精品解析：2025年安徽省六安市霍邱县中考一模数学试题

霍邱县2024-2025学年度九年级第一次模拟考试 数学试卷 温馨提示： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试卷”和“答题卷”两部分．“试卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“答题卷”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A 2025 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 太阳半径约为696000千米，用科学记数法表示696000为( ) A. 69.6×104 B. 6.96×105 C. 6.96×106 D. 0.696×107 4. 篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，点是圆上两点，且分别在两侧，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“”概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 在凸四边形中，若对角线，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11 计算：___________． 12. 因式分解：___________． 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角的高，则．当时，的长为___________． 14. 若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线上有且只有一个不动点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，请探究下列问题： （1）的值是___________； （2）的取值范围是___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A，B，C． （1）画出关于x轴对称的； （2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将按照1：2放大后的位似图形； （3）利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： （1）直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； （2）猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 18. 为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地、B、C、四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）． 方案一：如图2所示，沿正方形的三边铺设水管； 方案二：如图3所示，沿正方形的两条对角线铺设水管． （1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短； （2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示）， 满足，，、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：，） 20. 如图，在中，，点O在边上，经过点B并且与相切于点D，连接． （1）尺规作图：过点D作，垂足为点E； (保留作图痕迹，不写作法) （2）在 (1)所作的图形中， ①求证：平分； ②若四边形的周长与面积均为18，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据， 现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七 年 级 ： 7 ， 6 ， 8 ， 7 ， 4 ， 7 ， 6 ， 1 0 ， 7 ， 8 八 年 级 ： 6 ， 8 ， 8 ， 5 ， 5 ， 8 ， 8 ， 8 ， 7 ， 7 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 a b C （1）填空： ， ， ； （2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由； （3）结合以上数据你认为哪个年级的阅读情况较好，请说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 如图，等边三角形中，点是边上任意一点（不与点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，过点作，交的延长线于点，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求值． 八、（本题满分14分） 23. 若抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求的值． （2）若点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霍邱县2024-2025学年度九年级第一次模拟考试 数学试卷 温馨提示： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试卷”和“答题卷”两部分．“试卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“答题卷”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数．倒数的定义是：如果两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴的倒数是， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，正确的计算是解题的关键． 3. 太阳的半径约为696000千米，用科学记数法表示696000为( ) A. 69.6×104 B. 6.96×105 C. 6.96×106 D. 0.696×107 【答案】B 【解析】 【分析】数据绝对值大于10或小于1时科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 详解】696000=6.96×105， 故选B． 【点睛】此题考查的是科学记数法．任意一个绝对值大于10或绝对值小于1的数都可写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10．对于绝对值大于10的数，指数n等于原数的整数位数减去1． 4. 篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：主视图为： 故选B． 5. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，三角形外角的性质，根据平行线的性质得，由对顶角的性质求出，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，为的直径，点是圆上两点，且分别在两侧，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，由平角的定义可得出，再根据圆周角定理得出，故可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵所对的圆心角是，所对的圆周角是， ∴， 故选：A． 7. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求概率，掌握概率所求情况数与总情况数之比是银师的关键． 直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从“时代”“”“豆包”三个主题，选择其中一个主题有3种情况，选中“”的只有1种情况， 所以恰好选中“”的概率是． 故选：C． 8. 如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于点H，连接，由题意得，易证，即可判断A选项；证明，推出，证明，推出，即可判断B选项；由三角形全等得到，根据，即可判断C选项；易证垂直平分，推出，证明是等腰直角三角形，推出，求出，即可判断D选项． 【详解】解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点， ∴ ∵平分， ∴， 又∵，D为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是结合所学知识逐项判定各选项，并且利用已经证明的结论来证明未知的结论 ． 9. 已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出，，再利用完全平方公式判断出，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， 解得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 在凸四边形中，若对角线，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点C作，过点D作，二线交于点E，则四边形是平行四边形，得到，，由，推出，即，根据，当B，C，E三点共线时，取得最小值，最小值为的长，此时计算即可． 【详解】解：过点C作，过点D作，二线交于点E， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， 当B，C，E三点共线时， ∴取得最小值， ∴取得最小值，最小值为的长， ∵， 此时， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，先计算算术平方根，再进行减法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角的高，则．当时，的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用．根据垂直定义可得，然后根据已知可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， 故答案为：． 14. 若一个点的横坐标和纵坐标相等，则称该点为不动点．已知抛物线上有且只有一个不动点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，请探究下列问题： （1）的值是___________； （2）的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与x轴交点问题等知识． （1）由不动点的概念和根的判别式求出和的值，即可求出的值； （2）再由抛物线的解析式求出顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个不动点， ∴，则， 又方程根为， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：，， ∴函数， 该二次函数图象如图所示，顶点坐标为， 与轴交点为， 根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点， 在左侧，随的增大而增大； 在右侧，随的增大而减小；且当时， 函数的最大值为，最小值为， ∴． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程组，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 或， ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A，B，C． （1）画出关于x轴对称的； （2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将按照1：2放大后的位似图形； （3）利用网格和无刻度直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）取格点M、N，连接与相交于点D，则即为所求作的中线． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图，为所作； 【小问3详解】 解：如图，为所作． 【点睛】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和平行四边形的性质． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： （1）直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； （2）猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 【答案】（1）当能被5整除时，即或5时，能被5整除 （2）当能被4整除时，能被4整除．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了整死加减的运用．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用． （1）把四位数化为，根据整除的性质得出结论； （2）把四位数化为，根据整除的性质得出结论． 【小问1详解】 解：当能被5整除时，即或5时，能被5整除，理由如下： ， 能被5整除， 当或5时，能被5整除； 【小问2详解】 解：当能被4整除时，能被4整除．理由： ， 能被4整除， 当能被4整除时，能被4整除． 18. 为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【答案】捐5本的有20人，捐8本的有12人，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解题的关键． 根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可． 【详解】解：该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人， ∴， 解得，， ∴捐5本的有20人，捐8本的有12人． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地、B、C、四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）． 方案一：如图2所示，沿正方形的三边铺设水管； 方案二：如图3所示，沿正方形的两条对角线铺设水管． （1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短； （2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示）， 满足，，、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）方案二 （2）小明，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据方案铺设管道路线求解即可； （2）证，求出小明铺设方案的水管的总长度，进行比较即可得结果； 【小问1详解】 解：方案一：（米） 方案二：（米） 所以方案二总长度更短． 【小问2详解】 如图，作，，垂足分别为和． ∵ ∴，， ∴ ∵， ∴（米）， ， 总长度：（米） ∵ ∴ 所以小明方案总长度最短． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，根据题意，灵活应用知识点进行求解是解题的关键． 20. 如图，在中，，点O在边上，经过点B并且与相切于点D，连接． （1）尺规作图：过点D作，垂足为点E； (保留作图痕迹，不写作法) （2）在 (1)所作的图形中， ①求证：平分； ②若四边形的周长与面积均为18，求的长． 【答案】（1）图见解析 （2）①见解析② 【解析】 【分析】（1）根据尺规作垂线方法，作图即可； （2）①等边对等角，得到，切线的性质结合平行线的判定推出，得到，进而得到，即可得证； ②角平分线的性质，得到，证明，得到，根据题意得到，，利用勾股定理和完全平方公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 ①∵经过点B并且与相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形的周长与面积均为18， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查尺规作垂线，切线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据， 现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七 年 级 ： 7 ， 6 ， 8 ， 7 ， 4 ， 7 ， 6 ， 1 0 ， 7 ， 8 八 年 级 ： 6 ， 8 ， 8 ， 5 ， 5 ， 8 ， 8 ， 8 ， 7 ， 7 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 a b C （1）填空： ， ， ； （2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由； （3）结合以上数据你认为哪个年级的阅读情况较好，请说明理由． 【答案】（1）7.5，8，1.4 （2）不对，无法确定甲同学在哪个年级 （3）八年级，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，方差，利用中位数和众数作决策： （1）根据中位数，众数，方差的计算方法进行求解即可； （2）根据中位数进行判断即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可． 【小问1详解】 解：将八年级的数据排序，得： 5 ，5 ，6 ，7 ，7，8 ，8 ，8 ，8 ，8 ； ∴， 出现次数最多的是， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 甲说的不对，理由如下： ∵， ∴如果甲在七年级，他说的是正确的，如果甲在八年级，他说的是错误的； 【小问3详解】 八年级的阅读情况较好，理由如下： ∵两个年级的平均数相同，但是，八年级的中位数和众数都比七年级的大， ∴八年级的阅读情况较好． 七、（本题满分12分） 22. 如图，等边三角形中，点是边上任意一点（不与点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，过点作，交的延长线于点，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可证是等边三角形，将绕点顺时针旋转至，证明，根据即可证明； （2）过点作于，设，可证，从而可求，，即可求解． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ， 将绕点顺时针旋转至， ， 是等边三角形； ， ， 又， ， ， ， 将绕点顺时针旋转至， ， ， 又， ， 在和中， （）； 【小问2详解】 解：过点作于， 设， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，特殊角的三角函数值，求角的三角函数值等，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 若抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求的值． （2）若点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①有最大值；② 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，结合题意得出，计算即可得解； （2）①由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵时，始终有， ∴的值不会随的变化而变化， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $