专题02：导数的运算（强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题02 导数的运算 知识点01 基本初等函数的导函数 1．导函数的概念 一般地，如果函数在某定义内的每一个点都可导，则称可导。此时，对定义域内的每一个值，都对应一个确定的导数。于是，在的定义域内，是一个函数，这个函数通常称为的导函数，记作（或，），即. 【解读】f′(x0)与f′(x)是不同的，f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的导数值． 2．几个常用函数的导数 原函数 导函数 其中为常数 3．基本初等函数的导数公式 函数 导函数 函数 导函数 (c是常数) (为实数) 特别地 特别地 知识点02 　导数的运算法则 1．导数的四则运算法则 （1）加减法： （2）乘法： （3）除法： 2．公式推广与结构特征 （1）公式推广：函数和、差的导数可以推广到个函数 设，，…，在处可导，则 （2）结构特征：乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式分母平方，分子用“减号”。 知识点03 复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，其中u称为中间变量． 2、复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)与u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：y′x＝y′uu′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【解读】 求复合函数的导数的步骤 (1)适当选定中间变量，正确分清复合关系； (2)分步求导； (3)把中间变量代回原自变量的函数，整个过程可简记为“分解——求导——回代” 题型01 基本初等函数的导数 【例1】求下列函数的导数. (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【例2】（    ） A． B． C． D． 【例3】曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． . 【跟踪训练】 1.求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)．2.下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 3.下面导数运算错误的是（    ） A． B． C． D． 4.函数在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5. 设函数在处的切线斜率为（    ） A．1 B． C． D． . 题型02 运算法则求函数导数 【方法点拨】 应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题,要透彻理解函数求导法则的结构特点,熟记公式,还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题,可先进行恒等变形,再利用公式求导. 【例4】求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)． 【跟踪训练】 1.求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6)． 2.若函数，则 . 题型03 求复合函数的导数 【例5】求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)． 【跟踪训练】 1.求下列函数的导数． （1）y＝；（2）y＝cosx2；（3）y＝ sin(2x－)；（4）y＝. 2. 写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． （1）y＝；（2）；（3）；（4）． 题型04 求某点处的导数值 【例6】已知函数，则 . 【例7】若函数满足，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【例8】已知函数，则 ． 【跟踪训练】 1.若函数满足，则的值为　　． 2.已知函数，设，则的值为　． 3.已知直线与曲线相切， 题型05 在某点的切线问题 【方法点拨】求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例9】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【例11】若曲线在点处的切线方程是，则 ． 【例12】已知和曲线相切的直线的倾斜角为， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ， 【跟踪训练】 1．曲线 在点处的切线方程为 ． . 2. 已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为 ． 3．设函数，且为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 题型06 过某点的切线问题 【方法点拨】求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例13】已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为 . 【例14】已知函数，求经过点的曲线的切线方程． 【跟踪训练】 1．写出曲线过坐标原点的一条切线方程 . 2．已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． ， 3．过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（    ） A．-1 B．1 C． D． 题型07 切线的平行垂直问题 【例15】函数在点处的切线与直线相互垂直，则实数 【跟踪训练】 1．若曲线．已知函数若对任意，曲线在点. 题型08 公切线问题 【例16】若直线是曲线与曲线的公切线，则 ．． 【跟踪训练】 1．若直线是曲线与的公切线，则 . 2.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A． B． C． D． 3. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 题型09：新定义问题 【例17】已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（　　） A． B． C． D． 【例18】已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数： （1）（2）（3） （4） 其中没有“巧值点”的函数是　　 A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【例19】已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．设，则在区间上的“新驻点”为 　　． 一、填空题 1．（2024进才中学高二期中）已知，则 . 2．（2023黄浦区校级月考）曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 . 3．（2023上课高二课时练习）已知函数，其导函数记为，则______ 4.（2024复兴高级中学高二期中）曲线在处的切线方程为______ 5.（2023行知中学期中）曲线在处的切线的斜率为_______ 6．（2024闵行中学阶段练习）函数在点处的切线方程为 ． 7．（2023普陀区校极月考）写出曲线过坐标原点的切线方程： . 8．（2024上师附中期中）已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_____ 9．（2024全国高二课时练习）与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________． 10．（2023宜川中学月考）已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是 ． 11．（2024市西中学月考））已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为_____ 12．（2023上海实验中学高二期中）已知直线与曲线相切，则实数的值为__________． 二、选择题 13．（2024春松江区校极月考）若函数，则等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 14．（2024春•徐汇区校级期中）函数的导数是　　 A． B． C． D． 15．（2023·24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 16.已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 17．（2022·23高二·福建厦门 期中）求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)． 18．求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 19. 求下列函数的导数： （1）y＝；（2）y＝e2x＋1；（3）y＝ln(3x－1)； （4）y＝sin；（5）y＝esin(ax＋b)；（6）y＝5log2(2x＋1). 20．已知函数，且． (1)求的值； (2)设，求过点的切线方程． 21．（1）已知曲线在点处的切线方程为，求． （2）已知函数，过点作曲线的切线，求此切线的方程． ， 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题02 导数的运算 知识点01 基本初等函数的导函数 1．导函数的概念 一般地，如果函数在某定义内的每一个点都可导，则称可导。此时，对定义域内的每一个值，都对应一个确定的导数。于是，在的定义域内，是一个函数，这个函数通常称为的导函数，记作（或，），即. 【解读】f′(x0)与f′(x)是不同的，f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的导数值． 2．几个常用函数的导数 原函数 导函数 其中为常数 3．基本初等函数的导数公式 函数 导函数 函数 导函数 (c是常数) (为实数) 特别地 特别地 知识点02 　导数的运算法则 1．导数的四则运算法则 （1）加减法： （2）乘法： （3）除法： 2．公式推广与结构特征 （1）公式推广：函数和、差的导数可以推广到个函数 设，，…，在处可导，则 （2）结构特征：乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式分母平方，分子用“减号”。 知识点03 复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，其中u称为中间变量． 2、复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)与u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：y′x＝y′uu′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【解读】 求复合函数的导数的步骤 (1)适当选定中间变量，正确分清复合关系； (2)分步求导； (3)把中间变量代回原自变量的函数，整个过程可简记为“分解——求导——回代” 题型01 基本初等函数的导数 【例1】求下列函数的导数. (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【解析】（1） （2） （3） （4） （5） 【例2】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 【例3】曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 则所求切线的斜率为. 故选：A. 【跟踪训练】 1.求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）由，可得； （2）由，可得； （3）由，可得； （4）由， 可得. 2.下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案. 【详解】对于A，，故A错误；     对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确；     对于D，，故D正确. 故选：A. 3.下面导数运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解 ，故A正确； 故B正确； 故C正确， 故D错误. 故选： 4.函数在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：， 则，可得， 所以函数在处的切线的斜率，倾斜角为. 故选：B. 5. 设函数在处的切线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】，故，故切线斜率为. 故选：C 题型02 运算法则求函数导数 【解题必备】 应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题,要透彻理解函数求导法则的结构特点,熟记公式,还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题,可先进行恒等变形,再利用公式求导. 【例4】求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2) (3)(4) 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 【跟踪训练】 1.求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6)． 【答案】(1)(2)(3) (4)(5)(6) 【解析】（1）， （2）， （3）， （4）， （5） （6） 2.若函数，则 . 【答案】2023！ 【分析】设，则，求出可得答案. 【详解】设， 则， ， . 故答案为： 题型03 求复合函数的导数 【例5】求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）函数可以看作与复合而成， 根据复合函数求导法则有． （2）函数可以看作与复合而成， 根据复合函数求导法则有． （3）函数可以看作与复合而成， 根据复合函数求导法则有 【跟踪训练】 1.求下列函数的导数． （1）y＝；（2）y＝cosx2；（3）y＝ sin(2x－)；（4）y＝. 【答案】（1）；（2）－2xsinx2；（3）2cos(2x－)；（4）. 【解析】（（1）令u＝1－3x，则y＝＝，∴y′u＝－4u－5，u′x＝－3.∴y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝. （2）令u＝x2，则y＝cosu，∴y′x＝y′u·u′x＝－sinu·2x＝－2xsinx2. （3）令u＝2x－，则y＝sinu，∴y′x＝y′u·u′x＝cosu·2＝2cos(2x－)． （4）令u＝1＋x2，则y＝，∴y′x＝y′u·u′x＝. 2. 写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． （1）y＝；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）中间变量： 函数的导数： （2）中间变量： 函数的导数： （3）中间变量： 函数的导数： （4）中间变量： 函数的导数： 【解析】（（1）引入中间变量． 则函数是由函数与复合而成的． 查导数公式表可得，． 根据复合函数求导法则可得． （2）引入中间变量， 则函数是由函数与复合而成的，查导数公式表可得，． 根据复合函数求导法则可得 （3）引入中间变量， 则函数是由函数与复合而成的， 查导数公式表得，， 根据复合函数求导法则可得 （4）引入中间变量， 则函数是由函数与复合而成的. 查导数公式表可得，． 根据复合函数求导法则可得 ． 题型04 求某点处的导数值 【例6】已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】在等式两边求导，再令，即可得出的值. 【详解】因为，则， 所以，，故. 故答案为：. 【例7】若函数满足，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求解导函数，再赋值，解关于的方程可得. 【详解】由，得， 则，解得， 故选：C. 【例8】已知函数，则 ． 【答案】 【详解】因为，则， 令，则，解得， 可得， 所以． 故答案为：. 【跟踪训练】 1.若函数满足，则的值为　　． 【答案】0 【解析】求函数f(x)x3－f′(1)•x2－x的导数，得，f′(x)=x2－2f′(1)x－1， 把x=1代入，得，f′(1)=1－2f′(1)－1，∴f′(1)=0. 2.已知函数，设，则的值为　． 【答案】1 【解析】∵f(x)＝ex﹣cosx， ∴f0(x)＝f′(x)＝ex+sinx，f1(x)＝f0′(x)＝ex+cosx，f2(x)＝f1′(x)＝ex﹣sinx， f3(x)＝f2′(x)＝ex﹣cosx，f4(x)＝f3′(x)＝ex+sinx，f5(x)＝f4′(x)＝ex﹣sinx， 则函数f′k(x)是周期为4的周期函数， 则f2014(x)＝f2(x)＝f1′(x)＝ex﹣sinx， 则f2014(0)＝e0﹣sin0＝1， 3.已知直线与曲线相切，则实数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据切点求解切线方程，即可对照列方程求解. 【解答过程】设切点为，则， 故切线方程为，即 ，由于是切线，所以， 故，化简得，解得， 所以， 故选：A. 题型05 在某点的切线问题 【解题必备】求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例9】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 则， 所以函数在点处的切线斜率， 则切线方程为， 即切线方程为， 故选：D. 【例10】已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0） ∵曲线的一条切线的斜率为， ∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3 故选A． 【例11】若曲线在点处的切线方程是，则 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为，由在点处的切线方程是 得切线斜率为2，，由曲线，得， 故，解得，又因为，故， 所以， 故答案为： 【例12】已知和曲线相切的直线的倾斜角为， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，得, 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 即和曲线相切的直线的斜率的取值范围为，即，又， 所以的取值范围为． 故选：D． 【跟踪训练】 1．曲线 在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 2. 已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】首先对函数求导，然后表示出在点的切线方程，最后根据切线过原点求出实数. 【详解】因为，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为, 又该切线过坐标原点，所以，即， 解得:． 故答案为：. 3．设函数，且为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为函数为奇函数，所以，即， 即，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 题型06 过某点的切线问题 【解题必备】求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【例13】已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为 . 【答案】 【解析】设切点坐标为(a，lna)， ∵y=lnx，∴y′，切线的斜率是， 切线的方程为y－lna(x－a)， 将(0，0)代入可得lna=1，∴a=e， ∴切线的斜率是； 【例14】已知函数，求经过点的曲线的切线方程． 【答案】 或 【解析】设切点坐标为P(a，a3－4a2+5a－4)， ∵f(x)=x3－4x2+5x－4，∴f′(x)=3x2－8x+5， ∴切线的斜率为f′(a)=3a2－8a+5， 由点斜式可得切线方程为y－(a3－4a2+5a－4)=(3a2－8a+5)(x－a)，① 又根据已知，切线方程过点A(2，－2)， ∴－2－(a3－4a2+5a－4)=(3a2－8a+5)(2－a)，即a3－5a2+8a－4=0， ∴(a－1)(a2－4a+4)=0，即(a－1)(a－2)2=0， 解得a=1或a=2， 将a=1和a=2代入①可得，切线方程为y+2=0或x－y－4=0， 故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为或 【跟踪训练】 1．写出曲线过坐标原点的一条切线方程 . 【答案】或（任写一个即可） 【详解】，设切点为， 故切线方程为， 由于切线过原点，故， 整理得，解得或. 当时，切线方程为，即. 当时，切线方程为，即. 故答案为：或（任写一个即可） 2．已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】直线过定点， ，设直线与曲线的切点坐标为， 则， 则，∴. 故答案为： 3．过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】设的切点分别为， 由题意可得，， 所以在处的切线为，在处的切线为， 又因为两条切线过原点，所以，解得， 所以直线斜率的乘积为， 故选：B 题型07 切线的平行垂直问题 【例15】函数在点处的切线与直线相互垂直，则实数 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求得斜率，再根据直线垂直的斜率关系列方程，从而求得的值. 【详解】， 直线的斜率为， 由于在点处的切线与直线相互垂直， 所以切线的斜率为，即. 故答案为： 【跟踪训练】 1．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 2．已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由函数， 可得， 因为曲线在点和处的切线互相平行或重合， 可得为偶函数，所以，解得. 故选：C. 题型08 公切线问题 【例16】若直线是曲线与曲线的公切线，则 ． 【答案】5 【解析】由，得，由，解得， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得，设切点为， 则，且，联立可得， 解得，所以． ∴． 故答案为：5． 【跟踪训练】 1．若直线是曲线与的公切线，则 . 【答案】 【详解】设与，分别相切于点，， ，，，， 切线方程为，， 即，， ，即， 解得：，即. 故答案为：. 2.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线, 则两个切点都在直线上,设两个切点分别为 则两个曲线的导数分别为, 由导数的几何意义可知,则 且切点在各自曲线上,所以 则将代入可得 可得 由可得 代入中可知 所以， 所以. 故选：D. 3. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由可得： 设直线与曲线相切于，则有. 所以切线方程可表示为，即. 由可得： 设直线与曲线相切于，则有. 所以切线方程可表示为，即. 所以，消去s，整理得：，解得：，所以. 所以斜率. 故答案为： 题型09：新定义问题 【例17】已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（　　） A． B． C． D． 【解析】对于A，由，得，由，得或，所以函数有青山点，所以A正确， 对于B，由，得，由，方程无解，所以函数不存在青山点，所以B错误， 对于C，由，得（），由于和的图像有交点，所以方程有解，所以函数有青山点，所以C正确， 对于D，由，得，由，得，所以有青山点，所以D正确， 故选：ACD 【例18】已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数： （1）（2）（3） （4） 其中没有“巧值点”的函数是　　 A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【分析】求导函数，然后解方程，方程有解说明有巧值点，否则没有． 【解答】解：（1），不存在使得，没有巧值点； （2），解得，或2，，有巧值点； （3），如图， 由图象知有解，有巧值点； （4），满足，有巧值点． 故选：． 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，巧值点的定义，是基础题． 【例19】已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．设，则在区间上的“新驻点”为 　　． 【分析】可求出，根据新驻点的定义，解在上的解即为所求的驻点． 【解答】解：， 解，，得， 在区间上的“新驻点”为． 故答案为：． 【点评】本题考查了新驻点的定义，三角函数的求导公式，是基础题． 一、填空题 1．（2024进才中学高二期中）已知，则 . 【答案】 【详解】由，得， 所以，得， 所以， 所以， 故答案为：. 2．（2023黄浦区校级月考）曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 . 【答案】/0.25 【详解】易知的定义域为，而，故切点为， 设切线斜率为，且，故， 切线方程为，化简得， 当时，，当时，， 易知围成的图形是三角形，设面积为，故. 故答案为： 3．（2023上课高二课时练习）已知函数，其导函数记为，则_____ 【解析】（由已知得， 则，显然为偶函数. 令，显然为奇函数. 又为偶函数，所以，， 所以. 故选：A. 4.（2024复兴高级中学高二期中）曲线在处的切线方程为_______ 【解析】由题意知时，，所以切点为， 而，所以切线的斜率为， 则所求的切线方程为， 故选：C. 5.（2023行知中学期中）曲线在处的切线的斜率为______ 【详解】由题意得， 则所求切线的斜率为. 6．（2024闵行中学阶段练习）函数在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由，得， 所以切线的斜率为， 因为， 所以切线方程为，即， 故答案为： 7．（2023普陀区校极月考）写出曲线过坐标原点的切线方程： ， 【答案】 【详解】当时，，则， 曲线在点处的切线方程为. 若该切线经过原点，则，解得，此时切线方程为. 当时，同理可得满足题意的切线方程为. 故答案为：； 8．（2024上师附中期中）已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_____ 【详解】由得：； 设切点坐标为，， 则切线方程为：， 切线过原点，，解得：， 即切点横坐标为. 故选：C. 9．（2024全国高二课时练习）与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________． 【答案】2x－y－1－ln2＝0 【解析】∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2， 又∵y′＝(ln x)′＝，∴＝2，解得x＝. ∴切点的坐标为. 故切线方程为y＋ln 2＝2. 即2x－y－1－ln 2＝0. 故答案为：2x－y－1－ln 2＝0 10．（2023宜川中学月考）已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，则 不妨设，点和点，两切线的斜率分别为， ∴，∴， ∴等价于， 等价于或 解得，或．故a的范围是． 故答案为：. 11．（2024市西中学月考））已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为______ 【详解】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：C 12．（2023上海实验中学高二期中）已知直线与曲线相切，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】依题意，设切点坐标为，由求导得：， 于是得，即，解得：， 所以实数的值为. 故答案为： 二、选择题 13．（2024春松江区校极月考）若函数，则等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】依题意，，所以. 故选：D 14．（2024春•徐汇区校级期中）函数的导数是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合函数的求导公式及求导法则即可求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题． 15．（2023·24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，， 所以在点处的切线方程为，即① 令，解得， 即直线与曲线的切点为， 所以，即，解得或， 当时，①为，不符合题意，舍去， 所以，此时①可化为，所以， 故选：A 16.已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】设切点为，根据导数的几何意义求得在切点处的切线方程，再将代入，求得的值，即可得解. 【解答过程】解：因为，所以， 设切点为， 所以在切点处的切线方程为， 又在切线上，所以， 即， 整理得，解得或， 所以过点可作曲线的切线的条数为2. 故选：C． 三、解答题 17．（2022·23高二·福建厦门 期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数可以看作与复合而成， 根据复合函数求导法则有． （2）函数可以看作与复合而成， 根据复合函数求导法则有． （3）函数可以看作与复合而成， 根据复合函数求导法则有. 18．求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由可得 （2）由可得 （3）由得 （4）由得 19. 求下列函数的导数： （1）y＝；（2）y＝e2x＋1；（3）y＝ln(3x－1)； （4）y＝sin；（5）y＝esin(ax＋b)；（6）y＝5log2(2x＋1). 【答案】（1）；（2）2e2x＋1；（3）；（4）；（5） ；（6）. 【解析】（(1)设，，则； (2)设则. (3)设，则 (4)设，则 (5)设， 则； (6)设，则 20．已知函数，且． (1)求的值； (2)设，求过点的切线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）定义域为，， 而，而已知，可得， 解得，故的值为， （2），设切点为，设切线斜率为， 而，故切线方程为， 将代入方程中，可得，解得(负根舍去)， 故切线方程为， 21．（2023·24高二下·四川成都·阶段练习）（1）已知曲线在点处的切线方程为，求． （2）已知函数，过点作曲线的切线，求此切线的方程． 【答案】（1）； （2）函数过点的切线方程为或. 【详解】（1）函数的导函数， 所以， 所以函数在点处的切线斜率为， 所以函数在点处的切线方程为， 由已知， 所以； （2）函数的过点的切线的切点为， 因为，所以， 所以， 所以函数过点的切线斜率为，因为切线过点， 所以，， 所以， 解得或， 当时，，， 此时切线方程为， 当时，，， 此时切线方程为， 所以函数过点的切线方程为或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$