7.6  多边形的内角和（4个知识点+15道习题培优）同步分层作业-2024-2025学年数学四年级下册（苏教版）

7.6  多边形的内角和 第一部分 知识清单 1、三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°。 2、将四边形、五边形、六边形转化为2个、3个、4个三角形来求内角和，体现了数学中的转化思想。 3、多边形的内角和=（多边形的边数-2)×180°。 4、任何一个边数大于3的多边形，都可以分割成若干个三角形，分成的三角形的个数比边数少2。 第二部分 基础培优 一、选择题 1．在下列度数中，不可能是多边形内角和的是（    ）。 A．540° B．720° C．900° D．680° 2．计算一个六边形的内角和时，可以把它分成4个三角形（如图），它的内角和是180×4＝720°。像这样计算八边形的内角和正确的是（    ）。 A．180°×8＝1440° B．180°×7＝1260° C．180°×5＝900° D．180°×6＝1080° 3．将一个长方形框架拉成平行四边形后，（    ）。 A．内角和变大 B．内角和变小 C．仍是轴对称图形 D．周长不变 4．一个多边形的内角和是，这个多边形一定是（    ）边形。 A．四 B．六 C．五 D．八 5．在探究四边形内角和时，还可以用如图的方法：在四边形外部找一点，画这点与四个顶点的连线，四边形的内角和是（    ）。 A．180°×3－180 B．180°×3 C．180° D．180°×3＋180° 二、填空题 6．丽丽有一张六边形的书签，它的内角和是（ ）°。 7．一个多边形的内角和是，它是一个（ ）边形。 8．计算四边形的内角和时，我们可以把它分成像这样2个三角形。计算五边形的内角和时，可以把它分成（ ）个三角形，由此可以计算出五边形的内角和是（ ）° 9．如果用两个完全一样的三角形拼成了一个大三角形，大三角形的内角和是（ ）°；如果拼成了一个平行四边形，它的内角和是（ ）°。 10．如图，把一张长方形纸按照下面的流程，剪出一个等腰梯形。 （1）展开的等腰梯形内角和是（ ）°。 （2）从图中可知∠1＝60°，那么∠2＝（ ）°。 三、计算题 11．计算图中∠1，∠2，∠3的度数。 第三部分 拔高培优 四、解答题 12．十边形的内角和是多少度？如果这个十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角是多少度呢？ 13． （1）上图五边形的内角和是（    ）°。 （2）先在上图中画一画，再用算式说明得出的上述结论的想法。 14．正六边形是我国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居配饰使用。如下图，古建筑中经常看到这样正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察，这个六边形窗户的外框共有（ ） 条对称轴。 （2）想一想，这个正六边形的内角和是（ ）°。 15．在人类文化史中，“五角星”是一个古老而又神奇的几何图形。数学实践课上龙龙和小伙伴一起探究五角星中“角”的奥秘。首先他们发现并提出问题：五角星的5个角一样大，每个角究竟是多少度呢？他们团队经历了下面的思考过程： （1）先研究（图1）五角星中心的正五边形的内角和是（ ）°，再推算出图2中∠1＝（ ）°。 （2）如图2根据∠1与∠2的关系，推算出∠2＝（ ）°。 （3）如图2根据等腰三角形中3个角的特点，推算出五角星一个角的度数：∠3＝（ ）°。 参考答案 1．D 【分析】n边形的内角和是（n－2）×180°，即多边形内角和一定是180°的整数倍，据此解答。 【解答】A．540°÷180°＝3； B．720°÷180°＝4； C．900°÷180°＝5； D．680°÷180°＝3……140°； 所以540°、900°和720°都是180°的倍数，它们是多边形内角和；而680°不是180°的倍数，所以它不可能是多边形内角和。 故答案为：D 2．D 【分析】由题意可知，从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画虚线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的内角和。据此解答。 【解答】 （8－2）×180° ＝6×180° ＝1080° 故答案为：D 3．D 【分析】将一个长方形框架拉成平行四边形后，四条边的长度不变，则周长不变。长方形和平行四边形都是四边形，根据四边形的内角定理可知，内角和不变，仍是360°。长方形是轴对称图形，而平行四边形不是轴对称图形，据此解答。 【解答】A．内角和不变，仍是360°，原说法错误； B．内角和不变，仍是360°，原说法错误； C．平行四边形不是轴对称图形，原说法错误； D．长方形框架拉成平行四边形周长不变，说法正确。 故答案为：D 4．D 【分析】三角形内角和是180°，可以把多边形分成多个三角形，据此分析每个选项多边形的内角和，选出内角和是1080°的即可。 【解答】 A．可以分成两个三角形，内角和为180°×2＝360°，不符合题意； B．可以分成四个三角形，内角和为180°×4＝720°，不符合题意； C．可以分成三个三角形，内角和为180°×3＝540°，不符合题意； D．可以分成六个三角形，内角和为180°×6＝1080°，符合题意。 这个多边形一定是八边形。 故答案为：D 5．A 【分析】三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD三个三角形的内角和都是180度，这三个三角形内角和相加就是四边形ABCD内角和和三角形OAD内角和相加，所以四边形ABCD内角和等于三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD三个三角形内角和相加减去三角形OAD内角和，据此解答。 【解答】如图： 180°×3－180° ＝540°－180° ＝360° 所以四边形的内角和是360°。 故答案为：A 6．720 【分析】求多边形的内角和，可以先把它分成几个三角形。把多边形分成了几个三角形，多边形的内角和就等于几个三角形的内角之和。据此解答。 【解答】 由图可知，六边形被分成了4个三角形。 4×180°＝720° 丽丽有一张六边形的书签，它的内角和是720°。 7．五 【分析】多边形的内角和＝（边数－2）×，此题说一个多边形内角和是，说明它至少可以被分成三个三角形，由此可知它是一个五边形。 【解答】÷＝3 3＋2＝5 它是一个五边形。 8．3 540 【分析】从五边形的一个顶点向相对的顶点连线，可以将五边形分成3个三角形，如图，每个三角形的内角和是180°，所以计算五边形的内角和就是计算3个三角形的内角和。 【解答】180°×3＝540° 计算五边形的内角和时，可以把它分成3个三角形，由此可以计算出五边形的内角和是540°。 9．180 360 【分析】不论几个三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和都是180°，不论几个三角形拼成一个平行四边形，因为平行四边形是四边形，所有四边形的内角和都是360°。据此解答即可。 【解答】如果用两个完全一样的三角形拼成了一个大三角形，大三角形的内角和是180°；如果拼成了一个平行四边形，它的内角和是360°。 10．（1）360 （2）120 【分析】（1）任意一个四边形的内角和都是360°，则展开的等腰梯形内角和也是360°。 （2）由题图可知，将这个长方形纸画线、剪开再展开，可知这个等腰梯形中下边的两个角相等，上边的两个角相等，那么∠1＋∠2＝360°÷2＝180°，∠2＝180°－∠1。据此解答。 【解答】（1）展开的等腰梯形内角和360°。 （2）360°÷2＝180° 180°－60°＝120° 那么∠2＝120°。 11．∠1＝60°；∠2＝120°；∠3＝105° 【分析】求多边形的内角和，可以看这个多边形可以分成几个三角形，三角形的内角和为180°，直接用180°乘可以分成三角形的个数即可算出多边形的内角和。 （1）如图：可以分成两个三角形，180°×2＝360°，所以四边形的内角和为360°。由图可知，四边形的三个角的度数分别为150°，90°和60°，那么直接用360°减去三个角的度数即可算出∠1的度数。 （2）如图：可以分成三个三角形，180°×3＝540°，所以五边形的内角和为540°。由图可知，五边形的四个角的度数分别为100°，110°，120°和90°，那么直接用540°减去四个角的度数即可算出∠2的度数。 （3）如图：可以分成两个三角形，180°×2＝360°，所以四边形的内角和为360°。由图可知，四边形的三个角的度数分别为90°，90°和75°，那么直接用360°减去三个角的度数即可算出∠3的度数。 【解答】（1）180°×2＝360° ∠1＝360°－150°－90°－60°＝60° （2）180°×3＝540° ∠2＝540°－100°－110°－120°－90°＝120° （3）180°×2＝360° ∠3＝360°－90°－90°－75°＝105° 即∠1＝60°，∠2＝120°，∠3＝105°。 12．1440度；144度 【分析】从n边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点连线，可以将n边形分成（n－2）个三角形；那么十边形分成的三角形个数为：10－2＝8个；因为三角形的内角和是180度，而十边形可以分成8个三角形，所以十边形的内角和就是这8个三角形内角和的总和，再用内角和除以10，即可得出每个内角是多少度，据此解答。 【解答】10－2＝8（个） 8×180＝1440（度） 1440÷10＝144（度） 答：十边形的内角和是1440度；如果这个十边形的每个内角都相等，它的每个内角是144度。 13．（1）540 （2）图见详解； 180°×3＝540° 【分析】（1）三角形的内角和为180°，将五边形分成3个三角形，求出这个3个三角形内角和的总和，就是五边形的内角和； （2）过一个顶点分别与不相邻的顶点连线，可将图分成3个三角形，每个三角形的内角和都是180°，用三角形的内角和乘3可以计算出五边形的内角和；据此解答。 【解答】（1）180°×3＝540°，所以五边形的内角和是540°。 （2）如图： （画法不唯一） 如图，将五边形分成3个三角形，可得： 180°×3＝540° 14．6 720 【分析】（1）这个六边形窗户的外框是轴对称图形，找出它的对称轴，要使对称轴左右两边的图形完全相同。可分别过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，或过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，画出它的对称轴； （2）一个三角形的内角和为180°，正六边形可被分成4个三角形，用180°×4，即可得到这个正六边形的内角和是多少度。 【解答】（1）过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条；过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条。 因此这个六边形窗户的外框共有6条对称轴。 （2）180°×4＝720° 因此这个正六边形的内角和是720°。 15．（1）540 108 （2）72 （3）36 【分析】（1）多边形内角和定理n边形的内角的和等于：（n－2）×180°（n大于等于3）即可求解正五边形的内角和：因为正五边形五个内角度数相等，所以根据除法的意义，用正五边形的内角和除以5即可求出一个内角的度数。 （2）根据∠1与∠2互补，用180°减去∠1，即可求出∠2的度数。 （3）根据等腰三角形两个底角相等，结合三角形内角和是180°，用180°减去2个底角度数之和即可求解。 【解答】（1）（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 所以五角星中心的正五边形的内角和是540°。 540°÷5＝108° 所以图2中∠1＝108°。 （2）180°－108°＝72° 所以推算出∠2＝72°。 （3）180°－2×72° ＝180°－144° ＝36° 所以∠3为36°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$