5.1 导数的概念及意义（4种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

5.1 导数的概念及意义（4种题型基础练+能力提升练） 1． 导数的定义（共4小题） 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数在处可导，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．8 4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设是可导函数，且，则在处的切线的斜率等于（    ） A．2 B． C． D． 2． 导数的几何意义（共3小题） 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·山东泰安·期中）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为 （　　） A． B． C． D． 3． 在点及过点的切线（共5小题） 1．（24-25高二下·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）直线与曲线相切于点，则 ． 3（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．曲线过点的切线方程为 . 5．已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 四 已知导数求参数（共3小题） 1．已知函数的图象与直线相切，则 . 2．已知函数，若在曲线上存在点，使得过点可以作三条直线与曲线相切，则点横坐标的取值范围为 ． 3．若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 、 一．选择题（共6小题） 1．曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 2．设函数在上可导，且，则等于（    ） A．1 B． C．2024 D． 3．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 5．过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 6．已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共2题） 7．过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 8．下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题（共3题） 9．若直线与曲线和都相切，则直线的方程为 ． 10．直线与曲线相切，则 ． 11．若曲线上存在垂直于轴的切线，则的范围是 四、解答题（共1题） 12．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 导数的概念及意义（4种题型基础练+能力提升练） 1． 导数的定义（共4小题） 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义计算可得结果. 【详解】由导数的定义，. 故选：C. 2．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】. 故选：A. 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数在处可导，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】 . 故选：A. 4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设是可导函数，且，则在处的切线的斜率等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再利用导数的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为， 故选：B. 2． 导数的几何意义（共3小题） 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义判断即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，故排除B、D； 又函数增长趋势越来越快，在处切线的斜率为， 在处切线的斜率为，在处切线的斜率为， 由图可知. 故选：C 2（23-24高二下·山东泰安·期中）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲线的变化趋势可判断函数的单调性，结合函数的导数的几何意义，数形结合，即可判断出答案. 【详解】由函数的图象可知为单调递增函数， 故函数在每一处的导数值，即得， 设，则连线的斜率为， 由于曲线是上升的，故，所以， 作出曲线在处的切线，设为，连线为， 结合图象可得的斜率满足， 即，即. 故选：B 3．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】理解导函数和函数的意义，结合图像即可求解. 【详解】由题意，， 又因为，由图可当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以①当时，且， ②当时，且； 综上，; 故选：D. 3． 在点及过点的切线（共4小题） 1．（24-25高二下·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】设切点坐标为，然后对函数求导，则可求出切线的斜率，从而可表示出切线方程，然后将的坐标代入切线方程可求出，从而可求出切线方程. 【详解】设切点坐标为，则有． 因为，所以切线方程为， 将点的坐标代入，得， 所以，解得或． 当时，，故切线方程为； 当时，，故切线方程为． 所以所求直线的方程为或． 故答案为：或． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）直线与曲线相切于点，则 ． 【答案】 【分析】根据点在直线上求出的值，对函数求导，根据切点斜率可求出值，代入点解方程，即得解 【详解】因为直线与曲线相切于点， 将代入可得，解， 因为，所以 由，解得，可得， 因为点在曲线上， 所以，解得． 故答案为： 3（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】求导，与直线垂直，求出的值. 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 4．曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【分析】先利用导数的定义求出，设切线的切点是，则由导数的几何意义可得切线的斜率为，再由切线过点和，表示出切线的斜率，从而列方程可求出，则可求出斜率，进而可求出切线方程. 【详解】， 因为点不在曲线上， 所以设切线的切点是，则切线的斜率， 又切线过点和， 所以， 所以， 化简得， 因为，所以或. 所以，或， 所以所求切线方程是或， 即或. 故答案为：或. 5．已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 【答案】 【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程. 【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，整理得到， 解得，所以切线方程为． 故答案为: . 四 已知导数求参数（共3小题） 1．已知函数的图象与直线相切，则 . 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义列式计算即可． 【详解】由得， 设切点坐标为， 则，解得． 故答案为：． 2．已知函数，若在曲线上存在点，使得过点可以作三条直线与曲线相切，则点横坐标的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，设，并设出切点，并结合题意过点可作曲线三条切线得出关于的方程式有三个不同实根，从而求解. 【详解】由题意得：，设点坐标为，设切点为， 所以：，即：，所以即得关于的此方程式存在三个不同实根， 令：，则：， 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当，时，，在区间上单调递增， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增， 故得：，即，解得：， 当时，时，，在区间上单调递增， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增， 故得：，即，解得：， 综上：的取值范围是． 故答案为：. 3．若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离， 将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小． 而，令，则，可得， 此时，Q到直线的距离，故， 所以． 故选：B 、 一．选择题（共6小题） 1．曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，根据导数的几何意义可得解. 【详解】由已知，则， 当时，， 即切线斜率， 故选：A. 2．设函数在上可导，且，则等于（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 3．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图象可得解. 【详解】，和分别为函数在，和处切线的斜率， 即图中直线的斜率， 结合图象可得. 故选：D 4．已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，注意是常数，令代入导函数中，可求得，进而可求，可得在处的切线方程. 【详解】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B 5．过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点是不切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 6．已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义，列方程组求解即可. 【详解】由题意知， 所以，解得， 又， 所以，解得，所以. 故选：C. 二、多选题（共2题） 7．过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】当为切点时，根据的值和直接求解出切线方程；当不是切点时，设出切点，然后根据斜率的表示求解出的坐标，则切线方程可求. 【详解】因为，所以； 若A点是切点，则， 则切线方程为，即，故C正确； 若A点不是切点，设切点，则B处切线斜率为， 又因为直线AB的斜率为， 则，， 化简可得，所以或（舍去，此时重合）， 所以点B为，故切线斜率为， 则切线方程为，即，故D正确． 故选：CD． 8．下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论. 【详解】选项A中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确； 选项B中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误； 选项C中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得， 当时，切点为，切线方程为，C正确； 选项D中，易知与有三个交点，， 又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误. 故选：AC 三、填空题（共3题） 9．若直线与曲线和都相切，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】设直线与曲线相切于，求导确定斜率，求得切线方程，再结合此直线与圆也相切，即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于， 当时，，则由可知，曲线在点处的切线方程为， 即，该方程即为直线的方程， 因为直线与圆相切，所以，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 当时，，同理可求得直线的方程为， 故直线的方程为或． 故答案为：或 10．直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点坐标为，由于， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即， 所以，， 故答案为：. 11．若曲线上存在垂直于轴的切线，则的范围是 【答案】 【分析】由题意函数的定义域，求导．因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为内导函数存在零点，求解参数． 【详解】由题意函数的定义域， 求导，因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为， 即， 存在零点， 故，即  令，，则， 故，故答案为： 四、解答题（共1题） 12．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再求切线方程； （2）根据（1）的结果，再根据两直线平行的几何关系，列式求解. 【详解】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$