5.1导数的概念（第2课时）导数的几何意义（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第 5 章导数及其应用 5.1导数的概念（第2课时） 导数的几何意义 1 导数的几何意义 上一小节谈到，研究物体变速运动时，我们把时间分成若干个 小时间段，计算每个小时间段中物体的平均速度，借以近似地描述物体的运动状况．当时间段的划分越来越细时，对运动的描述就越来越精确．特别地，在一个时间点周边的时间段越来越小时，如果平均速度趋近于一个稳定值，这个稳定值就是物体运动在这个时间点的瞬时速度． 在几何学中有类似的情境：为了研究一条曲线的特性，我们可以把曲线划分成小段，把连接每一小段两端点的线段看作曲线的这个小片段的近似，当曲线的划分越来越细时，用这些小线段连接起来的折线就越来越接近于原来的曲线． 我们把连接曲线上任意两点的直线称为这条曲线的一条割线．如图５-１-２，给定曲线上的一点P，考虑以点P为端点的一 条小曲线段 和割线PQ．像平均速度趋近于瞬时速度那样，当曲 线段 取得越来越短，即让点Q越来越靠近点P时，如果割线 PQ趋近于一条确定的直线，我们就将这条直线称为曲线在点P 处的切线．就像瞬时速度是运动在给定时刻的最好描述一样，可以 想象，切线是曲线在点P附近性质的最好描述． 切线这个术语并不陌生，我们在平面几何的学习中定义过圆的切线，并讨论过它的性质．那里定义的圆的切线是否与这个新定义一致呢？ 例３ 如图５-１-３，曲线 是 圆 在x轴及其上方的部分，点P（１，１）和Q（０， ）是该曲线上的点． （１）求割线PQ的斜率； （２）对正整数n，令 在该曲线上取一系列点 借助现代信息技术，适当地计算一些割线 的斜率，观察并总结当n逐渐增大时，割线 的斜率的变化趋势． 解 （１）割线PQ的斜率是 （２）割线 的斜率是 借助计算器或计算机可以得到表５-２中关于 的近似计算结果（精确到０．００００００００１）： 观察表５ ２可知，当n逐渐增大时，割线 的斜率 逐渐减小，并趋近于－１． 由例３可以看出，根据现在的定义，曲线在点P（１，１）处的切线的斜率是－１，容易求得它的一般式方程是x＋y－２＝０．又因为平面几何所定义的切线垂直于过切点的半径，即向量（１，１）是切线的法向量，所以用点法式求出切线的方程也是x＋y－２＝０．即对于圆来说，两个切线的定义一致. 对于任意曲线y＝f（x），如何从定义出发求它在点 P 处的切线？ 例３给我们的第一个启示是先求切线的斜率．其实，例３还可 以进一步揭示斜率的求法：如果记 则 其中 当n增大时， 的稳定值就是 这个方法适用于一般情况．如图５-１-４，在曲线上点P 的附 近取 一 点 割 线 PQ 的 斜 率 就是函数y＝f（x）在以X０和X０＋h为端点的 区间上的平均变化率。如果当点Q 沿曲线趋近于点P 时，割线 PQ的斜率趋近于某一稳定值，那么这个稳定值就是 也就是函数y＝f（x）在X=X０处的瞬时变化率 因此，函数y＝f（x）在X=X０处的导数 ）就是曲线y＝f（x）在点P 处切线的斜率．因此，函数y＝f（x）在点P 处的切线方程为 例4 已知 求曲线 在点P（１，１）处的切线方程． 先求曲线y＝f（x）在点P（１，１）处切线的斜率f′（１）： 当h≠０时， 从而当h趋近于０时， 因此，曲线y＝f（x）在点P（１，１）处切线的斜率为２．于是，所求切线方程为 即 例５ 已知 求曲线y＝f（x）在点P（０，０）处的 切线方程． 解 先求曲线y＝f（x）在点P（０，０）处切线的斜率f′（０）： 当h≠０时， 从而当h趋近于０时， 因此，曲线 在点P（０，０）处的切线斜率为零，此时曲线的切线是一条水平直线． 通常，我们将导数为零的点称为函数的驻点，曲线在其驻点处的切线是水平直线． 课本练习 宋老师数学精品工作室 练习５．１（2） １．已知 分别求曲线y＝f（x）在点P（－１，３）和点Q（１，３）处的切线方程． ２．