数学（江苏南通卷）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

2025年中考考前最后一卷（南通卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A B C A B C B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，11~12题每小题3分，13~18题每小题4分，共30分） 11． 12． 13． 14． 15．/ 16． 17． 18． 5/6 三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（12分） 【答案】（1），见解析；（2），当时，原式为 【详解】解：（1）解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为. 其解集在数轴上表示为：如图所示. ...............................................6分 （2） ， 由题意得：且， 当时，原式， 当时，原式．...............................................12分 20．（10分） 【答案】(1)6 (2)83 (3)45人 【详解】（1）解：∵体育成绩在合格的人数所占的百分比为 ∴其他等级的所占的百分比为 ∴总人数人， ∴所抽取的学生中体育成绩为合格的人数人；...............................................3分 （2）解：20个人中位数是第10和第11个人成绩的平均数， 即中位数是分， 故答案为：83；...............................................6分 （3） 解：七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数人． ...............................................10分 21．（10分） 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【详解】（1）证明：①， ， 在和中， ， ；...............................................3分 ②由（1）知， ，， ， 四边形是平行四边形．...............................................6分 （2）解：如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，，， ， ， ， 在中，，， ， ．...............................................10分 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和菱形的性质是解题关键． 22．（10分） 【答案】(1) (2)小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为 【详解】（1）解：依题意，共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹， 则小明选择的是“竹”的结果有种， 小明选择的是“竹”的概率为； 故答案为：；...............................................5分 （2）解：将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为，，，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有种， 小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为．...............................................10分 23．（10分） 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：（1）点C是的中点，， 为边长为3的等边三角形， ． 过点F作，在中， ∵， ， ， ． ...............................................5分 （2）证明：由作图知，， ， ， ， ．...............................................10分 24．（12分） 【答案】(1)120 (2) (3)当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元． 【详解】（1）解：当时，甲种绿植的种植费用为每平方米元． 故答案为：120．..............................................2分 （2）解：当时，设， 根据题意得：，解得： ∴， ∴当时，与之间的函数解析式．...............................................6分 （3）解：设种植总费用为w元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植平方米， 由题意可得：， 解得不等式组的解集为． 设种植总费用为w元． 当时，． ∵， ∴w随x的增大而增大． ∴当时，． 当时，． ∵， ∴当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元．...............................................12分 25．（13分） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∴， ∴，， ∴， ∴；...............................................3分 （2）解：． 在上取点M，使得，取中点N，连接， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴，. ∵为直角三角形斜边中线且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴；...............................................8分 （3）解：如图，作，交于点H， 在中，， ∴. ∵点E是的中点， ∴. 根据勾股定理，得． ∵， 解得. 在， 则， ∴， ∴． 如下图所示，过点D作于点I，连接，过点E作于点L，过点F作点J， 设，， ∴， 根据勾股定理，得. 同理，在中，令，则，， ∵， ∴． ∵，， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， 即，， 解得，． ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴．...............................................13分 26．（13分） 【答案】(1) (2) (3)①；②或． 【详解】（1）解：∵当时，称函数为函数的“对称函数”， ， ∴；...............................................3分 （2）解：点在函数的图象上， 设点的坐标为，则点“关于的对称点”的坐标为， ，且点在点的下方， ， 解得：， 点的坐标为；...............................................7分 （3）解：①点在函数的图象上，点的横坐标为， 点的坐标为． 点“关于的对称点”的坐标为，函数的“对称函数”的表达式为， ， ∴它的对称轴为直线． 当时，． 解得：． 点在点的下方，且四边形是矩形， 且． 轴，， ∴点和点关于直线对称． 点． 当时， ， 当时， ， 综上所述，； ②或． 由①知 所画图象如图所示： 令，即：， ∴， 令，即：， ∴， 两函数交点为， 与函数的图象只有一个交点， 有以下两种情况： ①将点代入，得． 解得：． 将点代入，得：． ． ②当直线与的图象只有一个交点时， 即， ． 解得． 综上所述，或．...............................................13分 10 / 10 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（南通卷） 数 学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果等于（   ） A． B．5 C． D．1 2．国产大模型凭借颠覆性技术与高性价比成为现象级产品，截至2月6日，其全球用户量突破2200万，引发产业链的广泛关注，其中2200万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．端午节是中国的传统节日之一，有着悠久的历史和丰富的文化内涵，如图是某品牌粽子的一种包装盒，它的主视图为（　　） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将一块含角的三角板按图中所示方式放置，使点落在直线上，若直线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．设鸡有只，兔有只，可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．14 D．28 8．“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿折线运动到点，同时动点从点出发沿折线运动到点，当点和在正方形边上运动时，速度是每秒1个单位长度，当点和在正方形对角线上运动时速度是每秒个单位长度，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（   ）    A．   B．   C．     D．   10．已知p，q为非负实数，且，则代数式的最小值为（  ） A．5 B．3 C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，11~12题每小题3分，13~18题每小题4分，共30分） 11．因式分解： ． 12．分式方程的解是 ． 13．已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为 ． 14．在电压不变时，通过导体的电流（单位：A）与这段导体的电阻（单位：）是反比例函数关系，其函数图象如图所示，当一段导体的电阻时，通过该导体的电流的值为 A． 15．如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 16．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于 ． 17．直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是 ． 18．正方形中，对角线，交于点，于点，点是上一点且，则的值为 . 三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（12分）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 20．（10分）某校为了调研学生体育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取部分学生，对每位学生的体育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：），对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下： 信息三：其中体育成绩在良好：这个等级的数据（单位：分）如下： 82，83，83，85，87，89，89． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求所抽取的学生中体育成绩为合格的人数； (2)所抽取的学生体育成绩的中位数是__________分； (3)请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数． 21．（10分）如图，的边和的边在同一条直线上，，，，连接，． (1)求证：①； ②四边形是平行四边形． (2)若四边形为菱形，，，求线段的长． 22．（10分）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． (1)小明选择的是“竹”的概率为______． (2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 23．（10分）在数学课上，学生按要求用尺规作图，如图线段，点C为上的动点． (1)若，点C是的中点，作射线，以D为圆心，以长为半径画弧，交射线于点E，分别以点D，E为圆心，以长为半径画弧交于点F，连接得，然后以点F为圆心，以为长画弧，如图1，求阴影部分的面积； (2)当时，按照（1）中步骤作出之后，又以J为圆心，以为半径画弧交于点G，如图2，证明：． 24．（12分）南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元． (1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元； (2)请求出当时，与之间的函数解析式； (3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 25．（13分）在中，，点D，E分别在边上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点F与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明； (3)如图3，若点E为中点，，当点F在线段上时，求此时线段的长． 26．（13分）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“对称函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点为点“关于的对称点”，点在函数的“对称函数”的图象上． 例如，函数，当时，则函数是函数的“对称函数”． 在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点“关于的对称点”，点在函数的“对称函数”的图象上． (1)求函数的“对称函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，点“关于的对称点”在点的下方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的对称点”为点．设点的横坐标为． ①若点在点的下方，过点作轴的平行线，与函数的“对称函数”的图象相交于点，以为邻边作矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②在①的条件下，当直线与函数的图象只有一个交点时，请直接写出的取值范围． 10 / 11 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（南通卷） 数 学 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果等于（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法法则．根据绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．国产大模型凭借颠覆性技术与高性价比成为现象级产品，截至2月6日，其全球用户量突破2200万，引发产业链的广泛关注，其中2200万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：2200万， 故选：C． 3．端午节是中国的传统节日之一，有着悠久的历史和丰富的文化内涵，如图是某品牌粽子的一种包装盒，它的主视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．从正面看得到的图形是主视图． 【详解】解：包装盒的主视图为 故选：A． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方计算，完全平方公式和合并同类项，根据相关计算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．如图，将一块含角的三角板按图中所示方式放置，使点落在直线上，若直线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，平角定义，三角板的有关计算，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，则，又，求出即可． 【详解】解：如图，由题意得， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．设鸡有只，兔有只，可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据上有三十五头，下有九十四足，列出方程组即可。 【详解】解：设鸡有只，兔有只，由题意，得： ， 故选A． 7．如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．14 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键．由菱形的性质可求得与的长，在中，由勾股定理求得边的长，即可求解． 【详解】解：设的交点为O， ∵菱形中，， ∴，，， ∴， ∴菱形的周长， 故选：B． 8．“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为， ∴， ∵， ∴图2中小正方形的边长为3， ∴ 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴ ∴图1中的直角三角形面积为 故选：C． 9．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿折线运动到点，同时动点从点出发沿折线运动到点，当点和在正方形边上运动时，速度是每秒1个单位长度，当点和在正方形对角线上运动时速度是每秒个单位长度，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（   ）    A．   B．   C．     D．   【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，分类讨论思想的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 分两种情况讨论：点在上，点在上；点在上，点在上；分别求出函数解析式；，即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，， ，， ， ， 如图1，点在上，点在上，作于点，   ， ， 当点与点重合时，，则， ，， ， ； 如图2，点在上，点在上，作于点，   ， ，， ， ， ； 故选：B． 10．已知p，q为非负实数，且，则代数式的最小值为（  ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，二次函数的性质，先求出x的取值范围，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵p，q为非负实数， ∴， ∴． 设， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴当时，， 即的最小值为． 故选：D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共8个小题，11~12题每小题3分，13~18题每小题4分，共30分） 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．去分母、解整式方程、再验根即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 故答案为：． 13．已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 14．在电压不变时，通过导体的电流（单位：A）与这段导体的电阻（单位：）是反比例函数关系，其函数图象如图所示，当一段导体的电阻时，通过该导体的电流的值为 A． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量值求函数值等．根据题意设反比例函数解析式为，将点代入其中得到，再将代入求出得反比例解析式即可求出本题答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将点代入中，得到， ∴， ∴电阻时，通过该导体的电流的值为：， 故答案为：． 15．如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，利用三角函数的定义分别求得和的长，据此计算即可求解． 【详解】解：在中，米． 在中，米， 米． 故答案为：． 16．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确一元二次方程有两个相等的实数根时判别式． 根据，计算求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 由题意知 解得 故答案为：． 17．直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点A的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．先求得交点A的坐标，即可求出点A的轨迹，进而判断出直线直线与直线平行，即可求出m的值． 【详解】解：∵直线与直线（是常数，且）交于点A， 解析式联立 解得，， ∴ ∴， 当m为一个的确定的值时，是的正比例函数， 即：点A在直线上， ∵点A到直线的距离总是一个定值， ∴直线与直线平行， ∴， ∴ 故答案为：． 18．正方形中，对角线，交于点，于点，点是上一点且，则的值为 . 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，过点作交于点，连接，在的延长线上截取，连接，证明得出是等腰直角三角形，进而得出，根据字形，三角形内角和定理得出，进而证明，可得，然后设设，，分别表示出，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，连接，在的延长线上截取，连接， ∵正方形中，对角线，交于点， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∵ 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴， ∵于点， ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∴ 三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（12分）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1），见解析；（2），当时，原式为 【分析】本题考查的是分式的化简求值和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和掌握分式的混合运算顺序与运算法则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】解：（1）解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为. 其解集在数轴上表示为：如图所示. ...............................................6分 （2） ， 由题意得：且， 当时，原式， 当时，原式．...............................................12分 20．（10分）某校为了调研学生体育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取部分学生，对每位学生的体育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：），对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下： 信息三：其中体育成绩在良好：这个等级的数据（单位：分）如下： 82，83，83，85，87，89，89． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求所抽取的学生中体育成绩为合格的人数； (2)所抽取的学生体育成绩的中位数是__________分； (3)请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数． 【答案】(1)6 (2)83 (3)45人 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图的相关知识，中位数定义，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据其他等级的所占的百分比为求出调查的总人数，再根据合格的百分比为即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：∵体育成绩在合格的人数所占的百分比为 ∴其他等级的所占的百分比为 ∴总人数人， ∴所抽取的学生中体育成绩为合格的人数人；...............................................3分 （2）解：20个人中位数是第10和第11个人成绩的平均数， 即中位数是分， 故答案为：83；...............................................6分 （3） 解：七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数人． ...............................................10分 21．（10分）如图，的边和的边在同一条直线上，，，，连接，． (1)求证：①； ②四边形是平行四边形． (2)若四边形为菱形，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①利用平行线的性质得，即可证得； ②由①得，可得、，证得，即可得证四边形是平行四边形． （2）连接，交于点，根据菱形的性质得、、，利用勾股定理求出，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，计算即可求解． 【详解】（1）证明：①， ， 在和中， ， ；...............................................3分 ②由（1）知， ，， ， 四边形是平行四边形．...............................................6分 （2）解：如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，，， ， ， ， 在中，，， ， ．...............................................10分 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和菱形的性质是解题关键． 22．（10分）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． (1)小明选择的是“竹”的概率为______． (2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 【答案】(1) (2)小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先运用画树状图得出共有种等可能的结果，再结合小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有种，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹， 则小明选择的是“竹”的结果有种， 小明选择的是“竹”的概率为； 故答案为：；...............................................5分 （2）解：将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为，，，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有种， 小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为．...............................................10分 23．（10分）在数学课上，学生按要求用尺规作图，如图线段，点C为上的动点． (1)若，点C是的中点，作射线，以D为圆心，以长为半径画弧，交射线于点E，分别以点D，E为圆心，以长为半径画弧交于点F，连接得，然后以点F为圆心，以为长画弧，如图1，求阴影部分的面积； (2)当时，按照（1）中步骤作出之后，又以J为圆心，以为半径画弧交于点G，如图2，证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由作法知为边长为3的等边三角形，分别求出扇形和等边三角形的面积，然后相减即可； （2）证明，然后利用相似三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：（1）点C是的中点，， 为边长为3的等边三角形， ． 过点F作，在中， ∵， ， ， ． ...............................................5分 （2）证明：由作图知，， ， ， ， ．...............................................10分 【点睛】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定与性质，弧长公式，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握弧长公式、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 24．（12分）南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元． (1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元； (2)请求出当时，与之间的函数解析式； (3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)120 (2) (3)当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意、正确列出函数解析式以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）由图直接列式计算即可求得甲种绿植每平米的种植费； （2）直接运用待定系数法求解即可； （2）设种植总费用为w元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植平方米，根据实际意义可以确定x的范围，结合种植总费用w（元）与种植面积之间的函数关系可以分类讨论，从而得到最少费用即可． 【详解】（1）解：当时，甲种绿植的种植费用为每平方米元． 故答案为：120．..............................................2分 （2）解：当时，设， 根据题意得：，解得： ∴， ∴当时，与之间的函数解析式．...............................................6分 （3）解：设种植总费用为w元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植平方米， 由题意可得：， 解得不等式组的解集为． 设种植总费用为w元． 当时，． ∵， ∴w随x的增大而增大． ∴当时，． 当时，． ∵， ∴当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元．...............................................12分 25．（13分）在中，，点D，E分别在边上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点F与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明； (3)如图3，若点E为中点，，当点F在线段上时，求此时线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1），先连接，可得，进而得出，再说明 ，即可得出答案； （2），在上取点M，使得，取中点N，连接，先说明，可得，进而证明，得，，接下来证明，则答案可证； （3），先求出，根据勾股定理求，再根据面积相等求出，进而求出，接下来得出，如；另一图，过点D作于点I，连接，过点E作于点L，过点F作于点J，设，表示，再根据勾股定理，表示，同理令，则，，然后说明，可表示，，进而得，最后根据得出方程，求出解即可. 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∴， ∴，， ∴， ∴；...............................................3分 （2）解：． 在上取点M，使得，取中点N，连接， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴，. ∵为直角三角形斜边中线且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴；...............................................8分 （3）解：如图，作，交于点H， 在中，， ∴. ∵点E是的中点， ∴. 根据勾股定理，得． ∵， 解得. 在， 则， ∴， ∴． 如下图所示，过点D作于点I，连接，过点E作于点L，过点F作点J， 设，， ∴， 根据勾股定理，得. 同理，在中，令，则，， ∵， ∴． ∵，， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， 即，， 解得，． ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴．...............................................13分 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，旋转的性质，解直角三角形的应用，准确的作出辅助线确定相似三角形是解题的关键. 26．（13分）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“对称函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点为点“关于的对称点”，点在函数的“对称函数”的图象上． 例如，函数，当时，则函数是函数的“对称函数”． 在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点“关于的对称点”，点在函数的“对称函数”的图象上． (1)求函数的“对称函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，点“关于的对称点”在点的下方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的对称点”为点．设点的横坐标为． ①若点在点的下方，过点作轴的平行线，与函数的“对称函数”的图象相交于点，以为邻边作矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②在①的条件下，当直线与函数的图象只有一个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或． 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，二次函数图象及性质，一次函数与二次函数交点问题等。 （1）根据题意可得，继而得到答案； （2）设点的坐标为，则点“关于的对称点”的坐标为，后列式计算得，继而可得本题答案； （3）①设点的坐标为，后得函数的“对称函数”的表达式为，再当时，，解得，后因点在点的下方，且四边形是矩形，可得且，继而得到点， 再分为当和时，分别求出和即可；②由①解析式画图象，并得到点，分两种情况讨论继而求出本题答案。 【详解】（1）解：∵当时，称函数为函数的“对称函数”， ， ∴；...............................................3分 （2）解：点在函数的图象上， 设点的坐标为，则点“关于的对称点”的坐标为， ，且点在点的下方， ， 解得：， 点的坐标为；...............................................7分 （3）解：①点在函数的图象上，点的横坐标为， 点的坐标为． 点“关于的对称点”的坐标为，函数的“对称函数”的表达式为， ， ∴它的对称轴为直线． 当时，． 解得：． 点在点的下方，且四边形是矩形， 且． 轴，， ∴点和点关于直线对称． 点． 当时， ， 当时， ， 综上所述，； ②或． 由①知 所画图象如图所示： 令，即：， ∴， 令，即：， ∴， 两函数交点为， 与函数的图象只有一个交点， 有以下两种情况： ①将点代入，得． 解得：． 将点代入，得：． ． ②当直线与的图象只有一个交点时， 即， ． 解得． 综上所述，或．...............................................13分 28 / 29 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考考前最后一卷（南通卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（11~12 题每小题 3 分，13~18 题每小题 4 分，共 30 分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 17. ___________________ 18. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（12 分） 20．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（13 分） 26．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考考前最后一卷（南通卷） 数 学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果等于（   ） A． B．5 C． D．1 2．国产大模型凭借颠覆性技术与高性价比成为现象级产品，截至2月6日，其全球用户量突破2200万，引发产业链的广泛关注，其中2200万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．端午节是中国的传统节日之一，有着悠久的历史和丰富的文化内涵，如图是某品牌粽子的一种包装盒，它的主视图为（　　） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将一块含角的三角板按图中所示方式放置，使点落在直线上，若直线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．设鸡有只，兔有只，可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．14 D．28 8．“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿折线运动到点，同时动点从点出发沿折线运动到点，当点和在正方形边上运动时，速度是每秒1个单位长度，当点和在正方形对角线上运动时速度是每秒个单位长度，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（   ）    A．   B．   C．     D．   10．已知p，q为非负实数，且，则代数式的最小值为（  ） A．5 B．3 C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，11~12题每小题3分，13~18题每小题4分，共30分） 11．因式分解： ． 12．分式方程的解是 ． 13．已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为 ． 14．在电压不变时，通过导体的电流（单位：A）与这段导体的电阻（单位：）是反比例函数关系，其函数图象如图所示，当一段导体的电阻时，通过该导体的电流的值为 A． 15．如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 16．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于 ． 17．直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是 ． 18．正方形中，对角线，交于点，于点，点是上一点且，则的值为 . 三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（12分）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 20．（10分）某校为了调研学生体育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取部分学生，对每位学生的体育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：），对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下： 信息三：其中体育成绩在良好：这个等级的数据（单位：分）如下： 82，83，83，85，87，89，89． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求所抽取的学生中体育成绩为合格的人数； (2)所抽取的学生体育成绩的中位数是__________分； (3)请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育成绩属于“优秀”等级的人数． 21．（10分）如图，的边和的边在同一条直线上，，，，连接，． (1)求证：①； ②四边形是平行四边形． (2)若四边形为菱形，，，求线段的长． 22．（10分）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡它们不仅是自然界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中．小明和小亮是中国国画爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹． (1)小明选择的是“竹”的概率为______． (2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率， 23．（10分）在数学课上，学生按要求用尺规作图，如图线段，点C为上的动点． (1)若，点C是的中点，作射线，以D为圆心，以长为半径画弧，交射线于点E，分别以点D，E为圆心，以长为半径画弧交于点F，连接得，然后以点F为圆心，以为长画弧，如图1，求阴影部分的面积； (2)当时，按照（1）中步骤作出之后，又以J为圆心，以为半径画弧交于点G，如图2，证明：． 24．（12分）南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元． (1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元； (2)请求出当时，与之间的函数解析式； (3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 25．（13分）在中，，点D，E分别在边上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点F与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明； (3)如图3，若点E为中点，，当点F在线段上时，求此时线段的长． 26．（13分）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“对称函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点为点“关于的对称点”，点在函数的“对称函数”的图象上． 例如，函数，当时，则函数是函数的“对称函数”． 在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点“关于的对称点”，点在函数的“对称函数”的图象上． (1)求函数的“对称函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，点“关于的对称点”在点的下方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的对称点”为点．设点的横坐标为． ①若点在点的下方，过点作轴的平行线，与函数的“对称函数”的图象相交于点，以为邻边作矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②在①的条件下，当直线与函数的图象只有一个交点时，请直接写出的取值范围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考考前最后一卷（南通卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（ 11~12题 每小题3分， 13~18题 每小题 4 分，共 30 分 ） 11． _________________ 12 ． ___________________ 1 3 ． __________________ 14 ． __________________ 15. ___________________ 1 6 . ___________________ 1 7 . ___________________ 1 8 . ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（ 本大题共 8 个小题，共 90 分 ．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19． （12分） 20． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （10分） 22． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （10分） 24． （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 25．（13分） 26．（13分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$