专题03：利用导数研究函数的单调性（强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题03 利用导数研究函数的单调性 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 题型01 求不含参函数的单调区间 【方法点拨】 求不含参数函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数. ③由 (或),解出相应的x的范围， 当时, 在相应的区间上是增函数;当0时, 在相应区间上是减函数； ④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可. 【例1】求函数的单调区间. 【解析】函数的定义域是， (注意定义域) 由，得， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在递减，在递增， 故， 故在递增，无递减区间. 【点拨】 ① 本题其实是对原函数进行了“二次求导”，思路可以如下 求原函数的单调区间 分析导函数的正负性(即的零点问题) 若能画出的图像一切就清楚，那就再分析的单调性和最值，故二次求导了. ② 原函数的单调性与导函数的正负性相关，分析导函数的正负性利用注重导函数的零点问题； ③ 是个重要的不等式. 【跟踪训练】 1.若函数，则函数的单调递减区间为 【答案】 【解析】函数，定义域为， ，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 2.若函数，则函数的单调递减区间为 【答案】 【解析】函数，定义域为， ，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 3.函数的单调减区间为 . 【答案】 【解析】的定义域为， ， 令，可得，可得， 又，则或， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 题型02 求含参函数的单调区间 【方法点拨】求含参数函数的单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点:①二次项系数a:②判别式Δ:③方程f′(x)=0根的大小: （4）结合定义域,画数轴、标根；（5）判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 注意:①讨论参数要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解. 【例2】已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【例3】已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，极大值为 (2)答案见解析 【详解】（1）. 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增， 所以的极小值为，极大值为. （2）， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 【例4】已知函数. 求的单调区间; 【分析】求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； 【详解】由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【跟踪训练】 1.设函数． （1）若，求的导数； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1），其中；（2）见解析 【解析】（1）若，则，故，其中. （2）， 当时，当时，；当时，. 故的减区间为，增区间为. 当时，若，则当时，； 当时，，故的减区间为，增区间为. 若，则当时，； 当时，，故的减区间为，增区间为. 若， 恒成立（不恒为零），故的增区间为，无减区间. 综上：当时，故的减区间为，增区间为. 当时，故的减区间为，增区间为. 若，故的减区间为，增区间为. 若， 的增区间为，无减区间. 2.已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)单调递减为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【解析】（1）由题意得，定义域为 ， 则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，上单调递增 （2）由题可知函数的定义域为 ， 则， （i）当时，则在定义域上恒成立， 此时函数在上单调递增； （ii） 当时， 令，即，解得； 令，即，解得； 所以在上单调递减，上单调递增 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增. 题型03：求函数的参数 1、已知函数单调性求参数 【例5】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 当，解得：， 由条件可知， 所以 ，解得：. 故选：B. 【跟踪训练】 1.若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导，利用导数可知的单调增区间为，结合题意列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，得，可知的单调增区间为， 若函数在区间内单调递增，依题意，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 2. 已知，，都有，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】把不等式成立，转化为函数的导数小于0在内恒成立，进而即可求解. 【详解】不妨，由题意分式转化为， 则，即，故函数单调递增， 又因为，解得， ，单调递增，所以. 故答案为： . 2、已知单调区间求参数 【方法点拨】 已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 【例6】若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 【答案】A 【详解】由题意，且的解集为，故， 解得，故. 故选：A 【例7】若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】BD 【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解． 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且， 故选：BD． 【跟踪训练】 1.若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得函数的定义域为，， 要使函数恰有三个单调区间， 则有两个不相等的实数根，∴，解得且， 故实数a的取值范围为， 故选：C. 2.若函数有三个单调区间，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因为函数有三个单调区间，所以，解得：.故选：A 3、存在单调区间求参数 【例8】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域是， 所以. 当时，，则在上单调递增，符合题意. 当时，由，得（负根舍去）， 所以当 时，单调递增； 当 时，单调递减. 依题意，函数在区间内存在单调递增区间， 所以，解得. 综上，. 故选：C. 【跟踪训练】 1.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 由题意可知：存在，使得，整理得， 且在上单调递减，则，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 4、函数不单调求参数 【例9】已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，进而得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，又函数的定义域是， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得. 故选：C 【跟踪训练】 1.若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 即方程在上有根，即方程在上有根， 又函数定义域为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 2.若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 3.已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， 令，则或， 因为是区间上的单调函数， 所以或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型04：原函数与导函数图象关系 【例10】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的图像经过与两点，即，， 由导数的几何意义可知在与处的切线的斜率为，故AD错误； 由的图象知，在上恒成立，故在上单调递增， 又在上越来越大，在上越来越小， 所以在上增长速度越来越快，在上增长速度越来越慢，故C错误，B正确. 故选：B. 【例11】已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”. 【解答过程】由题中的图象可以看出，在内，， 且在内，单调递增， 在内，单调递减， 所以函数在内单调递增， 且其图象在内越来越陡峭， 在内越来越平缓． 故选：D． 【跟踪训练】 1. 已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据导数与原函数图象的关系，结合排除法确定满足要求的图象即可. 【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B、C. 由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. 故选：D 2.已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过观察函数y=xf′（x）的图象即可判断f′（x）的符号以及对应的x的所在区间，从而判断出函数f（x）的单调性及单调区间，所以观察选项中的图象，找出符合条件的即可． 【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0； ∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0； ∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增； ∴f（x）的大致图象应是B． 故选B． 题型05：利用导数比较大小与解不等式 【例12】已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【详解】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【例13】已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由定义域为， 因为，所以在上单调递减， 所以不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 【跟踪训练】 1.若函数，且，设，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．的大小不能确定 【答案】A 【分析】求导后再次构造，再求导求出最大值小于零可得小于零，进而得到的单调性，然后求出结果即可. 【详解】由题意可得， 设，则 因为， 所以恒成立，故在上单调递减， 所以， 所以当时，，为减函数， 所以，即， 故选：A 2.设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式变形为，构造函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系即可求解. 【详解】由已知，即. 设，则，. ，，. 当时，， 在上单调递增，所以. 故选：B. 3.若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 5.若函数的解析式，则使得成立的的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意先判断函数为偶函数，再利用的导函数判断在上单调递增，根据偶函数的对称性得上单调递减. 要使成立，即，解不等式即可得到答案. 【详解】 ，，为偶函数，当时，，故函数在上单调递增. 为偶函数，在上单调递减. 要使成立，即. 故答案为：. 6．已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以在上单调递减，因为，所以， 不等式可变形为，即，可得， 故选：B. 一、填空题 1．(2023上海课时作业）函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 2．（2020·上海·高二课时练习）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接根据二次函数对称轴与区间的位置关系，即可得到答案； 【详解】 函数的对称轴为，且函数开口向上， ， 故答案为：. 【点睛】 本题考查二次函数的性质，求解时注意二次函数对称轴与区间的位置关系问题. 3.(2023上海课时作业）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是______ 【解析】 ∵函数在区间上存在单调增区间， ∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立， ， 设，则或， 即或，得或，则；故选：A． 4．（2024春崇明校极考试）若函数在区间内单调递减，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出的导函数，令导函数在区间内恒成立，再通过求函数的最值进行求解. 因为， 所以； 因为在区间内单调递减， 所以在区间内恒成立， 即在区间内恒成立， 所以，解得. 故答案为：. 5．(2023上海课时作业）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为_______ 【详解】由题意可得， 由于在上单调递增，故， 因此恒成立，故， 由于，故， 故选：B 6.（2024闵行区期末）已知函数在上不单调，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】 求出函数的导数，问题转化为方程在，上有解，结合二次函数的性质求出的范围即可． 【详解】 解：函数 ， 函数在，上不单调， 在，上有解 在，上有解 在，上有解 或 且且且△， 或，而， 故答案为：． 7．（2024春 普陀区期末）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题可得，分，讨论，即得. 由可得， 当时，，在上单调递增，不满足题意； 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 要使得函数在区间上不单调，则， 解得． 故答案为：. 8.（2024春松江区期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是____ 【解析】∵，∴， 若在区间内存在单调递增区间，则有解，故， 令，则在单调递增，， 故.故选：D. 9．（2024春大同中学月考）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由求导得：， 因该函数有三个单调区间，则方程必有两相异实根， 则有，解得. 故答案为：. 10．（2023·24高二下·黄浦期末）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是______ 【详解】函数的定义域为，所以，即， ，令，得，或（不在定义域内舍去）， 由于函数在区间内不是单调函数， 所以，即，解得， 综上可得，. 故选：B. 11.（2024徐汇中学月考）已知在R上可导的函数的图象如下图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】由函数的图象可知 当时，；当或时， 当或时，；当时， 则当时，，则 当时，，则 当时，，则 当时，，则 当时，，则 综上的解集为. 故答案为： 12．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 先证，当时，在上单调递增，可得恒成立；当时，可得，即可求解结果． 由题意可知，令， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，则恒成立； 由， 则当时，，即在上单调递增，则对恒成立，满足题意； 当时，由得或 又因为且函数为奇函数， 所以可得，解得，则， 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 二、选择题 13．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可得两个根分别位于和上，所以，从而解不等式组可求出实数的取值范围. 由，得． 因为在，上单调递增，在上单调递减， 所以方程的两个根分别位于区间和上， 所以，即 解得. 故选：A． 14.（2023淮阴中学期末）设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是定义在上的可导函数，可以令，， ，，，为增函数， 正数，所以，所以.故选：B 15.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可设，因为， 则， 所以函数在R上单调递增， 又，不等式可转化为， ∴， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 故选：D. 16．（2022·上海·高三专题练习）函数的图象大致为（       ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案.. 【详解】 详解：为奇函数，排除A, ，故排除D. ， 当时，，所以在单调递增，所以排除C； 故选：B. 三、解答题 17.（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）函数()．讨论的单调性﹒ 【答案】见解析﹒ 【分析】 求出g(x)的导数，分类讨论的正负，以此确定g(x)的单调性﹒ 【详解】 的定义域为，， ①当，时，，则在上单调递增； ②当，时， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减； ③当，时，，则在上单调递减； ④当，时， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减﹒ 综上所述， ①当，时，在上单调递增； ②当，时，在上单调递减，在上单调递增； 18. 已知函数（）. （1），求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【解析】（1）时，，， 切线的斜率，则切线方程为； （2）函数的定义域为，且， ①当时，，由，得；由，得 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为. ②当，即时，由，得或；由，得. 则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为. ③当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为. ④当，即时，由，得或；由，得， 则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 19. 设函数 （I）求函数f（x）的单调区间； （II）若，求证：时，. 【答案】（I）当时，f（x）的单调减区间为；当时，f（x）的单调减区间为，单调减区间为（II）见详解 【分析】（I）采用分类讨论的方法，结合导数判断函数单调性，可得结果. （II）构建新的函数，利用导数研究新函数的单调性，并求最小值，与0比较大小，可得结果. 【详解】解：（I） 若时，则， f（x）在上单调递减； 若时，令解得： 当时， 则，f（x）单调递减； 当时， 则，f（x）单调递增； 综上所述， 当时，f（x）的单调减区间为 当时，f（x）的单调减区间为， 单调减区间为 （II）当时，要证， 即证， 亦即证 令，则 由指数函数及幂函数的性质知： 在上是增函数 ，， 在内存在唯一的零点， 也即在上有唯一零点 设的零点为， 则，即， 由的单调性知： 当时， ，h（x）为减函数， 当时， ，h（x）为增函数， 所以当，时， ，即. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题03 利用导数研究函数的单调性 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 题型01 求不含参函数的单调区间 【方法点拨】 求不含参数函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数. ③由 (或),解出相应的x的范围， 当时, 在相应的区间上是增函数;当0时, 在相应区间上是减函数； ④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可. 【例1】求函数的单调区间. 【跟踪训练】 1.若函数，则函数的单调递减区间为_____ 2.若函数，则函数的单调递减区间为 ______ 3.函数的单调减区间为 . 题型02 求含参函数的单调区间 【方法点拨】求含参数函数的单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点:①二次项系数a:②判别式Δ:③方程f′(x)=0根的大小: （4）结合定义域,画数轴、标根；（5）判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 注意:①讨论参数要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解. 【例2】已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【例3】已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【例4】已知函数. 求的单调区间; 【跟踪训练】 1.设函数． （1）若，求的导数； （2）讨论函数的单调性． 题型03：求函数的参数 1、已知函数单调性求参数 【例5】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 2. 已知，，都有，则实数m的取值范围为 . . 2、已知单调区间求参数 【方法点拨】 已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 【例6】若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 【例7】若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【跟踪训练】 1.若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．， 2.若函数有三个单调区间，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3、存在单调区间求参数 【例8】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4、函数不单调求参数 【例9】已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是 ． 题型04：原函数与导函数图象关系 【例10】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【例11】已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A．B．C．D． 2.已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型05：利用导数比较大小与解不等式 【例12】已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【例13】已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若函数，且，设，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．的大小不能确定 2.设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 3.若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4.若函数的解析式，则使得成立的的取值范围是___________. 5．已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 一、填空题 1．(2023上海课时作业）函数的单调递减区间为 ． 2．（2020·上海·高二课时练习）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范 3.(2023上海课时作业）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是______ 4．（2024春崇明校极考试）若函数在区间内单调递减，则实数a的取值范围为________. 5．(2023上海课时作业）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为_______ 6.（2024闵行区期末）已知函数在上不单调，则的取值范围是________. 7．（2024春 普陀区期末）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______． 8.（2024春松江区期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是____ 9．（2024春大同中学月考）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 10．（2023·24高二下·黄浦期末）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是______ 11.（2024徐汇中学月考）已知在R上可导的函数的图象如下图所示，则不等式的解集为______． 12．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________. 二、选择题 13．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 14.（2023淮阴中学期末）设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 15.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 16．（2022·上海·高三专题练习）函数的图象大致为（       ） A．B．C．D． 三、解答题 17.（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）函数()．讨论的单调性 18. 已知函数（）. （1），求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 19. 设函数 （I）求函数f（x）的单调区间； （II）若，求证：时，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$