数学（江苏苏州专用）-2025年中考终极押题猜想

2025年中考数学终极押题猜想 押题猜想一 几何与图象结合问题 1 押题猜想二 函数与几何中的面积问题 6 押题猜想三 几何中的折叠问题 16 押题猜想四 函数与几何中的最小值问题 20 押题猜想五 函数与几何中的最大值问题 26 押题猜想六 函数与几何中的取值范围问题 32 押题猜想七 函数与几何中的新定义问题 42 押题猜想八 二次函数与等角、倍角问题 53 押题猜想九 二次函数与线段数量关系问题 58 押题猜想十 综合与实践 69 押题猜想一 几何与图象结合问题 如图1，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们运动的速度都是．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（   ） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤ 押题解读：本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键。 1．如图，矩形中，，，动点M从点A出发以的速度沿折线运动到点C停止．连接，作交于点N．设点M运动时，长为，则y关于t的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 3．如图（1），在矩形中，是对角线，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作于点．设点运动的路程为，（当点，或，重合时，设或 ），与 的函数关系的图象如图（2）所示，则的值为 ． 4．如图1，在正方形中，，以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点，作矩形，E、G在正方形的边上，设，矩形的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，点P的坐标为，则 ． 5．如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为 ． 押题猜想二 函数与几何中的面积问题 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点，在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是10，，则的值为（   ） A． B． C． D． 押题解读：本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角函数的应用，关键是利用三角函数值求各边的长．已知，设，，，利用勾股定理求的长，列方程，求出，可求的值． 1．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 2．如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是 ． 3．如图，在中，，D是斜边上任意一点，点E、F分别是的重心，那么四边形的面积是 ． 4．【问题提出】 （1）如图①，已知与直线相离，过作于点，，的半径为，则圆上一点到直线的距离的最小值是______； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，，，请你过点画出将四边形面积等分的线段，并求出的长． 【问题解决】 （3）如图③所示，是由线段、、与弧围成的花园的平面示意图，，，，，点为的中点，所对的圆心角为．管理人员想在上确定一点，在四边形区域种植花卉，其余区域种植草坪，并过点修建一条小路，把四边形分成面积相等且尽可能小的两部分，分别种植不同的花卉．问是否存在满足上述条件的小路？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 5．综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图，锐角中，，，作，垂足为，则的面积为 ； 【一般证明】 （2）如图，锐角中，，，，的面积为． 求证：； 【迁移应用】 （3）如图，锐角中，，，，是的平分线，则的长为 ； （4）如图，中，，，，点在边上，且，连接，的中点为点，过点作直线与边，分别交于，两点，且为锐角三角形，求的值． 押题猜想三 几何中的折叠问题 如图在中，，平分，为中点，为上一点，将沿折叠，使点落到点处，连接．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 押题解读：本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造等边三角形，利用图形的性质找角之间的关系． 1．如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（　　） A． B． C．或 D．或 2．在矩形中，，分别在边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，连接，若折痕，，则的长为 ． 3．如图，现有三角形纸片，，折叠纸片，使得点与点重合，得到折痕，然后还原；再次折叠纸片，使得上的点与上的点重合，得到折痕，然后还原，且，，三条线段相交于同一点． （1）若，，则 ．（用含的式子表示） （2）若，，，则的长为 ． 4．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学小组实践活动． 已知矩形纸片，，，点，分别在边，上，将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，． 如图1，当点落在线段上时，智慧小组提出问题： (1)猜想是__________三角形，请证明你的猜想； (2)当时，求线段的长度； (3)如图2，奋斗小组的同学受到启发，若点落在线段上，与交于点，通过测量得，连接．则点到边的距离是__________；若点为线段上一动点，过点作于点，连接，则的最小值是__________． (4)如图3，希望小组同学继续探究，将矩形纸片沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接，交于点，则面积的取值范围是__________． 5．在综合实践活动课上，同学们以“折叠正方形纸片”为主题开展数学探究活动． 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕，如图②； 操作三：在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕，如图③． 把正方形纸片展平，得图④，折痕，与的交点分别为，． (1)根据以上操作，得_________． (2)若正方形的边长为，，试求的长． (3)经过多次折叠和测量，小浩发现线段与的比值不变，但他无法证明，请聪明的你帮小浩写出证明过程，并求出其比值． 押题猜想四 函数与几何中的最小值问题 如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 押题解读：本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可． 1．如图：已知矩形，，，E为边上一个动点，，，连接，则的最小值为（   ）    A． B．2 C． D． 2．如图，点是矩形内部一个动点，为上一点且，当，时，则的最小值为 ． 3．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为 ． 4．【问题探究】 （1）如图1，点是半径为的上的动点，点为外一点，已知、两点之间的距离为，则、两点之间的距离最小为 ； （2）如图2，的顶点都在上，连接并延长，交于点，．求证：； 【问题解决】 （3）年月日，中国某公司向老挝航空公司交付首架飞机，标志着我国商用飞机国际化发展迈出新步伐．据悉，飞机上所使用的复合材料，主要是碳纤维增强树脂基复合材料．如图3，现有一块形如四边形的新型材料，，，，，以为圆心，为半径画．某科研人员想用这块材料裁出一个型部件，并要求：在上，于点，于点，且的长度尽可能的小，请问的长是否存在最小值？若存在，请求出的最小长度；若不存在，请说明理由． 5．【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 押题猜想五 函数与几何中的最大值问题 如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为(     ) A． B． C． D． 押题解读：本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，进而得到，由此得解． 1．如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 2．在四边形中，，，，且，则四边形面积最大值为 ． 3．如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是 ，面积的最大值为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的表达式： (2)若点的横坐标为，用含的代数式表示； (3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 5．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C． (1)求a的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标； (3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长． 押题猜想六 函数与几何中的取值范围问题 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点位于第一象限内，，并且点到轴的距离为，点对应的坐标为．若为钝角三角形，则的取值范围是（   ） A． B． C．且，或 D．且，或 押题解读：本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识；正确分类是解题的关键；根据题意，分为直角，为直角，即可求解； 1．已知，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 3．如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 ． 4．在平面直角坐标系中，拋物线存在两点． (1) ； (2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为，作直线，点是抛物线上的一个动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴的垂线，与直线交于点，点关于直线的对称点为，连接，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点的纵坐标与顶点的纵坐标相等时，求的值； (3)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围； (4)连接，当与相等时，直接写出的值． 押题猜想七 函数与几何中的新定义问题 新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 押题解读：本题考查了抛物线的新定义，抛物线的增减性，对称轴，绝对值的化简，解不等式，熟练掌握定义，增减性是解题的关键． 1．在平面直角坐标系中，定义：已知是的函数，如果对于任意两个不相等的自变量，，当时，的取值范围是，那么将称为这个函数的“级封闭定义域”．例如：函数，当时，，所以是函数的“3级封闭定义域”．下列结论：①是函数的“1级封闭定义域”；②若是函数的“2级封闭定义域”，则；③若函数存在“3级封闭定义域”，则；④函数不存在“4级封闭定义域”．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则 ． 3．定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 ． 4．定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)二次函数过点，，，则的解析式为______； 如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标； 如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 5．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、都是“基准偶和点”． (1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号） ① ② ③ ④ (2)在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数的解析式； (3)已知抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； (4)抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令，是否存在一个常数，使得当时，有最小值恰好等于，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 押题猜想八 二次函数与等角、倍角问题 如图，已知矩形的三个顶点的坐标为，，，．经过，两点的抛物线与线段交于点（不与，两点重合），连接，． (1)填空：_________；直接写出点的坐标（用含，的代数式表示）； (2)当时，，求的值和抛物线顶点的坐标； (3)当时，的最大值是9，求此时的值． 押题解读：本题考查矩形性质，由点坐标求线段长度，相似三角形判定及性质，二次函数图象及性质等． （1）根据题意利用，可得，再由点坐标及矩形性质可得； （2）根据题意可得，继而得到，再证明，后利用相似性质可得，解得，继而得到本题答案； （3）根据可得，后得到，继而得到，后得到，继而得到当时，，求出本题答案． 1．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线以及直线的函数解析式． (2)若是抛物线的顶点，求点到直线的距离． (3)已知是抛物线上的一动点，是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C，接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点轴交直线于点E，求的最大值时，及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点，连接，点M是新抛物线上一点，且，直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 3．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点A，交轴正半轴于点，交轴于点，，． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，点为的中点，连接，，，，，求点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标； (3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线（是常数）的顶点为，抛物线． (1)求证：点在抛物线上； (2)当时，的图象与轴交于、两点，点在点的左侧． ①若抛物线与的图象除顶点以外的另一个交点为，过点作直线轴，过点作，垂足为点，连接，．当时，求的值； ②在①的条件下，过点作轴的垂线，分别交和于点，；过点作轴的垂线，分别交和于点，；当时，求的值． 押题猜想九 二次函数与线段数量关系问题 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 押题解读：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 1．抛物线经过，两点，点在轴上，是抛物线上位于直线下方的一个动点． (1)直线的解析式是________________，抛物线的解析式是________________； (2)如图1，过点作于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图2，在轴上有一点，连接交于点，求与的面积之差的最大值． 2．如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式： (2)请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标： (3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值． 3．已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标； (3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标． 4．如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标． 5．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 押题猜想十 综合与实践 “综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 (1)如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________； 【类比探究】 (2)如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）； 【拓展延伸】 (3)如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值．        押题解读：本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 1．综合与实践-项目式学习 【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界． 【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系： 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值． 任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为． (1)请你利用所学的知识求出与的关系式． (2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）． 2．综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动． 【初步探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在线段，上，且，则与的位置关系是________，数量关系是________； 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别为直线，上的动点，且，连接，．探究与存在的数量关系并说明理由； 【深入研究】 （3）如图3在（2）的条件下，若点E，F分别在边，的延长线上，的延长线与交于点H．点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 3．【数学来源于生活】 （1）小明要铺一个1.8米米的矩形床单，但是他发现床单长宽很接近，为了在图中找出哪个边是2米长，在矩形中，小明折叠床单，使点与点重合，请你帮小明判断___________边长是2米．（填“”或“”） 【综合与实践操作】 （2）①在图中，请你用无刻度的直尺和圆规在矩形中，画出线段，使点，分别在边上，且满足若沿折叠，能使点与点重合（不写作法，保留作图痕迹） ②在①条件下，连接，请证明四边形是菱形． 【拓展与深度探究】 （3）如图，在矩形纸片中，点，分别在边，上，，，，剪下四边形．如图，折叠四边形纸片，折叠后点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与边分别交于点．连接，当时，求． 4．【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 5．综合与实践 综合与实践课上，数学活动小组的同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图（1），在直角三角形纸片中， ．    (1)操作判断 操作一：对折直角三角形纸片， 使点与点重合，得到折痕，把纸片展平． 问题1：如图（2），当直角边时，折痕的长为 ； 操作二：如图（3），将绕点逆时针旋转得到， 点的对应点分别是，直线 与边交于点（不与点重合）． 问题2：在绕点旋转的过程中，与 的数量关系为 ． (2)探究迁移 若，．在绕点旋转的过程中，当直线经过点 时，如图（4），求 的长． (3)拓展应用 若，．在绕点旋转的过程中，当与的边平行时，直接写出与重叠部分的面积（面积为时忽略不计）． 2 / 2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学终极押题猜想 押题猜想一 几何与图象结合问题 1 押题猜想二 函数与几何中的面积问题 6 押题猜想三 几何中的折叠问题 16 押题猜想四 函数与几何中的最小值问题 20 押题猜想五 函数与几何中的最大值问题 26 押题猜想六 函数与几何中的取值范围问题 32 押题猜想七 函数与几何中的新定义问题 42 押题猜想八 二次函数与等角、倍角问题 53 押题猜想九 二次函数与线段数量关系问题 58 押题猜想十 综合与实践 69 押题猜想一 几何与图象结合问题 如图1，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们运动的速度都是．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③当时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤与相似时，．对以上结论判断正确的是（   ） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】由图2可知，整个运动过程分为段，故点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分别分析各命题的正误． 【详解】解：由图可知，，， 四边形是矩形， ，． ， ， ． 对于①，当时，点在上，点在上，且， 是等腰三角形，①正确； 对于②，，②错误； 对于③，，， 当时，点在上，点在处， ，③正确； 对于④，如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形． 综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，④错误； 对于⑤，是直角三角形， 当且仅当点在上时，与相似，此时，，且， 或， 即或， 解得或（舍去）． 当与相似时，，⑤正确． 综上可得，正确的有：①③⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 押题解读：本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键。 1．如图，矩形中，，，动点M从点A出发以的速度沿折线运动到点C停止．连接，作交于点N．设点M运动时，长为，则y关于t的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分点M在和上运动两种情况，分别根据矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质求出函数解析式，最后根据函数解析式判断即可． 【详解】解：①当点M在边上时，即， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即， 此时，图象为一次函数； ②当点M在边上时，即，则，， 如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，，，， ∴， 此时，图象为二次函数，最大值为； 只有D选项中图象符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象等知识点，根据题意确定函|数解析式是解答本题的关键． 2．如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据函数图象得到，结合矩形性质和三角形面积公式得到，利用勾股定理和函数图象得到，即可判断①；结合余弦定义，即可判断②，当时，设，利用待定系数法求出二次函数解析式，即可判断③，相似三角形判定定理证明，即可解题． 【详解】解：①由图（2）知，当时，， 由题知，当时，， 四边形为矩形， ， 与间距为， ， ， ， 故，即①正确； ②，故②错误； ③当时，设， 过点， ，解得， ，故③错误； ④当秒时，点在上，此时，则， ，，， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，待定系数法求二次函数，相似三角形判定，锐角三角函数，矩形性质，解题的关键在于从函数图象获取需要的信息． 3．如图（1），在矩形中，是对角线，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作于点．设点运动的路程为，（当点，或，重合时，设或 ），与 的函数关系的图象如图（2）所示，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键；根据图（2）得出，在取点，使得，连接，进而根据勾股定理求得，得出，进而求得时，的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，在取点，使得，连接， 由图（2）可得的最小值为，即运动到点停止，此时，则， ∴， ∴， 由时，点与点重合，，则，此时， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得： ∴， ∴ 根据图（2）可得时，点在上运动， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 4．如图1，在正方形中，，以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点，作矩形，E、G在正方形的边上，设，矩形的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，点P的坐标为，则 ． 【答案】10 【分析】先证明四边形，四边形都是矩形，结合以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点，得，，，，因为点P的坐标为，即，解得或，即可作答． 【详解】解：延长，交于点H，连接，如图， 四边形为矩形，四边形为正方形， ，， 四边形，四边形都是矩形， ，， ， ， 以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点， ， ， ， 点P的坐标为， ， ， 或， 经检验，是原方程的根，不合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆的基本性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点，数形结合是解题的关键．过点作于点，连接，由图象可知；当点N与点B重合时，；，先求得，推出，在利用勾股定理求得． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： 由图象可知；当点N与点B重合时，；． 在中，由勾股定理，可得． ， ． 故答案为：． 押题猜想二 函数与几何中的面积问题 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点，在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是10，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角函数的应用，关键是利用三角函数值求各边的长．已知，设，，，利用勾股定理求的长，列方程，求出，可求的值． 【详解】解：轴， ， 中，， ， 设，， ， ． 矩形中，， ． ． ． ． 矩形的面积是10， ， ． ． ， ． 故选：C． 押题解读：本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角函数的应用，关键是利用三角函数值求各边的长．已知，设，，，利用勾股定理求的长，列方程，求出，可求的值． 1．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 2．如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点． 由翻折得：，，由勾股定理得，可证明，则求出，则，由于，，则，可得，则，即可求解面积． 【详解】解： 由翻折得：， ∵平行四边形 ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，D是斜边上任意一点，点E、F分别是的重心，那么四边形的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查解直角三角形，三角形的重心，先求出的长，进而得出的面积，再分别连接并延长，根据重心的性质得出它们与的交点为同一点，最后得出及的面积分别为和面积的即可解决问题． 【详解】解：在中，． ∴， ∴， ∴． 连接并延长，分别交于点，N， ∵E，F分别为和的重心， ∴点M为中点，点N为中点， ∴M，N重合． ∵点E为的重心， ∴， ∴，， ∴． 同理可得，， ∴， 即四边形的面积为8． 故答案为：8． 4．【问题提出】 （1）如图①，已知与直线相离，过作于点，，的半径为，则圆上一点到直线的距离的最小值是______； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，，，请你过点画出将四边形面积等分的线段，并求出的长． 【问题解决】 （3）如图③所示，是由线段、、与弧围成的花园的平面示意图，，，，，点为的中点，所对的圆心角为．管理人员想在上确定一点，在四边形区域种植花卉，其余区域种植草坪，并过点修建一条小路，把四边形分成面积相等且尽可能小的两部分，分别种植不同的花卉．问是否存在满足上述条件的小路？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）图见解析，；（3）存在满足上述条件的小路，的长为 【分析】（1）当点在线段上时，点到直线的距离的最小，即可求解； （2）利用尺规作图，过点作于点，连接，则即为所求．先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后解直角三角形求出的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得； （3）连接，求出的面积，证明要使四边形的面积最小，则的面积需最小，设所在圆的圆心为，则，过作于，交于点，交于，由（1）可得此时点到的距离最短，即的面积最小．得出，则，由勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）当点在线段上时，点到直线的距离最小， ∵，的半径为， ∴最小值是为， 故答案为：． （2）如图，过点作于点，连接，则即为所求．理由如下： 过点作作于， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴线段将四边形面积等分， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，． （3）存在满足上述条件的小路，求解过程如下： 如图，连接， ，点为的中点， ， ∵，， 四边形是矩形， ，， ． 要使四边形的面积最小，则的面积需最小． 设所在圆的圆心为，则， 过作于，交于点，交于， 由（1）可得，此时点到的距离最短，即的面积最小． ， ，， ，， ，． ， ， ∴面积的最小值为， ， ， 点在上， ∴， ， ， ， 所以存在满足上述条件的小路，的长为． 【点睛】本题考查了圆的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、三角形全等的判定与性质、勾股定理、作垂线的尺规作图等知识，较难的是题（3），确定的面积最小时，点的位置是解题关键． 5．综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图，锐角中，，，作，垂足为，则的面积为 ； 【一般证明】 （2）如图，锐角中，，，，的面积为． 求证：； 【迁移应用】 （3）如图，锐角中，，，，是的平分线，则的长为 ； （4）如图，中，，，，点在边上，且，连接，的中点为点，过点作直线与边，分别交于，两点，且为锐角三角形，求的值． 【答案】（1）  （2）见解析  （3）  （4） 【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用可以求出高的长度，再根据三角形的面积公式求出的面积； （2）过点作交于点，再根据可以求出高的代数式，进而证明结论； （3）以（2）中证明的一般结论为条件，分别求出、、的面积代数式，再根据求出的长度； （4）以（2）中证明的一般结论为条件，根据三角形的面积和，分别求出，，，再在中根据，求出与的关系式． 【详解】解：（1）在中，， ， ， 故答案为：； （2）过点作交于点， ，， ， ； （3）是的平分线， , 由（2）中的证明可知：，，， ， ； （4）如图所示： 由题意知，在中，， 在中，， 是的中点， ， 由（2）中的证明可知：，，， ，，， ， ， ， ，即． 【点睛】 押题猜想三 几何中的折叠问题 如图在中，，平分，为中点，为上一点，将沿折叠，使点落到点处，连接．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据三角形内角和定理可求，根据角平分线的定义可得，根据直角三角形的两个锐角互余可以得到，根据三角形内角和定理可得：，折叠的性质可得：，，根据三角形外角的性质可得：，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可知，根据等腰三角形的性质可得：，所以可得：． 【详解】解：如下图所示，连接， 在中，， ， 平分， ， 又， ， ， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 为中点， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造等边三角形，利用图形的性质找角之间的关系． 押题解读：本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造等边三角形，利用图形的性质找角之间的关系． 1．如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：当时，作，根据矩形的性质得，根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质得，然后求出，接下来可得，最后根据勾股定理求，可根据得出答案； 当时，由上述可知，且，，根据等边三角形的性质求出，可得，然后根据，求出， 再根据，求出，接下来过呢据得出答案． 【详解】解：如图所示，当时，作于点G， ∵四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理，得. ∵， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴； 如图所示，当时，由上述可知，且，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 则， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴． 综上所述，的值是或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，构造直角三角形应用勾股定理求线段长是解题关键． 2．在矩形中，，分别在边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，连接，若折痕，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠的性质，正切值的计算，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质，正切值的计算方法是关键． 如图所示，与交于点，过点作与点，，所以，设，，，均为正数，所以在中，，由勾股定理得到（负值舍去），则，，，如图所示，过点作于点，则，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 如图所示，与交于点，过点作与点， ∴四边形是矩形，，， ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴设，，，均为正数， ∴在中，， 在中，， 在中，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴，则，， ∴，则，， ∴，， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．如图，现有三角形纸片，，折叠纸片，使得点与点重合，得到折痕，然后还原；再次折叠纸片，使得上的点与上的点重合，得到折痕，然后还原，且，，三条线段相交于同一点． （1）若，，则 ．（用含的式子表示） （2）若，，，则的长为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到垂直平分，得到，得出，根据直角三角形的性质得到，根据等边对等角得到，三角形内角和定理，三角形外角的性质，计算即可得到答案； （2）作于点，求出，根据平行线分线段成比例得到，得到． 【详解】解：（1）根据题意得垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为； （2）如图，作于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 4．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学小组实践活动． 已知矩形纸片，，，点，分别在边，上，将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，． 如图1，当点落在线段上时，智慧小组提出问题： (1)猜想是__________三角形，请证明你的猜想； (2)当时，求线段的长度； (3)如图2，奋斗小组的同学受到启发，若点落在线段上，与交于点，通过测量得，连接．则点到边的距离是__________；若点为线段上一动点，过点作于点，连接，则的最小值是__________． (4)如图3，希望小组同学继续探究，将矩形纸片沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接，交于点，则面积的取值范围是__________． 【答案】(1)等腰，证明见解析 (2)4 (3)； (4)． 【分析】（1）由四边形是矩形，得到，那么，根据折叠，可知 ，那么，从而得出答案； （2）先求出，根据勾股定理，求得，根据折叠可知，最后利用算得答案； （3）先算得，过点作，过点作，利用勾股定理，求得，再利用面积法求得，不妨设，那么，接着证明，利用对应边成比例求得，接着在中利用勾股定理求得，从而推出和，过点作于，交于，接着证明，利用对应边成比例求得答案； （4）先证明四边形是菱形，那么，由，最小时，最小，最大时，最大，那么时，最短，此时，，最小是；当和重合时，最大，不妨设，那么，有，求得，那么最大为：，最大是． 【详解】（1）解：等腰，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，，点落在线段上， ， ， ， 是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）解：四边形是矩形，，， ，，， 将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，．点落在线段上，，， ，，，， ， ， ， ， ； （3）解：；，理由如下： 四边形是矩形，，， ，，，， ， ， ， 过点作，过点作，如图所示： 不妨设，那么， ， ， 将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，，点落在线段上， ， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故点到边的距离是； 将矩形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为，，点落在线段上， ， ， ， 过点作于，交于，如图所示： 当点与点重合，点与点重合时，，此时达到最小，最小值为, ， ， ， ， ， ， 则的最小值是； 故答案为：；； （4）解：将矩形纸片沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接，交于点， ，，， 四边形是矩形，，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 最小时，最小，最大时，最大， ， 时，最短， 此时，， 最小是； 当和重合时，最大， 不妨设，那么， ， ， ， 最大为：， 最大是； ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形于折叠，矩形的性质，平行的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．在综合实践活动课上，同学们以“折叠正方形纸片”为主题开展数学探究活动． 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕，如图②； 操作三：在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕，如图③． 把正方形纸片展平，得图④，折痕，与的交点分别为，． (1)根据以上操作，得_________． (2)若正方形的边长为，，试求的长． (3)经过多次折叠和测量，小浩发现线段与的比值不变，但他无法证明，请聪明的你帮小浩写出证明过程，并求出其比值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）根据折叠的性质，正方形的性质，结合角的和差关系，求解即可； （2）连接，正方形的性质，推出，得到点四点共圆，进而得到，得到为等腰直角三角形，求出的长，再利用勾股定理求出的长； （3）连接，8字形推出，折叠得到，进而求出，证明，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：45； （2）连接， ∵正方形， ∴，，， 由（1）知：， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，； （3）证明：连接，由（2）可知：为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形与折叠，四点共圆，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 押题猜想四 函数与几何中的最小值问题 如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：设，则：， ∵均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小为，此时点与点重合，如图：设与交于点，作于点，作于点， 则：， ∴，， ∴为定值， ∴当的长最小时，的周长的值最小， ∵， ∴当时，最小为，此时最小为， ∴的周长的最小值为：； 故选：A． 押题解读：本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可． 1．如图：已知矩形，，，E为边上一个动点，，，连接，则的最小值为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．取的中点，连接，求得，，证明，求得，当点与点重合时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， 当点与点重合时，有最小值，最小值为2， 故选：B． 2．如图，点是矩形内部一个动点，为上一点且，当，时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容．在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、F、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号， ∵，且， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， 在中，， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长到点，使得，连接，，则是的中位线，证明是等边三角形，求出，，从而可得结论． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ∵是的中点 则是的中位线， ∴， 当取最小值时，有最小值， 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知， 又， ∴， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠与轴对称，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用轴对称求最值是解题的关键． 4．【问题探究】 （1）如图1，点是半径为的上的动点，点为外一点，已知、两点之间的距离为，则、两点之间的距离最小为 ； （2）如图2，的顶点都在上，连接并延长，交于点，．求证：； 【问题解决】 （3）年月日，中国某公司向老挝航空公司交付首架飞机，标志着我国商用飞机国际化发展迈出新步伐．据悉，飞机上所使用的复合材料，主要是碳纤维增强树脂基复合材料．如图3，现有一块形如四边形的新型材料，，，，，以为圆心，为半径画．某科研人员想用这块材料裁出一个型部件，并要求：在上，于点，于点，且的长度尽可能的小，请问的长是否存在最小值？若存在，请求出的最小长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据当、、三点共线时，、两点之间的距离最小，即可求解； （2）连接、，根据圆周角定理可得：，得到是等腰直角三角形，，即可证明； （3）连接，取的中点，连接，，过点作于点，先证、、、四点在上，得到．从而得到，，推出，得到，即要使最小，只需最小即可．连接，，与的交点为，根据题意可知点在上，且所对的圆心为，故．由，，可知，得到当点与点重合时，满足最小，进而可知最小．连接，易知为等边三角形，则可求，解直角三角形即可求得，，即可求出，即可由求解． 【详解】解：（1）如图，当点运动到点的位置，即、、三点共线时，、两点之间的距离最小，的最小值为:， 故答案为：； （2）证明：连接、， ， ， 由题意可知，是的直径， 又， 是等腰直角三角形，， ； （3）如图3，连接，取的中点，连接，，过点作于点， 根据题意可知与均为直角三角形， ，故、、、四点在上， ， ， ，， ， ， 即要使最小，只需最小即可． 连接，，与的交点为，根据题意可知点在上，且所对的圆心为， ． ，， ， 当点与点重合时，满足最小，进而可知最小． 连接， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，圆的相关性质，等边三角形的判定与性质，线段的最值问题，解题的关键是掌握相关知识． 5．【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键． （1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可求解； （2）根据题意得点的轨迹在以为直径的圆上部分，连接，交圆于点，此时的即为的最小，然后根据正方形的性质及勾股定理即可求解； （3）连接，根据题意得：，以为直径作圆Q，，得出点E在以为直径作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示：    由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变， 可知此时最大， 最大值为， 故答案为：12； （2）根据题意得是定值，， ∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图，    连接，交圆于点， 此时的即为的最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）如图，连接， 根据题意得：， 以为直径作圆Q，， ∴点E在以为直径作圆Q上， 连接， 当点Q、E、C三点共线时，取得最小值， ∵，，． ∴，， ∴， ∴的最小值为． 押题猜想五 函数与几何中的最大值问题 如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，进而得到，由此得解． 【详解】解：， ， ， 在中，，， ， ， ， 当时，的最大值为． 故选：C． 押题解读：本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，进而得到，由此得解． 1．如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，难度大，通过作辅助线，构造相似三角形，确定点的位置是解题关键．过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接，先利用勾股定理可得，再求出，则，证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得点在以点为圆心、长为半径的圆上，则，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角形面积始终为2，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴如图，点在以点为圆心、长为半径的圆上（定弦定角）， ∴， 又∵（当且仅当等号成立）， ∴的最大值为， 故选：D． 2．在四边形中，，，，且，则四边形面积最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形与二次函数综合．熟练掌握勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，添加辅助线构建直角三角形，是解题的关键． 连接， 可得，设，令，得，得，令，得且，解得，四边形面积最大值为． 【详解】连接，如图： ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 设，由勾股定理可得：， ， 令， ， 两边平方整理得：， ， ， 令， ， ，， 关于的函数对称轴在轴右侧，且与轴交点大于， 当时，， 要使有到之间正数解，需要方程，对称轴在左侧， 且， 解得：， 四边形面积最大值为． 故答案为：． 3．如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线相交于点，连接．则的度数是 ，面积的最大值为 ． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的相关知识三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设相交于点，先证明，得到，求出，即可得到；设到的距离为，，以为底边，当最大时，面积的最大，四点共圆，当垂直且通过圆心时，的值最大，求出面积的最大值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，设相交于点， 在中，，， 绕点沿顺时针方向旋转后得到， ，，， ，， ， ， ， ； 设到的距离为， ，以为底边，当最大时，面积的最大， ， 四点共圆， ， 为此圆直径， 当垂直且通过圆心时，的值最大， 此时， 面积的最大值为； 故答案为：，． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的表达式： (2)若点的横坐标为，用含的代数式表示； (3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当PQ取最大值时，点P的坐标为，的最大值为 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，等腰直角三角形三边关系等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得该抛物线的表达式为； （2）求出直线的表达式为，进而表示出的坐标，即可求解； （3）由点，，可得，根据的长，根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入，得： 解得： 抛物线的表达式为； （2）设直线的表达式为， 把，代入，得： 解得 直线的表达式为． 点的横坐标为， ， （3）如图 点，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，则时有最大值 此时 当取最大值时，点的坐标为，的最大值为． 5．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C． (1)求a的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标； (3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长． 【答案】(1)； (2)； (3)P( ， )；． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，构造二次函数求三角形面积的最大值，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． （1）运用待定系数法解答计算即可． （2）首先求出二次函数的解析式得出点A，B，C，的坐标，)设， 作轴于点H，构造直角三角形，利用锐角三角函数建立关于m的方程求解即可; （3）连接，，．设，结合的周长为，得当的值最大时，的周长最大，利用求得最值，代入计算即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， （2）∵， ∴二次函数表达式为：， 令，解得或， 令得， ∴，，． ∴， 设， 作轴于点H，如图， ∵， ∴，即， ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴M的坐标为； （3）设直线的解析式为，， 则， 解得：． ∴直线的解析式为． 连接，，． 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长为， ∴当的值最大时，的周长最大， ∵ ， ∵， ∴时，的面积最大，面积的最大值为，，根据是定值，故此时的值最大， ∵， ∴， ∴的周长的最大值：，此时． 押题猜想六 函数与几何中的取值范围问题 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，点位于第一象限内，，并且点到轴的距离为，点对应的坐标为．若为钝角三角形，则的取值范围是（   ） A． B． C．且，或 D．且，或 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识；正确分类是解题的关键； 根据题意，分为直角，为直角，即可求解； 【详解】解：如图1，当垂直于x轴时，为直角，此时，，即． 当时，为钝角，是钝角三角形， 当时，为钝角，也是钝角三角形． 当点B和点O重合时，围不成三角形，所以． 如图2，当为直角时，已知，点到轴的距离为， 则， 可知， ∴， 当时，为钝角，为钝角三角形． 综上所述，当为钝角三角形时，且，或． 押题解读：本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识；正确分类是解题的关键；根据题意，分为直角，为直角，即可求解； 1．已知，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象上的点的坐标特征等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先利用待定系数法求出的解析式，根据二次函数的性质得出时，，且，进一步利用求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有， ∴， ∵抛物线与线段有两个不相同的交点， ∴时，，且抛物线与直线有交点， ∴，解得：； 令，整理得：， ∵， ∴， ∴． 故选C． 2．如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，先解直角三角形得到，再利用勾股定理求出；设点C折叠后的对应点为E，再分点E恰好在上和点E恰好在上两种情况，分别求出对应的的长即可得到结论． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 设点C折叠后的对应点为E， 如图所示，当点E恰好在上时， 由折叠的性质可得，则同理可得； 如图所示，当点E恰好在上时，过点D作于F， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点落到内（不包括边）时，， 故答案为：． 3．如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．依据题意，先求其解析式，再根据条件即可求出的取值范围． 【详解】解：，， 点的坐标为． 点，的坐标分别为，． ， 可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为． 又此时抛物线过， ． ． 运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为． 令， ． 或（舍去）． ． 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为， 当抛物线过点时，顶点为． 此时，把代入，得． 同理，当抛物线过点时，， 由点在之间得的取值范围为． 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，拋物线存在两点． (1) ； (2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出的值，从而可得点的坐标，再利用两点之间的距离公式计算即可得； （2）根据一元二次方程根的判别式可得关于的一元二次方程没有实数根，由此即可得证； （3）先求出，，再设点关于对称轴的对称点为点，则，分两种情况：①和②，得出点的纵坐标的最大值与最小值，建立不等式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将代入得：， 将代入得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为 ， ∴这个一元二次方程没有实数根， ∴不论为何值，函数的图象与轴没有公共点． （3）解：由（1）已得：， ∴， 将点代入得：， ∴， 二次函数化成顶点式为， ∴其对称轴为直线，顶点坐标为， 设点关于对称轴的对称点为点，则， ∴抛物线在之间的部分上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为． 则分以下两种情况： ①如图，当点在点左侧时，，即， 此时在图形内，随的增大而减小， ∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ∴，即， 令，则当时，，解得或， ∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线， ∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去）， ∴此时的取值范围是； ②如图，当点在点右侧时，，即， 此时在图形内，点的纵坐标最大，顶点的纵坐标最小， ∴，即， 令，则当时，，解得或， ∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线， ∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去）， ∴此时的取值范围是； 综上，的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、两点之间的距离公式、利用二次函数解不等式，二次函数与一元二次方程等知识，难度较大，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为，作直线，点是抛物线上的一个动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴的垂线，与直线交于点，点关于直线的对称点为，连接，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点的纵坐标与顶点的纵坐标相等时，求的值； (3)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围； (4)连接，当与相等时，直接写出的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)或； (4)的值为或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）先求出顶点的坐标为，再根据题意得点的纵坐标为，然后代入解析式即可求解； （）时，时，时三种情况分析即可； （）先求出直线的表达式为，过作轴于点，设与轴交于点，设，求出，则，，又，故有，然后得出方程，然后求解并检验即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（）得：抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， ∵点的纵坐标与顶点的纵坐标相等， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得：或， ∵点在对称轴左侧， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，点在对称轴左侧， ∴， 当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大； 当时，在内部不存在抛物线图象； 当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小； 综上可知：的取值范围为或； （4）解：设直线的表达式为， 由，当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 如图，过作轴于点，设与轴交于点， ∴，， 设， ∵轴， ∴点纵坐标为， ∵点在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或或或， ∵点在对称轴左侧， ∴， ∴或， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，三角函数，熟练掌握以上内容并能运用分类讨论的数学思想和数形结合的思想是解题的关键． 押题猜想七 函数与几何中的新定义问题 新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，得“图象数”为的二次函数的解析式为，根据，得到对称轴为直线，当时，得到，根据，得到求得或，根据，得到抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大，当时，结合，得，解得或；当时，结合，得，解得或；解答即可． 【详解】解：根据题意，得“图象数”为的二次函数的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，得到， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大， 当时， ∵，得， 解得或； 当时， ∵，得， 解得或； 综上所述，或， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的新定义，抛物线的增减性，对称轴，绝对值的化简，解不等式，熟练掌握定义，增减性是解题的关键． 押题解读：本题考查了抛物线的新定义，抛物线的增减性，对称轴，绝对值的化简，解不等式，熟练掌握定义，增减性是解题的关键． 1．在平面直角坐标系中，定义：已知是的函数，如果对于任意两个不相等的自变量，，当时，的取值范围是，那么将称为这个函数的“级封闭定义域”．例如：函数，当时，，所以是函数的“3级封闭定义域”．下列结论：①是函数的“1级封闭定义域”；②若是函数的“2级封闭定义域”，则；③若函数存在“3级封闭定义域”，则；④函数不存在“4级封闭定义域”．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了新定义问题，一次函数，二次函数的图象和性质，解题的关键是正确分析题意． ①求出当时，；时，，进而得到当时，的取值范围是，然后根据“级封闭定义域”的概念判断即可； ②首先得到当时，；当时，，然后根据题意判断即可； ③根据题意得到当时，的取值范围是，然后得到，，整理得到，即可判断； ④当时，；当时，；假设函数存在“4级封闭定义域”，得到，，求出，，然后求出，进而判断即可． 【详解】解：①当时，；当时，； ∴当时，的取值范围是， ∴是函数的“1级封闭定义域”，故①正确； ②当时，；当时，， ∵是函数的“2级封闭定义域”， ∴，即， ∴， 解得或（舍去），故②正确； ③∵函数存在“3级封闭定义域”， ∴当时，的取值范围是， ∴当时，；当时，； 若k为负数时，，， 两式相减得：， ∴， ∵， ∴， 即若函数存在“3级封闭定义域”，则； 故③正确； ④当时，；当时，； 假设函数存在“4级封闭定义域”， ∴当时，的取值范围是， ∴，， 整理得，，， 解得，， ∵， ∴，， ∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴时，y的范围不是， ∴函数不存在“4级封闭定义域”，故④正确． 综上所述，其中正确结论的个数是4个． 故选：D． 2．我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形外角的定义及性质，过点B作，交的延长线于点D．设，．由三角形外角的定义及性质得出，再解直角三角形求出，，再求出，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点D． ∵， ∴设，． ∵，互为半余角， ∴． 在中，，． ∵， ∴， ∴． 在中，， 故答案为：． 3．定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点． 根据二次函数的平移得出，当时，，当时，，当时，，然后分三种情况分析，结合函数草图及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：函数的图象向上平移个单位，得到的函数解析式为， 当时，， 当时，， 当时，， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，此时，在对称轴右侧，即，即， ∴， 此时，不等式组无解，不符合题意； 当时， 此时，，即，，即， ∴， ∴， ∴， , 解得：， ∴； 当时， 此时，，即， ，即， ∵ ∴， ∴， ∴， , 解得：， ∴； 综上可得：或， 故答案为：或． 4．定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)二次函数过点，，，则的解析式为______； 如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标； 如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 【答案】(1)或； (2)； (3)；；或． 【分析】本题考查二次函数综合题，通过新定义“等边点”确定解析式，正比例函数，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特点等知识点，理解新定义和熟悉二次函数的性质是解题的关键． （1）根据图象和、的坐标即可得解； （2）由题意得是等边三角形，轴，通过解三角形的计算即可得到点坐标，即可得解； （3）的解析式为：，作垂足为，通过勾股定理可得，设，，，求出的值即可得解； 当，重合时，过作，交延长线于点，过点作轴于点，证明，设，可求得，，将代入，即可得解． 【详解】（1）解：，， ， 边上的高为：， 点的纵坐标为：， ∵点P的横坐标为， 设正比例函数的解析式为， ∴ ∴或； （2）解：如图所示，由题意得是等边三角形，轴， ，， 中， ， ， ， 设， 将代入， 解得，， 的解析式为； （3）解：∵抛物线过，， ∴设抛物线的解析式为， 代入，得， ∴抛物线的解析式为； 作垂足为，如图所示， 由题意得， ，， ，， ， 设，，， 则， 解得，， ， ， ∴； 如图所示，当，重合时，，显然符合题意； 如图所示，过作，交延长线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设， ∵点是上关于，的等边点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即P是中点， ∴， 将代入， 解得（舍），， ∴， 综上，的横坐标为：或． 5．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、都是“基准偶和点”． (1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号） ① ② ③ ④ (2)在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数的解析式； (3)已知抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； (4)抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令，是否存在一个常数，使得当时，有最小值恰好等于，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①④ (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用“基准偶和点”的概念作答即可； （2）依题意得方程组只有一组解，继而推出有两个相等的实数根，利用根的判别式即可得出答案； （3）由题意得，得，由抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，列立方程组求解即可； （4）抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，可得，进而可得，再根据二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：依据“基准偶和点”定义知：， ①联立得：， 解得：， ∴直线只有一个“基准偶和点”； ②联立得：， ∴， ∵， ∴方程无实数根， ∴此方程组无解； ③联立得：， 此方程组无解； ④联立得：， 解得：； ∴函数图象上只有一个“基准偶和点”的是①④， 故答案为：①④； （2）依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， ∴，即， ∵在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （3）依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， 解得：， ∵抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”， ∴，即， ∴， ∴， 联立得：， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； （4）依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， ∴，即， ∵抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”， ∴，即， ∴， ①当时，即时，在时取得最小值， ∴， 解得：或（舍去）； ②当，在时取得最小值， ∴，即； ③当时，在时取得最小值， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最值，新定义“基准偶和点”的理解和运用，能够根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解题的关键． 押题猜想八 二次函数与等角、倍角问题 如图，已知矩形的三个顶点的坐标为，，，．经过，两点的抛物线与线段交于点（不与，两点重合），连接，． (1)填空：_________；直接写出点的坐标（用含，的代数式表示）； (2)当时，，求的值和抛物线顶点的坐标； (3)当时，的最大值是9，求此时的值． 【答案】(1)8，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查矩形性质，由点坐标求线段长度，相似三角形判定及性质，二次函数图象及性质等． （1）根据题意利用，可得，再由点坐标及矩形性质可得； （2）根据题意可得，继而得到，再证明，后利用相似性质可得，解得，继而得到本题答案； （3）根据可得，后得到，继而得到，后得到，继而得到当时，，求出本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵矩形，， ∴点与点纵坐标一致， ∴， 故答案为：8； （2）解：，，， ， 点在线段上， ， ， ， 由，， 得， ， ， ， ， （舍去），， 由，得， ，， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 若的最大值是9， 则当时，， ， ， 此时． 押题解读：本题考查矩形性质，由点坐标求线段长度，相似三角形判定及性质，二次函数图象及性质等． （1）根据题意利用，可得，再由点坐标及矩形性质可得； （2）根据题意可得，继而得到，再证明，后利用相似性质可得，解得，继而得到本题答案； （3）根据可得，后得到，继而得到，后得到，继而得到当时，，求出本题答案． 1．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线以及直线的函数解析式． (2)若是抛物线的顶点，求点到直线的距离． (3)已知是抛物线上的一动点，是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图1，过点作轴，交于点，连接，，首先求出，然后求出，设点到直线的距离为，求出，进而求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况：当点在轴上方时，当点在轴下方时，然后分别解直角三角形求解即可． 【详解】（1）将点，代入， 得解得 抛物线的函数解析式为． 令，解得， 点． 设直线的函数解析式为， 则解得 直线的函数解析式为； （2）如图1，过点作轴，交于点，连接，． 由（1），可得点，则点， ， ． 设点到直线的距离为． 点，， ， ． （3）存在． 如图，过点作于点． 点，，， ，，， ， ， ， ． 设点，过点作轴于点． 根据题意，分两种情况： ①如图2，当点在轴上方时，则，． ， ， 解得（舍去），， 点． ②如图3，当点在轴下方时，则，． ， ， 解得（舍去），， 点． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数综合题，待定系数法求出二次函数解析式，解直角三角形等知识，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式． 2．如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C，接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点轴交直线于点E，求的最大值时，及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点，连接，点M是新抛物线上一点，且，直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)5或 【分析】对于（1），直接将点A，B的坐标代入关系式得出二元一次方程组求出解即可； 对于（2），设点，再求出直线的关系式，进而表示出点E，即可得，作，交于点F，然后根据，可表示出，接下来得出二次函数讨论极值可得答案； 对于（3），根据平移的特征将原抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得，然后结合题意画出图形，作轴，作轴，交抛物线于点G，可知，，作，使，作射线交抛物线于点，接下来求出，即可求出直线的关系式，最后将两个函数关系式联立得出答案. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：当时，， ∴点. 设点，直线的关系式为， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的关系式为. ∵轴， ∴点， ∴. 过点P作，交于点F，则， ∵，， ∴，. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 当时，有最大值， 即点； （3）解：如图所示，将抛物线沿着射线的方向平移个单位长度，根据，就是将抛物线的图象向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，可得关系式为. 过点N作轴，交x轴于点K，过点N作轴，交抛物线于点G，可知，，作，使，作射线交抛物线于点， 当，即， ∴， 解得， ∴， 即. 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， 所以直线的关系式为， 将两个函数关系式联立，得 ， 解得或. 所以点M的横坐标为5或. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，相似三角形的判定，求二次函数的极值，二次函数的平移，解直角三角形，准确的作出辅助线是解题的关键. 3．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点A，交轴正半轴于点，交轴于点，，． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，点为的中点，连接，，，，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何结合等． （1）先求出点AB的坐标，再代入关系式可得答案； （2）过点分别作轴，轴的垂线，点，为垂足，连接，再求出，设点的横坐标为，表示出，，然后根据可得答案； （3）作轴，点为垂足，取的中点，连接，继而得到，再过点作的平行线交于点，交的延长线于点，作轴，点为垂足，再设，，，连接，过点作轴，点为垂足，再利用解三角形应用即可得到本题答案． 【详解】（1）解：点A在轴负半轴，， ， 点在轴正半轴，， ， 抛物线经过，， ， 解方程组得：， 抛物线的解析式为； （2）解：过点分别作轴，轴的垂线，点，为垂足，连接， 当时，，， ． 点在抛物线上，点的横坐标为， 当时，． 点在第二象限， ，， ∴， ， ， ， 与之间的函数关系式为； （3）解：作轴，点为垂足，取的中点，连接， ∵点为中点，，，， ∴， ∴为中点， ∴， ∴， ∴，，， ∴，平分， 过点作的平行线交于点，交的延长线于点，作轴，点为垂足， 设，，， 连接，过点作轴，点为垂足， ∴，，， 连接，，， ， ， ∴，解得：， ∴． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标； (3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为或或； (3)点D的坐标为． 【分析】（1）将A，B坐标代入抛物线解析式中，利用待定系数法可求； （2）求出线段的长，分类讨论解答即可； （3）取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，这样．利用三角形的相似得出．从而得到M的坐标；求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组可求交点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入得： ． 解得：． ∴此抛物线的函数表达式为； （2）解：令，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 若是等腰三角形，分三种情形： 当时，， ∴， ∴P点坐标为或； 当时， ． ∴P点坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∵，， ∴． 解得：． ∴点P的坐标为． 综上，是等腰三角形，点P的坐标为或或； （3）解：存在，D点坐标为．理由： 如图，取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴M的坐标为， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴联立得， 解得：或， 当时，， ∴D点的坐标为， ∴存在点D使得，点D的坐标为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．待定系数法是确定解析式的重要方法；利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．将两个解析式联立可以求出交点的坐标． 5．已知抛物线（是常数）的顶点为，抛物线． (1)求证：点在抛物线上； (2)当时，的图象与轴交于、两点，点在点的左侧． ①若抛物线与的图象除顶点以外的另一个交点为，过点作直线轴，过点作，垂足为点，连接，．当时，求的值； ②在①的条件下，过点作轴的垂线，分别交和于点，；过点作轴的垂线，分别交和于点，；当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的值为或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想． （1）根据，求出顶点坐标为，又中，当时，，即可证明点在抛物线上． （2）①当时，的对称轴为直线，由（1）知：，，证明，得出，将其代入，求出，结合求出； ②由①得，得出，对称轴为直线，对于，当时，，得出，当时，，得出，再表示出，，分为（ⅰ）当时，（ⅱ）当且时，（ⅲ）当时，（ⅳ）当时，列方程求出的值即可． 【详解】（1）证明：对于，顶点坐标为， 又中，当时，， 点在抛物线上． （2）解：①当时，的对称轴为直线， 联立和得或， 由（1）知：， ∴， 于点， ， 又， ， ， ， ， ， 将代入，得：，解得：， ， ； ②由①得， ，对称轴为直线， 对于，当时，， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， 当时，， ， （ⅰ）当时，即时， ， ， 解得，（舍去），； （ⅱ）当且时，即时， 则， 解得，（舍去），； （ⅲ）当时，则， 解得，（舍去），（舍去）； （ⅳ）当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 故的值为或． 押题猜想九 二次函数与线段数量关系问题 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴或； （3）解：存在符合条件的点，理由如下： ∵轴， ∴设，且， 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵和相似，且， ∴或， 当时，则，且， ∴，即：， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 押题解读：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 1．抛物线经过，两点，点在轴上，是抛物线上位于直线下方的一个动点． (1)直线的解析式是________________，抛物线的解析式是________________； (2)如图1，过点作于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图2，在轴上有一点，连接交于点，求与的面积之差的最大值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）设点，点，点，，利用 ，，推出，接着证明，那么有，即，然后解方程即可； （3）连接，作，交于点，先求得直线，设点，，表示出，，得到 ，接着求得，最后利用， 由，则时，取最大值，最大值为． 【详解】（1）解：设直线为，代入，， ， ， 直线为：， 抛物线经过，两点， ， ， 抛物线为：， 故答案为：，； （2）解：设点，点，点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， 当时，点，点，点，不符合题意，舍去； 当时，，点，符合题意， ； （3）解： 连接，作，交于点，如图所示： 设直线为：，代入，， ， ， 直线为：， 设点，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 时，取最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，二次函数的最值问题，熟练以上知识点是解题的关键． 2．如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式： (2)请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标： (3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为（），可得点E的坐标为，点F的坐标为，由，可得，解得，即可求解； （3）在上方作．使得，，连接，证明，可得．当M，Q，B三点共线时最小，则的最小值为的长，再求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴． ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设点P的坐标为（）， 结合题意可得，点E的坐标为，点F的坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； （3）解：由题意得，． 如图，在上方作．使得，，连接， ∵点B的坐标为，轴， ∴，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∴（当M，Q，B三点共线时取等号）， ∴的最小值为的长， ∵， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 3．已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标； (3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，作出图形，利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据待定系数法即可即可解答； （2）证明为等腰直角三角形，则最大时，的周长最大，设，则，可利用表示出，利用二次函数的性质求得最大值即可； （3）分类讨论，分当点在轴正半轴或当点在轴负半轴，利用相似三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入可得， 解得， ∴此抛物线的解析式为； （2）解：当时，，则， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， ， 为等腰直角三角形， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故要使的周长最大，即最大， 设，则， ，其中， 故当时，最大，即的周长最大， 此时； （3）解：设新抛物线的解析式为：，则， 抛物线的对称轴为直线， ， 如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点， ，， , ， ，， 点必定在第一象限， 点必定在第三象限， ， 代入抛物线可得， 解得， 如图，当点在轴负半轴上时，过点作轴于点， ，， , ， ，， 点必定在第四象限， 点必定在第四象限， ， 代入抛物线可得， 解得， ， 综上，点的坐标为或． 4．如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先由一次函数求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴交直线于点F，求出，得到，设点P的坐标为，则，得到，求出抛物线的对称轴为直线，得到，则，解方程求出答案； （3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况分别画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， ∴点，， 经过点，，      解得 抛物线的函数解析式为： （2）过点P作轴交直线于点F， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设点P的坐标为，则， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴ （3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接， 如图，当点P在直线上方时， ∵轴， ∴， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 把代入得到， 则， ∴点P的纵坐标为1， 把代入得到， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 同理，如图，当点P在直线下方时， ∵， ∴点P的纵坐标为1， 把代入得到， 解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、轴对称的性质、待定系数法求函数解析式、一次函数和二次函数的交点问题、解直角三角形等知识，综合性强，分情况讨论是解题的关键． 5．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质，证明三角形相似是本题的难点． （1）由题意得：，即可求解； （2）证明和关于对称，得到直线的表达式为：，联立和抛物线解析式即可求解； （3）①由，则，即可求解； ②证明，则AN：：PD，即：：，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知， ∴点， 设抛物线的对称轴交x轴于点H， 则轴，则， 而， 则， 即和关于对称， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：舍去或3， 则点， 故答案为：； （3）解：①设点， ， 则， 则， 即点； ②由点A、D的坐标得， 直线的表达式为：， 同理可得直线的表达式为：， 联立和抛物线的表达式得： ， 则舍去或， 则点， 设点，点， 由点A、N、D、P、Q的坐标得， ，，，， 由①知，， 而， 即， 则， 即， ， ， 则， 即：, 则， 即n的最大值为：， 故答案为： 押题猜想十 综合与实践 “综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 (1)如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________； 【类比探究】 (2)如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）； 【拓展延伸】 (3)如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值．        【答案】(1)①；②或 (2) (3)144平方厘米 【分析】（1）①先利用平移的性质证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质分别求出和的长，再利用矩形的面积公式计算和的面积，即可求解；②设厘米，则厘米，表示出四边形的面积，再结合题意列出方程，解出的值即可解答； （2）利用平移的性质得到，推出，再利用相似三角形的性质得出，即可求解； （3）过点作于点，利用勾股定理求出厘米，结合点，是，的中点，得出厘米，厘米，厘米，利用旋转的性质得到厘米，厘米，分析可知当最大时，面积最大，结合图形利用线段的性质求出的最大值，即可求出面积的最大值． 【详解】（1）解：①为矩形， 厘米，，， 点，分别为边，的中点， 厘米，厘米， ， ，， 四边形是矩形， 又厘米， 矩形是正方形， ，，厘米， 由平移的性质得，，， ， ， 又， 四边形是矩形， 点与的中点重合， 厘米， ，， 和都是等腰直角三角形，厘米，厘米， 平方厘米， 平方厘米， 的面积与原矩形纸片的面积之比是． 故答案为：． ②由①中的结论得，四边形是矩形，和都是等腰直角三角形， 设厘米，则厘米， 厘米，厘米， ， 的面积与原矩形纸片的面积之比是，平方厘米， ， 解得：，， 平移距离为或． 故答案为：或． （2）解：纸片为菱形，， ，和为等边三角形， 纸片沿方向向上平移， ， ， 两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为， ， ， ． （3）解：如图，过点作于点，   ，厘米，厘米， 厘米， 点，是，的中点， 厘米，厘米，厘米， 由旋转的性质得，厘米，厘米， ， 当上的高线最大时，则面积最大， ， 当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大， 作出示意图如下： ， 此时、、三点共线， 即厘米， 平方厘米， 即面积的最大值为144平方厘米． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 押题解读：本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 1．综合与实践-项目式学习 【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界． 【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系： 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值． 任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为． (1)请你利用所学的知识求出与的关系式． (2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1)任务一： (2)任务二：（1）；（2）减小 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； 任务一：由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； 任务二：（1）由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与 （2）根据反比例数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵光轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）任务二：（1）依题意得：四边形为矩形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由任务一可知：，设， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， 即与的关系式是：； （2）由（1）可得，可以看成向右平移个单位， ∵ ∴时，随的增大而减小 故答案为：减小． 2．综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动． 【初步探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在线段，上，且，则与的位置关系是________，数量关系是________； 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别为直线，上的动点，且，连接，．探究与存在的数量关系并说明理由； 【深入研究】 （3）如图3在（2）的条件下，若点E，F分别在边，的延长线上，的延长线与交于点H．点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）设交于T，证明，得到，再导角证明即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）过点B作于M，证明，得到，导角证明，则可证明，推出，则可证明，由勾股定理得． 【详解】（1）解：设交于T， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：，理由如下； 如图所示，过点B作于M， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形得性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 3．【数学来源于生活】 （1）小明要铺一个1.8米米的矩形床单，但是他发现床单长宽很接近，为了在图中找出哪个边是2米长，在矩形中，小明折叠床单，使点与点重合，请你帮小明判断___________边长是2米．（填“”或“”） 【综合与实践操作】 （2）①在图中，请你用无刻度的直尺和圆规在矩形中，画出线段，使点，分别在边上，且满足若沿折叠，能使点与点重合（不写作法，保留作图痕迹） ②在①条件下，连接，请证明四边形是菱形． 【拓展与深度探究】 （3）如图，在矩形纸片中，点，分别在边，上，，，，剪下四边形．如图，折叠四边形纸片，折叠后点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与边分别交于点．连接，当时，求． 【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析；（2）或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，根据直角三角形斜边大于直角边即可求解； （2）①由折叠的性质得到折痕为的垂直平分线，即作出线段的垂直平分线与交点即为点； ②由折叠知：，先证明，则，那么四边形是平行四边形，而，故可证明为菱形； （3）过点作于点K，则四边形为矩形，那么，，，由，则，下面分两种情况讨论，补全折叠的图形，利用折叠的不变性和解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：如图： 由折叠得，， ∵一个1.8米米的矩形床单， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长是2米， 故答案为：； （2）解：①如图，线段即为所作： 证明：②如图： 由折叠知：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：过点作于点K，则 ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在左侧时，如图： 由翻折得：，， ∴， ∴设， 由勾股定理得：， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当点在右侧时，如图： 由翻折得：，， ∴， ∴设， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定，解直角三角形，折叠的性质，尺规作图等知识点，难度较大，解题的关键是把握折叠的不变性去补图． 4．【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）①；②；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质以及旋转的性质证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）①证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； ②根据相似三角形的性质以及已知条件可得，设，则，勾股定理可得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （3）由平移的性质可得，．由，设，，勾股定理可得，根据的长得出，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）．理由如下： 是绕点顺时针旋转得到的， ，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ，D，G三点共线． ，， ， ， ， ． ， ， ． （2）①， ． 在矩形中，，， ， ， ， ． ， ． ②，， ． 设，则， ， ． （3）由平移的性质可得，． 点为的中点， 垂直平分， ． ， 设，， ， ． ， ， 解得， ． ，设， ． 在中，， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．综合与实践 综合与实践课上，数学活动小组的同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图（1），在直角三角形纸片中， ．    (1)操作判断 操作一：对折直角三角形纸片， 使点与点重合，得到折痕，把纸片展平． 问题1：如图（2），当直角边时，折痕的长为 ； 操作二：如图（3），将绕点逆时针旋转得到， 点的对应点分别是，直线 与边交于点（不与点重合）． 问题2：在绕点旋转的过程中，与 的数量关系为 ． (2)探究迁移 若，．在绕点旋转的过程中，当直线经过点 时，如图（4），求 的长． (3)拓展应用 若，．在绕点旋转的过程中，当与的边平行时，直接写出与重叠部分的面积（面积为时忽略不计）． 【答案】(1)问题1：；问题2： (2) (3)或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的键． （1）问题1：根据折叠的性质得到，，得到，可证明，得出，即可得到答案； 问题2：连接，可证明，即可得到结论； （2）根据题意得，，得到，得出，根据勾股定理求出，计算即可取出的长； （3）根据题意得到，分两种情况讨论即可. 【详解】（1）解：问题1：对折直角三角形纸片， 使点与点重合，得到折痕， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 问题2：如图，连接，    根据题意得，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由折叠可知，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ； （3）解：或； 在中，， ， 由折叠可知，， ， ， ， ，， 当时如图（1），设分别与边交于点，连接，    由题意得，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即， 解得：， ； 当时，如图（2）设分别与边交于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 综上，重叠部分的面积为或. 2 / 130 1 / 130 学科网（北京）股份有限公司 $$