广东省惠州市惠东县2024-2025学年高一下学期4月期中学业质量监测数学试题

高一数学 第 1 页 共 4 页 惠东县 2024-2025 学年第二学期高一年级期中学业质量监测 数 学 （2025.04） 试卷共 4 页，卷面满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形 码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1． AB BC AD      （ ）． A．CD  B．DC  C． AC  D．CA  2．设   1 2i 1 iz    ，则 z （ ） A．1 B． 2 C． 5 D． 10 3．已知向量  3, 1a    ，  1,b x  ，且  a b a r r r，那么 x的值是（ ） A． 13 B．12 C．13 D． 12 4．在△ABC中，若 4, 7, 9a b c   ，则最大角的余弦值是（ ） A． 27 B． 2 7  C．0 D． 49 5．如图，一个圆柱的底面半径为 3，高为 2，若它的两个底面圆周均在球 O的球面上，则球 O的 表面积为（ ） A． 323  B．16 C．8 D． 4 高一数学 第 2 页 共 4 页 6．已知向量  1,2a  ，向量  ,3b   ，若 a  与b  的夹角为 45，则自然数 （ ） A．1 B．3 C．5 D．9 7． ABCV 中，角A， B，C的对边长分别为 a，b，c .若 π4A  ， 3cos 5 B  ， 7c  ，则 a （ ） A．10 B．5 C．2 D．4 8．赵爽是我国古代数学家，大约在公元 222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方 图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边 三角形拼成一个大的等边三角形，设 3DF FA ，若 3 21AB  ，则DF的长为（ ） A．9 B．2 3 C．3 D． 3 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列条件能使 / /a b   的是（ ） A． | | | |a b   B．a b   C． | | 0a   D． ( 2,4)a   r ， (2,0)b   10． ABCV 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 45B  ， 8c  ，若解该三角形有且只有一 解，则 b的可能值为（ ） A．6 B．4 2 C．5 2 D．8 11．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确 的是（ ） A．圆柱的侧面积为 24πR B．圆锥的侧面积为 25πR C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 高一数学 第 3 页 共 4 页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分 12．在 ABCV 中，已知 3, 4, 120a b C   ，则c的值为 . 13．已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 6，则该圆锥的表面积为 ． 14．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理， 另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形 有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的 等腰三角形(另一种是顶角为 108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形 组成，如图所示，在其中一个黄金 ABCV 中， 5 1 2 BC AC   .根据这些信息，可得sin 234  . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量    1,1 , 2, 3a b    ． (1)求 2a b  ； (2)求向量 ,a b  的夹角的余弦值； (3)若 2ka b  与 a b  平行，求实数 k的值． 16.（15分）在 ABCV 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，且 cos2 cos c C b a A   ． (1)求角C的大小； (2)若 2,c ABC  的面积 3，求 ABCV 的周长． 17．（15分）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、 避雨、乘凉（如图 1）.某学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作一个亭子模型（如图 2），该 模型为圆锥 1PO 与圆柱 1OO 构成的几何体Ω（圆锥 1PO 的底面与圆柱 1OO 的上底面重合）.已知圆锥 1PO 的高为 18cm，母线长为 30cm，其侧面展开图是一个圆心角为 8 5  的扇形，AB为圆锥的底面直径. 高一数学 第 4 页 共 4 页 圆柱 1OO 的高为 30cm，DC为圆柱下底面的直径，且 40cmDC  . (1)求圆锥 1PO 的侧面积； (2)求几何体Ω的体积. 18．（17分）在 ABCV 中，角A， B，C所对的边分别为 a，b， c，且 2 cosb A c b  ． (1)求证： 2A B ； (2)若 ABCV 为锐角三角形，且 1b  ，求 ABCV 周长的取值范围． 19．（17分）在锐角 ABCV 中，角 A B C､ ､ 的对边分别为 a b c､ ､ ，满足  2 2cos cos sin sin sinA B C A C   . (1)求角 B的大小； (2)若 1c  ，求 ABCV 面积的取值范围； (3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题。该问题是：“在一个三角形内求 作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABCV 的三个内角均小于120时，使得 120APB BPC CPA      的点 P即为费马点.若 ABCV 的面积 为 3，是否在 ABCV 内部存在费马点 P，使得 2PB PA PC  为定值，若存在请求出该定值并说明理由， 若不存在也请说明理由.