精品解析：山东省枣庄市山亭区2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试卷

2024--2025学年度第二学期学业质量监测八年级数学 （A卷） 注意事项： 1.本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2.答卷时，考生务必将第I卷和第I卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 在数轴上表示不等式组的解，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而用数轴表示出解集即可． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键． 2. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. （笛卡尔爱心曲线） B. （蝴蝶曲线） C. （费马螺线曲线） D. （科赫曲线） 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，深刻理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键． 3. 若，则下列结论不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断即可． 【详解】A．若，则，故A正确； B．若，则不一定成立，故B错误； C．若，则，故C正确； D．若，则，故D正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 4. 若第二象限内点P的坐标为，则a的值可能（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了第二象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组，根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵是第二象限内的点， ∴， ∴， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 5. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是选项C，选项A、B、D无法通过平移得到． 6. 如图，用圆规和直尺作图，不能把分成两个等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，角平分线，垂直平分线，根据作图痕迹分辨尺规作图是解答本题的关键．根据角平分线，垂直平分线等尺规作图的作法，逐个分析即可． 【详解】A．尺规作图作的的角平分线， 由图可知，， ， ，， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故A不符合题意； B．尺规作图作的线段的垂直平分线， 由图可知，， ， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故B不符合题意； C．，， ，， 有尺规作图可得， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故C不符合题意； D．， ， 但不能说明为等腰三角形， 不能把分成两个等腰三角形，故D符合题意； 故选：D． 7. 某中学举办趣味运动会，其中有一项比赛的规则是：如图．三名学生分别站在点，，的位置，计时开始后，三人同时去拿放在点的气球，先拿到气球的人获胜，为了保证比赛的公平性，点应该是（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； 利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可求解； 【详解】解：利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知气球要放在三条边的垂直平分线的交点处才能使比赛公平； 故选：A 8. 如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当且平分时，则点到的距离是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质．过点分别作的垂线，垂足分别为，根据勾股定理求得，等面积法求得，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 9. 如图，在三角形ABC中，AB＝6cm，BC＝4cm，AC＝3cm将三角形ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm，得到三角形FDE．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12cm2 B. 18cm2 C. 24cm2 D. 26cm2 【答案】B 【解析】 【分析】先依据平移的性质得出四边形ABDF是平行四边形，又∠ABD＝90°，可证四边形ABDF是矩形；依据平移的性质得出S△ABC＝S△FDE，那么阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝6×3＝18cm2． 【详解】解：由平移可得，DF＝AB，DF∥AB， ∴四边形ABDF是平行四边形， 又由平移的方向可得，∠ABD＝90°， ∴四边形ABDF是矩形； 由平移可得，△ABC≌△FDE，BD＝3cm， ∴S△ABC＝S△FDE， ∴阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝AB•BD＝6×3＝18cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了阴影部分面积的问题，掌握平移的性质、全等性质是解题的关键． 10. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 故选C． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 12. 若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，正确理解分长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．分两种情况讨论且利用三角形的三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：当长是的边是底边时， 腰长是：， 此时三边为、、，该等腰三角形存在； 当长是的边是腰时， 底边长是：， 而，不满足三角形的三边关系， 则以、、为边不能构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 故答案为：． 13. 风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 【答案】2000 【解析】 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，证明垂直平分，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的中垂线上， ∴， 设交于点，则：， ∴制作这个风筝需要的布料至少为； 故答案为：2000． 14. 通过平移把点移到点，按同样的平移方式；将点平移到点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先找出平移的方式，然后根据平移的性质解答即可． 【详解】把点移到点，的平移方式是先把点A向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到． 按同样的平移方式来平移点B，点向右平移2个单位，得到，再向上平移2个单位，得到的点B′的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质和应用；直接利用平移中点的变化规律求解即可．注意平移前后坐标的变化． 15. 已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】解： ①-②，得 ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键． 16. 如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为_____． 【答案】##48度 【解析】 【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. （1）解不等式，并在数轴上表示其解集； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1）原不等式的解集为，在数轴上表示其解集见解析；（2）原不等式组的解集为，整数解为， 【解析】 【分析】本题考查了解不等式与不等式组，解题的关键是： （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，最后在数轴上表示出解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， 原不等式的解集为：． 数轴表示为： （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 整数解为，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【答案】 （1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）三角形的形状为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==， 即OB2+OA12=A1B2， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 19. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题关键． （1）由三角形内角和定理，得到，再根据旋转的对应角相等求解即可； （2）由勾股定理得，由旋转的性质得，，，进而得到，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴在中，． 20. 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形； （2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 【答案】 （1）如图所示， △DCE为所求作； （2）如图所示， △ACD为所求作； （3）如图所示 △ECD为所求作． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的定义画图即可. （2）根据轴对称的定义画出图形，注意与已知三角形有公共边. （3）明白顺时针的方向，根据要求画图即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题是一道画图题，考查动手能力，解题关键是掌握轴对称，中心对称等定义． 21. 如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m，n的值； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把点代入求得，再把点代入求n得值即可； （2）根据图象求解即可； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，此时，的值最小，利用待定系数法全等直线的解析式，令，求得y的值即可． 【小问1详解】 解：把点代入得，， ∴， 把点代入得，， 解得； 【小问2详解】 解：由图可得，当时，； 【小问3详解】 解：如图，过点A作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P， 把代入得，， 解得， ∴， 由对称的性质可得， ，， ∴， ∴当点A、P、B三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入得，， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、最值问题、轴对称的性质、一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 22. 某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元． （1）分别求出每件豆笋、豆干的进价； （2）某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？ （3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件 （2）有3种进货方案：豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件；豆干购进件，则豆笋购进件 （3）购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设豆干购进n件，则豆笋购进件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案； （3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为，根据一次函数的性质即可求得总利润最大的进货方案． 【小问1详解】 解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件， 则，解得， 故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件． 【小问2详解】 设豆干购进n件，则豆笋购进件， ， 解得， ∴时，，即豆干购进件，则豆笋购进件， 时，，即豆干购进件，则豆笋购进件， 时，，即豆干购进件，则豆笋购进件． 【小问3详解】 设总利润为W元，豆干购进n件， 则 （且n为整数）， ∵， 当时，W随n的增大而减小， ∴当时，W取最大值，为． 此时，购进豆干购进件，则豆笋购进件，获得最大利润为元． 【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型． 23. 如图，在△ABC中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接. （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，试判断的形状，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）是等腰三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （）根据等腰直角三角形的概念得到，根据平行线的性质得到 ，根据全等三角形的判定定理证明结论； （）由得到，根据垂直的定义证明即可； （）根据线段垂直平分线的性质得到，根据得到，等量代换证明结论， 【小问1详解】 证明: ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：是等腰三角形，理由如下： ∵，， ∴垂直平分， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 24. 【模型呈现】 （1）发现：如图1，，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到  ，  ．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】（2）应用：如图2，在中，，，直线经过点，且于点，于点．请探究线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标  ． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，然后作答即可； （2）证明，则，，，进而可得； （3）如图3，过作轴于，作于，由题意知，分两种情况求解；同理（1），则，设，则，，可求，则；同理可得，，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，过作轴于，作于， 由题意知，分两种情况求解； 同理（1）， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴； 同理可得，， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年度第二学期学业质量监测八年级数学 （A卷） 注意事项： 1.本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2.答卷时，考生务必将第I卷和第I卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 在数轴上表示不等式组的解，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. （笛卡尔爱心曲线） B. （蝴蝶曲线） C. （费马螺线曲线） D. （科赫曲线） 3. 若，则下列结论不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 4. 若第二象限内点P的坐标为，则a的值可能（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用圆规和直尺作图，不能把分成两个等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 某中学举办趣味运动会，其中有一项比赛的规则是：如图．三名学生分别站在点，，的位置，计时开始后，三人同时去拿放在点的气球，先拿到气球的人获胜，为了保证比赛的公平性，点应该是（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条中线的交点 8. 如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当且平分时，则点到的距离是(　　) A. B. C. D. 9. 如图，在三角形ABC中，AB＝6cm，BC＝4cm，AC＝3cm将三角形ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm，得到三角形FDE．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12cm2 B. 18cm2 C. 24cm2 D. 26cm2 10. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 13. 风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 14. 通过平移把点移到点，按同样的平移方式；将点平移到点，则点的坐标为______． 15. 已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____． 16. 如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为_____． 三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. （1）解不等式，并在数轴上表示其解集； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 19. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 20. 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形； （2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 21. 如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m，n的值； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 22. 某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元． （1）分别求出每件豆笋、豆干的进价； （2）某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？ （3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？ 23. 如图，在△ABC中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接. （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，试判断的形状，并说明理由. 24. 【模型呈现】 （1）发现：如图1，，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到  ，  ．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】（2）应用：如图2，在中，，，直线经过点，且于点，于点．请探究线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标  ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $