精品解析：2025年山东省济宁市兖州区中考一模数学试题

二○二五年初中学业水平数学模拟考试（一） （时间：120分钟，满分：120分） 卷面要求：整洁美观，格式规范，布局和谐 卷首语：大胆假设，小心求证，你会更好 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题：本大题共10道小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，每小题选对得3分，满分共30分． 1. 以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ） 北京 济南 太原 郑州 A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交 于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点 ；画射线，与相交于点 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 9. 如图，在扇形中，，点 是的中点．过点 作交于点，过点作，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点 落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5道小题，每小题3分，共15分，请把正确答案填在试卷相应的横线上，要求只写出最后结果． 11. 分解因式：______． 12. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 13. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是__________． 14. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________． 15. 已知二次函数（其中x是自变量）图象与x轴交于A，B两点，当时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当时，△ABP面积的最大值为8，则a的值为________． 第Ⅱ卷（共75分） 三、解答题：本大题共8道题，共75分，解答应写出文字说明和推理步骤． 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 18. 某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下： 完全充放电次数t 充电宝数量/个 2 3 10 5 （1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由； （2）根据上述信息，下列说法中正确的是________（写出所有正确说法的序号）； ①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次； ②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足； ③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足． （3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量． 19. 如图，在四边形 中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接 ，则是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 20. 某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 21. 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下： ①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）画出的图形，连接， ，，若的半径为，则的周长为______． 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 23. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边 上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 卷尾语：再仔细检查一下，你会做得更好，考试成功的秘诀在于把会做的题做对，祝你成功！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五年初中学业水平数学模拟考试（一） （时间：120分钟，满分：120分） 卷面要求：整洁美观，格式规范，布局和谐 卷首语：大胆假设，小心求证，你会更好 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题：本大题共10道小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，每小题选对得3分，满分共30分． 1. 以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ） 北京 济南 太原 郑州 A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方计算，同底数幂除法计算和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故选：A． 7. 如图， 中，，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点 ；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 8. 一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数据的分析，平均数，中位数，众数，极差定义．根据题意分别求解原数据与新数据的平均数，中位数，众数，极差即可得到本题答案． 【详解】解：∵一组数据， ∴平均数为：，中位数为， 众数为，极差为：， 去掉数据11为， ∴平均数为：，中位数为， 众数为，极差为：， ∴中位数发生变化， 故选：B． 9. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点 ，过点 作，垂足为点．在扇形内随机选取一点 ，则点 落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点 落在阴影部分的概率是 故选：B． 10. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可； 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选C 二、填空题：本题共5道小题，每小题3分，共15分，请把正确答案填在试卷相应的横线上，要求只写出最后结果． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在因式分解中的应用，解题的关键是识别式子符合完全平方公式的形式． 观察式子，看是否符合完全平方公式的结构，若符合，直接运用公式分解． 【详解】符合完全平方公式的形式，可分解为． 故答案为：． 12. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 13. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是__________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：1（答案不唯一）． 14. 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与 相交于点 ，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解： 的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 15. 已知二次函数（其中x是自变量）图象与x轴交于A，B两点，当时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当时，△ABP面积的最大值为8，则a的值为________． 【答案】##－0.8 【解析】 【分析】根据函数解析式可以求得与x轴的两个交点，然后根据当x⩾0时，y随x的增大而减小，P为抛物线上一点，且横坐标为m，当-2⩽m⩽2时，△ABP面积的最大值为8，即可求得a的值． 【详解】∵y=ax2+2ax-3a=a（x+3）（x-1）， ∴当y=0时，x=-3或1， 不妨设点A的坐标为（-3，0），点B（1，0）， ∴AB=1-（-3）=1+3=4， ∴该抛物线顶点的横坐标为，纵坐标为y=a-2a-3a=-4a， ∵当x⩾0时，y随x的增大而减小， ∴a＜0， ∵P为抛物线上一点，且横坐标为m，当-2⩽m⩽2时，△ABP面积的最大值为8， ∴当x=2时，y=4a+4a-3a=5a，当x=-1时，y=-4a， ∵|5a|＞|-4a|， ∴， 即， 解得a=， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是判断a的正负情况，求出a的值． 第Ⅱ卷（共75分） 三、解答题：本大题共8道题，共75分，解答应写出文字说明和推理步骤． 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数的取值和实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握锐角三角函数以及实数的混合运算法则，分式运算法则即可解题． （1）代入锐角三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可； （2）运用分解因式化简分式，再代入 的值即可解题． 【详解】（1）解：原式； 解：原式 ； 当时，原式． 17. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树 的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度 ． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线 方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度 ． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树 的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． “测角仪”方案：如图：过C作于F，根据矩形的性质得到,再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】解：选择“测角仪”方案： 如图：过C作于F，则，， 在中，，， ， ． 选择“平面镜”方案： 由题意得，， ． 又， ， ，即， ． 18. 某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下： 完全充放电次数t 充电宝数量/个 2 3 10 5 （1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由； （2）根据上述信息，下列说法中正确的是________（写出所有正确说法的序号）； ①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次； ②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足； ③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足． （3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量． 【答案】（1） 对充电宝的使用寿命进行调查，对充电宝具有破坏性，故不能采用普查的方式． （2）①② （3）500个 【解析】 【分析】本题考查调查方式，求中位数，众数，利用样本估计总体： （1）根据调查方式的选择，进行说明即可； （2）根据统计表的数据，中位数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由统计表可知：这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；故①正确； 将数据排序后，第10个和第11个数据均位于，故这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足；故②正确； 由统计表的中的数据可知，的数据只有2个，故平均数一定大于400，故③错误； 故答案为：①②； 【小问3详解】 解：（个）． 19. 如图，在四边形中，，且， 是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 【答案】 证明：选择甲：如图1， ∵， 是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选择乙：如图 ，连接、 ， 交于 ， ∵， 是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】选择甲：由， 是的中点．得，从而得四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论成立；选择乙：连接、 ， 交于 ，分别证明四边形是平行四边形，四边形是菱形，得，，再根据平行线的性质及垂线定义即可得证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练掌握菱形、平行四边形的判定及性质是解题的关键． 20. 某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】（1）A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 （2）该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． 【小问2详解】 解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 21. 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知 和圆上一点M．作法如下： ①以点M为圆心，长为半径，作弧交 于A，B两点； ②延长交 于点C； 即点A，B，C将 的圆周三等分． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将 的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）画出的图形，连接 ，，，若 的半径为，则 的周长为______． 【答案】（1） 作图如下，点A，B，C是求作的 的圆周三等分点： （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可； （2）连接，设的交点为D，得到，根据 的半径为，是直径， 是等边三角形，计算即可． 本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，设的交点为D， 根据垂径定理得到， ∵ 的半径为，是直径， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ 的周长为， 故答案为：． 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 【答案】（1）①3，6；②； （2）①8，② 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【小问1详解】 解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当 时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， 【小问2详解】 ①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 23. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线 的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知 的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知 的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④， 中，，点D在边上，．以点C为圆心， 长为半径作弧与线段 相交于点E，过点E作任意直线与边 ，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1） 图序 角平分线 的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ， （2）猜想：，理由如下： 如图，延长 至 使，连接，过作于，延长 交于， ∵， 平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）是定值 补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点 作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由 是确定的，由作图可得 为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长 至 使，连接，过作于，延长 交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点 作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵， 是 的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 卷尾语：再仔细检查一下，你会做得更好，考试成功的秘诀在于把会做的题做对，祝你成功！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $