数学（江苏扬州卷）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

2025年中考考前最后一卷（扬州卷） 数 学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025的相反数是 （    ） A．2025 B．-2025 C． D．1 2．在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．学校组织各班开展“减少近视，守护光明”主题班会活动，九年级一班班长小颖随即组织本班42名同学进行视力检查，小颖根据视力检查数据制作了如下统计表，则九年级一班同学视力检查数据的众数和中位数分别是（   ） 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 人数 2 3 4 6 5 8 5 4 3 2 A．4.8，4.8 B．4.8，4.7 C．4.8，4.75 D．4.8，4.6 5．如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知．若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有钱，乙原有钱，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，，，，则此函数（    ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．当时，取得最大值 D．当时，取得最小值 8．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．桑树花是风媒花，雄花的开花过程中，内弯的雄蕊会在25微秒内伸直（25微秒=0.000025秒），将花粉爆发地弹射到空气中，这是在植物学中已知的最快的运动．数据0.000025用科学记数法表示为 ． 10．因式分解： ． 11．粮安天下，种子为基．高发芽率的种子能够确保作物生长的初始阶段有足够的健康植株，从而提高作物的产量和质量．某学习小组做某种农作物种子发芽率的实验，整理的实验数据如表： 种子数 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 发芽数 94 186 278 464 927 1856 2787 4650 种子发芽率 0.9400 0.9300 0.9267 0.9280 0.9270 0.9280 0.9290 0.9300 由此估计这种农作物种子的发芽率为 ．（结果精确到0.01） 12．已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ． 13．如图，，将直角三角板的直角顶点放在直线上，．若，则 ． 14．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 15．如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 16．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 17．在纬度确定的条件下，物体高度与影子长度的比例由太阳高度角决定． 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片互相垂直，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时两叶片的影子在水平地面成线段，测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为，则点O、M之间的距离等于 m． 18．如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算： （2）化简： 20．（8分）解不等式组 并将解集在数轴上表示出来. 21．（8分）为提高学生的数学运算能力，激发学生的数学学习热情．某中学制定了学生自主学习奖励方案．规定：凡每周自主完成计算训练6次以上（含6次）者有资格参加学期末的“数学学习优秀学员”评选．为了解学生某一周的计算训练情况，学校随机抽取八年级部分学生，并对该周学生计算训练次数进行了统计，绘制成两幅尚不完整的统计图． A．学生训练次数扇形统计图 B．学生训练次数条形统计图 注：以上为抽取的部分学生的扇形统计图和条形统计图，请据图回答问题： (1)本次抽取的学生共___________人． (2)求周训练5次者所占圆心角的度数？并将条形统计图补充完整； (3)若该校八年级有700名学生，估计八年级有多少人有资格参加学期末的“数学学习优秀学员”评选？ 22．（8分）中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． (1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； (2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 23．（10分）某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮，在活动中书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知种图书每本的进价比种图书贵6元，用2100元购进种图书和用2520元购进种图书的本数相同．，两种图书每本的进价各是多少元？ 24．（10分）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求和的长度． 25．（10分）已知，在中，，以点为圆心，为半径作圆，交于点． (1)请使用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图) (2)线段与（1）中的所作的垂直平分线相交于点，连接，求证：是的切线； (3)连接，若，求的长． 26．（10分）如图，在中，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，取的中点E，直线与直线交于点F，连接． (1)如图，当时． ①求证：． ②求的度数． ③若，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． (2)当时，若，在线段的旋转过程中，当时，请直接写出线段的长． 27．（12分）如图所示，矩形中，，，把一块三角尺的直角顶点置于边上，，三角尺的两条直角边，分别交，两边于点，，连接．设． (1)当平分时，求的值； (2)①当，重合时， ； ②当，不重合时，求的值． (3)设线段的中点为，连接，，则与的数量关系为 ；再取的中点，连接，请直接写出线段的最小值． 28．（12分）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点D在直线上方的抛物线时，若，求点D坐标； (3)如图，直线，分别与y轴交于点E，点F，则是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 10 / 11 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（扬州卷） 数 学 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025的相反数是 （    ） A．2025 B．-2025 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此即可求得答案． 【详解】解：2025的相反数是-2025， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了判断点所在的象限、算术平方根，熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键．根据坐标系中各象限内点的坐标的符号特征即可解答． 【详解】解：，， 点位于第二象限． 故选：B． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法，积的乘方，合并同类项，完全平方公式等，解题的关键是掌握相关的运算法则进行计算． 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，原计算正确； 故选：D． 4．学校组织各班开展“减少近视，守护光明”主题班会活动，九年级一班班长小颖随即组织本班42名同学进行视力检查，小颖根据视力检查数据制作了如下统计表，则九年级一班同学视力检查数据的众数和中位数分别是（   ） 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 人数 2 3 4 6 5 8 5 4 3 2 A．4.8，4.8 B．4.8，4.7 C．4.8，4.75 D．4.8，4.6 【答案】A 【分析】本题考查了中位数，众数的计算，掌握中位数，众数的计算方法是关键． 众数：出现次数最多的数，可以没有，可以有一个或多个；中位数：一组依次从小到大排序的数字中，中间的数即为中位数，当一组数字的个数为奇数时，中间的数即为中位数，当一组数字的个数是偶数时，中间两个数的平均数即为中位数，由此即可求解． 【详解】解：表格中出现次数最多的是4.8， ∴众数是4.8， 本班有42个同学， ∴中位数是第21，22两位同学的平均数，即， 故选：A ． 5．如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体几何的三视图，理解三视图的特点结合立体几何的特点是解题的关键． 由立体图形的特点及三视图的特点分析即可求解．注意立体图形中存在的线段，看得见的用实线，看不见的用虚线表示． 【详解】 解：根据俯视图是从上往下看可知几何体的俯视图是 故选：C ． 6．《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知．若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有钱，乙原有钱，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列二元一次方程组，找出相等关系列出方程组是解题的关键． 设甲原有钱，乙原有钱，根据“甲钱加乙钱的一半等于50钱”，“乙钱加甲钱的三分之二等于50钱”即可列出方程组． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱，根据题意，得 ． 故选：A 7．如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，，，，则此函数（    ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．当时，取得最大值 D．当时，取得最小值 【答案】A 【分析】题目主要考查函数的图象与性质，读懂图象是解题的关键． 根据函数的图象对各项分析判断即可． 【详解】解：观察图象可知： A、当时，图象呈上升趋势，随的增大而增大，选项正确，符合题意； B、当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，选项错误，不符合题意； C、∵射线， ∴当时，不是最大值，选项错误，不符合题意； D、∵射线， ∴当时，不是最小值，选项错误，不符合题意； 故选：A． 8．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点．如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴, 故选：B． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．桑树花是风媒花，雄花的开花过程中，内弯的雄蕊会在25微秒内伸直（25微秒=0.000025秒），将花粉爆发地弹射到空气中，这是在植物学中已知的最快的运动．数据0.000025用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据0.000025用科学记数法表示为， 故答案为：． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．粮安天下，种子为基．高发芽率的种子能够确保作物生长的初始阶段有足够的健康植株，从而提高作物的产量和质量．某学习小组做某种农作物种子发芽率的实验，整理的实验数据如表： 种子数 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 发芽数 94 186 278 464 927 1856 2787 4650 种子发芽率 0.9400 0.9300 0.9267 0.9280 0.9270 0.9280 0.9290 0.9300 由此估计这种农作物种子的发芽率为 ．（结果精确到0.01） 【答案】0.93 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得答案． 【详解】解：观察表格可知，随着试验次数的增加，种子发芽率逐渐稳定在0.93附近， ∴可估计这种农作物种子的发芽率为0.93， 故答案为：0.93． 12．已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】150 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设圆心角的度数为，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程解出的值即可． 【详解】解：设圆心角的度数为， 由题意得，， 解得：， 扇形的圆心角的度数为． 故答案为：150． 13．如图，，将直角三角板的直角顶点放在直线上，．若，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先由两直线平行，内错角相等得到，再根据平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解；如图所示，∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 14．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意得，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 15．如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图知：当直线的图象在直线的下方时，不等式成立； 由于两直线的交点横坐标为：， 观察图象可知，当时，，即不等式的解集为． 故答案为：． 16．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】9 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，． 故答案为：9． 17．在纬度确定的条件下，物体高度与影子长度的比例由太阳高度角决定． 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片互相垂直，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时两叶片的影子在水平地面成线段，测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为，则点O、M之间的距离等于 m． 【答案】70 【分析】连接交于点H，过点C作，通过证明，通过相似三角形对应边成比例即可解答．本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是画出辅助线，构建相似三角形． 【详解】解：连接交于点H，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：． 设，，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， 故答案为：70． 18．如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点关于线段的对称点，连接、，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点，由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而可得，当点与点重合时，则的最小值即为的长，由勾股定理以及含的直角三角形的性质求出的长度，进而可得的长度，即可得解． 【详解】解：作点关于线段的对称点，连接、，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图所示： 由轴对称的性质可知：，，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 当点与点重合时，则的最小值即为的长， ， ， ， ，， ， ， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算及分式的混合运算：（1）利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂法则以及绝对值即可求出值；（2）先进行通分，再计算除法即可． 【详解】（1） ，...............................................4分 （2） ．...............................................8分 20．（8分）解不等式组 并将解集在数轴上表示出来. 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：，...............................................4分 在数轴上表示不等式组的解集为： ∴不等式组的解集为：．...............................................8分 21．（8分）为提高学生的数学运算能力，激发学生的数学学习热情．某中学制定了学生自主学习奖励方案．规定：凡每周自主完成计算训练6次以上（含6次）者有资格参加学期末的“数学学习优秀学员”评选．为了解学生某一周的计算训练情况，学校随机抽取八年级部分学生，并对该周学生计算训练次数进行了统计，绘制成两幅尚不完整的统计图． A．学生训练次数扇形统计图 B．学生训练次数条形统计图 注：以上为抽取的部分学生的扇形统计图和条形统计图，请据图回答问题： (1)本次抽取的学生共___________人． (2)求周训练5次者所占圆心角的度数？并将条形统计图补充完整； (3)若该校八年级有700名学生，估计八年级有多少人有资格参加学期末的“数学学习优秀学员”评选？ 【答案】(1)50 (2)，补充条形统计图见详解 (3)280 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形统计图中圆心角的度数，用样本估计总体数量等知识，从图中准确获取信息是解答的关键． （1）根据计算训练为7次的学生人数及占比即可求得抽取的学生人数； （2）利用总数减去已知数可求出5次训练的人数，补全条形统计图即可，求出周训练5次者的占比，与的积，即是圆心角的度数； （3）利用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：抽取的人数为：（人）， 故答案为：50；...............................................2分 （2）解：训练次数是5次的有：（人） 即周训练5次者所占圆心角的度数为； 补充后的条形统计图如下： B．学生训练次数条形统计图...............................................5分 （3）解：（人）． 所以，估计有280人．...............................................8分 22．（8分）中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． (1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； (2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【详解】（1）解：∵小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为：；...............................................4分 （2）解：记恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有等可能的结果中，满足事件M的结果有2种， ∴...............................................8分 23．（10分）某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮，在活动中书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知种图书每本的进价比种图书贵6元，用2100元购进种图书和用2520元购进种图书的本数相同．，两种图书每本的进价各是多少元？ 【答案】种图书30元，种图书36元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．设种图书元，种图书元，根据“用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同”列方程求解即可． 【详解】解：设种图书元，种图书元， 由题意得， 解得：， 经检验，是原方程的根切符合题意，...............................................5分 ， 答：种图书30元，种图书36元．...............................................10分 24．（10分）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求和的长度． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质，平行四边形的性质，以及等腰直角三角形的性质，先求得，进而勾股定理求得，根据，求得，进而根据直角三角形斜边中线可得：，利用勾股定理计算的长，可得结论． 【详解】（1）证明四边形是平行四边形 ，． ， ， 即． 点、在直线上 ，． 四边形是平行四边形   又，垂足是， ． 四边形是矩形．...............................................5分 （2）解：四边形是矩形， ，． ，， ． ， ． ．   在中，． ， ．   ∴ 在中， ∴； 在中，． ． 点是平行四边形对角线的交点， 为中点 在中，．为中点． ．...............................................10分 25．（10分）已知，在中，，以点为圆心，为半径作圆，交于点． (1)请使用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图) (2)线段与（1）中的所作的垂直平分线相交于点，连接，求证：是的切线； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用线段垂直平分线的基本作图的作法解答即可； （2）连接，利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质和同圆的半径相等的性质以及平角的定义得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）利用线段垂直平分线的性质得出 ，设，则，在中，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图 ①．分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，， ②作直线，交于点，则为线段的垂直平分线． ...............................................3分 （2）证明：连接，如图， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线；...............................................7分 （3）为线段的垂直平分线， ， 设，则， 由（2）知：， 在中，， ， 解得：， 即．...............................................10分 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，线段的垂直平分线的作法与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 26．（10分）如图，在中，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，取的中点E，直线与直线交于点F，连接． (1)如图，当时． ①求证：． ②求的度数． ③若，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． (2)当时，若，在线段的旋转过程中，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见解析；②45°；③ (2) 【分析】（1）①由旋转的性质知．根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可得是的垂直平分线．即可证明． ②根据，得出．由①知是的垂直平分线，得出，再根据三角形内角和定理即可求出． ③由①知，，得出．在中，解直角三角形得出，，在中，由勾股定理，求出，再根据即可求解． （2）当时，画出图，同③得出． 【详解】（1）解：①证明：由旋转的性质，知． ∵E是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线． ∴．...............................................2分 ②∵， ∴． 由①知是的垂直平分线， ∴． ∴．...............................................4分 ③由①知，， ∴． 在中，， ． ∴在中，由勾股定理，得． ∴．...............................................6分 （2）解：当时，如图， 由①知，， ∴． 在中，， ． ∴在中，由勾股定理，得． ∴．...............................................10分 【点睛】该题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形内角和定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 27．（12分）如图所示，矩形中，，，把一块三角尺的直角顶点置于边上，，三角尺的两条直角边，分别交，两边于点，，连接．设． (1)当平分时，求的值； (2)①当，重合时， ； ②当，不重合时，求的值． (3)设线段的中点为，连接，，则与的数量关系为 ；再取的中点，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)①；② (3)；的最小值 【分析】（1）由角平分线的性质易得，再分别用勾股定理表示出和，进而建立方程求解； （2）①由即可得解；②参照①思路，构造矩形，过点Q作，垂足为H，证，即可得解； （3）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出，进而得到点T在的垂直平分线上，很明显当垂直于的垂直平分线上时，有最小值，再参考（2）中思路构造相似求解即可． 【详解】（1）解：在矩形和三角尺中，有． 当平分时，应有，即． 而，， ∴， 解得， 即当平分时，；...............................................4分 （2）解：①如图， ∴， 故答案为：； ②过点Q作，垂足为H， 则， ∴四边形为矩形，． 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴；...............................................8分 （3）解：如图， 在中，， 在中，， ∴， ∴点T在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，过O作， 当时，有最小值， ∵，K为中点， ∴， 由辅助线可知四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：．...............................................12分 【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 28．（12分）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点D在直线上方的抛物线时，若，求点D坐标； (3)如图，直线，分别与y轴交于点E，点F，则是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，定值为3，理由见解析 【分析】（1）抛物线经过点和点，代入解析式得，所以； （2）过点C作轴交抛物线于点M，过点M作，交于点N，由点可推知；由，求得，易知为等腰直角三角形，则；进一步证得，从而，，求得，于是；待定系数法确定直线的解析式为，联立得，求得点D坐标为； （3）设，待定系数法确定的解析式，所以E的坐标为；同理确定的解析式为，所以F的坐标为；根据线段数量关系，，，所以． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和点， ∴，解得， ∴；...............................................4分 （2）解：过点C作轴交抛物线于点M，过点M作，交于点N，    ∴， ∴， ∵点， ∴， 在中，令，求得 ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴   ，解得， ∴直线的解析式为 联立得， 解得（舍去）或， ∴点D坐标为；...............................................8分 （3）解：是为定值．理由如下：    设， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为 ∴E的坐标为， 设直线的解析式为，得 解得 ∴直线的解析式为 ∴F的坐标为， ∴， ∴．...............................................12分 【点睛】本题主要考查待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质、函数图象与方程（组）的联系；能够灵活结合已知条件添设辅助线，构造相似三角形，得到线段间的数量关系是解题的关键． 28 / 29 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考考前最后一卷（扬州卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 9．_________________ 10．___________________ 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 17. ___________________ 18. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8 分） 20．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10 分） 26．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（12 分） 28．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考考前最后一卷（扬州卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D A C A A B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9． 10． 11．0.93 12．150 13．/55度 14．且 15． 16．9 17．70 18． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） ，...............................................4分 （2） ．...............................................8分 20．（8分） 【答案】，图见解析 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：，...............................................4分 在数轴上表示不等式组的解集为： ∴不等式组的解集为：．...............................................8分 21．（8分） 【答案】(1)50 (2)，补充条形统计图见详解 (3)280 【详解】（1）解：抽取的人数为：（人）， 故答案为：50；...............................................2分 （2）解：训练次数是5次的有：（人） 即周训练5次者所占圆心角的度数为； 补充后的条形统计图如下： B．学生训练次数条形统计图...............................................5分 （3）解：（人）． 所以，估计有280人．...............................................8分 22．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为：；...............................................4分 （2）解：记恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有等可能的结果中，满足事件M的结果有2种， ∴...............................................8分 23．（10分） 【答案】种图书30元，种图书36元 【详解】解：设种图书元，种图书元， 由题意得， 解得：， 经检验，是原方程的根切符合题意，...............................................5分 ， 答：种图书30元，种图书36元．...............................................10分 24．（10分） 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）证明四边形是平行四边形 ，． ， ， 即． 点、在直线上 ，． 四边形是平行四边形   又，垂足是， ． 四边形是矩形．...............................................5分 （2）解：四边形是矩形， ，． ，， ． ， ． ．   在中，． ， ．   ∴ 在中， ∴； 在中，． ． 点是平行四边形对角线的交点， 为中点 在中，．为中点． ．...............................................10分 25．（10分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图 ①．分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，， ②作直线，交于点，则为线段的垂直平分线． ...............................................3分 （2）证明：连接，如图， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线；...............................................7分 （3）为线段的垂直平分线， ， 设，则， 由（2）知：， 在中，， ， 解得：， 即．...............................................10分 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，线段的垂直平分线的作法与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 26．（10分） 【答案】(1)①见解析；②45°；③ (2) 【详解】（1）解：①证明：由旋转的性质，知． ∵E是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线． ∴．...............................................2分 ②∵， ∴． 由①知是的垂直平分线， ∴． ∴．...............................................4分 ③由①知，， ∴． 在中，， ． ∴在中，由勾股定理，得． ∴．...............................................6分 （2）解：当时，如图， 由①知，， ∴． 在中，， ． ∴在中，由勾股定理，得． ∴．...............................................10分 【点睛】该题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形内角和定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 27．（12分） 【答案】(1) (2)①；② (3)；的最小值 【详解】（1）解：在矩形和三角尺中，有． 当平分时，应有，即． 而，， ∴， 解得， 即当平分时，；...............................................4分 （2）解：①如图， ∴， 故答案为：； ②过点Q作，垂足为H， 则， ∴四边形为矩形，． 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴；...............................................8分 （3）解：如图， 在中，， 在中，， ∴， ∴点T在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，过O作， 当时，有最小值， ∵，K为中点， ∴， 由辅助线可知四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：．...............................................12分 【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 28．（12分） 【答案】(1) (2) (3)是定值，定值为3，理由见解析 【详解】（1）解：∵抛物线经过和点， ∴，解得， ∴；...............................................4分 （2）解：过点C作轴交抛物线于点M，过点M作，交于点N，    ∴， ∴， ∵点， ∴， 在中，令，求得 ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴   ，解得， ∴直线的解析式为 联立得， 解得（舍去）或， ∴点D坐标为；...............................................8分 （3）解：是为定值．理由如下：    设， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为 ∴E的坐标为， 设直线的解析式为，得 解得 ∴直线的解析式为 ∴F的坐标为， ∴， ∴．...............................................12分 【点睛】本题主要考查待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质、函数图象与方程（组）的联系；能够灵活结合已知条件添设辅助线，构造相似三角形，得到线段间的数量关系是解题的关键． 10 / 10 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考考前最后一卷（扬州卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 9 ． _________________ 10 ． ________ ___________ 11． _________________ 12 ． ___________________ 1 3 ． __________________ 14 ． __________________ 15. ___________________ 1 6 . ___________________ 1 7 . ___________________ 1 8 . ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19． （8分） 20． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （8分） 22． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （10分） 24． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 25．（10分） 26．（10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 27．（12分） 28．（12分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考考前最后一卷（扬州卷） 数 学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025的相反数是 （    ） A．2025 B．-2025 C． D．1 2．在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．学校组织各班开展“减少近视，守护光明”主题班会活动，九年级一班班长小颖随即组织本班42名同学进行视力检查，小颖根据视力检查数据制作了如下统计表，则九年级一班同学视力检查数据的众数和中位数分别是（   ） 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 人数 2 3 4 6 5 8 5 4 3 2 A．4.8，4.8 B．4.8，4.7 C．4.8，4.75 D．4.8，4.6 5．如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知．若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有钱，乙原有钱，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，，，，则此函数（    ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．当时，取得最大值 D．当时，取得最小值 8．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．桑树花是风媒花，雄花的开花过程中，内弯的雄蕊会在25微秒内伸直（25微秒=0.000025秒），将花粉爆发地弹射到空气中，这是在植物学中已知的最快的运动．数据0.000025用科学记数法表示为 ． 10．因式分解： ． 11．粮安天下，种子为基．高发芽率的种子能够确保作物生长的初始阶段有足够的健康植株，从而提高作物的产量和质量．某学习小组做某种农作物种子发芽率的实验，整理的实验数据如表： 种子数 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 发芽数 94 186 278 464 927 1856 2787 4650 种子发芽率 0.9400 0.9300 0.9267 0.9280 0.9270 0.9280 0.9290 0.9300 由此估计这种农作物种子的发芽率为 ．（结果精确到0.01） 12．已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ． 13．如图，，将直角三角板的直角顶点放在直线上，．若，则 ． 14．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 15．如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 16．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 17．在纬度确定的条件下，物体高度与影子长度的比例由太阳高度角决定． 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片互相垂直，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时两叶片的影子在水平地面成线段，测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为，则点O、M之间的距离等于 m． 18．如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算： （2）化简： 20．（8分）解不等式组 并将解集在数轴上表示出来. 21．（8分）为提高学生的数学运算能力，激发学生的数学学习热情．某中学制定了学生自主学习奖励方案．规定：凡每周自主完成计算训练6次以上（含6次）者有资格参加学期末的“数学学习优秀学员”评选．为了解学生某一周的计算训练情况，学校随机抽取八年级部分学生，并对该周学生计算训练次数进行了统计，绘制成两幅尚不完整的统计图． A．学生训练次数扇形统计图 B．学生训练次数条形统计图 注：以上为抽取的部分学生的扇形统计图和条形统计图，请据图回答问题： (1)本次抽取的学生共___________人． (2)求周训练5次者所占圆心角的度数？并将条形统计图补充完整； (3)若该校八年级有700名学生，估计八年级有多少人有资格参加学期末的“数学学习优秀学员”评选？ 22．（8分）中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． (1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； (2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 23．（10分）某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮，在活动中书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知种图书每本的进价比种图书贵6元，用2100元购进种图书和用2520元购进种图书的本数相同．，两种图书每本的进价各是多少元？ 24．（10分）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求和的长度． 25．（10分）已知，在中，，以点为圆心，为半径作圆，交于点． (1)请使用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图) (2)线段与（1）中的所作的垂直平分线相交于点，连接，求证：是的切线； (3)连接，若，求的长． 26．（10分）如图，在中，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，取的中点E，直线与直线交于点F，连接． (1)如图，当时． ①求证：． ②求的度数． ③若，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． (2)当时，若，在线段的旋转过程中，当时，请直接写出线段的长． 27．（12分）如图所示，矩形中，，，把一块三角尺的直角顶点置于边上，，三角尺的两条直角边，分别交，两边于点，，连接．设． (1)当平分时，求的值； (2)①当，重合时， ； ②当，不重合时，求的值． (3)设线段的中点为，连接，，则与的数量关系为 ；再取的中点，连接，请直接写出线段的最小值． 28．（12分）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点D在直线上方的抛物线时，若，求点D坐标； (3)如图，直线，分别与y轴交于点E，点F，则是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$