ ） A． 20a  ， 210 10p p B． 20a  ， 1 1 10 p p  C． 10a  ， 210 10p p D． 10a  ， 1 1 10 p p  【答案】A 【详解】由题意     11 2 2 lg lg100 2 60 20 40 p L p L p a a a p        ，得 20a  ， 则   0 20lg p L p p  ，因此   0 20lg 50 p L p p    ，    2 2 20lg 50 20 30 p L p L p p       ，则 210 10p p ，     11 20lg 60 50 10 p L p L p p       ，则 1 10 10 p p . 6．已知函数   2 2 ( 1) , 0 log , 0 x x f x x x      ，若方程  f x a 有四个不同的解 1 2 3 4, , ,x x x x ，且 1 2 3 4x x x x   ，则   2 3 4 4 1 2 1 x x x x x    的取值范围是（ ） A． 3 , 2      B． 9 2, 4     C． 7 2, 4     D． 3 9 , 2 4      【答案】D 【详解】因为   2 2 ( 1) , 0 log , 0 x x f x x x      ，所以  0 1f  ，  2 1f   ， 1 1 2 f       ，  2 1f  ， 又函数  21y x  对称轴为 1x   ， 在同一平面直角坐标系中画出  y f x 与 y a 的图像， 因为方程  f x a 有四个不同的解 1x ， 2x ， 3x ， 4x ，且 1 2 3 4x x x x   ， 即  y f x 与 y a 有四个交点，所以0 1a  ， 由图可知 1 2 3 4 1 1 0 1 2 2 2 x x x x         ， 又 1x ， 2x 关于 1x   对称，即 1 2 2x x   ， 又 3 4 1 1 2 2 x x    ，且 2 3 2 4log logx x ， 即 2 3 2 4log logx x  ，则 2 3 2 4log log 0x x  ， 所以 2 3 4log 0x x ，则 3 4 1x x  ； - 11 - 所以 2 3 4 4 4 4 1 2 4 4 1 1 1 ( ) 2 2 x x x x x x x x x         ， 令 1 ( ) 2 g x x x   ，  1 2x  ， 由对勾函数的性质可知 ( )g x 在  1, 2 上单调递增， 又   31 2 g  ，   92 4 g  ，所以 3 9 ( ) , 2 4 g x     ，即 2 3 4 4 1 2 1 3 9 , ( ) 2 4 x x x x x        ． 7．（多选）已知实数 0a b c d    ，则下列不等式正确的是（ ） A．ab cd B．a d b c   C． 2 2 ad bc D． 1 1 bc ad  【答案】BC 【详解】对于 A，D， 3 1 1 7a b c d     ， ， ， ，满足 0a b c d    ，此时ab cd ， 1 1 bc ad  ，故 A，D 错误.（判断一个结论错误时，举反例即可）对于 B， a b ， d c   ，得a d b c   ，故 B 正确. 对于 C，由0 c d  得 2 2 0d c  ，又 0a b  ，所以 2 2ad bc ，故 C 正确. 8．（多选）已知实数 , ,a b c 满足 3 1, ,a b c a c b       ，则（ ） A． 2 3a b a b     B． 1 3 b a  C． 2 b a a b   D．当 a c b c   最小时，a c b  【答案】BCD 【详解】对于 A 中，当 3 2, 2 a b    时， 3a b   ，所以 A 错误； 对于 B 中，由 3 1a b     ，可得 1 1 1 3 3 b a a       ，所以 B 正确； 对于 C 中，因为 0 b a  ，所以 2 2 b a b a a b a b     ， 又因为a b ，所以等号不成立， 2 b a a b   ，所以 C 正确； 对于 D 中，由 a c b c   的最小值，即为数轴c 到 a 和b 的距离之和最小， 当且仅当 a c b c b a     时最小，此时a c b  ，所以 D 正确. 9．已知 2( ) 1 e 1x a f x    是奇函数，则实数a  ． 【答案】2 【详解】由题意得 ( ) ( )f x f x   ，所以 2 21 1e 1 e 1x x a a      ，解得 2a  ． 10．已知 2| 1 | | 2 |x x x x m      有实数解，求m 的最大值为 ． 【答案】 5 4 【详解】因为 2| 1 | | 2 |x x x x m      ，所以 2 | 1| | 2 |m x x x x       有实数解， 令 2 | 1 | | 2 |y x x x x       ，则 maxm y ， - 12 - 当 1x   时， 2 2 1 13 3 5 2 4 y x x x                ； 当 2x  时， 2 2 1 13 3 1 2 4 y x x x               ； 当 1 2x   时， 2 2 3 5 53 1 2 4 4 y x x x              ； 综上所述， 5 4 y  ，当 3 2 x  时， max 5 4 y  ，所以 5 4 m  ，则m 的最大值是 5 4 . 4.导数★★★★★ 一、近五年考情分析： 考察热点 热度（2020-2024） 典型题型及特点 切线问题 ★★★★★ 求曲线在某点处的切线方程 三次函数性质 ★★★★☆ 分析极值点、零点、对称性 含参不等式恒成立 ★★★★☆ 参数范围求解 函数单调性与极值 ★★★★☆ 利用导数判断单调性、求极值 比较大小（构造函数） ★★★☆☆ 通过导数比较对数/指数式大小 抽象函数与导数综合 ★★★☆☆ 结合奇偶性、周期性等性质 零点存在性问题 ★★☆☆☆ 证明或判断零点个数 数学文化背景下的导数应用 ★★☆☆☆ 结合斐波那契数列等背景 这几年的新高考试卷中，导数出现在小题已经是一种常态，而且一出就是两题或者更多，有单独 成题，也有出现在多选题中的一个选项。考察的面很广，初等函数求导、简单复合函数的求导、切线 方程、单调性、极值点、零点等都有考察。其中重点考察了切线方程，利用导数研究函数的单调性。 二、2025 年高考预测： 1．已知函数   cosf x x ax  在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A．  , 0 B． 0,1 C． 1, D．R 【答案】C 【详解】由题意得   sin 0f x x a     在R 上恒成立，则 sina x ，因为  sin 1,1x  ，则 1a  . 2．设函数 ( )f x 在定义域内可导， ( )y f x 的图像如图所示，则其导函数 ( )y f x 的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由  f x 的图像可知，  f x 在  , 0 上为单调递减函数，故  , 0x  时，   0f x  ，故排除 A， C；当  0,x  时，函数  f x 的图像是先递增，再递减，最后再递增，所以  f x 的值是先正，再负，最 后是正，因此排除 B - 13 - 3．已知函数     21mf x m x x    是奇函数，则曲线  f x 在 1x   处的切线的方程为（ ） A． 2 0x y   B． 2 0x y   C． 2 0x y   D． 2 0x y   【答案】B 【详解】由函数     21mf x m x x    的定义域为 0x x  ，且 ( )f x 是奇函数， 则 ( ) ( ) 0f x f x   ，即 2 2( 1) ( 1) 0m mm x m x x x        ，解得 1m  ， 于是 1 ( )f x x  ，求导得 2 1 ( )f x x    ，则 ( 1) 1f     ，而  1 1f    ， 所以曲线 ( )f x 在 1x   处的切线的方程为：  1 1y x    ，即 2 0x y   . 4．已知函数  f x 的定义域为R ，对任意 xR ，有     0f x f x   ，则“ 2x  ”是“    4e 1 e 2 3x f f xx   ” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】因为     0f x f x   ，则     0 ex f x f x   ， 令    x f x g x  e ，则   0g x  ，所以  g x 在R 上单调递增.            4 1 2 3 1 2 3 e 1 e 2 3 1 2 3 e e x x x f x f x f x f x g x g x             1 2 3 4x x x      ， 所以“ 2x  ”是“    e 1 e 2 3x xf x f x   ”的充分不必要条件 5．已知实数 a，b，c 满足    3ln 2 e , ln 3 e , ln e 1a a b b c c     ，且    2 1 3 1 e 0a b c    ，则（ ） A． c a b  B． c b a  C．a b c  D．a c b  【答案】A 【详解】因为    2 1 3 1 e 0a b c    ，所以 1 1, , e 2 3 a b c   ， 因为   1ln 2 e ln 2 ln 2 a a a    ，所以 1 1 ln ln 2 2 a a   ， 因为  3 1ln 3 e ln 3 ln 3 b b b    ，所以 1 1 ln ln 3 3 b b   ， 因为 ln e 1c c   ，所以 ln e ln ec c   ， 令   lnf x x x  ，则     1 1 1 0 x f x x x x      ， 当0 1x  时，   0f x  ，当 1x  时，   0f x  ， 所以函数  f x 在  0,1 上递减，在  1, 上递增， 所以    min 1 1f x f  ， 又当 0, 0x x  时，  f x ，当 x   ，  f x ， 由此作出函数  f x 的大致图像如图所示， 因为        1 1, , e 2 3 f a f f b f f c f              且 1 1 , , e 2 3 a b c   ， 则由图可知 1,0 1b a c    ， 所以 c a b  . - 14 - 6．已知函数    e 2 ,xf x x g x x    ，且    1 2f x g x ，则 1 2x x 的最小值为（ ） A．1 B．e C．1 ln 2 D．2 ln 2 【答案】A 【详解】由    1 2f x g x ，得 1 1 2e 2x x x   ，化简整理得 11 2 1exx x x   ， 因为 g（x）的值域，f（x），g（x）的定义域均为 R，所以 1x 的取值范围也是 R， 令      e R e 1x xh x x x h x    ， ，令 e 1 0x   ，解得 0x  . 当  ,0x  时，   0h x  ，即 h（x）在（-∞，0）上单调递减； 当 x ）∞ 时，   0h x  ，即 h （x）在（0，+∞）上单调递增； 所以    0 1minh x h  ，故  1 2 1.minx x  7．（多选）已知命题“  1,4x  ， 2e 0x m x    ”为真命题，则实数 m 的可能取值是（ ） A． 1 B．0 C．1 D． e 【答案】AB 【详解】因为命题“  1,4x  ， 2e 0x m x    ”为真命题，所以  1,4x  ， 2exm x   ， 令   2exf x x   ，  1, 4x ，则   2 2 e 0xf x x     ， 可知  f x 为增函数，当 1x  时，  f x 有最小值  1 e 2f   ， 故实数 m 的取值范围为 e 2m   8．（多选）已知函数   3 3 2f x x ax  的极值点分别为  1 2 1 2,x x x x ，则下列选项正确的是（ ） A． 0a  B．    1 2 2f x f x  C．若  2 0f x  ，则 1a  D．过  0, 2 仅能做曲线  =y f x 的一条切线 【答案】ACD 【详解】   3 3 2f x x ax  ，   23 3f x x a   ， 因为函数   3 3 2f x x ax  的极值点分别为  1 2 1 2,x x x x ， 所以 23 3 0x a  有两个不相等的实数根  1 2 1 2,x x x x ，所以 0a  ，故 A 正确. 对选项 B，因为 0a  ，所以     23 3 3f x x a x a x a     ， 令     3 0f x x a x a     ，则 1x a  ， 2x a ， 所以  ,x a   ，   0f x  ，  f x 为增函数，  ,x a a  ，   0f x  ，  f x 为减函数，  ,x a  ，   0f x  ，  f x 为增函数， 所以 1x a  ， 2x a 为函数  f x 的极值点. - 15 - 所以          3 31 2 3 2 3 2 4 2f x f x a a a a a a           ，故 B 错误. 对选项 C，    32 3 2f x a a a    ， 化简得： 1a a  ，解得 1a  ，故 C 正确. 对选项 D，设切点为  30 0 0, 3 2x x ax  ，   23 3f x x a   ，切线过  0, 2 ， 所以 3 20 0 0 0 3 3 3 x ax x a x    ，即 3 30 0 0 03 3 3x ax x ax   ，解得 0 0x  ， 所以过  0, 2 仅能做曲线  =y f x 的一条切线，故 D 正确. 9．曲线   lnf x x x 在 1x  处的切线的方程为 . 【答案】 1 0x y   【详解】   ln 1f x x  ，∴  1 1f   ，因此切线的斜率为  1 1f   ； 又  1 0f  ，∴f(x)在 1x  处的切线方程为 1y x  ，即 1 0x y   ． 10．已知函数   2e xf x a 与   π π2 sin 2 2 g x b x a x          ，若曲线  y f x 和  y g x 恰有一个公切点， 则 a b 的最大值是 ． 【答案】 5 【详解】 2( ) 2 e xf x a  ， ( ) 2 cosg x b x  . 设公切点为 0 0( , )x y ，则 0 0( ) ( )f x g x ， 0 0( ) ( )f x g x  ， 即 0 0 2 0 2 0 e 2 sin 2 e 2 cos x x a b x a a b x      . 因此 0 0 0 0 5 2 5 cos 2sin 5 cos sin 5 5 a x x x x b           05 cos( )x   ， 其中 5 2 5 cos ,sin , tan 2 3 5 5       ， 因为 5 2 5 cos ,sin 5 5    ，所以为第一象限的角； 不妨设 π π , 3 2       ，因为 0 π π , 2 2 x       ，所以 0 π π , π 2 2 x          ， 当且仅当 0 0x   时， 0cos( )x  取到最大值1， 所以 a b 的最大值是 5 ，且 0x 有唯一解. 5.平面向量★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 1 7 用定义求向量的数量积 20202 1 3 向量加法的法则；向量减法的法则； 20211 1 10 逆用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式； 数量积的坐标表示；坐标计算向量的模； 20212 1 15 数量积的运算律； 20221 1 3 用基底表示向量； 20222 2 4 平面向量线性运算的坐标表示；向量夹角的坐标表示； - 16 - 10 数量积的坐标表示；已知两点求斜率；抛物线定义的理解；求直线与抛物线的交点坐标； 20231 1 3 平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示；利用向量垂直求参数； 20232 2 13 数量积的运算律； 17 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；数量积的运算律； 20241 1 3 平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示 20242 2 3 数量积的运算律；已知数量积求模；垂直关系的向量表示 19 由递推关系证明等比数列；求直线与双曲线的交点坐标；向量夹角的坐标表示 向量每年一题或两题，单选题 4 题，多选题 2 题，填空题 2 题，解答题 1 题，覆盖了所有的题型。考 察的比较基础,难度不大,很少与其他知识交汇,重点考查向量的基本运算。数量积问题有坐标按照坐标算 1 2 1 2a b x x y y     ，没有坐标按照模运算 cosa b a b       ；可以建系的建系（直角三角形、等腰、等边、矩 形、正方形、直角梯形等）、投影向量问题考的可能性不大. 几何运算注意利用三角形法则和平行四边形法则转化（注意用好作图法）；单位向量要看清，模为 1； 向量夹角为锐角，数量积大于 0 且向量不能同向（夹角为 0）；向量夹角为钝角，数量积小于 0 且不能反向 （夹角为 π）；两个向量不共线才可以作为基底；多个向量和差带模先平方后开方. 二、2025 年高考预测： 1．已知  ,1a m  ，  3 1, 2b m   ，若 //a b   ，则m （ ） A．1 B． 1 C． 2 3 D． 2 3  【答案】A 【详解】因为  ,1a m  ，  3 1, 2b m   ， //a b   ，所以  2 3 1 0m m   ，解得 1m  . 2．已知向量 (2,1) ( 2, 4)a b     ， ，则 a b   （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为      2,1 2,4 4, 3a b        ，所以  224 3 5       a b . 3．已知单位向量a  ，b  的夹角为 60°，则在下列向量中，与b  垂直的是（ ） A． 2a b   B． 2a b   C． 2a b   D．2a b   【答案】D 【详解】由已知可得： 1 1 cos 60 1 1 2 2 a b a b             . A：因为 2 1 5 ( 2 ) 2 2 1 0 2 2 a b b a b b                ，所以本选项不符合题意； B：因为 2 1 (2 ) 2 2 1 2 0 2 a b b a b b                ，所以本选项不符合题意； C：因为 2 1 3 ( 2 ) 2 2 1 0 2 2 a b b a b b                 ，所以本选项不符合题意； D：因为 2 1 (2 ) 2 2 1 0 2 a b b a b b               ，所以本选项符合题意. 4．已知 AB  =(2,3)， AC  =(3，t)， BC  =1，则 AB BC   = A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由 (1, 3)BC AC AB t       ， 2 21 ( 3) 1BC t     ，得 3t  ，则 (1,0)BC   ， · (2,3)?(1,0) 2 1 3 0 2AB BC         ．故选 C． 5．已知a  ，b  为单位向量，且 3 5 7a b    ，则a  与a b   的夹角为（ ） - 17 - A． π 3 B． 2π 3 C． π 6 D． 5π 6 【答案】C 【详解】因为a  ，b  为单位向量，由 3 5 7a b    ， 所以  2 2 23 5 49 9 30 25 49a b a a b b            ，即 19 30 25 49 2a b a b            ， 设a  与a b   夹角为，则     2 2 1 1 32 cos 21 1 2 1 2 a a b a a b a a b a a b                                     ， 又  0, π  ，所以 π 6   6．如图，已知 AB a  ， AC b   ， 4BC BD   ， 3CA CE   ，则DE   （ ） A． 3 1 4 3 b a   B． 5 3 12 4 b a   C． 3 1 4 3 a b  D． 5 3 12 4 a b  【答案】B 【详解】由 4BC BD   ，得  3 3 4 4 DC BC AC AB       ，而 3CA CE   ， 所以  3 1 3 1 3 5 3 4 3 4 3 4 12 4 DE DC CE AC AB CA AC AB b a                         . 7．已知点 P 是 ABC 的重心，则（ ） A． 1 1 6 6 AP AB AC     B． 1 1 4 4 AP AB AC     C． 2 1 3 3 AP AC BC     D． 2 1 3 3 AP AB BC     【答案】D 【详解】设BC的中点为 D，连接 AD ，点 P 是 ABC 的重心，则 P 在 AD 上， 且    2 2 1 1 2 12 3 3 2 3 3 3 AP AD AB AC AB BC AB BC                2 1 2 1 ( 3 3 3 ) 3 AC CB BC AC BC          ， 由此可知 A，B，C 错误，D 正确 8．已知向量 (3, 4), (1,0),a b c a tb        ，若 , ,a c b c    ，则 t （ ） A． 6 B． 5 C．5 D．6 【答案】C 【详解】  3 ,4c t  , cos , cos ,a c b c   ,即 9 3 16 3 5 t t c c      ,解得 5t  - 18 - 9．在 ABC 中，点 D 在边 AB 上， 2BD DA ．记CA m CD n     ， ，则CB  （ ） A．3 2m n   B． 2 3m n    C．3 2m n   D．2 3m n   【答案】B 【详解】因为点 D 在边 AB 上， 2BD DA ，所以 2BD DA   ，即  2CD CB CA CD      ， 所以CB   3 2 3 2CD CA n m       2 3m n     ． 10．设向量    1, , ,2a x x b x    ，则（ ） A．“ 3x   ”是“ a b   ”的必要条件 B．“ 1 3x   ”是“ / /a b   ”的必要条件 C．“ 0x  ”是“ a b   ”的充分条件 D．“ 1 3x    ”是“ / /a b   ”的充分条件 【答案】C 【详解】对 A，当a b   时，则 0a b    ， 所以 ( 1) 2 0x x x    ，解得 0x  或 3 ，即必要性不成立，故 A 错误； 对 C，当 0x  时，    1,0 , 0,2a b    ，故 0a b    ， 所以a b   ，即充分性成立，故 C 正确； 对 B，当 / /a b   时，则 22( 1)x x  ，解得 1 3x   ，即必要性不成立，故 B 错误； 对 D，当 1 3x    时，不满足 22( 1)x x  ，所以 / /a b   不成立，即充分性不立，故 D 错误. 6.三角函数★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 20201 3 10 由图象确定正（余）弦型函数解析式 15 三角函数在生活中的应用 17 正弦定理解三角形；余弦定理解三角形 20202 3 11 由图象确定正（余）弦型函数解析式； 16 三角函数在生活中的应用； 17 正弦定理解三角形；余弦定理解三角形； 20211 4 4 求 sinx型三角函数的单调性； 6 正、余弦齐次式的计算；二倍角的正弦公式；给值求值型问题； 10 逆用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式； 19 正弦定理边角互化的应用；几何图形中的计算； 20212 1 18 正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形； 20221 2 6 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）； 18 正弦定理边角互化的应用；基本不等式求和的最小值； 20222 3 6 用和、差角的余弦公式化简、求值； 9 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心； 利用正弦函数的对称性求参数；求 sinx型三角函数的单调性； 18 正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形； 20231 4 6 给值求值型问题；余弦定理解三角形；已知点到直线距离求参数；切线长； 8 用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；给值求值型问题； 15 根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用； 17 用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用； 20232 3 7 半角公式；二倍角的余弦公式； 16 特殊角的三角函数值；由图象确定正（余）弦型函数解析式； - 19 - 17 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；数量积的运算律； 20241 3 4 三角函数的化简、求值—同角三角函数基本关系；用和、差角的余弦公式化简、求值 7 正弦函数图象的应用；求函数零点或方程根的个数 15 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦；正（余）弦定理解三角形；面积公式； 20242 4 6 函数奇偶性的定义与判断；函数奇偶性的应用；根据函数零点的个数求参数范围；求余弦（型） 函数的奇偶性 9 求含 sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称 轴及对称中心；求函数零点或方程根的个数 13 用和、差角的正切公式化简、求值 15 辅助角公式；正弦定理解三角形；正弦定理边角互化的应用 三角函数的定义式:会巧妙利用定义求解 sin、cos、tan,特别要注意正负;熟练诱导公式、两角和与差公 式、倍角公式、辅助角公式,符号问题太重要;牢记 sin、cos、tan 的图像性质;注意利用整体思想解决问题。 出现 3 , , , ,2 2 2 2     等的时候记着用诱导公式,其他角的形式用两角和与差公式展开或合并; 2 2sin ,cos  用 降幂公式的较多;巧妙选择倍角公式进行凑角和转化;巧妙选择两角和与差公式进行凑角和转化。 余弦定理、正弦定理、面积公式要熟记；对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角互化，如果是 化成角的话，下一步按三角→两角→一角进行；如果转化成边，就努力往余弦定理靠。如判断三角形的形 状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路。三角 形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知识的 交汇。 二、2025 年高考预测： 1． 2 2 π 5π cos cos 12 12  （ ） A． 1 2 B． 3 3 C． 2 2 D． 3 2 【答案】D 【详解】由题意， 2 2 2 2 2 25cos cos cos cos cos sin 12 12 12 2 12 12 12                 3 cos 26    . 2．已知 π( )0, ，且3cos2 8cos 5   ，则sin （ ） A． 5 3 B． 2 3 C． 1 3 D． 5 9 【答案】A 【详解】3cos2 8cos 5   ，得 26cos 8cos 8 0    ， 即 23cos 4cos 4 0    ，解得 2 cos 3    或cos 2  （舍去）， 又 2 5 (0, ), sin 1 cos 3         . 3．在 ABC 中， ( )(sin sin ) (sin sin )a c A C b A B    ，则 C （ ） A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 【答案】B 【详解】因为 ( )(sin sin ) (sin sin )a c A C b A B    ， 所以由正弦定理得 ( )( ) ( )a c a c b a b    ，即 2 2 2a c ab b   ， 则 2 2 2a b c ab   ，故 2 2 2 1 cos 2 2 2 a b c ab C ab ab      ，又0 πC  ，所以 π 3 C  . - 20 - 4．把函数 ( )y f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 3  个单 位长度，得到函数 sin 4 y x       的图像，则 ( )f x （ ） A． 7 sin 2 12 x      B．sin 2 12 x      C． 7 sin 2 12 x      D．sin 2 12 x      【答案】B 【详解】解法一：函数 ( )y f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到 (2 )y f x 的 图像，再把所得曲线向右平移 3  个单位长度，应当得到 2 3 y f x         的图像，根据已知得到了函数 sin 4 y x       的图像，所以 2 sin 3 4 f x x                 ， 令 2 3 t x       ,则 , 2 3 4 2 12 t t x x         , 所以   sin 2 12 t f t       ,所以   sin 2 12 x f x       ； 解法二：由已知的函数 sin 4 y x       逆向变换， 第一步：向左平移 3  个单位长度，得到 sin sin 3 4 12 y x x                  的图像， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 sin 2 12 x y       的图像，即为  y f x 的图像，所以   sin 2 12 x f x       . 5．设函数    sin 0f x x   .已知  1 1f x   ，  2 1f x  ，且 1 2x x 的最小值为 π 2 ，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可知： 1x 为  f x 的最小值点， 2x 为  f x 的最大值点， 则 1 2 min π 2 2 T x x   ，即 πT  ，且 0  ，所以 2π 2 T    . 6．若sin( ) cos( ) 2 2 cos sin 4               ，则（ ） A．  tan 1   B．  tan 1   C．  tan 1    D．  tan 1    【答案】C 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：  sin cos cos sin cos cos sin sin 2 cos sin sin               , 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0           ， 即：    sin cos 0       所以  tan 1    故选：C [方法二]：特殊值排除法 - 21 - 解法一:设 β=0 则 sinα +cosα =0，取 = 4   ，排除 A, B； 再取 α=0 则 sinβ +cosβ= 2sinβ，取 β = 4  ，排除 D；选 C. [方法三]：三角恒等变换 sin( ) cos( ) 2 sin = 2 sin[ ] 4 4 2 sin cos 2 cos sin 2 2 cos sin 4 4 4                                （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 所以 2 sin cos 2 cos sin 4 4       （ ） （ ） sin cos cos sin =0 4 4       （ ） （ ） 即 sin =0 4   （ ） 2 2 sin =sin cos cos sin = sin cos =0 4 4 4 2 2                    （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） sin = cos         （ ） （ ）即tan( ）=-1, 7．已知 cos 3 cos sin      ，则 π tan 4       （ ） A．2 3 1 B．2 3 1 C． 3 2 D．1 3 【答案】B 【详解】因为 cos 3 cos sin      ，所以 1 3 1 tan    ， 3 tan 1 3     ， 所以 tan 1 tan 2 3 1 1 tan4            8．在 ABC 中，已知 120B  ， 19AC  ， 2AB  ，则BC （ ） A．1 B． 2 C． 5 D．3 【答案】D 【详解】设 , ,AB c AC b BC a   ，结合余弦定理： 2 2 2 2 cosb a c ac B   可得： 219 4 2 cos120a a c      ， 即： 2 2 15 0a a   ，解得： 3a  （ 5a   舍去），故 3BC  . 9． ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c .若 π 6, 2 , 3 b a c B   ，则 ABC 的面积为 . 【答案】6 3 【详解】由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，所以 2 2 2 1 (2 ) 2 2 6 2 c c c c      ，即 2 12c  解得 2 3, 2 3c c   （舍去），所以 2 4 3a c  ， 1 1 3 sin 4 3 2 3 6 3. 2 2 2ABC S ac B       10．已知函数    2cosf x x   的部分图像如图所示，则 2 f       . 【答案】 3 【详解】由题意可得： 3 13 3 2 , , 2 4 12 3 4 T T T            ， - 22 - 当 13 12 x   时，  13 132 2 , 2 12 6 x k k k Z                ， 令 1k  可得： 6    ， 据此有：   52cos 2 , 2 cos 2 2 cos 3 6 2 2 6 6 f x x f                             . 7.数列★★★★★ 一、近五年考情分析： 等差等比用通项公式和前 n 项公式，等比问题学会作比值化简；累加法、累乘法、构造法求通项， 裂项相消、错位相减、分组求和求前 n 项和要掌握类型特点。 特别注意 Sn和 an的关系, 1 1 , 1 , 2n n n S n a S S n      ,两个方向都可以转化;分组求和、裂项相消法和错位相减 法要看清通项的形式; 1 , , ,n na d q a S， 等基本量的求解很重要,多解问题要多次验证进行取舍。 二、2025 年高考预测： 1．等比数列 na 满足 1 2 6a a  ， 3 4 24a a  ，则 6S （ ） A．30 B．62 C．126 D．254 【答案】C 【详解】由题意知，设等比数列的公比为q ，则 2 23 4 1 2( ) 6 24a a q a a q     ，得 2 4q  ，所以 2 5 6 3 4( ) 4 24 96a a q a a      ，所以 6 1 2 6 6 24 96 126S a a a        . 年份 题量 题号 详细知识点 20201 2 14 求等差数列前 n项和 18 求等比数列前 n项和 2020 2 15 求等差数列前 n项和； 18 写出等比数列的通项公式；求等比数列前 n项和； 20211 2 16 错位相减法求和；数与式中的归纳推理； 17 由递推数列研究数列的有关性质；求等差数列前 n项和；利用定义求等差数列通项公式； 20212 2 12 求等比数列前 n项和；数列新定义； 17 等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前 n项和；解不含参数的一元二次不等式； 20221 1 17 裂项相消法求和；累乘法求数列通项；利用 an与 sn关系求通项或项； 利用等差数列通项公式求数列中的项； 20222 3 3 等差数列通项公式的基本量计算；已知斜率求参数； 17 等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算； 数列不等式能成立（有解）问题； 22 利用导数研究不等式恒成立问题；裂项相消法求和；含参分类讨论求函数的单调区间； 20231 2 7 充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前 n项和； 20 等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前 n项和的基本量计算； 20232 2 8 等比数列前 n项和的基本量计算；等比数列片段和性质及应用； 18 利用定义求等差数列通项公式；等差数列通项公式的基本量计算； 求等差数列前 n项和；分组（并项）法求和； 20241 1 19 等差数列通项公式的基本量计算；数列新定义 20242 2 12 等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前 n项和 19 由递推关系证明等比数列；求直线与双曲线的交点坐标；向量夹角的坐标表示 - 23 - 2．设等差数列{ }na 的前n 项和为 nS ，若 7 28S  ，则 2 3 7a a a  的值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】因为 7 28S  ，由等差数列的性质和求和公式得 1 77 4 7( ) 7 28 2 a a S a     ，即 4 4a  ， 则 1 12 3 7 43 9 3( 3 ) 3 12a d a aa a a d       . 3．记 nS 为非零数列 na 的前n 项和，若 *1 2 Nn nS S n  ， ，则 4 1 a a （ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】 * 1 2 Nn nS S n  ， ，则 1n n nS S S   .即 1n na S  . 2 1a a , 13 1 2 2a a a a   ， 1 2 3 1 1 14 2 2 4a a a a a a a      .故 14 1 1 4 4 a a a a   . 4．若正项等比数列 na 满足  2 *1 2 nn na a n  N ，则数列 na 的前 4 项的和 4S 的值是（ ） A．15 2 B． 15 2 4 C．8 2 D．6 2 6 【答案】A 【详解】设正项等比数列 na 的公比为 0q  ， 因为 2 * 1 2 ( N ) n n na a n   ，所以 2( 1) 21 2 2 1 2 4 2 n n n n n n a a q a a        ， 解得 2q ，所以 2 22 2 ( 0)nn na a   ， 所以 2 1 22 n na   ，所以 2 1 2 1 2 2a    ， 所以 4 4 2(1 2 ) 15 2 1 2 S     ， 所以数列 na 的前 4 项的和 4S 的值为15 2 . 5．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 3a  ， 3 4 12a a  ，则 9S （ ） A．75 B．78 C．81 D．84 【答案】C 【详解】因为 2 3a  ， 3 4 12a a  ，所以 1 1 1 3 2 3 12 a d a d a d        ，解得 1 1a  ， 2d ， 因此 9 9 8 9 1 2 81 2 S       ． 6．记 nS 为等差数列 na 的前n 项和，若 7 0a  ， 7 0S  ，则（ ） A． 3 6 0a a  B． 5 8 0a a  C． 4 7S S D． 14 93S a 【答案】D 【详解】  1 7 7 4 7 7 0 2 a a S a     ， 4 0a  ，又 7 0a  ，等差数列 na 的公差 0d  ； 对于 A， 3 6 4 5a a a a   ， 4 0a  ， 0d  ， 5a 符号不确定，则 3 6a a 符号不确定，A 错误；对于 B， 5a 符号不确定， 8 0a  ， 5 8a a  符号不确定，B 错误； 对于 C， 7 4 5 6 7 63S S a a a a     ，又 6a 符号不确定， 4 7,S S 大小不确定，C 错误； 对于 D，        1 1414 9 9 7 8 9 7 7 14 3 3 7 3 7 2 3 2 2 a a S a a a a a a d a d            711 0a d   ， 14 93S a  7．（多选）已知 na 为等差数列，前n 项和为 nS ， 1 10a  ，公差 d = −2 ，则（ ） A． 4S = 7S B．当 n = 6 或 7 时， nS 取得最小值 - 24 - C．数列 na 的前 10 项和为 50 D．当 n≤2023 时， na 与数列 3 10m  （m N）共有 671 项互为相反数． 【答案】ACD 【详解】对于 A，等差数列{ }na 中， 1 10a  ，公差 2d   ，则 1 ( 1) 2 12na a n d n      ， 7 4 5 6 7 63 0S S a a a a      ，故 A 正确； 对于 B，由 A 的结论， 2 12na n   ，则 6 0a  ，由 d = −2 当 6n  时， 0na  ， 6 0a  ，当 6n  时， 0na  ， 则当 5n  或 6 时， nS 取得最大值，且其最大值为 (10 0) 6 30 2    ，B 错误； 对于 C, 1 2 10 1 2 6 7 8 9 10 6 2 4 6 8 30 20 50a a a a a a a a a a S                    ,故 C 正确， 对于 D，由 2023n≤ ，则 2023 4034na a   ， 则数列{ }na 中与数列{3 10}m 中的项互为相反数的项依次为： 10 ， 16 ， 22 ， 28 ，， 4030 ， 可以组成以 10 为首项， 6 为公差的等差数列，设该数列为{ }nc ，则 4 6nc n   ， 若 4 6 4030nc n     ，解可得 671n  ，即两个数列共有 671 项互为相反数，D 正确． 8．（多选）已知等差数列 na 与等比数列 nb 的前n 项和分别为 ,n nS T ，则下列结论中正确的是（ ） A．数列 2 na 是等比数列 B． nT 可能为2 1n  C．数列 1 nS n      是等差数列 D．数列 2nb 是等比数列 【答案】ABD 【详解】由题设 1n na a d   为定值，则 1 1 2 2 2 0 2 n n n n a a a d a      且为定值，A 对； 若 nb 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 1 2 2 1 1 2 n n nT      ，B 对； 对于数列 1 nS n      ， 1n  时无意义，故不可能为等差数列，C 错； 若 nb 的公比为q ，则 2nb 是首项为 21b ，公比为 2q 的等比数列，D 对. 9．在正项等比数列 na 中， 4 48a  ， 6 12a  ，则 5a  ． 【答案】24 【详解】因为 na 为等比数列，则 25 4 6 576a a a  ，且 0na  ，所以 5 24a  . 10．函数   2f x ax bx c   ，若 , ,a b c 成等比数列且  0 4f   ，则  f x 值域为 . 【答案】 ( , 3]  【详解】由已知得， (0) 4f c   ，由 a，b，c 成等比数列，则 2 4b ac a   ， 0a  ， 所以 2( )f x ax bx c   有最大值，为 24 4 3 3 4 4 4 ac b ac ac c a a       ， 所以值域为 ( , 3]  . 8.立体几何★★★★★ 一、近五年考情分析： 年份 题量 题号 详细知识点 2020 1 3 4 球的截面的性质及计算 16 球的截面的性质及计算 20 线面角的向量求法 2020 3 4 球的截面的性质及计算； - 25 - 2 13 锥体体积的有关计算； 20 证明线面垂直；线面角的向量求法； 2021 1 3 3 圆锥中截面的有关计算； 12 求空间向量的数量积；空间向量的坐标表示； 20 锥体体积的有关计算；线面垂直证明线线垂直； 面面垂直证线面垂直；由二面角大小求线段长度或距离； 2021 2 4 4 球的表面积的有关计算； 5 棱台的结构特征和分类；台体体积的有关计算； 10 求异面直线所成的角；证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直； 19 证明面面垂直；面面角的向量求法； 2022 1 4 4 台体体积的有关计算； 8 由导数求函数的最值（不含参）；锥体体积的有关计算； 球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题； 9 求异面直线所成的角；求线面角； 19 求点面距离；面面角的向量求法； 2022 2 3 7 球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题； 11 锥体体积的有关计算；证明线面垂直； 20 证明线面平行；面面角的向量求法； 2023 1 3 12 正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问题； 14 台体体积的有关计算 18 空间位置关系的向量证明；面面角的向量求法；已知面面角求其他量； 2023 2 3 9 圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；二面角的概念及辨析；由二面角大小求线段长度 或距离； 14 正棱台及其有关计算；锥体体积的有关计算；台体体积的有关计算； 20 证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法； 2024 1 2 5 圆柱表面积的有关计算；圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算 17 证明线面平行；证明面面垂直；由二面角大小求线段长度或距离 2024 2 2 7 锥体体积的有关计算；台体体积的有关计算；求线面角 17 证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直；求平面的法向量；面面角的向量求法 新课标卷的小题主要集中在几何体的表面积和体积问题上，这一点是明确且不容忽视的。对于考 生而言，必须对此给予特别的关注。深入理解并熟练掌握空间几何体的结构特征是解答这类问题的关 键，这包括能够准确计算长度、表面积和体积等。在实践中，常采用的方法包括分割法、补体法，还 台为锥法以及等积变换法等，这些方法在处理不规则几何体体积计算时尤为有效。 此外，球与几何体的切接问题也是高考中的重要考点，通常作为客观题中的难点出现。这类问题 主要考察几何体的外接球，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力。在选择题和填空题 中，图形通常不会直接给出，这就要求考生不仅要具备解题所需的数学技能，还需要有读题画图的能 力。 总的来说，对于空间几何体的表面积和体积问题，考生需要深入理解其结构特征，掌握相关计算 方法，并具备空间想象能力和精确的计算技巧，才能顺利应对各种考查。 二、2025 年高考预测： 一、单选题 1．下列条件一定能确定一个平面的是（ ） A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线 【答案】D - 26 - 【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知 A 错误； 由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知 B 错误； 两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知 C 错误； 由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知 D 选项正确． 2．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P ，Q分别为 1 1B C ，BC的中点，则异面直线 AQ 与BP所成角的余弦值是 （ ） A． 1 5 B． 2 5 C． 1 10 D． 5 5 【答案】A 【详解】如图，以 AB、AD、 1AA 分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，则 (0,0,0), (2,0,0), (2,1,2), (2,1,0)A B P Q ，则 (2,1,0), (0,1, 2)AQ BP    因为 1 1 cos , 55 5 AQ BP AQ BP AQ BP             所以异面直线 AQ 与BP所成角的余弦值为 1 5 . 3．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M ，N 分别为 1BC ， 1CD 的中点，则下列说法错误的是（ ） A．MN 与 1CC 垂直 B．MN 与平面 1 1ACC A 垂直 C．MN 与DC 平行 D．MN 与平面 1BDA 平行 【答案】C 【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设 2AB  ， 则            1 12, 0,0 , 2, 2,0 , 0, 2,0 , 0, 0, 0 , 2, 0, 2 , 0, 2, 2 ,A B C D A C    1, 2,1 , 0,1,1M N ， 对于 A，    11, 1,0 , 0,0,2MN CC      ， 则 1 0MN CC    ，所以 1MN CC ，故 A 正确； 对于 B，  2,2,0AC    ，则 0MN AC    ，所以MN AC ， 又 1 1, ,AC CC C AC CC  平面 1 1ACC A ， 所以MN 平面 1 1ACC A ，故 B 正确； 对于 C，  0,2,0DC   ， 若MN 与DC 平行，则存在唯一实数使得DC MN   ， 所以 0 2 0 0          ，无解，所以MN 与DC 不平行，故 C 错误； 对于 D，    12,2,0 , 2,0,2DB DA    ， 设平面 1BDA 的法向量  , ,n x y z  ， - 27 - 则有 1 2 2 0 2 2 0 n DB x y n DA x z             ，可取  1, 1, 1n     ， 因为 1 1 0 0MN n        ，且MN 平面 1BDA ， 所以MN //平面 1BDA ，故 D 正确. 4．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形， 运行周期T 与轨道半径 R 之间关系为 2 3T K R  （K 为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互 相垂直，甲的周期是乙的 8 倍，且甲的运行轨道半径为 kma ， ,A B 分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的 动点，则 ,A B 之间距离的最大值为（ ） A． 17 km 4 a B． 5 km 4 a C． 3 km 2 a D．5 kma 【答案】B 【详解】如图，设卫星乙的运行轨道半径为 kmr ，因为 2 3 T a T r           甲 乙 ，且 8T T甲 乙 ，所以 4 a r  ， 设地球的球心为O，则 5 4 AB a r a   ，当且仅当 ,A B 与O共线且位于O两侧时取得等号， 5．三棱锥 S ABC 中，SA 平面 ABC， AB BC ．若该三棱锥的最长的棱长为 9，最短的棱长为 3，则该 三棱锥的最大体积为（ ） A． 9 7 2 B． 27 3 2 C．18 D．36 【答案】C 【详解】因为 SA 平面 ABC， ,AB AC 平面 ABC，所以 SA AB ， SA AC ， 故 2 2 2 2,SB SA AB SC SA AC    ， 因为 AB BC ，所以 ,AC BC AC AB  ，故 SB SC ， 则该三棱锥的最长的棱为SC ，故 9SC  ，最短的棱为 ,SA AB或BC， 当最短的棱为 SA，即 3SA  时， 由勾股定理得 2 2 81 9 6 2AC SC SA     ， 故 2 2 2 72AB BC AC   ，故 2 21 18 2 4ABC AB BC S AB BC      ， 当且仅当 AB BC 时，等号成立， 故三棱锥体积为 1 1 18 3 18 3 3ABC S AS     ， - 28 - 当最短的棱为 AB ，即 3AB  时， 设BC x ，则 2 9AC x  ，则 2 2 2 281 9 72SA SC AC x x       ， 故 1 3 2 2ABC x S AB BC   ， 三棱锥体积为   2 2 2 2 21 1 1 7272 72 18 3 2 2 2 2ABC x x x S AS x x x           ， 当且仅当 2 272x x  ，即 6x  时，等号成立， 当最短的棱为BC，即 3BC  时， 设 AB x ，则 2 9AC x  ，则 2 2 2 281 9 72SA SC AC x x       ， 故 1 3 2 2ABC x S AB BC   ， 三棱锥体积为   2 2 2 2 21 1 1 7272 72 18 3 2 2 2 2ABC x x x S AS x x x           ， 当且仅当 2 272x x  ，即 6x  时，等号成立， 综上，该三棱锥的最大体积为 18. 6．已知三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O的球面上， 2 5, 4PB PC AB AC    ， 2PA BC  ，则球O 的表面积为（ ） A． 316 π 15 B． 79 π 15 C． 158 π 5 D． 79 π 5 【答案】A 【详解】在三棱锥P ABC 中，如图， 2 2 220AB PA PB   ，则PA AB ，同理PA AC ， 而 , ,AB AC A AB AC  平面 ABC，因此PA 平面 ABC， 在等腰 ABC 中， 4, 2AB AC BC   ，则 1 12cos 4 BC ABC AB    ， 2 15sin 1 cos 4 ABC ABC     ， 令 ABC 的外接圆圆心为 1O ，则 1OO 平面 ABC， 1 1 8 2 sin 15 AC O A ABC     ， 有 1 / /OO PA，取PA中点 D，连接 OD，则有OD PA ，又 1 O A 平面 ABC，即 1O A PA ， 从而 1 / /O A OD ，四边形 1ODAO 为平行四边形， 1 1OO AD  ，又 1 1OO O A ， 因此球 O 的半径 2 2 2 2 2 2 1 1 8 79 ( ) 1 1515 R OA O A O O      ， 所以球O的表面积 2 316 4π π 15 S R  . 7．（多选）如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块， 容器内盛有 a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P．如果将容器倒置，水面也恰好过点 P（图 2），则 - 29 - （ ） A．若往容器内再注入 a 升水，则容器恰好能装满 B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 P D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 P 【答案】AC 【详解】设图 1 中水的高度 2h ，几何体的高为 1h ，底面正方形的边长为b ； 则图 2 中水的体积为 2 2 21 2 1 2( )b h b h b h h   ，即 2 2 2 1 2 2 ( ) 3 b h b h h  ，解得 1 2 5 3 h h ， 所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即 B 错误． 对于 A，往容器内再注入a 升水，水面将升高 2 2 3 h ，则 2 2 2 1 2 5 3 3 h h h h   ，容器恰好能装满，A 正确； 对于 C，当容器侧面水平放置时， P 点在长方体中截面上，占容器内空间的一半， 所以水面也恰好经过 P 点，C 正确； 对于 D，任意摆放该容器，当水面静止时，P 点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，所以水面都 恰好经过点 P ，D 正确． 对于 D 中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 因为四棱锥的高为 2h ，几何体的高度为 1h ，设正四棱柱的底面边长为b ， 可得 1 2 1 3 A M h ，由 1A ME AMB ∽ ，可得 1 1 A M A E AM AB  ，可得 11 1 6 A M AB A E b AM    ， 所以 1 1BB E CC F 的体积为 2 1 1 2 2 1 5 1 5 5 25 2 6 2 6 3 36 V b h b b h b b h         ， 可得水的体积为 2 1 2 25 36 V b h ，此时 2 22 2 25 2 36 3 b h b h ，矛盾，所以 D 不正确. 8．（多选）在三棱锥P ABC 中， PAB 与 ABC 均是边长为 2 的正三角形，O为 AB 的中点．若 120POC  ， 则（ ） A． 3PC  B．三棱锥P ABC 的体积为 3 2 C．三棱锥P ABC 的表面积为 3 72 3 2  D．异面直线PA与BC所成角的余弦值为 5 8