广东省惠州市博罗县2024-2025学年高一下学期阶段性教学质量检测数学试题

高一数学参考答案和评分标准 第 1 页 共 7 页 博罗县 2024-2025 学年第二学期阶段性教学质量检测 高一数学参考答案与评分细则 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A C A B D 二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，至少 有两项是符合题目要求的.若全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分. 【若全部正确选项有 3个，则得分为 0、2、4、6；若全部正确选项只有 2个，则得分为 0、3、6】 题号 题 9 题 10 题 11 全部正确选项 BC AD ABD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 1 22.13 6 .14  部分选择填空题详细过程 8.【详解】C 选项，因为 2 2AB   ，所以    2 22 2 1 1 8t t      ， 解得 2t   ， 因为 0AB OA    ，所以    , 2,1 2 0t t t t t      ， 故 2t  ，所以  4, 1B  ，C 正确； B 选项，    4 2, 1 1 2, 2AB        ， 将点  4, 1B  绕点A逆时针旋转 π 3 得到点 P， 则  π π π π2cos 2sin , 2sin 2cos 1 3, 3 13 3 3 3AP            ， 设  ,P m n ，则    2, 1 1 3, 3 1AP m n      ， 所以 2 1 3, 1 3 1m n      ，解得 3 3, 3m n   ， 高一数学参考答案和评分标准 第 2 页 共 7 页 则 P的坐标为  3 3, 3 ，B 正确； A 选项，      3 3, 3 4, 1 3 1, 3 1BP       ， 故    2 2 23 1 3 21BP      ，A 正确； D 选项，BP  在 AB  方向上的投影向量为        3 1,1 4 1, 3 1 2, 2 4 4 2, 2 4 BP AB AB AB AB                   ， D 错误. 故选：D 11.【解析】对于 A选项, 0 2 cos 222 222    ab cbaCcba 故角 C为锐角,A选项正确; 对于 B选项,因为 sin A>sin B,由正弦定理可得 a>b,所以 A>B,B选项正确; 对于 C选项, ac bcab bc acbabca a bacb b a 22 )()( 222222 222222    即 acos A=bcos B,由正、余弦定理可得 sin Acos A=sin B cos B,则 sin 2A=sin 2B, 2   BABA 或 对于 D选项,因为△ABC不是直角三角形,所以 tan A,tan B,tan C均有意义, CB CBCBA tantan1 tantan)tan(tan    所以 tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C, D选项正确. 【答案】ABD 14.[详解] 因为 为b  在 a  方向上的投影向量，且 a  与b  的夹角为锐角， 所以 c a   ，故 2a b c a b         ． 因为 ，且 0a b    ， 所以 4a b    ．设 ，   2 2 2 2 2 22 4 4 4 2 4 4 32a b a a b b x x                 ，  22 32a b x     ，   2 2 22 2 2 4 8a b b a b b x x                ． 设 2a b   与b  的夹角为 ，所以 ,c a c    4a b a c        0b x   高一数学参考答案和评分标准 第 3 页 共 7 页       222 2 22 2 88cos 322 32 a b b xx x xa b b x x                 ． 因为       22 2 22 2 2 3 32 3 32 4 8 2 x x x x x            当且仅当 2 23 32x x  ，即 4x  时取等号， , 4 3 )32( )8()8( 3 4)32( 22 22 2222     xx xxxx 6 0,0, 2 3cos   且则 . 6  的夹角的最大值为与bcba  四、解答题：本小题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分.其中第一问 7 分，第二问 6 分） 【详解】（1）由正弦定理及  2cos cos cosA c B b C a  ． 得  2cos sin cos sin cos sinA C B B C A  ， …………………………………………2 分 即  2cos sin sinA C B A  ， ……………………………………………………………4 分 即 2cos sin sinA A A ， …………………………………………………………………5分 因为0 πA  ，所以sin 0A ， …………………………………………………………6 分 所以 1cos 2 A  ，所以 π 3 A  ． ……………………………………………………………7 分 （2）由题意得 ABC 的面积 1 sin 3 2 S bc A  ，所以 4bc  ①． …………………9 分 又 2 2 2 2 cosa b c bc A   ，且 2a  ，所以 2 2 8b c  ②． ……………………………11 分 由①②得 2b c  ． …………………………………………………………………13 分 16．(本小题满分 15 分.其中第一问 8 分，第二问 7 分） 【详解】（1）因为 1 3 BM BC   ， 所以  1 1 2 13 3 3 3AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC                   ， …………………4分 高一数学参考答案和评分标准 第 4 页 共 7 页 所以 2 2 2 22 1 4 4 1 4 4 1 1 164 2 4 16 3 3 9 9 9 9 9 2 9 3 AM AB AC AB AB AC AC                          ，……7 分 所以 4 3 3 AM   ； ……………………………………………………………………………8 分 （2）因为 1 2 AN AC   ， 所以 1 2 BN AN ABA B AC          ， ………………………………………………………10 分 所以 2 22 1 1 2 1 2 14 16 0 3 3 2 3 6 3 6 AM BN AB AC AB AC AB AC                                 ，…………14 分 所以 AM BN   ，即 AM BN ，所以 AM PN ． ………………………………………15 分 17．(本小题满分 15 分.其中第一问 7 分，第二问 8 分） 【详解】（1）如图，正四棱台 1 1 1 1ABCD ABC D 的每个侧面皆为全等的等腰梯形， 分别取 1 1,BC BC的中点为 ,M N，连接 1 ,,OM ON MN， 过点 M 作MH ON 于 H，………………………………2 分 则 1 130cm, 10cm 20cm, 10cm,OO MH OM ON HN     ， 故  2 2 2 230 10 10 10 cmMN MH HN     ， ……4 分 所以正四棱台 1 1 1 1ABCD ABC D 的表面积为     2 2 2120 40 4 20 40 10 10 2000 1200 10 cm2        ；……7 分（没有写单位扣 1 分） （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台 1OO的上下底面圆与正四棱台的上下 底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为 10cm，下底面半径为 20cm，高为 30cm，……………………9 分 则圆台 1OO的体积为    2 2 31 1 π 10 20 10 20 30 7000π cm3V       ，…………………11 分 而正四棱台的体积为    2 2 2 2 31 20 40 20 40 30 28000 cm3V       ，………………13 分 所以消去部分的体积为  32 28000 7000π cmV   ， 则削去部分与圆台的体积之比为 π 28000 7000π π 7000π 4    . ………………………………15 分 高一数学参考答案和评分标准 第 5 页 共 7 页 18．(本小题满分 17 分.其中第一问 4 分，第二问 5 分，第三问 8 分） 【详解】（1）因为 2 2 2sin sin sin sin sinB A C A C   ， 由正弦定理得 2 2 2b a c ac   ，则 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac     ， ………………………2分 且0 πB  ，所以 π 3 B  ． ……………………………………………………………4 分 （2）由题意可知： π 6 ABD CBD   ，……………………………………………5 分 因为 ABC ABD BCDS S S △ △ △ ，……………………………………………………………6 分 则 1 1 1sin sin sin 2 2 2 ac ABC c BD ABD a BD CBD           ，…………………8分 即 1 3 1 1 1 13 4 4 3 2 2 2 2 2 2 BD BD           ，可得 12 3 7 BD  ． ………………9 分 （3）由正弦定理可得 4 sin sin sin a c b A C B    ， 所以 4sin , 4sina A c C  ，……………………………………………………………10 分 因为 π 3 B  ，则 2π 3 A C  ， 2π 3 C A  ， …………………………………………11 分 所以 2π4sin 4sin 2 3 4sin 4sin( ) 2 3 3 a b c A C A A         6sin 2 3 cos 2 3 4 3sin( ) 2 3 6 A A A       ，………………13 分 因为 ABC 为锐角三角形，则 π0 2 2π π0 3 2 A C A           ，解得 π π 6 2 A  ，……………15 分 则 π π 2π, 6 3 3 A       ， π 3sin( ) ,1 6 2 A        ，…………………………………………16 分 故周长范围为 6 2 3,6 3  ．………………………………………………………17 分 19．(本小题满分 13 分.其中第一问 4 分，第二问 6 分，第三问 7 分） 【详解】（1）对于①，设 1 2 0x x     ， 则可得 1 2 1 1 2 2 0 0 2 0 0 x x x x x x          ，所以  ，   线性无关；………………………………2 分 高一数学参考答案和评分标准 第 6 页 共 7 页 对于②设 1 2 3 0y y y        ， 则可得 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 0 2 0 2 4 0 y y y y y y y y y            ，所以 1 22 0y y  ， 3 0y ， 可取 1 22, 1y y   不全为零，故  ，   线线性相关； ………………………………4分 （2）设 1 2 3( ) ( ) ( ) 0a a a                 ， ……………………………………………5 分 分60)()()( 322131   aaaaaa 因为向量  ，   ，   线性无关， 所以 1 3 0a a  ， 1 2 0a a  ， 2 3 0a a  ，……………………………………………8 分 解得 1 2 3 0a a a   ，……………………………………………………………………9 分 线性无关；，，所以向量   …………………………………………10 分 （3）①（反证法） 假设系数 mkkk ,,, 21  中既有等于零的数，又有不等于零的数. 不妨设 ).},,3,2,1{,(0,0 jimjikk ji  ； ………………………………………11 分 那么等式 ,02211  mmkkk   可化为： ,011112211   mmiiii kkkkk   ………………………12 分 该等式左边为 1m 个向量的线性组合，由题意可知其中任意 1m 个向量线性无关， （根据定义：若一组向量线性无关，则只有当它们前面系数全为零时，线性组合才为零向量。） 但此时存在 0jk ，这与 1m 个向量线性无关矛盾.…………………………………13 分 所以假设不成立，即 mkkk ,,, 21  或者全为零，或者全不为零.………………………14 分 ②因为 1 0l  ，所以 1l ， 2l ，……， ml 全不为零， 所以由 1 1 2 2 0m ml a l l          ， 可得 2 1 2 1 1 m m ll l l           ， …………………………………………………………15 分 高一数学参考答案和评分标准 第 7 页 共 7 页 代入 1 1 2 2 0m mk a k a k          ，可得 21 2 2 2 1 1 ( ) 0m m m m ll k a k k l l                 ， 所以 2 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 0m m m ll k k k k l l             ， 所以 2 1 2 1 0l k k l    ，…… 1 1 0m m l k k l    ， ……………………………………………16 分 所以 1 2 1 2 m m kk k l l l     ………………………………………………………………17 分 博罗县2024-2025学年第二学期阶段性教学质量检测 高一数学试题 本试卷共19小题，满分150分. 考试时间120分钟. 一、单项选择题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点且则点的横坐标与纵坐标之和为（ ） A. B. C. D. 3. 在锐角中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知则原四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 第4题 第5题 5. 如图，为了测量两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在 点、距离点600米处的点、距离点200米处的点进行观测。甲同学在点测得乙同学在点测得丙同学在点测得则两点之间的距离为（ ） A.米 B.米 C.米 D.米 6. 已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若且的夹角为则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线若母线放置在水平地面上时，水 面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时， 水面高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点点点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则下列结论错误的是（ ） A. B.点的坐标为 C.点的坐标为 D.在方向上的投影向量为 二、多项选择题(共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知复数则下列结论正确的是（ ） A.若为纯虚数，则； B.若在复平面内对应的点位于第二象限，则； C.若则； D.若则. 10. 已知圆锥的底面半径为，高为，为顶点，为底面圆周上两个动点，则（ ） A.圆锥的体积为； B.从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为； C.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为； D.圆锥截面的面积最大值为. 11. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A.若，则为锐角； B.若，则； C.若则为等腰三角形； D.若不是直角三角形，则. 第二部分（非选择题，共 92 分） 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡相应横线上. 12. 使不等式（为虚数单位）成立的实数 13. 在直三棱柱中，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此三棱柱的高为 14. 已知非零向量的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且则与的夹角最大值为 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分13分） 在中，角所对的边分别为，已知 （1）求角 （2）若的面积为求的值. 16.(本小题满分15分) 如图，在中，已知，，，分别为上的两点，且与相交于点 （1）求的值； （2）求证： 17.（本小题满分15分） 图①是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，分别是上、下底面的中心，棱台的高为30cm. (1)求正四棱台的表面积； (2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台（如图②），求削去的部分与圆台的体积之比. 18.（本小题满分17分） 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角 （2）若的角平分线交于点，且求边的长度； （3）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 19.（本小题满分17分） 对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量,特别地，称为零向量.设 ，定义加法和数乘： 对一组向量若存在一组不全为零的实数使得则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. （1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ① ② （2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，，同时成立，其中，则有 高一数学试题 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$