福建省福州市八县协作校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

福州市八县（市）协作校2024一2025学年第二学期期中联考 高一数学参考答案及评分细则 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给 分数的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分 1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.D 7.D 8.C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分. 9.ABC 10.AB 11.ABC 二、填空题：每小题3分，满分15分. 12.30( )13.√2 14.[2,5 三、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(1)由题意知，该多面体是由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥完全一致， 每个四棱锥的侧面是四个边长为√2的等边三角形，设三角形的面积为S2 则该多面体的表面积S=8s,=8×号x√2×√2sin=45 2 .4 四棱锥的底面是边长为√2的正方形，故四棱锥的底面积S2=(2)子=25 四棱锥的高为1，故四棱锥的体积三。×2×1= ,6 24 则该多面体的体积V=2V=2× 33 7 (2)将该多面体内接于球内， 数学参考答案及评分细则（第1页共6页) 则球的直径为√(2)2+（√2）2=2，球的半径为1.… 9 故该球体的表面积为：S=4m2=4π×12=4π… 该球体的体积为：V0-4 .13 3 16.(1)由题意，要使21是虚数，则3-m2≠0… 解得：m≠士√3 3 m>0 (2)由题意，要使点位于第四象限，则需满足 3-m2<0 解得：m>√3… (3)由z1=z2得m+(3-m2)i=3cos0+(2+9sin0)i m=3cos0 由复数相等的定义知，必有 3-m2=+9sin0 8 ∴.=3-9cos20-9sin0 =3-91-sin20)-9sin0 =3-9+9sin20-9sin0 =-3+9sin0- 故2的取值范围为[33 ,12].… 4 15 17.(1)a2=b2+c2-2 bccos A. ..2 BC=AC-AB.. 3 BC=(AC-AB)=4C-24C.4B+AB'=4C-24C 4BI COS A+4B..... 数学参考答案及评分细则（第2页共6页） 即a2=b2-2bCC0sA+C2.… 5 (2)(①由正弦定理及asin A=4 bsin B得：a2=4b2.a=2b7 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC得 25=4b2+b2-2×2b2× 2 …8 362=25,6=55 3 …10 (i)由余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C得 25=a2+b2-40c0sC… 11 cosC=a2+b-25≥2ab-25_40-25_15_3 (当且仅当a=b时等号成立)13 40 40 40 408 mc=c小a 14 ∴S=)absinCsx20x55_55厨 84 15 (第一问中写其他表达式及其证明也可) 18.(1)AM=AB+BM -AB+2BC 2 3 西+c- .3 3 (2)BN=AN-4B=1AC-AB W丽=+名40C- 3 号0花+C 数学参考答案及评分细则（第3页共6页） =-x4-x2x4x+5x4 3 2 23 =2 6 IAM VAM -9(4B+44B.C+44C) 6442x4x34×2 .8 AB=AN=2,∠BAN=60°，BN=2 9 .cos∠MPN=cos<AM,BN> …10 AM.BN 2 21 IAMBN 2x221 14 12 3 （3)AP=AM=B+2AC 3 =2AB+2 AC 3 ,42 = AB+AN 3 3 15 B,P,N三点共线 元42=1 ==3 52 .3 f444444,7 19.(1)0A.0B=(3e+e2)(%+e2)… =38+4e+e 2 3×1+4X1×l×5+1=63 2 (2)假设y轴上存在一点C(O,m),使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形 依题意得：OC=me2 数学参考答案及评分细则（第4页共6页) .AC=0C-0A=me-(3e+e)=-3e+(m-1e BC=0C-0B=me-(g+e)=-g+(m-1)g3.5 AC⊥BC.AC⊥BC 6 即(-3e,+(m-1)e2)(-e+(m-1)e2)=0 即3e-4m-1)e·e2+(m-1)'e2=0 2 化简得：m2-4m+6=0… .8 :△<0.无解，即y轴上不存在一点C(0,m),使得△ABC是以AB为斜边的直角三角 形… 9 (3)OA-08=3e+8)-4g+6) =3-)8+1-0e回 =V6-0g+23-00-02g+1-)}e =V(3-)2+2(3-t01-)cos0+1-)2 =√212-81+10+2t2-4t+3)cos0≥V3 (2+2c0s0)t2-(8+8c0s0)t+6c0s0+720,t∈R恒成立. .△=[81+c0s0)-4×21+c0s0)×(6c0s0+7)≤0 12 即8(1+2cos0+cos20)-(7+13cos0+6cos20)=2cos20+3cos0+1≤0 解得-1scos0≤- 2 13 0A.0B=(36+e2)(e+e2)=4+4cos0 可d=3e+g=10+6cos0,oi-=Vg+e-2+2cos日 数学参考答案及评分细则（第5页共6页） cos <OA,OB>= OA.OB 4+4c0s0 o.o V10+6cos0.√2+2cos0 1+cos0 2 =215+3c0s0 2a- 5+3cos03 415 y1在引上 当cos0=- 2时，c0os<0A,0B>的最大值为2W7 7 17 数学参考答案及评分细则（第6页共6页） 福州市八县协作校2024—2025学年第二学期期中联考 高一数学试卷 【完卷时间：120分钟；满分：150分】 命题：福建师范大学附属福清德旺中学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，若（为虚数单位）是实数，则 （ ） A． B．2 C． D．3 2．已知向量，，且⫽，则 （ ） A． B． C．2 D．8 3．如图所示，水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图为△，其中，，则△ABC为 （ ） A．等腰非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．设非零向量，满足，则 （ ） A． B．⫽ C． D． 5．已知是关于x的方程（）的一个复数根，则（ ） A． B． C．4 D．6 6．已知正三棱柱的底面边长为2，高为5，一质点从A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为 （ ） A． B．10 C． D．13 7．已知圆台上、下底面的半径分别为2，4，圆台的高为6．若该圆台的两个底面的圆周都在同一个球的表面上，则这个球的半径为 （ ） A．3 B． C．4 D． 8．已知a，b，c为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边．若，，则的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，，则 （ ） A． B． C． D．在上的投影向量为 10．设，是复数，则 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C的对边，则 （ ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，则△ABC为锐角三角形 D．若满足，的△ABC有且仅有一个，则a的取值范围是 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12．已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C的对边．若，，， 则________． 13．已知复数满足，则________． 14．已知向量，满足，，则的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点构成一个如图所示多面体． （1）求该多面体的表面积和体积． （2）若将该多面体内接于球内，求该球体的表面积与体积． 16．（15分） 已知复数 （1）若是虚数，求m的取值范围． （2）若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围． （3）若，求的取值范围． 17．（15分） 已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C的对边． （1）请写出余弦定理中任意一个表达式，并用向量法证明． （2）若, （ⅰ）若，，求a． （ⅱ）若，求△ABC面积的最大值． 18．（17分） 如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． （1）用，表示． （2）求． （3）若，求的值． 19．（17分） 设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，． （1）若． （ⅰ）求． （ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． （2）若对恒成立，求的最大值． 高一数学 - 第 2 页 - （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高一数学 - 第 1 页 - （共 4 页） 福州市八县协作校 2024—2025 学年第二学期期中联考 高一数学试卷 【完卷时间：120 分钟；满分：150 分】 命题：福建师范大学附属福清德旺中学 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知 aR ，若 ( )2 3 ia a− + − （ i 为虚数单位）是实数，则 a = （ ） A． 2− B．2 C． 3− D．3 2．已知向量 ( ),4a m= ， ( )1, 2b = − ，且 a ⫽ b ，则m = （ ） A． 8− B． 2− C．2 D．8 3．如图所示，水平放置的△ABC 用斜二测画法画出的直观图为△ A B C  ， 中中 45x O y   = ， 1A O B O C O     = = = ，则△ABC为 （ ） x y OA B C A．等腰非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．设非零向量 a，b 满足 ( ) ( ) 0a b a b+  − = ，则 （ ） A． a b⊥ B． a ⫽ b C． a b= D． a b 5．已知3 2i+ 是关于 x的方程 2 0x px q+ + = ，（ ,p qR ）的一个复数根，则 p = ，（ ） A． 6− B． 4− C．4 D．6 6．已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C− 的底面边长为 2，高为 5，一质点从 A点出 发 ， 沿 着 三 棱 柱 的 侧 面 绕 行 两 周 到 达 1A ，点 的 短 路 线 长 长 为 （ ） A． 61 B．10 C．5 5 D．13 A B C A B C 高一数学 - 第 2 页 - （共 4 页） 7．已知圆台 1 2O O 上、下底面的半径分别为 2，4，圆台的高为 6．若该圆台的两个底面 的圆周都在同一个球的表面上，则这个球的半径为 （ ） A．3 B． 2 3 C．4 D． 2 5 8．已知 a，b，c为锐角△ABC三个内角 A，B，C的对边．若 1a = ， 2B A= ，则b 的取 值范围为 （ ） A． ( )1, 2 B． ( )1, 3 C． ( )2, 3 D． ( )3,2 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知平面向量 ( )3, 1a = − ， ( )1, 3b = ，则 （ ） A． 0a b = B． 2 2a b+ = C． ( ) ( )a b a b− ⊥ + D． a b+ 在 a 上的投影向量为 3a 10．设 1z ， 2z 是复数，则 ，（ ） A．若 1 2 0z z ，则 1 2z z B．若 1 2z z ，则 1 2z z C．若 1 2z z ，则 1 2z z D．若 1 2z z ，则 2 2 1 2z z 11．已知 a，b，c 为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，则 （ ） A．若 a b ，则 sin sinA B B．若 0AB AC  ，则△ABC为钝角三角形 C．若 tan tan tan 0A B C+ +  ，则△ABC为锐角三角形 D．若满足 6 A  = ， 6b = 的△ABC有且仅有一个，则 a的取值范围是  )6,+ 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．把答案填在题中的横线上． 12．已知 a，b，c为△ABC三个内角 A，B，C的对边．若 3a = ， 3b = ， 3 A  = ， 则 B = ________． 高一数学 - 第 3 页 - （共 4 页） 13．已知复数 z 满足 ( )1 i 2iz− = ，则 z = ________． 14．已知向量 a， b 满足 2a b+ = ， 1a b− = ，则 a b+ 的取值范围为________． 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 正方体的棱长为 2，以中所有面的中心为顶点构成一个如图所示多面体． （1）求该多面体的表面积和体积． （2）若将该多面体内接于球内，求该球体的表面积与体积． A B C D E F 16．（15 分） 已知复数 21 2(3 )i, 3cos ( 9sin )i( , ).z m m z R    = + − = + +  （1）若 1z 是虚数，求 m的取值范围． （2）若复平面内复数 对应的点位于第四象限，求 m的取值范围． （3）若 21 zz = ，求 的取值范围． 17．（15 分） 已知 a，b，c为△ABC三个内角 A，B，C的对边． （1）请写出余弦定理中任意一个表达式，并用向量法证明． （2）若 5c = , （ⅰ）若 sin 4 sina A b B= ， 3 C  = ，求 a． （ⅱ）若 20ab = ，求△ABC面积的短大值． 1z  高一数学 - 第 4 页 - （共 4 页） 18．（17 分） 如图，在△ABC中，已知 2AB = ， 4AC = ， 60BAC = ， 2BM MC= ，点 N 为 AC 边的中点， AM ， BN 相交于点 P ． （1）用 AB ， AC 表示 AM ． （2）求 cos MPN ． （3）若 AP AM= ，求的值． A B C M N P 19．（17 分） 设 Ox，Oy 是平面内夹角成 ( )0 180 , 90       的两条数轴， 1e ， 2e 两分别为 x 轴，y 轴正方向同向的单位向量．若向量 1 2OP xe ye= + ，则把有序数对 ( ),x y 叫做向 量OP 在此坐标系中的坐标，记 ( ),OP x y= ．已知 ( )3,1OA = ， ( )1,1OB = ． （1）若 60 = ． （ⅰ）求OA OB ． （ⅱ）是否存在 Oy 上一点 C，使得△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形？若存 在，求出 C 点坐标；若不存在，请说明理由． （2）若 3OA tOB−  对 t R 恒成立，求 cos ,OA OB 的短大值． 高一数学 第 1 页（共 6 页） 高一数学 第 2 页（共 6 页） 高一数学 第 3 页（共 6 页） 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分 13分） 16．（本题满分 15 分） 福州市八县（市）协作校 2024—2025 学年第二学期期中联考 高一数学答题卡 （高三数学理科） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 中 学 班 级 座 号 姓 名 学 生 考 号 … … … … … … … … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … … … … … … 封 … … … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写 清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证 号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超 出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、单项选择题（共 40 分，必须用 2B 铅笔填涂，否则不得分.） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（共 18 分，必须用 2B 铅笔填涂，否则不得分.） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 温馨提示： 该区域非答题区域 高一数学 第 4 页（共 6 页） 高一数学 第 5 页（共 6 页） 高一数学 第 6 页（共 6 页） 17．（本题满分 15 分） 18．（本题满分 17 分） 19．（本题满分 17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效