精品解析：云南省丽江市第一高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

丽江市第一高级中学2024—2025学年度高二下学期 4月份月考 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意代入检验判断元素与集合之间的关系，即可得交集. 【详解】因为，， 则， 所以. 故选：A. 2. 若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法运算、共轭复数的概念及模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 3. 已知向量，，若，则的值为 A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量模的坐标运算列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意，解得，故选C. 【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，主要是模的坐标运算，属于基础题. 4. 若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出、、的值，结合椭圆离心率公式求解即可. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且，则， 又因为，则，因此，该椭圆的离心率为. 故选：B. 5. 设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【详解】易知，有三个零点 因为为二次函数，所以，它有两个零点 由图像易知，当时，； 当时，，故是极小值 类似地可知，是极大值. 故答案为C 6. 已知正项等比数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 32 B. 31 C. 17 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，利用等比数列性质可以求得，结合的值求得公比，进而求出首项，利用求和公式计算即可得出. 【详解】在正项等比数列数列中， 由，解得. 又∵，∴，解得：，∴， ∴ 故选：D. 7. 已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点，再根据导数几何意义列等量关系，解出切点，即得切线方程. 【详解】设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即， 设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即 ∴，解得，或，， 则直线的方程：或．所以满足条件的直线有2条． 故选：C. 8. 已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可. 【详解】因为，函数在区间上是减函数， 所以，恒成立. 所以，恒成立. 设，， 因为对称轴为，所以在为增函数， 所以，所以. 故选：C 9. 已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，记曲线C：，设函数．曲线C的对称中心为点M，曲线C上两个不重合的动点、关于点M对称，求的取值范围和的值（ ） A. ， B. ，8098 C. ， D. ，4049 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的概念和单调性的定义可得，从而，再由对称性可知曲线的对称中心为，得到，由，，根据二次函数的性质可得.由对称性可得曲线关于点对称，利用倒序相加可得的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以，即， 解得或．当时，；当时，． 因为函数对任意的，且，满足， 所以函数在上单调递增，所以，∴曲线C：， 因为， 得曲线的对称中心为，所以，即，， 又因为A、B两点不重合，故，得，所以. ∵， ∴曲线关于点对称. 设①， ②， 两式相加得. 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间两点间的距离公式判断A ；利用数量积求夹角判断 B ；由数量积为0 判断 C ；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 在有且仅有2个极值点 D. 的图象的对称中心为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角公式，化简，进而可根据偶函数的定义判断A；根据求导公式以及复合函数的导数即可判断B；利用三角函数的性质，即可判断CD. 【详解】对于A，，故，故为偶函数，A正确． 对于B，，故B正确， 对于C，令，，得，当时，只有一个极值点，故C错误． 对于D，令，，则，．故图象对称中心为，，故D正确． 故选：ABD 12. 已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上的动点，的内切圆的圆心为，到渐近线的距离为1，则（ ） A. B. 当点P异于顶点时，的内切圆的圆心为M总在定直线上 C. 过作直线PM的垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为 D. 为定值，定值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用到渐近线的距离即可得出结论；B项，设出的内切圆的圆心和切点，得出的长为，即可得出结论；C项，得出，利用中位线定理得出，确定点D的轨迹，即可得出轨迹方程；D项，写出表达式，得出和表达式，即可得出结论. 【详解】由题意， A项，在双曲线中，渐近线：，即， 到渐近线的距离为1， ∴，解得：，故A正确； B项，如图，的内切圆的圆心为M，分别与，，切于点，，， 则，，， 由双曲线的定义可得，故， 故，即， 又，故，故 ∴的内切圆的圆心为M总在定直线上，故B错误； C项，过作直线PM的垂线，垂足为D，延长交于点E， 由内切圆及垂线性质可知，， 则D为中点且， 连接OD， 由中位线定理可知，， 故点D的轨迹在以O为圆心，半径a为的圆上， 则点D的轨迹方程为，故C正确； D项，∵， 又∵，，， ∵，， ∴，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 13. 函数的图象在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 14. 在等差数列中，为数列的前n项和，若，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列性质分析求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：24. 15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为,，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，由双曲线定义可求得,进而求得，利用勾股定理求得,最后在中利用勾股定理建立等式求得离心率. 【详解】因为，所以由双曲线的定义可得：， 所以，. 因为，所以，， 又因为以为圆心的圆与的延长线相切于点， 所以． 在中，， 所以， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，且三角形的面积为，求的周长l． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由所给等式结合余弦定理进行求解； （2）联立面积公式及可求出b、c，再利用余弦定理求出a，即可求得周长. 【详解】（1）∵，∴， 又，所以． （2），即， 由余弦定理得：．解得： 所以的周长. 17. 已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式； （2）利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意，得， 又为等比数列，所以，即， 解得或，所以或； 【小问2详解】 当时，， 此时； 当时，， 此时. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，是等边三角形，． （1）证明：平面平面． （2）若点为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因是等边形，所以，且 又因底面是菱形，且， 所以是等边三角形，，且 则，有 因，平面，则平面， 又平面，则平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，，即可证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可； （2）以为原点建系，计算平面的法向量，再利用计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 设与平面所成角为， 则， 则与平面所成角的正弦值为． 19. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 （1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; （3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得； （2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得； （3）根据条件概率和全概率公式可得. 【小问1详解】 由题意， 得. 【小问2详解】 由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 【小问3详解】 设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 20. 已知函数． （1）当，求在点处的切线方程； （2）若，且， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）当时，判断零点个数，并说明理由． 【答案】（1） （2） （ⅰ）当时，在无极值， 当时，取得极大值为，无极小值． （ⅱ）令，即， 因为，所以， 所以判断的零点个数，即判断的零点个数， 又， 因为，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以，令，则 则令，，则，， 所以， 所以在上单调递减，．所以，当且仅当时等号成立， 所以当时有一个零点，即有一个零点， 当时无零点，即无零点， 综上所得当时有一个零点，当时无零点． 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）（ⅰ）分和两类情况讨论即可求解，（ⅱ）将问题转换成判断的零点个数，求导，通过和两类情况讨论即可. 【小问1详解】 当时，，，，， 所以切线方程为：， 即：； 【小问2详解】 （ⅰ）函数的定义域为，且， 所以，则， 当，所以恒成立，所以在上单调递减， 在无极值， 当时，由得： ∴，，，， 即在单调递增，在单调递减， 所以时取得极大值为，无极小值 所以，综上所得：当时，在无极值， 当时，取得极大值为，无极小值． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市第一高级中学2024—2025学年度高二下学期 4月份月考 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 3. 已知向量，，若，则的值为 A. B. 4 C. D. 4. 若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 已知正项等比数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 32 B. 31 C. 17 D. 15 7. 已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，记曲线C：，设函数．曲线C的对称中心为点M，曲线C上两个不重合的动点、关于点M对称，求的取值范围和的值（ ） A. ， B. ，8098 C. ， D. ，4049 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 在有且仅有2个极值点 D. 的图象的对称中心为， 12. 已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上的动点，的内切圆的圆心为，到渐近线的距离为1，则（ ） A. B. 当点P异于顶点时，的内切圆的圆心为M总在定直线上 C. 过作直线PM的垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为 D. 为定值，定值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 13. 函数的图象在点处的切线方程为______． 14. 在等差数列中，为数列的前n项和，若，则______． 15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为,，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，且三角形的面积为，求的周长l． 17. 已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，是等边三角形，． （1）证明：平面平面． （2）若点为的中点，求与平面所成角的正弦值． 19. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 （1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; （3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 20. 已知函数． （1）当，求在点处的切线方程； （2）若，且， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）当时，判断零点个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $